基于小波理論的混凝土壩變形PCA-IPSO-SVM預(yù)測模型

柳志坤，周蘭庭

(河海大學(xué)水利水電學(xué)院，南京 210098)

0 引 言

混凝土壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)能直觀可靠地反映大壩的運(yùn)行狀況，監(jiān)測序列是一種隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)信號(hào)，主要受到水壓、溫度和時(shí)效的影響，二者之間是一種非線性映射的關(guān)系，加之監(jiān)測過程中常帶有一定的系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲，往往會(huì)掩蓋實(shí)際變形值，這使得變形監(jiān)測序列具有較強(qiáng)的非線性和不確定性，增加了資料分析的困難度。目前常采用的監(jiān)控模型主要有統(tǒng)計(jì)型、混合型、確定型及其衍生的各種改進(jìn)模型，隨著智能算法的發(fā)展，遺傳算法(GA)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BP)、支持向量機(jī)(SVM)等均被應(yīng)用到大壩安全監(jiān)控中。在處理大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)這類高維數(shù)、非線性的問題上，SVM是一種較為理想的模型，錢秋培等[1]應(yīng)用SVM建立了混凝土壩變形監(jiān)控模型，論證了其短期預(yù)測能力優(yōu)于長期預(yù)測能力，合理選擇測試集數(shù)目對模型預(yù)測影響明顯；孫小冉等[2]將粗集理論與SVM結(jié)合，簡化了大壩變形影響因素和效應(yīng)量之間的映射關(guān)系，優(yōu)化了模型輸入使模型更能體現(xiàn)大壩的運(yùn)行機(jī)制；趙二峰等[3]基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則和提升算法強(qiáng)化學(xué)習(xí)的思想，提出一種穩(wěn)定性好的AdaBoost-SVM變形預(yù)測模型，增強(qiáng)了模型的泛化能力和預(yù)測精度；杜傳陽等[4]利用馬爾科夫鏈(MC)對原始數(shù)據(jù)的殘差進(jìn)行處理，并基于SVM理論建立大壩變形監(jiān)測模型；黃夢婧等[5]利用差分自回歸移動(dòng)平均模型(ARIMA)來處理非平穩(wěn)時(shí)間序列，對SVM模型的殘差進(jìn)行處理，改進(jìn)了原有大壩變形監(jiān)控模型；張海龍等[6]將極限學(xué)習(xí)機(jī)(ELM)用于混凝土壩變形監(jiān)控模型的構(gòu)建中，并通過改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，提高了模型的學(xué)習(xí)能力；針對大壩變形影響因子繁多，因子之間關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的問題，陳斯煜等[7]利用主成分分析(PCA)對監(jiān)測數(shù)據(jù)降維，將提取的主元影響量作為徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(RBF)的輸入量，建立了混凝土壩位移趨勢性預(yù)測模型。本文在前述研究的基礎(chǔ)上，通過對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪，并利用主成分分析提取影響因子的主元，采用支持向量機(jī)對非線性問題進(jìn)行預(yù)測，但考慮到模型參數(shù)的合理選擇對預(yù)測精度有較大的影響，本文利用粒子群算法的全局搜索能力及魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn)，采用改進(jìn)的粒子群算法對模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，建立了基于PCA-IPSO-SVM的組合預(yù)測模型。

1 理論方法

1.1 小波理論

小波分析理論[8,9]是在Fourier的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種時(shí)頻分析方法，克服了傳統(tǒng)變換的缺點(diǎn)，通過小波基函數(shù)的伸縮變換實(shí)現(xiàn)對信號(hào)的多尺度分析，大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)就是一個(gè)時(shí)間序列，小波理論憑借良好的時(shí)頻局部化和多分辨率分析的能力，在大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

大壩變形監(jiān)測數(shù)據(jù)為一離散的時(shí)間序列，故在應(yīng)用小波理論時(shí)采用其離散形式：

(1)

式中：f(t)為變形時(shí)間序列；φ*為小波基函數(shù)的復(fù)共軛；a0、b0均為實(shí)常數(shù)；j、k為整數(shù)。

小波分析的實(shí)質(zhì)是對信號(hào)根據(jù)尺度大小由粗到細(xì)地分解，不斷地將低頻信號(hào)進(jìn)一步分解為低頻和高頻信號(hào)，分解N層后即可得到N個(gè)高頻信號(hào)和1個(gè)低頻信號(hào)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)把信號(hào)分解為任意頻率上的高頻和低頻。

大壩變形監(jiān)測序列本身包含著大壩實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)的信息，但在監(jiān)測過程中往往受到環(huán)境、儀器等因素的影響，序列中的噪聲會(huì)給建模分析帶來一定的偏差，故將監(jiān)測序列視為一維信號(hào)進(jìn)行去噪處理，以提高數(shù)據(jù)分析的精度。小波去噪的關(guān)鍵在于控制閾值的選取，閾值過小會(huì)保留過多噪聲，閾值過大則會(huì)產(chǎn)生失真現(xiàn)象，此處采用使最大風(fēng)險(xiǎn)最小化的極大極小值閾值法來確定閾值，公式如下：

λ=σ(0.393 6+0.182 9log2n)

(2)

σ=median(|ωj|)/0.674 5

(3)

式中：σ為標(biāo)準(zhǔn)差；n為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；median(|ωj|)為小波系數(shù)絕對值中值。

選定閾值后，采用式(4)的軟閾值法去噪，當(dāng)小波系數(shù)的絕對值大于或等于閾值時(shí)，將兩者相減，符號(hào)保持不變；而小于閾值時(shí)直接置為零，最后對小波系數(shù)重構(gòu)可得去噪后的監(jiān)測數(shù)據(jù)。

(4)

式中：λ為閾值；ω為小波系數(shù)；ωλ為閾值處理后的小波系數(shù)。

1.2 主成分分析(PCA)

在建立混凝土壩變形的預(yù)測模型時(shí)，需要將與變形相關(guān)的各影響因子作為模型的輸入量，但因子數(shù)量繁多且因子間相互關(guān)聯(lián)性復(fù)雜，不僅降低模型的精度還增加了運(yùn)算時(shí)間。因此，借助主成分分析法[10,11]提取主要因素作為模型的輸入量，將原始高維數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成低維數(shù)據(jù)，消除原數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，并能在最大程度上反映原數(shù)據(jù)包含的信息。

設(shè)大壩變形預(yù)測模型有p個(gè)影響因子，每個(gè)因子有n個(gè)監(jiān)測數(shù)據(jù)，則數(shù)據(jù)集X：

(5)

式中：xi=(x1i,x2i,…,xni),i=1,2,…,p。在對變形影響因子進(jìn)行主成分分析時(shí)，按式(6)～(8)對數(shù)據(jù)集進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，并按式(9)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣。

(6)

(7)

(8)

(9)

最后根據(jù)特征方程求出各特征值和對應(yīng)的特征向量，并將特征值從大到小排列，此即主成分的排序，根據(jù)式(10)、(11)計(jì)算各主成分的貢獻(xiàn)率和累計(jì)貢獻(xiàn)率，并選取累計(jì)貢獻(xiàn)率大于85%的主成分作為最終的主元來代替原始數(shù)據(jù)。

(10)

(11)

式中：λi為特征值；γi為各主成分貢獻(xiàn)率；Mk為主成分累計(jì)貢獻(xiàn)率。

1.3 改進(jìn)的粒子群算法(IPSO)

粒子群算法[12,13]最早起源于群鳥覓食的現(xiàn)象，算法中的每一個(gè)粒子代表優(yōu)化問題的一個(gè)可能解，并通過速度和位置兩個(gè)指標(biāo)來刻畫粒子的行為，粒子的優(yōu)劣通過適應(yīng)度值來判斷，而適應(yīng)度函數(shù)則根據(jù)具體情況而定，粒子在尋優(yōu)中通過分析個(gè)體極值和群體極值的情況決定是否更新，通過不斷迭代搜尋到全局最優(yōu)解。

設(shè)在一個(gè)N維搜索空間中，群體粒子數(shù)為m，第i個(gè)粒子的位置為xi=(xi1,xi2,…,xin)，速度為vi=(vi1,vi2,…,vin)，個(gè)體極值為pi=(pi1,pi2,…,pin)，群體極值為gi=(gi1,gi2,…,gin)，則經(jīng)過k次迭代后PSO算法按下述公式對粒子的位置和速度進(jìn)行更新：

vidk=ωvidk-1+c1r1(pidk-1-xidk-1)+c2r2(gidk-1-xidk-1)

(12)

xidk=xidk-1+vidk

(13)

式中：i=1,2,…,m，d=1,2,…,n，c1、c2為加速常數(shù)；r1和r2是[0，1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù)；ω為慣性權(quán)重。

粒子群算法中最需要關(guān)注的參數(shù)是慣性權(quán)重ω，這直接關(guān)系到算法尋優(yōu)的效果，ω越大其全局尋優(yōu)能力越強(qiáng)，局部尋優(yōu)能力較弱；ω越小其局部尋優(yōu)能力越強(qiáng)，全局尋優(yōu)能力較弱。在標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中，ω常取為1，但考慮到實(shí)際尋優(yōu)中，算法在不同時(shí)期對全局和局部尋優(yōu)的需求程度不同，ω不能一成不變，此處規(guī)定其初值為0.9，終值為0.4，采用式(14)的線性遞減慣性權(quán)重來控制ω的大小，對粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，使算法在前期加強(qiáng)全局尋優(yōu)，后期注重局部尋優(yōu)。

ω(k)=ωs-(ωs-ωe)(T-k)/T

(14)

式中：ωs為權(quán)重初值；ωe為權(quán)重終值；T為最大迭代次數(shù)；k為當(dāng)前迭代次數(shù)。

1.4 支持向量機(jī)(SVM)

支持向量機(jī)[14,15]源于模式分類研究，后推廣至回歸問題，通過選定的非線性映射函數(shù)將輸入量轉(zhuǎn)化到高維空間中，并在該空間中構(gòu)造最優(yōu)決策函數(shù)，它基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，并具有全局最優(yōu)性和較好的泛化能力，對于大壩變形序列這種復(fù)雜的非線性問題，采用該方法能取得較為理想的結(jié)果。

給定樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,…,n，xi∈Rm，yi∈R。采用非線性映射φ(x)將數(shù)據(jù)映射到高維空間中，并構(gòu)造線性擬合函數(shù)f(x)=ωφ(x)+b，其中ω為權(quán)值向量，b為常數(shù)?；诮Y(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則求解ω和b，尋優(yōu)過程等價(jià)于下式：

(15)

式中：C為懲罰因子；ξ為松弛變量。

對上述問題建立拉格朗日函數(shù)求解：

L(ω,b,ξ,α)=

(16)

式中：αi為拉格朗日乘子。根據(jù)KKT條件可求得：

(17)

消去ω和ξi，核函數(shù)K(x,xi)取為高斯徑向基函數(shù)(RBF)，通過求解方程組最終得到支持向量機(jī)的回歸方程，分別見式(18)、(19)。

(18)

(19)

1.5 組合預(yù)測模型

根據(jù)1.1～1.4的理論分析，基于小波理論的混凝土壩變形PCA-IPSO-SVM預(yù)測模型建模步驟如下，流程圖見圖1。

圖1 建模流程圖

(1)對混凝土壩變形監(jiān)測序列Y采用極大極小值的軟閾值法進(jìn)行去噪處理，記去噪后序列為Y1；

(2)根據(jù)影響大壩變形的水壓、溫度、時(shí)效三大主因素以及大壩安全監(jiān)控統(tǒng)計(jì)模型選取適當(dāng)?shù)挠绊懸蜃?，記為D1,D2,…,Dn；

(3)對(2)中選取的影響因子進(jìn)行主成分分析，并提取累計(jì)貢獻(xiàn)率大于85%的因子作為主成分，記為Z1,Z2,…,Zm；

(4)將主成分序列進(jìn)行歸一化處理，并相應(yīng)的劃分訓(xùn)練集和測試集。將主成分作為SVM的輸入量，將去噪后序列作為SVM輸出量；

(5)采用IPSO算法對SVM的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，求解最優(yōu)的C、σ值，并代回SVM中，完成模型訓(xùn)練；

(6)用訓(xùn)練好的模型對測試集進(jìn)行預(yù)測，并分析預(yù)測精度。

2 工程實(shí)例

某水電站由攔河大壩、壩后溢流式廠房、埋設(shè)于壩內(nèi)的輸水系統(tǒng)、泄水底孔及過木筏等組成，大壩類型為混凝土重力壩，壩頂高程280 m，最大壩高78 m，壩頂全長253 m，本文為分析其位移變化情況，選取該壩的9號(hào)壩段引張線測點(diǎn)EX7自2012年12月6日至2013年12月26日的監(jiān)測數(shù)據(jù)為樣本，樣本實(shí)測位移和上游水位過程線如圖2所示，其中以2012年12月6日至2013年12月6日的數(shù)據(jù)為訓(xùn)練集，以2013年12月7日至2013年12月26日的數(shù)據(jù)為測試集。

圖2 EX7測點(diǎn)實(shí)測位移及上游水位過程線

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

在實(shí)際位移的監(jiān)測過程中，由于噪聲等因素的影響，實(shí)測位移數(shù)據(jù)往往存在一定的偏差，從而影響建模分析，故對圖2中的實(shí)測位移運(yùn)用小波原理進(jìn)行去噪處理，以增加數(shù)據(jù)的真實(shí)度。首先，使用正則性較好的db4小波對原始監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，分解層數(shù)為4，分解之后的低頻序列和高頻序列見圖3，高頻序列為d1、d2、d3、d4，低頻序列為a4。從圖3中可以看出由于噪聲的存在使得高頻序列波動(dòng)較為劇烈，因此有必要采用軟閾值法進(jìn)行去噪處理。

圖3 小波分解過程線

然后通過調(diào)用matlab函數(shù)庫中的wnoisest函數(shù)，提取第一層的細(xì)節(jié)系數(shù)來估計(jì)噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差，通過“極大極小值閾值法”確定閾值，并采用全局閾值處理，即對近似系數(shù)不做處理而對細(xì)節(jié)系數(shù)進(jìn)行處理，最后將處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，得到去噪后的變形序列如圖4所示，由圖4可以看出去噪后的數(shù)據(jù)相對光滑，利于下文建模分析。

圖4 去噪前后數(shù)據(jù)過程線

2.2 建模分析

運(yùn)用SPSS對上述9個(gè)影響因子進(jìn)行主成分分析，得到其特征值及方差貢獻(xiàn)率如表1所示。

表1 影響因子貢獻(xiàn)率表

由表1可知，前4個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率為94.425%，可以反映原數(shù)據(jù)的大部分信息，故選擇前四個(gè)主成分作為模型的輸入向量，并得到前4個(gè)主成分的評(píng)分系數(shù)，如表2所示。由式(20)計(jì)算主成分，并將歸一化后的數(shù)據(jù)作為模型輸入變量。

表2 主成分評(píng)分系數(shù)

Fi=mi1Y1+mi2Y2+mi3Y3+mi4Y4+

mi5Y5+mi6Y6+mi7Y7+mi8Y8+Mi9Y9

(20)

式中：Fi為主成分(i=1,2,3,4)；Y1～Y9為變形影響因子；mi1～mi9為對應(yīng)的各主成分的評(píng)分系數(shù)。

基于選定的樣本數(shù)據(jù)，劃分訓(xùn)練集和測試機(jī)，并利用IPSO算法對SVM的參數(shù)C和σ進(jìn)行尋優(yōu)。設(shè)定粒子個(gè)數(shù)為20，種群迭代次數(shù)為200，C的范圍為[0.1,100]，σ的范圍為[0.01,10]，加速常數(shù)c1、c2為1.2，慣性權(quán)重采用式(14)的確定方式，適應(yīng)度函數(shù)為SVM輸出值與樣本實(shí)測值的均方誤差。

由圖5可以看出，IPSO-SVM模型的最佳適應(yīng)度要優(yōu)于未改進(jìn)模型的最佳適應(yīng)度，改進(jìn)后的最佳適應(yīng)度穩(wěn)定在0.013附近，此時(shí)C=38.398，σ=0.29。將劃分好的訓(xùn)練集主成分輸入到SVM中進(jìn)行學(xué)習(xí)，將測試集主成分輸入到已訓(xùn)練好的預(yù)報(bào)模型里，分別得到擬合和預(yù)測結(jié)果，并與單一SVM模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合和預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，各模型擬合和預(yù)測曲線見圖6、圖7。

圖5 改進(jìn)前后適應(yīng)度比較曲線

圖6 各模型擬合曲線

圖7 各模型預(yù)測曲線

根據(jù)預(yù)測結(jié)果，基于均方根誤差(RMSE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)和平均絕對誤差(MAE)三項(xiàng)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)定量比較各模型的預(yù)測精度，計(jì)算公式如下，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 各模型預(yù)測精度

(21)

(22)

(23)

從表3可以直觀發(fā)現(xiàn)，相比于單一的SVM模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，本文提出的PCA-IPSO-SVM模型的預(yù)測精度較高，三項(xiàng)誤差指標(biāo)均較小。由于影響混凝土壩變形的各個(gè)因素之前往往具有較強(qiáng)的非線性，因此本文提出的模型在混凝土壩變形預(yù)測方面有著較強(qiáng)的合理性和優(yōu)越性。

3 結(jié) 論

本文充分考慮實(shí)際中混凝土壩變形序列的非線性特征及含噪特性，基于復(fù)合建模思想將小波理論、粒子群算法、主成分分析和支持向量機(jī)應(yīng)用到大壩變形預(yù)測中，該方法在消除監(jiān)測噪聲影響的同時(shí)也降低了因子之間的關(guān)聯(lián)性對預(yù)測精度的影響，并采用IPSO算法對SVM的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，減少其陷入局部最優(yōu)的概率，提高了預(yù)測精度，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)方法數(shù)據(jù)分析量大、精度欠佳的缺點(diǎn)。工程實(shí)例表明，本文提出的方法能較好地進(jìn)行混凝土壩變形預(yù)測，相較于傳統(tǒng)的預(yù)測模型，具有更高的實(shí)用價(jià)值。