基于響應(yīng)面法的超壓艇結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

侯守武，王平安，成 琴

(1.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088;2.國(guó)家級(jí)工業(yè)設(shè)計(jì)中心(中電38所)，安徽 合肥 230088)

0 引言

平流層氣球駐空飛行在20 km以上的高空，晝夜溫差較大，使高空氣球氣壓變化超過(guò)1 000 Pa[1]，傳統(tǒng)的零壓球通過(guò)排氣和釋放壓艙物保持氣球升空高度，縮短了飛行時(shí)間，超壓氣球采用高強(qiáng)度的薄膜材料和封閉式的結(jié)構(gòu)，可以承受溫度升高引起的超壓，適用于高空長(zhǎng)航時(shí)環(huán)境。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)高空氣球的材料和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)開展了相關(guān)研究。Cutts等[2]使用特殊材料膜材料制作了正球形超壓氣球，正球形結(jié)構(gòu)的承壓能力取決于材料的強(qiáng)度性能；Barg等[3]建立了南瓜形超壓球結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型，分析了加強(qiáng)筋結(jié)構(gòu)對(duì)球體強(qiáng)度的影響；韋利軍等[4]利用Isight軟件對(duì)南瓜型高壓球的加筋結(jié)構(gòu)布局和尺寸進(jìn)行了優(yōu)化，并利用試驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證；程士軍等[5]分析了超壓氣球結(jié)構(gòu)的加強(qiáng)筋數(shù)量對(duì)結(jié)構(gòu)受力和變形的影響，加強(qiáng)筋數(shù)量增大后，蒙皮經(jīng)、緯向應(yīng)力值下降幅度達(dá)到64.4%；Saito等[6-7]提出了一種網(wǎng)狀加強(qiáng)形超壓氣球結(jié)構(gòu)，具有良好的承壓能力，但囊體外表面需鋪設(shè)較多繩索，可靠性較低；楊其等[8]采用等強(qiáng)度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則設(shè)計(jì)索網(wǎng)蒙皮結(jié)構(gòu)超壓氣球，提高了材料的利用效率。目前，學(xué)者主要集中在南瓜型和索網(wǎng)型超壓球結(jié)構(gòu)研究，橢圓形超壓艇結(jié)構(gòu)的加強(qiáng)筋間距、筋直徑、筋間瓣幅曲率半徑等設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)強(qiáng)度的影響，目前尚未見到相關(guān)研究。

本文以超壓飛艇為研究對(duì)象，以加強(qiáng)筋間距、加強(qiáng)筋直徑、加強(qiáng)筋間瓣幅曲率半徑3個(gè)參數(shù)為設(shè)計(jì)變量，利用Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)(BBD)，基于響應(yīng)面法建立囊體結(jié)構(gòu)應(yīng)力及加強(qiáng)筋質(zhì)量與3個(gè)參數(shù)的二次多項(xiàng)式函數(shù)，以囊體結(jié)構(gòu)應(yīng)力為優(yōu)化目標(biāo)，加強(qiáng)筋質(zhì)量為約束條件，構(gòu)建優(yōu)化確定合理的加強(qiáng)筋設(shè)計(jì)參數(shù)，為超壓艇的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供支撐。

1 超壓艇結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布特性

本文以壓差1 500 Pa狀態(tài)的 10萬(wàn) m3超壓艇為分析對(duì)象，基于有限元法分析超壓艇體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。有限元模型中，囊體和筋分別采用膜單元和truss單元建模。圖1給出了未加筋和加筋2種結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。

圖1 超壓艇結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

由圖1可知，未加筋結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力為143.2 MPa，位于艇體中間區(qū)域，布置加強(qiáng)筋后，加筋區(qū)間內(nèi)的應(yīng)力得到了顯著降低，加強(qiáng)筋外側(cè)靠近艇體兩端的區(qū)域應(yīng)力無(wú)變化。因此，艇體應(yīng)力較大的區(qū)域可以通過(guò)布置加強(qiáng)筋來(lái)降低。加強(qiáng)筋間艇體應(yīng)力分布主要表現(xiàn)為瓣幅中間區(qū)域和加強(qiáng)筋附近區(qū)域應(yīng)力較大，應(yīng)力大小與筋間距、筋直徑、瓣幅曲率密切相關(guān)。

2 超壓艇結(jié)構(gòu)優(yōu)化函數(shù)的建立

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)提取

超壓艇結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)包括加強(qiáng)筋間距、筋直徑、筋間瓣幅曲率半徑，共3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，分別記為x1、x2、x3?；贐ox-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，根據(jù)3因子3水平試驗(yàn)設(shè)計(jì)要求，共有13組試驗(yàn)點(diǎn)，試驗(yàn)點(diǎn)如圖2所示。

圖2 3因子3水平的BBD試驗(yàn)設(shè)計(jì)

考慮材料和工藝實(shí)施的可行性，本文選取的加強(qiáng)筋間距設(shè)計(jì)范圍為3～13 m，筋直徑設(shè)計(jì)范圍為16～32 mm，筋間瓣幅曲率半徑設(shè)計(jì)范圍為10～30 m，即設(shè)計(jì)參數(shù)x1∈[3,13]，x2∈[16,32]，x3∈[10,30]。表1給出了13組試驗(yàn)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果。

表1 不同結(jié)構(gòu)的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果

2.2 響應(yīng)面模型建立與誤差分析

基于BBD試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果，采用二次回歸方程擬合得到設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)響應(yīng)值之間的函數(shù)關(guān)系，建立響應(yīng)面模型。

利用響應(yīng)面法建立的數(shù)學(xué)模型為

(1)

則響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型為

(2)

在第i個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)x(i)處，響應(yīng)面模型y(x(i))與yi的絕對(duì)誤差為

(3)

則M個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)處的絕對(duì)誤差平方和為

(4)

利用最小二乘法，使響應(yīng)面模型y(x(i))與yi的絕對(duì)誤差平方和最小，可得基函數(shù)系數(shù)

a=(ΦTΦ)(-1)(ΦTy)

(5)

y=[y1,y2,…,yN]T，Φ由M個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)的基函數(shù)構(gòu)成

(6)

基函數(shù)系數(shù)代入響應(yīng)面模型，可確定響應(yīng)面模型數(shù)學(xué)表達(dá)式。

響應(yīng)面模型的優(yōu)劣決定了優(yōu)化結(jié)果的好壞，需要對(duì)響應(yīng)面模型的質(zhì)量進(jìn)行評(píng)價(jià)，分析回歸方程的精度和誤差。工程中常用復(fù)相關(guān)系數(shù)R2評(píng)價(jià)擬合程度，復(fù)相關(guān)系數(shù)表達(dá)式為

(7)

根據(jù)BBD試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的計(jì)算結(jié)果，綜合考慮中間艇瓣幅弧面和筋根部囊體結(jié)構(gòu)的應(yīng)力，取應(yīng)力平均值作為研究對(duì)象，基函數(shù)系數(shù)為a=[103.202,5.531,-0.460,-2.952,-0.060,-0.101,0.003,0.036,0.020,0.054]T，復(fù)相關(guān)系數(shù)為0.96，可以滿足工程分析。不同的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)超壓艇體應(yīng)力影響的曲面如圖3所示。

圖3 不同參數(shù)對(duì)應(yīng)力影響的曲面

2.3 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

超壓艇加筋結(jié)構(gòu)降低了艇體的應(yīng)力，但也增加了飛艇的重量，在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)將加強(qiáng)筋質(zhì)量作為約束條件來(lái)限制。

筋的質(zhì)量與筋的個(gè)數(shù)和直徑有關(guān)，而筋的個(gè)數(shù)與筋間距相關(guān)，因此筋的質(zhì)量的設(shè)計(jì)參數(shù)為筋間距和直徑。表2給出了加強(qiáng)筋間距L和筋直徑d變化時(shí)，超壓艇加強(qiáng)筋質(zhì)量與未加筋結(jié)構(gòu)質(zhì)量的比值。

表2 不同設(shè)計(jì)參數(shù)下加強(qiáng)筋質(zhì)量與未加筋結(jié)構(gòu)質(zhì)量比值

利用二元二次多項(xiàng)式擬合筋質(zhì)量與設(shè)計(jì)參數(shù)的響應(yīng)面模型，其表達(dá)式為

m(x)=-146.972-109.353x1+67.181x2-

(8)

筋間距和直徑與質(zhì)量比例的關(guān)系如圖4所示。隨著筋間距的減小和筋直徑的增加，附加質(zhì)量顯著增加，筋間距為3 m、筋直徑32 mm時(shí)，附加質(zhì)量已接近于未加筋結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。

圖4 筋間距和直徑與附加質(zhì)量比例的曲面

以囊體結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋間囊體結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度為優(yōu)化目標(biāo)，考慮結(jié)構(gòu)重量限制，構(gòu)建超壓艇結(jié)構(gòu)優(yōu)化響應(yīng)面數(shù)學(xué)模型為

(9)

y(x)為目標(biāo)函數(shù);xjl和xju分別是第j個(gè)設(shè)計(jì)變量的下限值和上限值;m(x)為加強(qiáng)筋質(zhì)量;m0為未加筋飛艇質(zhì)量;α為附加質(zhì)量比例系數(shù)的允許值。

3 超壓艇結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化

根據(jù)之前得到的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型，利用MATLAB軟件中的優(yōu)化函數(shù)對(duì)超壓艇結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。為考察加強(qiáng)筋質(zhì)量對(duì)提高強(qiáng)度的影響，表3給出了不同加強(qiáng)筋質(zhì)量下的最優(yōu)參數(shù)。

表3 不同允許附加質(zhì)量下的優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

由表3可知，加強(qiáng)筋間距、加強(qiáng)筋直徑、瓣幅曲率半徑3個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)表現(xiàn)為強(qiáng)相關(guān)性：隨著允許加筋質(zhì)量的增大，加強(qiáng)筋間距逐漸變小而收斂于設(shè)計(jì)變量下限，而加強(qiáng)筋直徑逐漸增大，瓣幅曲率半徑逐漸減??；隨著允許質(zhì)量的增加，筋間艇體結(jié)構(gòu)應(yīng)力逐漸減小，應(yīng)力降幅逐漸收斂到50%，允許的附加質(zhì)量比例系數(shù)為30%時(shí)，即可得到較好的應(yīng)力控制。

為驗(yàn)證優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)的有效性，根據(jù)優(yōu)化的加強(qiáng)筋間距、筋直徑和瓣幅曲率半徑，選取允許的附加質(zhì)量比例系數(shù)30%和50%分別進(jìn)行有限元驗(yàn)證分析，相應(yīng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)分別為(3.0 m，17.1 mm，14.7 m)和(3.0 m，22.3 mm，14.3 m)，加強(qiáng)筋間囊體結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布如圖5所示。

由圖5可知，當(dāng)允許增加的加強(qiáng)筋質(zhì)量比例系數(shù)為30%時(shí)，筋間囊體結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力為76.10 MPa，響應(yīng)面模型計(jì)算的應(yīng)力均值為75.02 MPa；質(zhì)量比例系數(shù)為50%時(shí)，筋間囊體結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力為71.60 MPa，響應(yīng)面模型計(jì)算的應(yīng)力均值為71.22 MPa?？梢?，本文提出的超壓艇結(jié)構(gòu)響應(yīng)面優(yōu)化模型具有較高的精度，適用于超壓艇結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

圖5 優(yōu)化的超壓艇結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋間囊體結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布

4 結(jié)束語(yǔ)

結(jié)合BBD法，建立加強(qiáng)超壓艇結(jié)構(gòu)的應(yīng)力響應(yīng)面模型，研究了加強(qiáng)筋間距L、筋直徑d和瓣幅曲率半徑R對(duì)超壓艇筋間囊體最大應(yīng)力區(qū)均值的影響，得到了預(yù)測(cè)度較好的二階模型；根據(jù)結(jié)構(gòu)加強(qiáng)筋質(zhì)量與加強(qiáng)筋間距L和筋直徑d的關(guān)系，建立加強(qiáng)筋質(zhì)量比例系數(shù)α與L和d的二階模型，并建立了超壓艇結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型；針對(duì)不同加強(qiáng)筋質(zhì)量比例系數(shù)，利用優(yōu)化模型對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，當(dāng)加筋質(zhì)量比例系數(shù)為30%時(shí)，可以獲得較優(yōu)的結(jié)果。