基于Copula-POT模型的條件VaR估計
——以洪災(zāi)風(fēng)險為例

巢 文， 錢曉濤

(1.福建工程學(xué)院 管理學(xué)院，福建 福州 350118；2.陽光學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，福建 福州 350015)

一、引 言

20世紀(jì)70年代以來，全球自然災(zāi)害頻繁發(fā)生，如2008年中國汶川大地震、2010年海地大地震、2011年日本地震并引發(fā)海嘯、2014年中國新疆和田大地震以及2016年中國南方特大洪水等，幾乎每年世界都會發(fā)生多起巨災(zāi)事件。這些巨災(zāi)事件給人類帶來了重大的人員傷亡和嚴(yán)重的經(jīng)濟損失。根據(jù)Sigma巨災(zāi)數(shù)據(jù)庫統(tǒng)計的1970年到2017年間全球巨災(zāi)數(shù)據(jù)(1)見網(wǎng)址：http://www.sigma-explorer.com/。可知，巨災(zāi)發(fā)生的年次數(shù)從1970年的100次，增加到2017年的301次，伴隨的經(jīng)濟損失從16.01億美元增長到337.29億美元。由此可見，巨災(zāi)發(fā)生的頻率與造成的經(jīng)濟損失呈現(xiàn)不斷增長的趨勢。作為世界上自然災(zāi)害最嚴(yán)重的國家之一，我國承受的巨災(zāi)風(fēng)險不斷加劇，保險業(yè)和政府部門的壓力變大，保險業(yè)越來越難以支付日益龐大的保險賠付，亟須對巨災(zāi)風(fēng)險進行管理。由于巨災(zāi)損失具有尖峰厚尾的特征，如何更準(zhǔn)確地刻畫實際的巨災(zāi)損失尾部特征，探尋更合適的分布形式，構(gòu)建一套科學(xué)有效的巨災(zāi)損失估計模型，對巨災(zāi)風(fēng)險的管理具有重大意義。

極值理論(Extreme Value Theory，EVT)能很好地衡量極端情況下的風(fēng)險損失，用極值理論估計風(fēng)險價值(value at risk，VaR)，不僅能有效地擬合金融資產(chǎn)尖峰厚尾特征[1-2]，而且該方法還有較好的統(tǒng)計特性，因此極值理論開始成為度量VaR的主流模型[3-4]。郝軍章和崔玉杰[5]采用極值理論中的POT模型，對地震風(fēng)險的VaR進行了度量。Copula函數(shù)可以描述多變量相關(guān)性的問題，在風(fēng)險管理、資產(chǎn)定價等方面都得到了廣泛的應(yīng)用。Ganguli 和Reddy[6]利用橢圓族Copula和阿基米德Copula研究印度在1900—2008年間的極端干旱風(fēng)險。She和Xia[7]利用Gumbel Copula刻畫中國黃土高原地區(qū)的干旱變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，并評估該地區(qū)潛在的干旱風(fēng)險。Joyce等[8]利用Copula研究揭示了沿海城市流域低洼地區(qū)的潛在洪水風(fēng)險與排水基礎(chǔ)設(shè)施彈性之間的耦合關(guān)系，以評估洪水災(zāi)害及其可能的驅(qū)動力。巢文和鄒輝文[9]利用藤Copula模型進行了巨災(zāi)風(fēng)險的CVaR預(yù)測研究。李明等[10]利用Clayton Copula函數(shù)對長春干旱數(shù)據(jù)，構(gòu)造了干旱歷時和干旱程度的聯(lián)合分布函數(shù)，進而計算了干旱歷時和干旱程度在不同組合條件下的聯(lián)合超越概率、聯(lián)合重現(xiàn)期、同現(xiàn)重現(xiàn)期及條件重現(xiàn)期。

目前，應(yīng)用Copula函數(shù)來研究災(zāi)害風(fēng)險的文獻往往忽視了損失變量的厚尾性。鑒于此，本文嘗試?yán)脴O值理論中的POT模型估計巨災(zāi)損失變量的邊緣分布，并用二元阿基米德Copula函數(shù)刻畫巨災(zāi)損失變量間的相關(guān)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建基于Copula-POT模型的巨災(zāi)損失評估模型，進而依此計算出巨災(zāi)損失的CVaR值。

二、模型構(gòu)建

利用Copula函數(shù)估算巨災(zāi)損失的CVaR值，需要解決兩個主要問題：一是選擇恰當(dāng)?shù)倪吘壏植紨M合巨災(zāi)損失變量；二是選擇合適的Copula函數(shù)對巨災(zāi)損失的相關(guān)特征進行刻畫，從而得出巨災(zāi)損失的聯(lián)合分布函數(shù)。

(一) 用POT模型構(gòu)建邊緣分布

極值理論根據(jù)尾部區(qū)域行為提供了兩種方式刻畫觀測數(shù)據(jù)的極值行為，一種是在給定區(qū)域內(nèi)選最大值，稱為塊最值法(Block Maxima Method，BMM)，另一種是選取超過門限水平的值，稱為超閾值法(Peaks over Threshold，POT)。由于BMM在建模過程中只取模塊中的最大值，而極值數(shù)據(jù)可能成串出現(xiàn)，這會造成大量有效數(shù)據(jù)信息丟失。為了更充分地利用數(shù)據(jù)信息，本文采用極值理論中的POT模型。POT模型最早是由Pickands[11]在極值理論的框架下引入的，POT模型將所有超出給定充分閾值的觀測值作為觀測樣本，研究觀測樣本大于閾值的漸進分布，該漸進分布稱為廣義帕累托分布(GPD)。

對于一個具有相同分布函數(shù)F(x)的n個獨立同分布的隨機變量X1,X2, …,Xn給定一個閾值u，若Xi>u，則稱它為超閾值(exceedance)，將Xi-u稱為超出量(excess)。不難得到：

Fu(y)=P(X-u≤yX>u),y≥0

(1)

由數(shù)理統(tǒng)計知識和條件概率公式推導(dǎo)，可得用閾值u和Fu(y)表示的分布函數(shù)F(x)的表達式如下：

從而：

F(x)=[1-F(u)]Fu(x-u)+F(u),x≥u

(2)

Pickands-Balkama-de Hann(簡稱PBdH)定理[12]：當(dāng)u足夠大時，F(xiàn)u(x-u)可以用廣義帕累托分布來近似。

(3)

式中，ξ和σ分別是形狀(shape)參數(shù)和尺度(scale)參數(shù)。如果ξ>0，則分布具有厚尾性。

考慮對F(u)的一個合理的經(jīng)驗估計是(n-Nu)/n，其中n是樣本總數(shù)，Nu為超出閾值的樣本數(shù)，代入(2)式中，就得到厚尾分布在整個分布中的表達式：

化簡可得：

(4)

(二) Copula函數(shù)的選擇

Copula函數(shù)將聯(lián)合分布函數(shù)和各自的邊緣分布函數(shù)連接在一起，因此也稱為連接函數(shù)，它通常用于探究隨機變量之間的非線性關(guān)系。常見的Copula函數(shù)主要包括橢圓Copula函數(shù)和阿基米德Copula函數(shù)兩大類。根據(jù)已有的研究可知，阿基米德Copula函數(shù)比其他類型的Copula函數(shù)在擬合尖峰厚尾的數(shù)據(jù)方面更具優(yōu)勢[13-14]。由于巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)具有明顯的尖峰厚尾特征，因此，本文選用阿基米德Copula函數(shù)來刻畫巨災(zāi)損失變量之間的相關(guān)關(guān)系，其函數(shù)表達式為：

C(u1,u2,…,un)=φ-1(φ(u1)+φ(u2)+…+φ(un))

式中φ(·)是阿基米德 Copula函數(shù)的生成元，不同的生成元對應(yīng)不同的Copula函數(shù)。常見的阿基米德Copula函數(shù)有Gumbel、Clayton和Frank Copula函數(shù)。如何從已有的Copula函數(shù)集合中選出最能準(zhǔn)確刻畫變量間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)，這需要對Copula函數(shù)進行檢驗和擬合度評價。選擇的方法可以分為圖形法和解析法兩種，圖形法常用的是Q-Q圖法，而解析法里最常見的是KS檢驗、AD檢驗。本文將綜合這兩種方法從常用的三種阿基米德Copula函數(shù)中選出擬合效果最好的一種。

(三)CVaR的計算

VaR是指在金融市場正常波動下，某一金融資產(chǎn)或證券組合在未來一段時間內(nèi)，在給定的概率水平下發(fā)生的最大可能損失。在保險中VaR可理解為在給定置信水平p下，某風(fēng)險產(chǎn)品可能的最大索賠額。從概率的角度來看，VaR是指在一定的持有期和置信水平下，投資組合損失函數(shù)的分布函數(shù)的分位點。VaR定義的數(shù)學(xué)表達式為：

VaRα=inf{l∈R∶p(L>l)≤1-α}=inf{l∈R∶FL(l)≥α}

VaRp=inf{l∈R∶p(X>l)≤p}

CVaR是條件VaR的值，設(shè)X、Y表示巨災(zāi)的兩個損失變量，在Y=y的條件下，X的條件分布函數(shù)為F(xY=y)，則置信水平為p的CVaR可如下定義：

CVaRp=F-1(pY=y)

式中F-1(·Y=y)為F(·Y=y)的反函數(shù)。由定義可知CVaR實際上就是條件分位點的值，它的含義是當(dāng)解釋變量Y=y時，在給定的置信水平下，另一損失變量X可能的最大損失值。

(四)基于阿基米德Copula函數(shù)的CVaR估計

當(dāng)損失變量X、Y之間的相關(guān)關(guān)系由阿基米德Copula函數(shù)來刻畫時，根據(jù)阿基米德Copula函數(shù)的定義，X、Y的聯(lián)合分布函數(shù)為：

F(x,y)=C(FX(x),FY(y))=φ-1φ(FX(x))+φ(FY(y))

式中，F(xiàn)X(x)和FY(y)分別為X、Y的邊緣分布函數(shù)；φ(·)為阿基米德Copula函數(shù)的生成元；φ-1(·)為φ(·)的反函數(shù)。

在Y=y的條件下，X的分布函數(shù)可以如下求出：

(5)

(1)當(dāng)阿基米德Copula為Gumbel Copula時，由于

所以

代入(5)式，得

(6)

其中，A=(-lnFX(x))θ+(-lnFY(y))θ。

(2)當(dāng)阿基米德Copula為Clayton Copula時，由于

CCL(u,v)=(u-θ+v-θ-1)-1/θ

所以

F(x,y)=((FX(x))-θ+(FY(y))-θ-1)-1/θ

代入(5)式，得

F(xy)=(FX(x))-θ+(FY(y))-θ-1)-(1+θ)/θ(FY(y))-θ-1

(3)當(dāng)阿基米德Copula為Frank Copula時，由于

所以

代入(5)式，得

得到條件分布函數(shù)F(xy)的表達式后，根據(jù)Clayton Copula和Frank Copula的情況，顯然可以求出F(xy)的反函數(shù)的解析解，進而就可以得到CVaR的值；而對于Gumbel Copula，由于其條件分布函數(shù)的反函數(shù)無法求出解析解，只能采用數(shù)值方法求其數(shù)值解。具體做法如下：記X的歷史數(shù)據(jù)最小值為Xmin，最大值為Xmax；取足夠大的正整數(shù)N，將區(qū)間[Xmin，Xmax]分為N個小區(qū)間，得到N+1個分點x(0)，x(1),…，x(N)，再利用(6)式得到F(xy)在各個分點處的值，最后根據(jù)下式計算：

三、實證分析

(一) 數(shù)據(jù)說明及統(tǒng)計特征描述

本文的數(shù)據(jù)來源于達特茅斯學(xué)院洪水氣象臺提供的全球洪水檔案(2)見網(wǎng)址：http://www.dartmouth.edu/～floods/Archives/index.html。。這個數(shù)據(jù)庫記載了1985年以來全球發(fā)生的4 000多件洪水事件，詳細(xì)記錄了每次洪水發(fā)生的時間、地點等多項指標(biāo)。本文選取1985—2010年洪災(zāi)造成的經(jīng)濟損失(3)本文中的經(jīng)濟損失是指洪災(zāi)造成的直接經(jīng)濟損失。事實上，巨災(zāi)間接經(jīng)濟損失與直接經(jīng)濟損失相比，在時間上有個滯后期，它的評估方法需要根據(jù)具體的損失對象加以確定，暫時還沒有統(tǒng)一的方法和規(guī)范。因此，目前相關(guān)研究一般都是采用直接經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)。和受災(zāi)面積數(shù)據(jù)作為研究樣本。由于損失數(shù)據(jù)單位為美元且時間跨度大，因此采用美國勞工部發(fā)布的CPI指數(shù)，將所有經(jīng)濟損失都調(diào)整到2010年的物價水平，以消除通貨膨脹帶來的影響。然后，提取有經(jīng)濟損失記錄且損失超過100萬美元的數(shù)據(jù)，共計872條。

在構(gòu)建POT模型之前，需要對洪水經(jīng)濟損失和受災(zāi)面積數(shù)據(jù)進行厚尾分布檢驗。從圖1和圖2中可以很明顯看出，指數(shù)Q-Q圖的尾部行為呈現(xiàn)上凸形狀。這表明損失數(shù)據(jù)存在明顯的“厚尾”特征。表1列出了經(jīng)濟損失和受災(zāi)面積的描述性統(tǒng)計量，兩個指標(biāo)的峰度值分別為386.3和29.675，均大于3，因此可以判定洪水的經(jīng)濟損失和受災(zāi)面積數(shù)據(jù)具備厚尾特征，可以采用POT模型對邊緣分布建模。

圖1 經(jīng)濟損失的指數(shù)Q-Q圖 圖2 受災(zāi)面積的指數(shù)Q-Q圖

指標(biāo)觀測個數(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差最小值最大值偏度峰度經(jīng)濟損失(百萬美元)8721303119101.128191618.4386.3受災(zāi)面積(百平方千米)87213.57926.1520.001285.6614.69329.675

(二)閾值選取與極值分布參數(shù)估計

如前所述，用GPD擬合Fu(x-u)要求有充分大的閾值。閾值的選擇非常重要，不能過高也不能過低，需要權(quán)衡模型的方差和系統(tǒng)偏差。閾值過高會導(dǎo)致超過閾值的數(shù)據(jù)量較少，從而導(dǎo)致參數(shù)估計值方差很大；閾值過低則不能保證極值分布的收斂性，造成估計系統(tǒng)偏差很大。

目前閾值的選取有很多種方法，不同的方法得到的閾值存在較大的差異，并不存在十分精確有效的閾值確定方法。在實際應(yīng)用中，常利用樣本的平均剩余壽命圖法和Hill圖法[15]來選擇閾值，本文擬采用Hill圖法進行判斷。

根據(jù)Hill圖的選擇標(biāo)準(zhǔn)，選取Hill圖呈平穩(wěn)的起始點的橫坐標(biāo)所對應(yīng)的樣本點作為閾值。如經(jīng)濟損失的Hill圖，如圖3所示，在橫坐標(biāo)的次序值k≈135之前圖形為曲線，波動較大；在次序值k≈165之后圖形趨于穩(wěn)定，則閾值應(yīng)該取次序值k在135到165之間的u值。但由于k=165時，超過閾值的樣本數(shù)據(jù)太多，此時雖然可觀測的樣本觀察值變多，可以增加估計的精度，然而超出量Yi=Xi-u可能已經(jīng)不再服從GPD分布。因此，選次序值k=135所對應(yīng)的u值即720作為閾值。為了進一步判斷是否合適，可以再做更細(xì)致的檢查。具體而言，先選出一系列閾值，然后應(yīng)用最大似然估計法得到每個閾值的參數(shù)估計值；如果在所選閾值的附近，所得到的參數(shù)估計值變化穩(wěn)定，那就說明所選閾值是合適的。而后再進行經(jīng)濟損失的形狀參數(shù)ξ和尺度參數(shù)σ的檢驗，如圖4所示。結(jié)果表明，ξ和σ在u=720附近各圖形是穩(wěn)定的，同時進一步證明閾值選取的合理性。同樣的方法，根據(jù)圖5和圖6可判斷受災(zāi)面積的閾值為u=20。

圖3 經(jīng)濟損失的Hill圖

圖4 經(jīng)濟損失數(shù)據(jù)關(guān)于不同閾值的參數(shù)估計

圖5 受災(zāi)面積的Hill圖

圖6 受災(zāi)面積數(shù)據(jù)關(guān)于不同閾值的參數(shù)估計

當(dāng)經(jīng)濟損失和受災(zāi)面積的最優(yōu)閾值u確定以后，可以利用最大似然估計法得到參數(shù)ξ和σ的估計值。具體來說，根據(jù)(3)式，可以得到GPD的概率密度函數(shù)：

(7)

相應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)為：

(8)

對該似然函數(shù)求極大值，便可得到參數(shù)ξ和σ的估計量。POT模型參數(shù)估計表如表2所示：

表2 POT模型參數(shù)估計表

利用估計結(jié)果，我們可以進一步得到擬合分布的診斷圖。經(jīng)濟損失閾值超出量分析的診斷圖和受災(zāi)面積閾值超出量分析的診斷圖分別如圖7和圖8所示。

圖7 經(jīng)濟損失閾值超出量的診斷圖

圖8 受災(zāi)面積閾值超出量的診斷圖

以經(jīng)濟損失閾值超出量分析的診斷圖為例進行分析。在圖7中，經(jīng)濟損失P-P圖(probability plot)的所有點近似在一條直線上；Q-Q圖(quantile plot)除了幾個異常經(jīng)濟損失外，所有的點也基本都在一條直線上。從重現(xiàn)水平圖(return level plot)看，所有的樣本數(shù)據(jù)都落在指定分布的置信區(qū)間內(nèi)部。另外，由于損失數(shù)據(jù)未做對數(shù)化處理，數(shù)量級上存在較大差異，因此密度曲線(density plot)的估計圖與直方圖的吻合效果不佳。用同樣的方法對受災(zāi)面積閾值超出量分析的診斷圖進行分析，也證明了運用POT模型及GPD分布擬合是合理的。

(三)Copula函數(shù)的參數(shù)估計及擬合檢驗

將前面得到的閾值以及估計出的參數(shù)值代入GPD分布函數(shù)中，再由(4)式，得到尾估計，低于閾值的部分用經(jīng)驗分布。由于Copula函數(shù)的定義域是(0,1)，因此，經(jīng)過概率積分變換得到〔0，1〕上的分布序列{Vi，Wi}。再將序列{Vi，Wi}當(dāng)作Copula的觀測值，對各Copula函數(shù)中的參數(shù)進行最大似然估計。由于不同的Copula函數(shù)所描述的是不一樣的相關(guān)關(guān)系，因此針對所研究隨機變量間的相關(guān)關(guān)系，如何選出最合適的Copula函數(shù)是非常重要的。為此，采用KS檢驗和AD檢驗對各Copula函數(shù)進行顯著性檢驗。Copula函數(shù)的參數(shù)估計與KS、AD檢驗結(jié)果如表3所示，三種Copula函數(shù)都可以通過這兩種檢驗，但Gumbel Copula函數(shù)的p值在這兩種檢驗法下都是最大的，因此采用Gumbel Copula函數(shù)來描述變量間相關(guān)關(guān)系最為合適。

表3 Copula函數(shù)的參數(shù)估計與KS、AD檢驗結(jié)果

再采用Q-Q圖法，可以從圖9直觀地看到，Gumbel Copula擬合效果很好。

圖9 Gumbel Copula的Q-Q圖

通過Gumbel Copula函數(shù)的相依結(jié)構(gòu)，進而就可以得到損失變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù):

(9)

(四)CVaR的敏感度分析與模型檢驗

在已知損失變量Y=y的條件下，由前面得到的Gumbel Copula的條件分布函數(shù)，考察不同置信水平時的CVaR取值：

其中，A=(-lnFX(x))1.2109+(-lnFY(y))1.2109。 由于該條件分布函數(shù)的反函數(shù)無解析解，因此使用數(shù)值方法求CVaR。當(dāng)受災(zāi)面積取歷史數(shù)據(jù)的75%分位點(即y=13.247 6)時，不同置信水平下的CVaR值如表4所示。

表4 y=13.247 6時，不同置信水平下的CVaR值

表4說明當(dāng)受災(zāi)面積y=13.247 6時，發(fā)生一次洪災(zāi)時經(jīng)濟損失不超過395.8百萬美元的概率是75%，不高于1 354.4百萬美元的概率是90%，不超過10 996.9百萬美元的概率是99%。

為了對CVaR的變化情況有更直觀的了解，將CVaR值繪圖，如圖10所示?？梢钥闯?，隨著置信水平的提高，CVaR開始階段緩慢增長，但是隨著置信水平的進一步提升，CVaR呈現(xiàn)出指數(shù)級增長，尤其在置信水平0.97附近，CVaR出現(xiàn)跳躍，說明在此時CVaR對置信水平的變化極為敏感。這是由于巨災(zāi)損失具有厚尾特征，因此當(dāng)置信水平很高時，即使很小的置信水平變化，也會使相應(yīng)置信水平下的巨災(zāi)可能最大損失變化非常大。對于這個區(qū)間的巨額損失，保險公司的風(fēng)險管理模式除了通過巨災(zāi)債券市場轉(zhuǎn)移，還可以通過成立巨災(zāi)保險基金等方式，將巨災(zāi)風(fēng)險轉(zhuǎn)移到資本市場。

考察不同條件y時，CVaR值的變化情況。當(dāng)置信水平p=0.75，分別在Copula參數(shù)θ=1.210 9和θ=1.410 9情況下，計算受災(zāi)面積y在8～20范圍內(nèi)的CVaR取值。從圖11可以看出，CVaR值隨著y的增大而增大，并且CVaR值和y表現(xiàn)出一定的線性關(guān)系。也就是說，如果受災(zāi)面積越大，那么洪災(zāi)造成的經(jīng)濟損失也就越大，這與現(xiàn)實經(jīng)驗是相符的。另外，從圖11還可以看到，相較于θ=1.210 9，當(dāng)θ=1.410 9時所對應(yīng)的直線斜率更大，即變量間關(guān)系越緊密時，CVaR對y的變化越敏感。

與上面類似的方法，還可以考察在給定經(jīng)濟損失變量X=x的條件下，關(guān)于變量Y的CVaR敏感度分析。由于結(jié)果相似，這里不再列出。

圖10 不同置信水平下的CVaR值 圖11 不同受災(zāi)面積下的CVaR值

為凸顯本文所建模型的優(yōu)越性，以已有的洪水巨災(zāi)損失估計POT模型[16]和常用損失擬合分布正態(tài)-Copula模型、對數(shù)正態(tài)-Copula模型作為比較對象。以前述Gumbel Copula的參數(shù)估計結(jié)果為基礎(chǔ)，利用R軟件隨機產(chǎn)生1 000組損失隨機數(shù)用于模型的檢驗。表5列出了幾種模型在90%、95%和99%置信水平下的CVaR估計結(jié)果。如表5可知：(1)POT-Copula模型的估計結(jié)果在三個不同置信水平下要比POT模型更接近失敗次數(shù)的期望值。這說明綜合考慮多種洪水巨災(zāi)損失風(fēng)險，在一定受災(zāi)面積條件下給出的經(jīng)濟損失風(fēng)險度量值，可以充分利用洪災(zāi)損失信息，從而有效地改進已有的洪水巨災(zāi)經(jīng)濟損失估計模型，但這對政府建立的巨災(zāi)損失數(shù)據(jù)庫的準(zhǔn)確性和全面性提出了更高的要求，才能保證模型估計的準(zhǔn)確性。(2)正態(tài)-Copula模型則在三個置信水平下都低估了巨災(zāi)風(fēng)險，所得到的CVaR估計失敗次數(shù)明顯超過期望失敗次數(shù)；對數(shù)正態(tài)-Copula模型在較低的置信水平下與POT-Copula模型的估計效果無顯著差異，但在較高置信水平下的估計效果則明顯不如POT-Copula模型。這表明巨災(zāi)損失厚尾特征的準(zhǔn)確刻畫是估計巨災(zāi)損失的關(guān)鍵，而本文使用的POT模型對巨災(zāi)損失邊緣分布的擬合效果要優(yōu)于常用損失分布。

表5 不同模型CVaR估計結(jié)果比較

四、結(jié) 語

巨災(zāi)事件發(fā)生次數(shù)少，但損失巨大，具有明顯的尖峰厚尾特征，因此巨災(zāi)損失較一般風(fēng)險難以估計。本文采用極值理論中的POT模型擬合了洪水經(jīng)濟損失和受災(zāi)面積的邊緣分布，并利用二元阿基米德Copula函數(shù)刻畫了巨災(zāi)損失變量之間的相依結(jié)構(gòu)，從而得到巨災(zāi)損失的CVaR值。利用KS檢驗和AD檢驗從常用阿基米德Copula函數(shù)中進行擬合優(yōu)度檢驗，結(jié)果表明Gumbel Copula擬合效果很好，可以很好地反映兩者在極端情況下的相依結(jié)構(gòu)。最后，利用數(shù)值方法計算出CVaR值并進行了敏感度分析，結(jié)果表明Copula函數(shù)的參數(shù)對CVaR的影響是十分顯著的，相關(guān)系數(shù)越大，CVaR越敏感。這驗證了本文利用Copula模型刻畫巨災(zāi)變量間相關(guān)關(guān)系的必要性。

在進行巨災(zāi)衍生品定價時，有必要充分考慮巨災(zāi)損失變量之間的相關(guān)性，尤其在設(shè)定損失變量觸發(fā)水平時，這樣可以使巨災(zāi)衍生品定價更加貼合市場實際，滿足投資者的需求，推動巨災(zāi)衍生品市場的發(fā)展。