小跨高比RC開口梁彈性扭轉(zhuǎn)性能計(jì)算方法

陳圣剛 ，謝 群，郭全全，刁 波，葉英華

(1.濟(jì)南大學(xué) 土木建筑學(xué)院，濟(jì)南 250022；2.北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191)

基于開口薄壁結(jié)構(gòu)輕盈美觀、強(qiáng)度較高的優(yōu)點(diǎn)，該類結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于城市軌道交通工程、橋梁工程及航空航天等領(lǐng)域中.忽略剪切變形影響的傳統(tǒng)扭轉(zhuǎn)計(jì)算理論在計(jì)算短跨開口構(gòu)件或者非彈性扭轉(zhuǎn)性能時(shí)總存在較大的偏差，因此剪切變形的影響在分析開口薄壁構(gòu)件扭轉(zhuǎn)性能時(shí)應(yīng)引起足夠的重視.

1910年，文獻(xiàn)[1]首先致力于研究開口薄壁構(gòu)件的約束扭轉(zhuǎn)性能，并以工字鋼為例進(jìn)行了計(jì)算分析.文獻(xiàn)[2-3]在前人研究成果的基礎(chǔ)上，采用一套新的主扇性坐標(biāo)系，推導(dǎo)了約束扭轉(zhuǎn)的變形、作用力表達(dá)公式，同時(shí)利用扭矩的平衡微分方程，獲得了開口薄壁結(jié)構(gòu)復(fù)合扭轉(zhuǎn)的彈性解，建立最經(jīng)典的開口薄壁結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)理論，又稱為Vlasov理論.隨后，文獻(xiàn)[4]對(duì)Vlasov理論進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié)、拓展和完善.基于Vlasov理論，文獻(xiàn)[5-6]發(fā)展了新的扭轉(zhuǎn)理論并應(yīng)用于復(fù)合材料開口截面扭轉(zhuǎn)性能研究，文獻(xiàn)[7]探究開口薄壁構(gòu)件的彎扭復(fù)合受力，文獻(xiàn)[8-9]探究曲線開口梁的扭轉(zhuǎn)性能等.

Vlasov理論在推導(dǎo)過(guò)程中采用了中面無(wú)剪切變形的假定，其計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果不可避免地存在偏差.文獻(xiàn)[10-11]表明，在開口薄壁短梁或者閉口截面薄壁梁的約束扭轉(zhuǎn)中，翹曲扭矩的剪切作用的影響不能忽略.同時(shí)，文獻(xiàn)[12-14]提出中面剪切變形對(duì)鋼筋混凝土U形薄壁梁的扭轉(zhuǎn)性能的影響不能忽略，尤其是混凝土開裂后的非線性扭轉(zhuǎn)階段.近年來(lái)，探究剪切變形對(duì)開口薄壁結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)性能的影響已成為一大研究熱點(diǎn).文獻(xiàn)[15]假定中面的剪應(yīng)力沿截面長(zhǎng)度方向的變化率為定值，通過(guò)推導(dǎo)獲得了考慮剪切作用的開口薄壁梁扭轉(zhuǎn)的近似解.文獻(xiàn)[16]從能量的角度，利用余能駐值原理建立了考慮剪切效應(yīng)的翹曲彎矩的微分方程和相容條件，針對(duì)預(yù)設(shè)的不同應(yīng)力場(chǎng)，可得該應(yīng)力場(chǎng)下解析解.利用翹曲扭轉(zhuǎn)與梁的二次彎曲理論的相似性，文獻(xiàn)[17-18]將考慮剪切作用的翹曲扭轉(zhuǎn)類比于梁的二次彎曲理論，直接建立剛度矩陣，但是該過(guò)程缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo).

目前，考慮中面剪切變形的扭轉(zhuǎn)計(jì)算理論研究仍處于起步階段，尚沒(méi)有系統(tǒng)成熟的理論來(lái)解決該問(wèn)題.本文以Vlasov扭轉(zhuǎn)理論為基礎(chǔ)，通過(guò)設(shè)定截面中線的剪應(yīng)變?chǔ)脄s(γzs≠0)，推導(dǎo)了考慮剪切作用的平衡微分方程，并利用初參數(shù)法，獲得了變形及作用力關(guān)于初始參量的表達(dá)式.此外，針對(duì)U形薄壁梁的算例，將本文扭轉(zhuǎn)理論的計(jì)算值與經(jīng)典的Vlasov理論進(jìn)行了對(duì)比.

1 考慮剪切變形的開口構(gòu)件扭轉(zhuǎn)計(jì)算公式的推導(dǎo)

1.1 中面剪切變形的引入

圖1給出了微元dsdz剪切變形前(實(shí)線)、后(虛線)的示意圖.z為開口構(gòu)件的縱向坐標(biāo)軸，s為開口構(gòu)件橫向截面的曲線坐標(biāo)軸，兩者所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)分別為w和r.微元的剪切變形大小為

(1)

圖1 微元的剪切變形

Vlasov理論做出兩個(gè)基本假設(shè)：1)剛周邊；2)中面無(wú)剪切變形，即γzs=0.顯然，Vlasov理論只考慮了單元整體扭轉(zhuǎn)所引起的轉(zhuǎn)角，見(jiàn)圖2(a)，而忽略了圖2(b)中剪切變形所引起的另一部分扭轉(zhuǎn)角.

圖2 兩類扭轉(zhuǎn)角的成因

本文摒棄中面無(wú)剪切變形假定，即認(rèn)為開口構(gòu)件截面中線的剪切變形作用γzs≠0.假設(shè)截面中線剪切變形γzs所引起的扭轉(zhuǎn)角表示為θc.圖3可知，γzs與θc之間的關(guān)系為

(2)

式中ρ(s)為扭轉(zhuǎn)中心P到點(diǎn)M處切線的距離.

在純扭矩作用下，繞扭轉(zhuǎn)中心P點(diǎn)的總扭轉(zhuǎn)角θ(z)所對(duì)應(yīng)的沿s方向的切線位移r(s,z)可表達(dá)為

r(s,z)=ρ(s)θ(z).

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)可得曲線位移w的偏分：

(4)

圖3 中面剪應(yīng)變形所引起的扭轉(zhuǎn)角

1.2 翹曲扭轉(zhuǎn)應(yīng)力計(jì)算

假設(shè)構(gòu)件的彈性模量為E，則沿構(gòu)件縱向的翹曲正應(yīng)力表達(dá)式為

σM=E[w′0-θ″w(z)Ω(s)].

(5)

扇性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為主扇性坐標(biāo)，式(5)轉(zhuǎn)換為

σM=-Eθ″w(z)ω(s),

(6)

式中ω(s)為截面的主扇性面積坐標(biāo).

由微元dsdz在z軸方向的應(yīng)力平衡條件

(7)

式中τM為翹曲剪應(yīng)力，t為截面厚度.

將式(6)代入式(7)可得翹曲剪應(yīng)力τM的表達(dá)式為

τM=Eθ?w(z)Sω(s)/t,

(8)

1.3 翹曲扭矩及翹曲彎矩

由翹曲扭矩的定義可知

(9)

將式(8)代入式(9)可得翹曲扭矩的另一表達(dá)方式為

TM=-EIωθ?w,

(10)

聯(lián)立式(8)和式(10)建立TM與τM的關(guān)系式為

(11)

同理，翹曲彎矩的計(jì)算公式為

(12)

翹曲彎矩與翹曲正應(yīng)力的關(guān)系為

(13)

2 相容條件

本文涉及3個(gè)扭轉(zhuǎn)角，即總扭轉(zhuǎn)角θ、剪切變形引起的扭轉(zhuǎn)角θc以及整體扭轉(zhuǎn)引起的扭轉(zhuǎn)角θw，三者存在關(guān)系：

θ′=θ′w+θ′c.

(14)

采用虛功原理，由外虛功等于內(nèi)虛功可知

(15)

式(15)等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)z求導(dǎo)得

(16)

將式(10)代入式(16)建立θc與θw的關(guān)系式：

(17)

將式(17)代入式(14)可建立θ與θw的關(guān)系式：

(18)

3 扭轉(zhuǎn)平衡微分方程的建立及求解

3.1 扭矩平衡微分方程的建立

引入式(16)，扭轉(zhuǎn)角協(xié)調(diào)方程式(14)可轉(zhuǎn)化為

(19)

由外扭矩T由翹曲扭矩TM和自由扭矩Tc共同抵抗可知

T=TM+Tc.

(20)

等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)z求導(dǎo)，式(20)轉(zhuǎn)換為

T′M=T′-T′c.

(21)

由圣維南原理可知自由扭矩的計(jì)算公式為

Tc=(GK)θ′,

(22)

式中GK為自由扭轉(zhuǎn)剛度.

聯(lián)立式(21)、(22)和式(19)建立關(guān)系式：

(23)

式中：T′(z)為作用外荷載的一階導(dǎo)數(shù)，對(duì)于集中扭矩作用T′(z)=0，對(duì)于均布扭矩q作用，T′(z)=-q.

等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)z求導(dǎo)，且考慮到TM=B′M，式(23)可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

(24)

對(duì)式(24)再次求導(dǎo)，同時(shí)引入式(21)、(22)，可得通過(guò)θ表達(dá)的平衡微分方程式：

(25)

為方便扭矩平衡微分方程的求解，式(25)可轉(zhuǎn)換為以θw為變量的平衡微分方程：

(26)

3.2 扭矩平衡微分方程的求解

四階平衡微分方程(26)采用初參數(shù)法求解.方程的解包括兩部分：通解和特解.本文就通解的計(jì)算過(guò)程詳述如下：

通解所對(duì)應(yīng)的齊次方程為

(27)

方程(27)的解可采用雙曲函數(shù)表示為

θw=C1+C2z+C3sinh(χωz)+C4cosh(χωz),

(28)

式中C1、C2、C3、C4為常系數(shù).

聯(lián)立式(10)、(12)、(18)、(20)和式(28)，可得轉(zhuǎn)角及各作用力：

(29)

該構(gòu)件的初始參數(shù)，即邊界約束截面處的初始力學(xué)狀態(tài)參數(shù)θ0、θw0、θ′w0、BM0和T0可通過(guò)構(gòu)件的邊界條件獲得，不同邊界條件所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值見(jiàn)表 1.將初始參數(shù)代入式(29)，常系數(shù)可由式(30)算得.

(30)

將式(30)代入式(29)可知，四階平衡微分方程的通解為：

(31)

表1 不同邊界條件所對(duì)應(yīng)的初始參數(shù)

4 算例應(yīng)用

針對(duì)文獻(xiàn)[12, 14]中U型試驗(yàn)梁進(jìn)行算例分析.該U型梁邊界條件為兩端固結(jié)，跨中截面承受集中扭矩T=10 kN·m，截面幾何尺寸見(jiàn)圖4，混凝土的彈性模量為3.607×104MPa.梁跨度分別取為：1)l1=6.65 m；2)l2=3.325 m.分別采用本文計(jì)算方法，Vlasov理論和有限元分析計(jì)算.其中，有限元分析采用 ABAQUS軟件建模，混凝土采用C3D8R實(shí)體單元，單元長(zhǎng)度0.01 m.限制端部截面的6個(gè)自由度以模擬完全固支的邊界條件.梁跨中施加大小相等方向相反的集中力以模擬跨中扭矩的作用.有限元模型見(jiàn)圖5.

將本文計(jì)算方法、Vlasov理論及有限元模擬3種方法的計(jì)算結(jié)果匯總，從U型梁的扭轉(zhuǎn)角及內(nèi)力兩個(gè)方面進(jìn)行對(duì)比分析.

4.1 剪切變形對(duì)扭轉(zhuǎn)角的影響

圖6給為不同跨度(6.65 m和3.325 m)的U型梁沿梁長(zhǎng)方向(Z向)各截面的扭轉(zhuǎn)角變化曲線，包括本文計(jì)算方法、Vlasov理論、有限元模擬和試驗(yàn)結(jié)果得到的曲線.由圖6(a)可知，6.65 m跨U型梁不同截面扭轉(zhuǎn)角的試驗(yàn)值和有限元模擬結(jié)果擬合良好.由表 2可知，3個(gè)不同截面的扭轉(zhuǎn)角的有限元模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的誤差分別為0%、1.75%和1.32%，平均誤差為1.02%，說(shuō)明有限元模擬結(jié)果可以可靠有效的預(yù)測(cè)U型梁的扭轉(zhuǎn)性能，因此，有限元軟件多參數(shù)分析結(jié)果具有科學(xué)性和可靠性.

圖4 U型梁截面尺寸(m)

圖5 U型梁的有限元模型

表2 不同截面扭轉(zhuǎn)角的試驗(yàn)結(jié)果與有限元模擬結(jié)果

圖6 集中扭矩作用下沿梁長(zhǎng)方向扭轉(zhuǎn)角變化曲線

將本文計(jì)算方法及Vlasov理論所得到的跨中截面扭轉(zhuǎn)角匯總于表 3.由圖6(a)可知， 對(duì)于跨度較大(l/h=14.3)的U型梁扭轉(zhuǎn)角，本文計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果與ABAQUS模擬結(jié)果吻合良好，最大扭轉(zhuǎn)角的相對(duì)誤差為0.185%；Vlasov理論的計(jì)算結(jié)果比試驗(yàn)值略小，但是誤差仍然在可接受的范圍內(nèi)(相對(duì)誤差為7.056%)，且Vlasov理論的計(jì)算結(jié)果與θw基本一致.以上現(xiàn)象說(shuō)明：1)對(duì)于跨度較大的U型梁，本文計(jì)算方法、Vlasov理論的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果差別不大;2)中面剪切變形所引起的扭轉(zhuǎn)角θc很小(θc/θ=1.04/10.75=9.67%)，可忽略其影響，可用θw近似估計(jì)總扭轉(zhuǎn)角θ，兩種計(jì)算理論都可適用.

由圖6(b)可知，對(duì)于跨度較小(l/h=7.15)的U型梁扭轉(zhuǎn)角，本文計(jì)算方法計(jì)算結(jié)果與ABAQUS模擬結(jié)果吻合良好，最大扭轉(zhuǎn)角相對(duì)誤差為7.889%，而此時(shí)Vlasov理論計(jì)算結(jié)果與ABAQUS模擬結(jié)果偏差很大，最大扭轉(zhuǎn)角相對(duì)誤差達(dá)到27.85%.同樣的，Vlasov理論計(jì)算結(jié)果與θw基本一致.以上現(xiàn)象說(shuō)明，當(dāng)U型梁跨度減小時(shí)，中面剪切變形所引起的扭轉(zhuǎn)角占總扭轉(zhuǎn)角的比例不斷增大(θc/θ=0.594/2.03=29.26%)，此時(shí)如果忽略該影響，而采用Vlasov理論計(jì)算只考慮扭轉(zhuǎn)角的部分值θw，極大低估了扭轉(zhuǎn)角數(shù)值，使構(gòu)件的使用及承載功能存在巨大的安全隱患.本文計(jì)算方法在θw基礎(chǔ)上，考慮剪切變形影響所引起的另一部分扭轉(zhuǎn)角θc，能夠很好的預(yù)測(cè)短跨U型梁的扭轉(zhuǎn)性能.

表3 跨中截面扭轉(zhuǎn)角計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖7 跨中截面扭轉(zhuǎn)角增長(zhǎng)率隨跨高比的變化曲線

4.2 剪切變形對(duì)內(nèi)力分布的影響

分別采用本文計(jì)算方法和Vlasov理論對(duì)本例中U型梁的內(nèi)力作用(翹曲彎矩和翹曲扭矩作用)進(jìn)行了計(jì)算和對(duì)比分析，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖8.同時(shí)，特征截面，即跨中截面和l/4截面的翹曲彎矩、翹曲扭矩和自由扭矩的計(jì)算值匯總于表4.

由圖8(a)可知，不論是U型長(zhǎng)梁(l=6.65 m)還是U型短梁(l=3.325 m)，兩種理論的計(jì)算結(jié)果曲線幾乎完全重合；表4給出的兩種理論對(duì)跨度為6.65、3.325 和2 m的U型梁的翹曲彎矩的計(jì)算值差異率分別為-1.83%、-2.08%和-2.08%.以上現(xiàn)象說(shuō)明，不管是長(zhǎng)跨還是短跨的U型梁，剪切變形對(duì)翹曲彎矩值的計(jì)算影響較小，本文提出的計(jì)算方法和Vlasov理論都可應(yīng)用于翹曲彎矩的計(jì)算.

同樣地，本文計(jì)算方法和Vlasov理論應(yīng)用于長(zhǎng)跨和短跨U型梁所獲得的翹曲扭矩的計(jì)算曲線(見(jiàn)圖8(b))基本一致，且兩種理論對(duì)翹曲扭矩的計(jì)算值的最大差異率為2.18%，平均差異率為2.04%.說(shuō)明剪切變形對(duì)翹曲扭矩的計(jì)算影響很小，可忽略不計(jì)，因此，本文提出的計(jì)算方法和Vlasov理論都可應(yīng)用于翹曲扭矩的計(jì)算.

圖8 兩種理論對(duì)翹曲彎矩和翹曲扭矩的計(jì)算曲線

表4 跨中及l(fā)/4截面翹曲彎矩及翹曲扭矩的計(jì)算值對(duì)比

5 結(jié) 論

本文考慮了中面剪切變形的影響，推導(dǎo)并提出適用于開口薄壁彈性構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)性能計(jì)算方法，并針對(duì)一根U型薄壁梁的扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)，將本文計(jì)算方法的結(jié)果、Vlasov理論計(jì)算結(jié)果、試驗(yàn)及有限元模擬結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，得到如下結(jié)論：

1)本文提出的考慮剪切變形影響的扭轉(zhuǎn)計(jì)算方法，與試驗(yàn)及有限元模擬結(jié)果吻合良好，不僅適用于大跨高比的開口薄壁構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)計(jì)算(誤差為1.115%)，還適用于小跨高比的開口薄壁結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)分析(誤差為7.889%).

2)Vlasov理論未考慮中面剪切變形的影響，當(dāng)用于計(jì)算大跨高比的開口薄壁構(gòu)件(本文算例要求l/h>10)的扭轉(zhuǎn)性能時(shí)準(zhǔn)確度尚可；但當(dāng)應(yīng)用于跨高比較小的構(gòu)件(本文算例中U型梁l/h<6)時(shí)，嚴(yán)重低估截面的扭轉(zhuǎn)角，無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)效應(yīng).

3)剪切變形能夠影響開口構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)變形性能，影響程度的大小取決于構(gòu)件的跨高比、邊界條件；考慮剪切變形對(duì)開口構(gòu)件的翹曲彎矩和翹曲扭矩分布影響較小，翹曲彎矩和翹曲扭矩計(jì)算值的平均差異率分別為1.997%和2.044%；但是，對(duì)自由扭矩分布影響較大，隨跨高比不斷減小(l/h=13.3～4)，自由扭矩計(jì)算值差異率從4.61%增大到71.53%.

4)本文計(jì)算方法克服了Vlasov經(jīng)典理論中中面無(wú)剪切變形假定的局限，能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)小跨高比U型梁的扭轉(zhuǎn)變形，更好地滿足工程設(shè)計(jì)需求.