以數(shù)想形，以形助教

張偉琴

【摘 要】 本文主要分析教師如何引導(dǎo)學(xué)生如何想到利用圖像來處理問題，將圖形與文字語言進(jìn)行對應(yīng)，畫出圖像，觀察圖像，從圖像中獲取信息，根據(jù)圖像得出答案，體會(huì)“以數(shù)想形，以形助教”的數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決函數(shù)問題中的重要作用。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合;函數(shù)教學(xué)

一、研究背景

從學(xué)情角度來看，由于一次函數(shù)題目的解答依賴于學(xué)生對相關(guān)知識(shí)內(nèi)容的理解，題目考查角度靈活多變，使得機(jī)械記憶與淺層次的工具性運(yùn)用在這里不能發(fā)揮作用，因此對于大部分學(xué)生來說具有一定的難度。

二、研究思路

通過一次函數(shù)的復(fù)習(xí)課流程：操作（情境）——發(fā)現(xiàn)（問題）——反思（問題解決）——?dú)w納（概括，拓展，遷移）——應(yīng)用（知識(shí)，方法，經(jīng)驗(yàn)），闡述如何將數(shù)形結(jié)合的思想方法落實(shí)到課堂中，成為學(xué)生解決函數(shù)問題的基本思維路徑。

三、數(shù)形結(jié)合的實(shí)例分析1

1.問題情境

例1：甲、乙兩車從A城出發(fā)勻速行駛至B城。在整個(gè)行駛過程中，甲、乙兩車離開A城的距離y（千米）與甲車行駛的時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖1所示。

2.發(fā)現(xiàn)問題

師：你能提出哪些問題？

生1：甲、乙兩車的速度分別是多少？

生2：甲、乙兩車誰先到達(dá)終點(diǎn)？

生3：表示甲、乙的解析式分別是什么？自變量的取值范圍？

生4：甲車出發(fā)幾小時(shí)后被乙追上？

生5：t為何值時(shí)，甲、乙兩車相距50千米？

生6：甲、乙兩車相距小于50千米時(shí)，t的取值范圍？

【設(shè)計(jì)意圖：本題只給出情境，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、比較等思維活動(dòng)，從不同視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，這類問題是現(xiàn)場生成的，靈動(dòng)的，能融合多方面知識(shí)點(diǎn)，在思維碰撞中，學(xué)生潛能不斷被激發(fā)，有利于理解函數(shù)圖像本質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生問題意識(shí)和思維深刻性與靈活性】

3.問題解決

問題（1）：甲出發(fā)后幾小時(shí)被乙追上？

生1：我們可以根據(jù)相遇時(shí)路程相等，得到方程100（t-1）=60t ，得t=2.5。

生2：利用追擊問題“追擊的時(shí)間=追擊的路程÷速度差”，得t=1.5，1.5+1=2.5。

生3：我們可以求出甲、乙兩車離開A城的距離y關(guān)于t的函數(shù)解析式，求出交點(diǎn)橫坐標(biāo)t=2.5。

生4：如圖2所示，看成兩個(gè)全等三角形，觀察圖像，相遇點(diǎn)為中點(diǎn)，直接得出t=2.5。

【設(shè)計(jì)意圖：抓住關(guān)鍵點(diǎn)（交點(diǎn)）的實(shí)際意義則是帶著數(shù)從形的角度直觀尋找，通過一題多解，讓學(xué)生進(jìn)一步感受知識(shí)方法間的普遍聯(lián)系，體會(huì)解決問題方法的多樣性，生4運(yùn)用全等三角形的知識(shí)來進(jìn)行定量刻畫，“以形助教”，優(yōu)化學(xué)生的思維】

4.問題遷移

問題（2）：t為何值時(shí)，甲、乙兩車相距50千米？

教師讓學(xué)生先獨(dú)立完成，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)以下常見錯(cuò)誤：

學(xué)生基本都是從“數(shù)”的角度來思考的，容易遺漏，因此教師引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度來考慮。

師：首先思考下列問題：觀察y（t）圖，設(shè)兩車之間的距離為S（千米），兩車之間的距離是如何變化的？有哪些關(guān)鍵點(diǎn)呢？

（板書）畫距離S關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖像，要找到關(guān)鍵點(diǎn)：（1）甲、乙的起點(diǎn);（2）相遇點(diǎn);（3）甲、乙的終點(diǎn)。

師：現(xiàn)在請同學(xué)們描點(diǎn)，畫出S（t）圖（如圖3）。

【設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)圖像是數(shù)量關(guān)系的一種直觀表達(dá)，通過圖像去獲取數(shù)量關(guān)系的能力，是一種典型的“幾何直觀”能力。讓學(xué)生知道如何結(jié)合圖像去“弄清運(yùn)動(dòng)過程”，就是教學(xué)生如何讀圖，思考問題。教師通過在“由y（t）圖得到S（t）圖”時(shí)放緩腳步，讓學(xué)生結(jié)合圖像“具體說一說甲、乙兩車是如何運(yùn)動(dòng)的”。讀圖像的關(guān)鍵點(diǎn)，如“起點(diǎn)，交點(diǎn)，終點(diǎn)”，其實(shí)就是在形中找數(shù)，把研究精確化;函數(shù)圖像上每一個(gè)點(diǎn)的繪制，不用點(diǎn)之間的變化關(guān)系乃至整個(gè)圖像的生成無不體現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的完美對應(yīng)。通過畫圖，又再次強(qiáng)化學(xué)生對運(yùn)動(dòng)過程的理解，提高學(xué)生對圖像信息的深加工能力。只有這樣，才能整體把握函數(shù)性質(zhì)，才能突破由形到數(shù)，由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換困難和障礙，以突破重點(diǎn)，分化難點(diǎn)】

5.應(yīng)用

師：請同學(xué)們從“形”的角度來考慮問題（2）：何時(shí)，甲、乙兩車相距50千米？

生1：畫一條直線S=50，我們發(fā)現(xiàn)和S（t）圖會(huì)有四個(gè)交點(diǎn)（如圖4）。

五、教學(xué)反思

1.先從簡單的問題情境入手，多次變化問題指向，進(jìn)行多圖呈現(xiàn)

讓學(xué)生在相同或相近的情境下感受不同的坐標(biāo)意義下對應(yīng)圖像的差別，這樣的題組設(shè)計(jì)具有較好的對比分析效果，有效地幫助學(xué)生領(lǐng)悟“從圖像獲取信息”的關(guān)鍵：特殊點(diǎn)（圖像間的交點(diǎn)，圖像的極值點(diǎn)等）位置的理解，讓學(xué)生經(jīng)歷從“讀圖”（畫圖）到“析圖”，再到“用圖”的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。這樣設(shè)計(jì)旨在增進(jìn)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的能力，體現(xiàn)了探究的層次化。

2.數(shù)學(xué)體驗(yàn)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成離不開學(xué)生的親身經(jīng)歷與體驗(yàn)，讓學(xué)生置身情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，獲得活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過內(nèi)省反思，產(chǎn)生認(rèn)知體驗(yàn)。在每一個(gè)小板塊中，都安排了小結(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)行方法的提煉，將感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，用以指導(dǎo)今后的解題活動(dòng)，讓學(xué)生遇到簡單的問題，立足提煉方法，而對復(fù)雜的問題，優(yōu)化問題解決策略。例如在例題1（2）問中，引導(dǎo)學(xué)生利用S（t）圖，從“形”的角度尋找簡便解法，使所要研究的問題化難為易，化繁為簡，就像華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。 最后在建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖的過程中，感悟?qū)W習(xí)函數(shù)的一般方法，為繼續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)、二次函數(shù)埋下知識(shí)和方法的種子，這就是遷移，就是章建躍博士所說：“代數(shù)就是用同樣的方法解決類似的問題。”