指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的再探究

◇ 上海 陳羿男

1 已有結(jié)論

指數(shù)函數(shù)涉及日常生產(chǎn)生活的很多方面，例如細胞分裂、貸款利率的計算等，因此，對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)具有很大的現(xiàn)實價值.

在對指數(shù)函數(shù)現(xiàn)有的研究中，已有很多成熟的結(jié)論，例如指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值分布規(guī)律、底數(shù)對指數(shù)函數(shù)圖象位置的影響等，但基本都是文字語言的描述或者需要進行分類討論.因此，我們可以嘗試用更簡潔的文字或符號語言來描述指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).

2 深入探究

對于指數(shù)函數(shù)y=ax，為了使x 可以在實數(shù)范圍內(nèi)取值，對于底數(shù)a 的范圍需要限制為a＞0且a≠1.對此，我們可以這樣理解：如果a=1，那么其非奇非偶性及單調(diào)性都會被破壞，為了保證指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的純粹性，規(guī)定指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a＞0且a≠1.

底數(shù)a 的不同取值會對指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)有影響，具體表現(xiàn)在以下幾個方面.

2.1 底數(shù)a 的不同取值對指數(shù)函數(shù)函數(shù)值分布規(guī)律的影響

對于指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1），其函數(shù)值的分布規(guī)律可以歸納如下.

（1）當a＞1時，①當x＞0時，ax＞1；②當x＜0時，0＜ax＜1；

（2）當0＜a＜1時，①當x＞0時，0＜ax＜1；②當x＜0時，ax＞1.

由于指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0 且a≠1）的值域為（0，+∞），因此我們更加關(guān)注ax與1的大小關(guān)系，探究底數(shù)a 與指數(shù)x 分別滿足不同條件時，ax與1的大小關(guān)系.所以，指數(shù)函數(shù)函數(shù)值的規(guī)律可以總結(jié)為：（1）當a＞1且x＞0，或0＜a＜1且x＜0時，ax＞1；（2）當a＞1且x＜0，或0＜a＜1且x＞0時，0＜ax＜1.

當?shù)讛?shù)a 和1與指數(shù)x 和0之間的不等號同向，即（a-1）x＞0時，ax＞1；當?shù)讛?shù)a 和1與指數(shù)x 與0之間的不等號反向，即（a-1）x＜0時，0＜ax＜1.為避免分類討論，可以將底數(shù)a 和1，指數(shù)x 和0，以及ax和1之間的關(guān)系歸納為（a-1）x（ax-1）＞0.由此即可分析出a，x 在不同取值區(qū)間的函數(shù)值變化規(guī)律.

2.2 底數(shù)a 的不同取值對指數(shù)函數(shù)圖象位置的影響

通過觀察圖象，可以得出結(jié)論：底數(shù)互為倒數(shù)的兩個指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y 軸對稱.此外，當?shù)讛?shù)a＞1時，a 的值越大，圖象越靠近y 軸；當?shù)讛?shù)0＜a＜1時，a 的值越小，圖象越靠近y 軸.兩個底數(shù)互為倒數(shù)（即兩個底數(shù)a1，a2滿足a1a2=1）的關(guān)系是比較特殊的，因此，我們探究兩個底數(shù)滿足更一般的關(guān)系時，圖象與y 軸的靠近程度.這里，我們將圖象與y 軸的靠近程度表達為：兩個指數(shù)函數(shù)與（其中a1，a2＞0 且a1，a2≠1）的函數(shù)值相 同 時，對 應(yīng) 的越小，則函數(shù)圖象越靠近y 軸.即研究當=時，對應(yīng)的｜x1｜，｜x2｜的大小關(guān)系，以此得出兩個指數(shù)函數(shù)圖象與y 軸的接近程度.由于，等式兩邊分別取對數(shù)，得x1·lga1=x2·lga2，｜x1｜=｜x2｜·｜loga1a2｜，因 此｜x1｜，｜x2｜的 大 小 關(guān) 系 由｜loga1a2｜與1的大小決定.設(shè)a1＜a2，并對兩個底數(shù)a1，a2的關(guān)系進行分類，分別有以下幾種情況：

（1）當0＜a1＜a2＜1時，由圖1可得｜x1｜＜｜x2｜，即底數(shù)越小，函數(shù)圖象越靠近y 軸；

（2）當0＜a1＜1＜a2且a1a2＜1時，由圖2可得｜x1｜＜｜x2｜，即底數(shù)越小，越靠近y 軸；

（3）當0＜a1＜1＜a2且a1a2=1時，｜x1｜=｜x2｜，則兩個圖象關(guān)于y 軸對稱；

（4）當0＜a1＜1＜a2且a1a2＞1時，由圖3可得｜x1｜＞｜x2｜，即底數(shù)越大，越靠近y 軸；

（5）當1＜a1＜a2時，由圖4可得｜x1｜＞｜x2｜，即底數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近y 軸.

圖1 函數(shù)y=0.3x與y=0.4x 圖象

圖2 函數(shù)y=0.4x與y=1.5x 圖象

圖3 函數(shù)y=0.4x與y=3.5x 圖象

圖4 函數(shù)y=1.5x與y=3.5x 圖象

可以概括為：

（1）當0＜a1a2＜1時，底數(shù)越小，對應(yīng)圖象越靠近y 軸；

（2）當a1a2=1時，兩個圖象關(guān)于y 軸對稱，兩個圖象離y 軸一樣近；

（3）當a1a2＞1時，底數(shù)越大，對應(yīng)函數(shù)圖象越靠近y 軸.

當?shù)讛?shù)a 從0趨向于無窮大的過程中（a≠1），函數(shù)圖象從接近于y 軸和x 軸的正半軸的單調(diào)遞減的曲線，逐漸變?yōu)榻咏趛 軸正半軸與x 軸負半軸的單調(diào)遞增的曲線.而直線y=1則是圖象從單調(diào)遞減到單調(diào)遞增的過渡狀態(tài).

圖象與y 軸的靠近程度表明了圖象在橫向方向上呈現(xiàn)的規(guī)律，此外又進一步研究了圖象在縱向方向上呈現(xiàn)的規(guī)律，即研究函數(shù)與（其中a1，a2＞0且a1，a2≠1）在取相同自變量時，對應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系，以此得出兩個指數(shù)函數(shù)圖象的高低.我們將圖象的高低表達為：兩個指數(shù)函數(shù)y=與y=（其中a1，a2＞0且a1，a2≠1）取相同自變量值x=m 時，對應(yīng)的函數(shù)值與的值）越大，則函數(shù)圖象越高.設(shè)a1＜a2，則通過函數(shù)思想分析，結(jié)合冪函數(shù)y=xm（m 為常數(shù)）在第一象限的單調(diào)性，可得：當m ＞0 時，即，即對于指數(shù)函數(shù)和而言，在第一象限，滿足“底大圖高”；當m ＜0時1，即，在第二象限，滿足“底小圖高”；當m=0時，即指數(shù)函數(shù)和都經(jīng)過點（0，1）.

3 研究結(jié)論

指數(shù)函數(shù)y=ax（a＞0且a≠1）函數(shù)值的分布規(guī)律可以簡單地歸納為（a-1）x（ax-1）＞0，避免了分類討論.用精準的數(shù)學(xué)方式表達底數(shù)a 對指數(shù)函數(shù)圖象位置的影響，主要分為以下兩種：一是縱向上的影響，在第一象限，滿足“底大圖高”；在第二象限，滿足“底小圖高”.二是橫向上的影響，對于指數(shù)函數(shù)y=和y=（其中a1，a2＞0 且a1，a2≠1）而言，當0＜a1a2＜1 時，底數(shù)越小，對應(yīng)圖象越靠近y 軸；當0＜a1a2=1時，兩個圖象關(guān)于y 軸對稱，兩個圖象離y 軸一樣近；當a1a2＞1時，底數(shù)越大，對應(yīng)函數(shù)圖象越靠近y 軸.