II 型III 型動態(tài)裂紋尖端斷裂過程區(qū)近似評估方法

姬晨濛，戚承志

(1. 北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京 100124；2. 北京建筑大學(xué)，北京未來城市設(shè)計(jì)高精尖中心，2011 節(jié)能減排協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100044)

斷裂過程區(qū)(Fracture Process Zone，以下簡稱FPZ)即微裂區(qū)，是材料發(fā)生非線性斷裂的關(guān)鍵原因[1-2]。因此，對于巖石、混凝土等準(zhǔn)脆性材料，研究其裂紋尖端的斷裂過程區(qū)是很有必要的。巖石產(chǎn)生的裂紋多以剪切型裂紋居多，破壞形式也以剪切破壞為主，這是巖石的工程地質(zhì)條件造成的。由于圍巖壓力的存在，巖石產(chǎn)生張開型裂紋的可行性降低[3]。因此，對于II 型(面內(nèi)剪切裂紋)、III 型(面外剪切裂紋)裂紋的研究顯得十分必要。

強(qiáng)洪夫、張亞等[4-5]采用俞茂宏雙剪統(tǒng)一屈服準(zhǔn)則求得I 型、II 型裂紋在小范圍屈服條件下的塑性區(qū)形狀和尺寸，得到了統(tǒng)一形式的彈性解，并給出了材料參數(shù)對裂紋尖端塑性區(qū)形狀和尺寸的影響。倪爾有[6]利用疊加原理，對I 型、II 型、III 型裂紋尖端應(yīng)力場進(jìn)行疊加，得到復(fù)合型裂紋尖端應(yīng)力場，利用Von Mises 屈服準(zhǔn)則，導(dǎo)出復(fù)合型裂紋尖端塑性區(qū)。呂運(yùn)冰等[7]利用最大拉應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則，求得不同裂紋角下的I-II 型復(fù)合裂紋尖端微裂區(qū)的輪廓。Jing 等[8]利用Von Mises 和Tresca 屈服準(zhǔn)則，分別給出了平面應(yīng)力狀態(tài)下和平面應(yīng)變狀態(tài)下II 型裂紋尖端塑性區(qū)形狀，并提出Tresca 屈服準(zhǔn)則計(jì)算塑性區(qū)比Von Mises 屈服準(zhǔn)則計(jì)算塑性區(qū)大的結(jié)論。Wu 等[9]通過數(shù)值模擬三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)，得到不同裂紋比、不同加載率下的過程區(qū)，但文章中并沒有給過程區(qū)的全局尺寸，僅僅是從長度和寬度兩個尺度進(jìn)行分析。卿龍邦等[10-11]提出了混凝土I 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)長度的計(jì)算方法。姚池等[12]利用Hoek-Brown準(zhǔn)則數(shù)值模擬了脆性各向異性巖石損傷破壞的過程。

但是，以上研究均是以靜態(tài)裂紋為研究對象分析裂紋尖端斷裂過程區(qū)，國內(nèi)外對于動態(tài)裂紋尖端的斷裂過程區(qū)的研究很少。Poliakv等[13]利用莫爾圓表示的最大剪應(yīng)力與庫倫極限應(yīng)力的比值τmax/τc作為破壞指標(biāo)，并認(rèn)為τmax/τc＞1 計(jì)算所得區(qū)域即為破壞區(qū)。給出了II 型裂紋、III 型裂紋隨著初始應(yīng)力比σxx/σyy和擴(kuò)展速度的變化。Ding 等[14]通過對帶缺口的Q345R 鋼材構(gòu)件的裂紋擴(kuò)展進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了在周期荷載作用下的I-II 型混合型裂紋尖端的破壞區(qū)。Dai 等[15]通過數(shù)字圖像相關(guān)技術(shù)觀察鎂制材料和鎂制防火材料裂紋尖端的斷裂過程區(qū)，但只分析了斷裂過程區(qū)寬度和長度在加載過程中的變化規(guī)律。Tarokh[16]用聲發(fā)射技術(shù)描述了花崗巖裂紋尖端斷裂過程區(qū)，并分析了斷裂過程區(qū)長度和寬度與試件尺寸的關(guān)系。因此，本文提出了一種近似方法，用于計(jì)算II 型(滑開型)、III 型(撕開型)動態(tài)裂紋尖端斷裂過程區(qū)的形狀和全局尺寸，并對不同強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算得到的斷裂過程區(qū)的面積大小進(jìn)行了比較。

1 II 型、III 型動態(tài)裂紋尖端應(yīng)力場彈性解

假設(shè)無限彈性介質(zhì)中存在長度為2a 的Griffith裂紋以常速V 沿著x 正軸方向開始運(yùn)動。如圖1所示，建立一個固定坐標(biāo)系(x1, y, t)，在裂紋尖端再建立移動坐標(biāo)系(x, y, t)并有關(guān)系[17]：

2 斷裂過程區(qū)的計(jì)算

Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則又叫Octahedral 剪切應(yīng)力準(zhǔn)則，可以用來評估裂紋尖端過程區(qū)：

式中，σs為材料的屈服極限。

通過將應(yīng)力場表達(dá)式(17)和式(18)代入式(20)，分別可以得到II 型和III 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)的隱式表達(dá)式。

本文取縱波波速c1=5370 m/s，橫波波速c2=3180 m/s，c 為瑞麗波速，極限抗拉強(qiáng)度τ0=32 MPa[21]。通過偽應(yīng)力函數(shù)利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算II 型和III 型裂紋不同裂紋速度的斷裂過程區(qū)輪廓分別如圖2 和圖3 所示。

圖2 利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算II 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)輪廓(平面應(yīng)力條件下的過程區(qū)輪廓用線表示，平面應(yīng)變條件下的過程區(qū)輪廓用線+符號表示)Fig. 2 Contours of FPZ constructed by using Von Mises criterion at mode II crack tip (the contour of the FPZ under plane stress condition is represented by line, and the contour of the FPZ under plane strain condition is represented by line and symbol)

由圖2 可以看出，裂紋尖端斷裂過程區(qū)形狀如“葫蘆”，分布在裂紋尖端的前方和后方，這與II 型靜態(tài)裂紋尖端斷裂過程區(qū)的計(jì)算結(jié)果一致[22]。在垂直于裂紋方向斷裂過程區(qū)的尺寸隨著裂紋擴(kuò)展速度增大而增大，但沿著裂紋擴(kuò)展方向斷裂過程區(qū)的尺寸幾乎不變。當(dāng)裂紋速度接近瑞麗波速時斷裂過程區(qū)變化更明顯。裂紋擴(kuò)展速度相同時，平面應(yīng)力狀態(tài)下裂紋尖端斷裂過程區(qū)面積大于平面應(yīng)變狀態(tài)下的斷裂過程區(qū)面積。

圖3 利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算III 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)輪廓Fig. 3 Contours of FPZ constructed by Von Mises criterion at mode III crack tip

由圖3 可得，III 型動態(tài)裂紋尖端斷裂過程區(qū)同樣是對稱分布，隨著裂紋擴(kuò)展速度的增大而增大。當(dāng)裂紋擴(kuò)展速度接近于瑞麗波速時，斷裂過程區(qū)變化比較大，這與II 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)隨速度變化趨勢相似。當(dāng)速度為零時，斷裂過程區(qū)形狀接近于圓形，這與靜態(tài)裂紋尖端斷裂過程區(qū)的計(jì)算結(jié)果一致[22]。

利用偽應(yīng)力函數(shù)方法同樣可以用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則對II 型和III 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)進(jìn)行計(jì)算：

由圖4 和圖5 可以看出，利用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則與利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的裂紋尖端斷裂過程區(qū)的形狀一樣。斷裂過程區(qū)的分布關(guān)于裂紋對稱，不僅分布在裂紋尖端前方還分布在裂紋尖端后方。兩種強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算得到的斷裂過程區(qū)面積均隨著裂紋速度的增加而增加。當(dāng)速度為0.38c 時，兩種強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的II 型裂紋和III 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)的對比結(jié)果分別如圖6 和圖7所示。

圖4 利用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算II 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)輪廓(平面應(yīng)力條件下的斷裂過程區(qū)輪廓用線表示，平面應(yīng)變條件下的斷裂過程區(qū)輪廓用線+符號表示)Fig. 4 Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode II crack tip (the contours of the FPZ under plane stress condition are represented by line, and the contours of the FPZ under plane strain condition are represented by line and symbol)

由圖6 可知，利用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的斷裂過程區(qū)的面積比利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的斷裂過程區(qū)的面積大。平面應(yīng)力條件下，Tresca強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的裂紋尖端前方的斷裂過程區(qū)的面積比Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的過程區(qū)的面積大，但在裂紋尖端的后方的輪廓幾乎是一樣的。

圖5 利用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算III 型裂紋尖端斷裂過程Fig. 5 Contours of FPZ constructed by using Tresca criterion at mode III crack tip

圖6 當(dāng)速度為0.38c 時，兩種強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算得到的II 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)的對比Fig. 6 Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode II crack tip

對于III 型裂紋尖端的斷裂過程區(qū)面積，將式(18)代入式(20)和式(21)～式(23)，通過計(jì)算可知，利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的過程區(qū)的面積是利用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的過程區(qū)的面積的0.5×31/2≈0.866 倍。這意味著利用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的過程區(qū)的面積比利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的過程區(qū)的面積大，這與圖7 結(jié)果相符。

圖7 當(dāng)速度為0.38c 時，兩種強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算得到的III 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)的對比Fig. 7 Comparison of the FPZs constructed by using two criteria at velocity of 0.38c at mode III crack tip

3 偽應(yīng)力函數(shù)方法的驗(yàn)證

將利用已被熟知的裂紋尖端漸進(jìn)應(yīng)力場表達(dá)式計(jì)算裂紋尖端斷裂過程區(qū)，與基于偽應(yīng)力函數(shù)計(jì)算斷裂過程區(qū)的結(jié)果進(jìn)行對比，以驗(yàn)證本文提出的偽應(yīng)力函數(shù)的正確性。

已知裂紋尖端漸進(jìn)應(yīng)力場表達(dá)式[23]：

將式(24)、式(25)代入式(20)，可以得到斷裂過程區(qū)的隱式表達(dá)式。表1 列出了已知應(yīng)力表達(dá)式計(jì)算得到的斷裂過程區(qū)的面積與基于偽應(yīng)力函數(shù)計(jì)算得的斷裂過程區(qū)的面積，并進(jìn)行了對比。

可以看出，無論是平面應(yīng)力條件下還是平面應(yīng)變條件下，基于已知應(yīng)力場計(jì)算的斷裂過程區(qū)與基于偽應(yīng)力函數(shù)計(jì)算的斷裂過程區(qū)的面積隨著裂紋尖端速度變化趨勢是一致的?；谝阎獞?yīng)力函數(shù)方法計(jì)算的斷裂過程區(qū)面積的速度依賴性比基于偽應(yīng)力場計(jì)算的斷裂過程區(qū)面積稍強(qiáng)，這是由于已知應(yīng)力場是忽略高階項(xiàng)的漸進(jìn)表達(dá)式[23]。從表1 兩種方法計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了基于偽應(yīng)力函數(shù)方法評估動態(tài)裂紋尖端斷裂過程區(qū)的正確性。

表1 利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算II 型 裂紋尖端斷裂過程區(qū)面積 /cm2Table 1 Area of FPZ for mode-II crack by using Von Mises criterion (plane stress)

4 結(jié)論

雖然找到動態(tài)裂紋尖端斷裂過程區(qū)的精確解是非常困難的，本文提出的偽應(yīng)力函數(shù)方法可以給動態(tài)裂紋尖端的斷裂過程區(qū)的評估提供一個很好的參考?；诖私品椒ǎ肨resca 準(zhǔn)則和Von Mises 準(zhǔn)則計(jì)算得到理想彈性條件下II 型和III 型裂紋尖端的斷裂過程區(qū)的輪廓線和面積，得到以下結(jié)論：

(1) II 型和III 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)的分布關(guān)于裂紋面對稱。斷裂過程區(qū)的分布不僅在裂紋尖端前方還在裂紋尖端后方。

(2) 隨著裂紋擴(kuò)展速度的增加，裂紋尖端斷裂過程區(qū)的面積不斷增大，當(dāng)裂紋擴(kuò)展速度接近瑞麗波速時，裂紋尖端斷裂過程區(qū)的增加幅度比較大。II 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)沿著裂紋擴(kuò)展方向的尺寸隨著裂紋擴(kuò)展速度增加明顯，III 型裂紋尖端斷裂過程區(qū)隨著裂紋擴(kuò)展速度增加向四周均有擴(kuò)展。

(3) 利用Von Mises 強(qiáng)度準(zhǔn)則和Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的裂紋尖端斷裂過程區(qū)形狀一樣，隨著裂紋擴(kuò)展速度的變化趨勢一致。利用Tresca 強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算得到的斷裂過程區(qū)的面積比利用Von Mises強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算得到的斷裂過程區(qū)的面積大。