數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽與高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

李亞利 繆 清

（云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 云南·昆明 650500）

0 引言

數(shù)學(xué)建模旨在用數(shù)學(xué)知識(shí)和和方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，首先通過(guò)分析問(wèn)題，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，從而描述成大家較熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題。然后借助數(shù)學(xué)理論、計(jì)算機(jī)理論等工具對(duì)這些數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解，最終獲得相對(duì)應(yīng)實(shí)際問(wèn)題的解決方案或者對(duì)相應(yīng)實(shí)際問(wèn)題有更深入和更詳細(xì)的了解。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展日益迅猛，數(shù)學(xué)建模已經(jīng)被廣泛應(yīng)用在生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程技術(shù)、航天科技等眾多領(lǐng)域。因此數(shù)學(xué)建模也越來(lái)越受到社會(huì)的普遍重視，并成為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)工作者必備的重要能力之一。很多高等院校也把每年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模成績(jī)作為衡量教學(xué)水平的一個(gè)重要指標(biāo)。

1 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽與學(xué)生

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有極大的促進(jìn)作用，也是檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)成果的一種手段。以下我們分三點(diǎn)來(lái)闡述數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)學(xué)生的積極影響。

1.1 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

不了解數(shù)學(xué)的人們都說(shuō)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是枯燥無(wú)用的。事實(shí)上，如果學(xué)生只是去死板的證明課本上的數(shù)學(xué)定理、驗(yàn)證數(shù)學(xué)公式，那么當(dāng)然會(huì)覺(jué)得枯燥無(wú)味。但是如果學(xué)生可以自己動(dòng)手利用所學(xué)的課本數(shù)學(xué)知識(shí)去解決了一些實(shí)際問(wèn)題，那么他們就會(huì)看到數(shù)學(xué)知識(shí)的重要，就會(huì)激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，學(xué)習(xí)效果就會(huì)事半功倍。而每年的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的試題往往比較靈活，并且涉及到的領(lǐng)域可能是學(xué)生平時(shí)接觸不到的。當(dāng)學(xué)生拿到競(jìng)賽試題，首先需要將實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，也就是我們說(shuō)的建模過(guò)程。這就會(huì)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到平時(shí)的基礎(chǔ)課、專(zhuān)業(yè)課的理論學(xué)習(xí)不是無(wú)用的，在現(xiàn)實(shí)生活中、現(xiàn)代科技中都是非常重要的，從而就促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的興趣培養(yǎng)。此外，很多高校也對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽成績(jī)好的學(xué)生有政策上的獎(jiǎng)勵(lì)機(jī)制，比如綜合測(cè)評(píng)加分、推免優(yōu)先等獎(jiǎng)勵(lì)制度，也都激勵(lì)了學(xué)生去參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

1.2 提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和其他單個(gè)學(xué)科競(jìng)賽不同。例如數(shù)學(xué)競(jìng)賽、物理競(jìng)賽、計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)大賽等，這些競(jìng)賽平臺(tái)只涉及到一門(mén)學(xué)科或一門(mén)課程的相關(guān)知識(shí)，而數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽可以涉及到數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、計(jì)算機(jī)等其他學(xué)科的相關(guān)知識(shí)。僅僅數(shù)學(xué)學(xué)科就包含高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、計(jì)算方法、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)學(xué)軟件等課程的相關(guān)知識(shí)。因此學(xué)生要想在數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中取得好成績(jī)，必須學(xué)會(huì)綜合運(yùn)用各科知識(shí)，去發(fā)現(xiàn)和搜尋信息、整合材料，尋求解決問(wèn)題的方法，這個(gè)過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)挑戰(zhàn)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模試題也沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，試卷的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)看的就是學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力。

1.3 培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)韌不拔和團(tuán)隊(duì)合作的精神

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽要求3名隊(duì)員在3天時(shí)間內(nèi)完成數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程，包含論文寫(xiě)作。這3天內(nèi)，需要參賽隊(duì)員分析問(wèn)題、查閱文獻(xiàn)，甚至學(xué)習(xí)新的知識(shí)等。在這個(gè)過(guò)程中，不能認(rèn)為競(jìng)賽題目有困難就退縮。數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程會(huì)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到做任何事情都要有挑戰(zhàn)困難、迎難而上的信心，要有堅(jiān)持不懈、堅(jiān)韌不拔的決心和精神。事實(shí)上，不少參加競(jìng)賽的學(xué)生也的確面臨各種困難，甚至有熬夜查閱資料的現(xiàn)象，但最終能夠不畏困難、堅(jiān)持不懈的學(xué)生也取得了較好的成績(jī)。另外，參加競(jìng)賽的隊(duì)員往往是由不同專(zhuān)業(yè)背景的學(xué)生所組成，那么在面臨新問(wèn)題的時(shí)候，就須要他們各自發(fā)揮自己的專(zhuān)業(yè)優(yōu)勢(shì)，結(jié)合實(shí)際情況，綜合分析問(wèn)題。因此整個(gè)競(jìng)賽過(guò)程就需要隊(duì)員之間有強(qiáng)烈的團(tuán)隊(duì)合作的精神，精誠(chéng)協(xié)作才能最終解決問(wèn)題。而團(tuán)隊(duì)精神也是學(xué)生走向工作崗位所必備的一種能力。

2 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽與教師

數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是一種對(duì)學(xué)生綜合能力的考察，因此對(duì)于指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的教師來(lái)說(shuō)，也會(huì)面臨不小的壓力。因?yàn)榇蠖鄶?shù)指導(dǎo)教師只是精通于一門(mén)學(xué)科，在面臨不太熟悉領(lǐng)域里的新問(wèn)題的時(shí)候，也會(huì)顯得力不從心。于是這就迫使教師在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，必須充分思考，把數(shù)學(xué)建模的思想滲透到平時(shí)的課堂教學(xué)中去。同時(shí)要擴(kuò)展教師自身的綜合知識(shí)，提升自身的學(xué)術(shù)水平。

首先，我們以數(shù)學(xué)學(xué)科中高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù)課程為例，來(lái)具體的分析和探討數(shù)學(xué)建模思想在課程教學(xué)中的應(yīng)用。

來(lái)看這樣一個(gè)實(shí)例。設(shè)足球門(mén)寬度為4米，一球員在球門(mén)右側(cè)沿垂直于底線的方向帶球向底線上距離球門(mén)右門(mén)柱6米的點(diǎn)處跑去。問(wèn)題：這個(gè)球員在距離底線多遠(yuǎn)處可以獲得最大的射門(mén)張角？通過(guò)分析問(wèn)題，我們可以知道，這個(gè)看上去對(duì)女生來(lái)說(shuō)不太熟悉的實(shí)際問(wèn)題即是求這個(gè)球員在距離底線多遠(yuǎn)處與兩門(mén)柱連線的夾角最大？因此這樣一來(lái)，我們就把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是數(shù)學(xué)建模問(wèn)題。事實(shí)上，如果設(shè)球員在距離底線 米的地方開(kāi)始射門(mén)，則射門(mén)的夾角 可以表達(dá)為 的函數(shù)：

于是這個(gè)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求(1)式中函數(shù) 的最大值。也即求一元函數(shù)的極值或者最值問(wèn)題，這就是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)問(wèn)題。只要求出函數(shù) 的穩(wěn)定點(diǎn)，再參照一元函數(shù)求極值的步驟即可。事實(shí)上，函數(shù)(1)的穩(wěn)定點(diǎn)是唯一的，因此根據(jù)實(shí)際情況（ >0），這個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)一定是函數(shù)(1)的最大值點(diǎn)。

我們知道，運(yùn)籌學(xué)模型是數(shù)學(xué)模型的一種常見(jiàn)模型。在這里，我們以線性規(guī)劃模型和運(yùn)輸問(wèn)題方面的運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用模型為例，來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)建模思想對(duì)線性代數(shù)課程教學(xué)的促進(jìn)作用。

從線性規(guī)劃模型的一般標(biāo)準(zhǔn)形式：[1]

可以看到，模型中的約束條件是用線性方程組來(lái)表示。因此，教師在講授線性方程組相關(guān)知識(shí)的的時(shí)候，應(yīng)該讓學(xué)生同時(shí)認(rèn)識(shí)到線性方程組的理論內(nèi)容和實(shí)踐應(yīng)用都是非常重要的。除了講授線性方程組的概念、線性方程組解的情況等理論知識(shí)外，還需讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題自己動(dòng)手去建立一些線性方程組。這樣做也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們學(xué)習(xí)的積極性。此外，線性規(guī)劃模型單純形法求解以及運(yùn)輸問(wèn)題表上作業(yè)法求解也是線性代數(shù)課程中矩陣?yán)碚?、向量線性相關(guān)理論的重要體現(xiàn)。因此教師在講授這些理論的時(shí)候，要逐步驗(yàn)證，讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)建模思想和基礎(chǔ)課程事實(shí)上是密不可分的。

其次，隨著建模競(jìng)賽的普遍深入，也需要教師改變傳統(tǒng)的教學(xué)模式，并且積極探索適應(yīng)課程的多種教學(xué)手段。下面我們以“數(shù)學(xué)建模”課程為例分析探討數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽對(duì)教師教學(xué)模式的影響。面對(duì)市場(chǎng)上名目繁多的數(shù)學(xué)建模教材以及參考資料，教師如何選擇適合本校學(xué)生水平的教材是一個(gè)需要探索、反復(fù)實(shí)踐的過(guò)程。那么最好的解決方案就是經(jīng)過(guò)實(shí)踐，根據(jù)實(shí)際情況編制自己的教學(xué)材料。并且在現(xiàn)在的課程教學(xué)中，由于諸多原因的限制，大多數(shù)老師只能采取“滿堂灌”的教學(xué)模式來(lái)完成教學(xué)任務(wù)，也就是將知識(shí)單純機(jī)械的輸入給學(xué)生，這樣的做法不能發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，會(huì)讓學(xué)生失去學(xué)習(xí)的興趣。因此，針對(duì)數(shù)學(xué)建模課程，教師應(yīng)該特別注意教學(xué)互動(dòng)，發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的主體地位和主觀能動(dòng)作用。例如，在上課之前，教師充分準(zhǔn)備好上課材料，把本節(jié)課的內(nèi)容分為若干小節(jié)。上課時(shí)先由教師講授理論內(nèi)容，這大約占到課堂時(shí)間的三分之一。然后把分配好的若干小節(jié)內(nèi)容以小組為單位分發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生分別討論各部分的內(nèi)容。最后讓每個(gè)小組根據(jù)自己的分析，在課堂上匯報(bào)自己小組的解題大綱。這樣可以促進(jìn)學(xué)生之間知識(shí)的融匯、思想的交鋒。

另外，隨著信息技術(shù)的發(fā)展，教師應(yīng)該充分借助多媒體教學(xué)手段，提高課堂效率。如現(xiàn)在的微課程、慕課、雨課堂等新型教學(xué)模式都是充分借助于互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)，學(xué)生們?cè)谑謾C(jī)上就可以隨時(shí)聽(tīng)老師授課，也可以在手機(jī)上完成作業(yè)的提交等。

最后，關(guān)于數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，筆者根據(jù)自己的體會(huì)，并借助于文獻(xiàn)[2-3]中作者的經(jīng)驗(yàn)，給予以下兩點(diǎn)思考與讀者進(jìn)行探討。一方面，我們前面提到，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的指導(dǎo)教師應(yīng)該首先提升自身學(xué)術(shù)水平。那么除了教師自己要不斷擴(kuò)展知識(shí)，接觸新模型新方法外，還需要學(xué)校給予一定的支持，如組建一支穩(wěn)定的、具有較高業(yè)務(wù)水平和奉獻(xiàn)精神的指導(dǎo)教師隊(duì)伍。并且每年都吸收青年教師加入，因?yàn)榍嗄杲處熕枷胗^念新、精力充沛，會(huì)給學(xué)生帶來(lái)生機(jī)和活力，更能夠激勵(lì)學(xué)生克服困難。另一方面，由于競(jìng)賽過(guò)程中，按照規(guī)定學(xué)生不能和指導(dǎo)教師討論競(jìng)賽試題，因此組織學(xué)生進(jìn)行賽前訓(xùn)練和強(qiáng)化是非常重要的。例如學(xué)?？梢匝?qǐng)具有豐富參賽經(jīng)驗(yàn)的專(zhuān)家或者老師開(kāi)展數(shù)學(xué)建模講座，和其他高校進(jìn)行交流；組織賽前強(qiáng)化訓(xùn)練班，讓學(xué)生改變思想認(rèn)識(shí)，端正競(jìng)賽態(tài)度。然后就是集中訓(xùn)練競(jìng)賽中可能用到的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)軟件相關(guān)知識(shí)。最后是研讀歷屆數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文，增加學(xué)生參賽經(jīng)驗(yàn)。

3 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，分析和探討了競(jìng)賽平臺(tái)對(duì)學(xué)生和教師的積極影響。一方面可以提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，另一方面也促進(jìn)了教師課堂教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式的創(chuàng)新?？傊瑹o(wú)論對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)，還是對(duì)于教師的講授，都應(yīng)該將數(shù)學(xué)建模思想融入到平時(shí)的課堂中去，最終培養(yǎng)出適應(yīng)時(shí)代需求的優(yōu)秀人才。