考慮斜樁的群樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與分析程序開發(fā)

王 凱，朱國甫，翟鵬程

（1、廣東省建筑科學(xué)研究院集團(tuán)股份有限公司 廣州510500；2、武漢理工大學(xué) 武漢430070）

0 引言

樁基礎(chǔ)根據(jù)材料、施工設(shè)備、施工工藝不同分為較多種類型，不同類型的樁基礎(chǔ)受力性狀各不相同，承載能力也會有較大的差異?，F(xiàn)有的樁基礎(chǔ)以豎向承載力為主，部分項(xiàng)目需要考慮水平荷載作用，目前尚無明確水平承載力的設(shè)計(jì)與分析方法，設(shè)計(jì)人員一般要進(jìn)行大量繁雜的計(jì)算，才能給出一個較好的樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)方案［1-6］。

1 考慮斜樁的群樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與計(jì)算

1.1 本設(shè)計(jì)計(jì)算方法的基本假設(shè)

本文在做考慮斜樁的群樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與分析時，做如下簡化假設(shè):

⑴承臺為剛性，樁與承臺的連接為剛接；

⑵樁身截面不變；

⑶承臺受力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角θ 很小，可近似假設(shè)為:cosθ ≌1，sinθ ≌0；

⑷地基為服從虎克定律的彈性體，地基和樁之間的地基反力與樁上該點(diǎn)的位移成正比；

⑸樁的軸向與側(cè)向上的受力、位移相互不影響，各自獨(dú)立考慮；

⑹地基土層為各向同性。在同一深度處，樁側(cè)的橫向地基反力系數(shù)是相同的。

1.2 群樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的步驟

樁基礎(chǔ)由基樁與承臺組成，將樁基礎(chǔ)考慮為一個結(jié)構(gòu)整體，在受到外力作用時就會產(chǎn)生變形，各基樁的荷載根據(jù)樁基礎(chǔ)各組成部分的剛度與基樁的位置來分配，最后各基樁再根據(jù)分配得到的荷載進(jìn)行受理與變形計(jì)算。樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)與分析按圖1所示的步驟進(jìn)行［7］。

1.3 樁結(jié)構(gòu)物的微分方程及樁頭剛度計(jì)算

1.3.1 樁頭剛度K1～K4的計(jì)算

如圖2 所示:假設(shè)一根豎直的樁，樁頭在原地面，取地面樁軸中心處為坐標(biāo)軸的原點(diǎn)O，取樁的中心軸為x軸，深度方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向，與樁中心軸相垂直的方向與y 軸，取水平力的作用方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的正方向。

圖1 樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)一般步驟Fig.1 The Design Procedure of Pile Foundation

其中:

式中:k0、m、c為土層參數(shù)。

圖2 樁的坐標(biāo)系及單元體力的平衡Fig.2 Coordinate System of Pile and Force Balance of Unit Body

當(dāng)樁頭受到外部荷載作用，樁頭產(chǎn)生的位移為x0，轉(zhuǎn)角為θ0，根據(jù)樁頭的剛度的定義則有:

對式⑴采用有限差分法，根據(jù)樁身的連續(xù)性方程及樁頭、樁尖的邊界條件（樁尖邊界條件分為固定、自由、鉸接）聯(lián)合求解可得樁身上任意一點(diǎn)的位移及轉(zhuǎn)角，可求得樁頭的剛度K1～K4。

1.3.2 樁頭軸向剛度Kv的計(jì)算

假設(shè)一根豎直的樁，樁頭在原地面，取地面樁軸中心處為坐標(biāo)軸的原點(diǎn)O，沿深度方向?yàn)檎较?，如圖3 所示。樁頂軸中心受到軸向力N0的作用后，在樁尖和樁周表面就產(chǎn)生反力。記樁周表面任意點(diǎn)的軸向反力為，是深度x和這一點(diǎn)樁的軸向位移v的函數(shù)，即：。

取樁的微元體dx，由樁軸向力的平衡可得:

圖3 樁的軸向位移與單元體受力平衡Fig.3 Axial Displacement of Pile and Force Balance of Unit Body

根據(jù)樁頭及樁尖的邊界條件以及樁在各層土之間的連續(xù)條件，可求得樁身上任意一點(diǎn)的豎向位移及樁頭軸向剛度Kv:

式中:h為樁地面以上高度；ξ 為軸向荷載系數(shù)；l0為樁在地面以下的深度；E 為樁的彈性模量；A 為樁身截面積；kb為樁尖豎向地基反力系數(shù)；A0為樁尖受力面積。

1.3.3 樁頭抗扭剛度KD的計(jì)算

當(dāng)樁頭受繞樁軸的扭矩作用時，樁頭會產(chǎn)生繞樁軸的扭轉(zhuǎn)角。如果樁身沒有分布扭矩的作用，樁尖固定，則由材料力學(xué)可知樁的抗扭剛度系數(shù)為:

式中:G 為樁的剪切模量；J 為扭轉(zhuǎn)慣性矩；lp為樁的抗扭長度。

1.4 群樁基礎(chǔ)的荷載分配

將樁基礎(chǔ)假設(shè)為空間結(jié)構(gòu)物，取空間任意一點(diǎn)為原點(diǎn)，豎直向下為y軸，在水平面內(nèi)以右手坐標(biāo)系構(gòu)成x軸和z軸，組成空間結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系如圖4a所示。

在樁基礎(chǔ)中，將每個基樁視為一根桿件，每個桿端結(jié)點(diǎn)有6 個自由度，即沿3 個軸的位移u、v、w 和繞3個軸的轉(zhuǎn)角θx、θy、θz，取三維樁結(jié)構(gòu)物中任意樁i 的樁頭節(jié)點(diǎn)（xi，yi，zi），其樁頭受力Pi在坐標(biāo)軸方向的分量為Hxi、Vyi、Hzi，樁頭彎矩為Mxi、Myi、Mzi。使力（Hxi，Vyi，Hzi）的正方向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸正向一致，力矩（Mxi、Myi、Mzi）用下標(biāo)表示各自的坐標(biāo)軸，按右手法則，取螺旋前進(jìn)的回轉(zhuǎn)方向?yàn)檎?。記樁i的樁頭節(jié)點(diǎn)位移ui在坐標(biāo)軸方向上的分量為ui、vi、wi，節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為θxi、θyi、θzi，取與外力的正向一致為正。以（xi，yi，zi）為原點(diǎn)，樁軸方向?yàn)閥i'軸，在水平面內(nèi)取zi'軸，同yi'，zi'所構(gòu)成的平面相垂直的方向?yàn)閤i'軸，建立樁桿件的局部坐標(biāo)系xi'，yi'，zi'。樁頭的力及位移，在局部坐標(biāo)系中的分量分別為Pi'=（Hxi'，Vyi'，Hzi'，Mxi'，Myi'，Mzi'）T及ui'=（ui'，vi'，wi'，θxi'，θyi'，θzi'）T，正向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系定義相同。如圖4b、圖4c所示。

記第i根樁的樁軸所在的豎直平面內(nèi)樁的傾斜角為φi，豎直面與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的x 軸的夾角為ψi，如圖4d所示。

圖4 樁結(jié)構(gòu)物的坐標(biāo)系Fig.4 Coordinate System of Pile Foundation

對于三維樁結(jié)構(gòu)物，取承臺的重心上為結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的原點(diǎn)。記作用在原點(diǎn)的外力為P0=（X0，Y0，Z0，Mx0，My0，Mz0）T，原點(diǎn)O的位移為u0=（u0，v0，w0，α0，β0，γ0）T，正向與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系的正向一致。根據(jù)空間的幾何關(guān)系與樁頭剛度的意義，可得以下矩陣變換:

式中:K1i、K2i、K3i、K4i、KVi、KDi為第i根樁的樁頭剛度系數(shù)。式⑺可化簡可為:

其中:

由式⑼可以求解得到u0。再按照ui?ui'?Pi'的順序可以求得承臺下每根樁分配得到的荷載Pi'。最后按單樁分析的方法計(jì)算每根樁的內(nèi)力與位移。

2 群樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與分析程序

關(guān)于群樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)與分析理論，前文已介紹了設(shè)計(jì)與分析的方法。如果在樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)與計(jì)算的過程中采用人工計(jì)算的方法，將會占用大量的人力時間，故需將這些設(shè)計(jì)與分析轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)語言，開發(fā)出用戶界面友好的應(yīng)用程序，達(dá)到程序化求解的目的。首先，要明確計(jì)算流程，將工程分析設(shè)計(jì)的實(shí)際問題抽象為計(jì)算模型，編寫計(jì)算框圖。其次，根據(jù)計(jì)算機(jī)求解的具體問題，選取合適的計(jì)算機(jī)語言與開發(fā)平臺，設(shè)計(jì)一個合理的界面，建立樁土模型，并進(jìn)行計(jì)算。最后將計(jì)算的結(jié)果整理后以圖表的方式輸出。下面簡要介紹程序的實(shí)現(xiàn)與功能。

2.1 程序的開發(fā)及功能特色

群樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與分析程序采用面向?qū)ο蟮姆椒ǎ訴isual C++6.0 為平臺，具有數(shù)據(jù)與圖形結(jié)合的人機(jī)對話界面，加載了BC++與VC++數(shù)值分析計(jì)算類庫［8］進(jìn)行輔助計(jì)算，完成了群樁基礎(chǔ)的設(shè)計(jì)與分析的復(fù)雜計(jì)算。本程序界面為Windows 標(biāo)準(zhǔn)界面。主窗口采用tab控件，便于6個子對話框切換［9］。

2.2 程序結(jié)構(gòu)及使用簡介

群樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)與分析程序主要由前處理部分、核心計(jì)算部分、后處理部分組成。在主頁、樁基礎(chǔ)的布置、土層條件、荷載條件、邊界與樁身材料條件5 個子對話框中建立三維樁土模型。

在計(jì)算與分析對話框中，進(jìn)行承臺的空間位移、樁基剛度、承載力、荷載分配及受力與變形計(jì)算，如圖5所示。

程序的后處理主要將計(jì)算的數(shù)據(jù)結(jié)果存儲并以圖表格式輸出。本程序計(jì)算了每根基樁沿樁軸方向的水平位移、彎矩、剪力及橫向地基反力，并將計(jì)算結(jié)果以text 文本輸出，如圖6 所示。計(jì)算結(jié)果也以圖形輸出，繪制每根基樁的水平位移、彎矩、剪力、橫向地基反力的受力曲線，如圖7 所示。直觀地判斷每根樁的水平位移、彎矩、剪力、橫向地基反力的最大值及其深度。

圖5 樁基礎(chǔ)的計(jì)算與分析Fig.5 Calculation and Analysis of Pile Foundation

圖6 樁基礎(chǔ)受力與變形計(jì)算結(jié)果Fig.6 Bearing and Deformation of Piles Foundation

圖7 樁基礎(chǔ)受力與變形曲線Fig.7 The Curves of Piles Foundation

3 算例及工程應(yīng)用

Poulos 等人［10-15］做了一些樁基礎(chǔ)的試驗(yàn)與計(jì)算。在如圖8 所示的算例中，樁基礎(chǔ)為6 樁承臺的群樁，樁端位于兩層土中。土層性質(zhì)如表1 所示。樁采用C30 的混凝土預(yù)制樁，直徑為0.6 m，其彈性模量為3 107 kPa。承臺受豎直荷載為4 000 kN，水平荷載為550 kN。

采用本文方法計(jì)算時，各層土地基反力系數(shù)的參數(shù)取值如表2所示。

用張法、m 法和c 法分別分析了前排樁傾角取值為0°、7.5°、15°時的樁土模型。計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)計(jì)算的結(jié)果對比如圖9所示。

圖8 樁基礎(chǔ)設(shè)計(jì)Fig.8 The Design of Pile Foundation

表1 土層性質(zhì)Tab.1 The Soil Layer Property of Pile Foundation

表2 各層土地基反力系數(shù)的推薦值Tab.2 Parameters for Modulus of Subgrade Reaction

圖9 帶斜樁的群樁算例Fig.9 An Example of Group Piles with Inclined Piles

通過對比計(jì)算結(jié)果對比分析可知:

⑴基于線性彈性模型的梁柱原理假設(shè)計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典算例的結(jié)果有較好的一致性；

⑵不同線彈性理論的地基系數(shù)假設(shè)（張法、m 法及c法）對樁頭位移、彎矩影響較小；

⑶通過不同角度的斜樁布置對比分析可知，在不考慮豎向力影響的時候，斜樁可以提高水平承載力，減小水平位移。

4 結(jié)語

本文將樁與承臺看作為一個整體結(jié)構(gòu)物，特別是考慮到樁基礎(chǔ)中存在斜樁的情況，通過線彈性的假設(shè)原理，依靠樁基礎(chǔ)中各基樁的剛度計(jì)算得到各基樁的荷載分配與位移，并采用有限差分法計(jì)算每根樁在不同深度的受力與位移。最后通過不同傾角、不同橫向地基反力系數(shù)的計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典算例對比分析可知，本文的設(shè)計(jì)與分析方法有較好的準(zhǔn)確性。

為了將設(shè)計(jì)人員從較繁重的設(shè)計(jì)與計(jì)算中解脫出來，提高設(shè)計(jì)效率，減少計(jì)算錯誤，開發(fā)了對應(yīng)的設(shè)計(jì)與分析程序，通過直觀的建立三維樁土模型，計(jì)算各樁的受力與位移情況，并能直觀方便修改樁土模型，通過變剛度原理調(diào)整各基樁的受力與變形，從而優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，具有很好的工程實(shí)用性。