一類(lèi)病毒自發(fā)變異時(shí)滯SIR傳染病模型穩(wěn)定性分析

李冬梅 付玉立 高添奇 李晨辰

摘要：考慮了病毒自發(fā)變異對(duì)傳染病流行的影響，建立了具有自發(fā)病毒變異的時(shí)滯SIR傳染病模型，給出無(wú)病平衡點(diǎn)，單株地方病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的存在性、局部穩(wěn)定充分條件。通過(guò)構(gòu)造Liapunov函數(shù)，證明了無(wú)病平衡點(diǎn)、單株地方病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定性。借助數(shù)值模擬的方法，分析了病毒自發(fā)變異對(duì)疾病傳播的影響。

關(guān)鍵詞：病毒自發(fā)變異;平衡點(diǎn);穩(wěn)定性

DOI：10.15938/j.jhust.2020.02.022

中圖分類(lèi)號(hào)：0175.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1007-2683（2020）02-0166-07

0引言

傳染病動(dòng)力學(xué)模型在了解疾病的傳播規(guī)律和預(yù)測(cè)疾病流行趨勢(shì)中發(fā)揮著極其特殊的作用。針對(duì)病原體為病毒類(lèi)型的傳染病，可借助病毒動(dòng)力學(xué)傳染病模型的定量分析來(lái)了解疾病的變化趨勢(shì)，制定疾病防控策略已取得諸多的結(jié)果。但是，病毒在其傳播過(guò)程中受到多因素的影響，可能會(huì)發(fā)生自身變異現(xiàn)象，從而改變?cè)械膫鞑ヒ?guī)律和治愈率，病毒變異感染者會(huì)再次傳播疾病可能會(huì)導(dǎo)致疾病流行。無(wú)變異病毒動(dòng)力學(xué)模型的研究結(jié)果無(wú)法了解更多的病毒變異后疾病流行趨勢(shì)，如乙肝病毒、狂犬病毒。通過(guò)研究帶有病毒變異后的傳染病模型，將有助于了解疾病感染者數(shù)量的最終演變趨勢(shì)，可為制定防控措施提供一定理論依據(jù)。有關(guān)病毒變異傳染病傳播問(wèn)題的研究結(jié)果不多。文考慮病毒感染者和病毒變異感染者兩類(lèi)人群均具有傳染性，經(jīng)過(guò)治愈后不具有免疫性，建立了如下分段傳播的無(wú)免疫一類(lèi)的傳染病S賜模型，研究了兩類(lèi)人群存在平衡狀態(tài)及其穩(wěn)定性。

文考慮病毒變異感染者是由病毒感染者經(jīng)過(guò)一定時(shí)間時(shí)滯轉(zhuǎn)移而來(lái)的，建立了如下無(wú)免疫的一類(lèi)具有時(shí)滯的病毒變異的5/s模型，研究了模型的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病的穩(wěn)定性。

本文考慮了病毒侵人感染者體內(nèi)經(jīng)過(guò)治療，部分感染者治愈而獲得免疫。還有部分感染者會(huì)在一段時(shí)間內(nèi)發(fā)生病毒變異，成為新的一類(lèi)感染者，這類(lèi)人群可以采取新的治療措施，治愈后也獲得免疫。在此治療期間這兩類(lèi)患者均具有感染能力。因而建立了如下帶有雙線(xiàn)性發(fā)生率的具有免疫的病毒自身變異的時(shí)滯傳染病SIX模型。

其中S（t），I₁（t），I₂（t），R（t）分別是t時(shí)刻易感人數(shù)、病毒自身變異前的患者、病毒自身變異后的患者和恢復(fù)的人數(shù);A是輸入率;β₁和β₂分別表示病毒自身變異前患者和病毒自身變異后患者的傳染率系數(shù);ε為變異前患者變?yōu)樽儺惡蠡颊叩乃俾?d為死亡率;γ₁為病毒自身變異前的恢復(fù)率;γ₂為病毒自身變異后的恢復(fù)率;τ為病毒自身變異時(shí)間。假設(shè)ε

顯然區(qū)域Ω={（S，I₁，I₂）|S（t）≥0，I₁（t）≥0，I₂（t）≥0，S（t）+I₁（t）+I₂（t）≤A/d|是模型（2）正向不變集。

1 主要結(jié)果

1.1 模型平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

模型（2）的平衡點(diǎn)滿(mǎn)足下列方程

2 數(shù)值模擬

取模型（1）中的參數(shù)A=10，d=1，β₁=0.03，β₂=0.05，ε=0.1，τ=0.01，γ₁=0.02，γ₂=0.04.經(jīng)計(jì)算滿(mǎn)足R₂≤R₁≤1，定理3可知無(wú)病平衡點(diǎn)E₀全局漸近穩(wěn)定，其數(shù)值模擬圖見(jiàn)圖1.

若取模型（1）的參數(shù)為A=10，d=0.4，ε=0.03，τ=0.1，β₁=0.02，β₂=0.04，變異前的恢復(fù)率γ₁，變異后的恢復(fù)率γ₂分別取γ₁=0.02，γ₂=0.4;γ₁=0.2，γ₂=0.5.

經(jīng)計(jì)算，均滿(mǎn)足R₁<1，R₂>1，由定理4，知單株地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的，其數(shù)值模擬圖見(jiàn)圖2（a），2（b）。

取模型（1）中的參數(shù)為A=8，d=0.4，β₁=0.03，β₂=0.05，ε=0.09，τ=0.1，變異前的恢復(fù)率γ₁變異后的恢復(fù)率γ₂分別取γ₁=0.02，γ₂=0.4;γ₁=0.02，γ₂=0.5;γ₁=0.1，γ₂=0.4，經(jīng)計(jì)算均滿(mǎn)足R₂<1，R₁>1，由定理6，模型（1）存在地方病平衡點(diǎn)E₂全局漸近穩(wěn)定，其數(shù)值模擬圖見(jiàn)圖3（a），圖3（b），圖3（c），圖3（d）。

若取模型（1）中的參數(shù)為A=10，d=0.4，ε=0.03，τ=0.1，β₁=0.05，β₂=0.03，變異前的恢復(fù)率γ₁變異后的恢復(fù)率γ₂分別取γ₁=0.2，γ₂=0.5;γ₁=0.3，γ₂=0.2.經(jīng)計(jì)算，滿(mǎn)足R₁>R₂>1，由定理1知，模型（1）存在單株地方病平衡點(diǎn)E₁，地方病平衡點(diǎn)E₂。模型（1）的數(shù)值模擬圖如圖4（a），4（b）所示。發(fā)現(xiàn)地方病平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的，單株地方病平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的。