閥控電液位置伺服系統(tǒng)滑模反步控制方法

吉鑫浩，汪成文,2，陳帥，張震陽(yáng)

(1.太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，山西太原，030024；2.浙江大學(xué)流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江杭州，310058)

電液伺服系統(tǒng)具有功重比高的優(yōu)點(diǎn)，能在有限的空間里輸出更大的力或力矩，被廣泛應(yīng)用于挖掘機(jī)[1]、隧道掘進(jìn)機(jī)[2]、工業(yè)機(jī)器人[3]和電液負(fù)載模擬器[4-6]等。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，電液伺服系統(tǒng)經(jīng)常受到非匹配干擾力如摩擦力、隨機(jī)外負(fù)載干擾力等的作用，對(duì)系統(tǒng)的控制精度有重要影響。因非匹配干擾與系統(tǒng)輸入不在同一個(gè)狀態(tài)方程中，通過(guò)控制系統(tǒng)輸入無(wú)法直接處理非匹配干擾，所以，如何抑制非匹配干擾的問(wèn)題一直是工業(yè)界和學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)。目前，一些控制方法已經(jīng)被用于處理非匹配干擾問(wèn)題。WANG等[6]針對(duì)負(fù)載模擬器力矩跟蹤系統(tǒng)，通過(guò)反步法實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)中非匹配的多余力與摩擦力的補(bǔ)償，有效抑制了非匹配干擾力對(duì)系統(tǒng)的影響。石勝利等[7]設(shè)計(jì)了一種基于干擾觀測(cè)器的反步位置跟蹤控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)外部擾動(dòng)的實(shí)時(shí)補(bǔ)償，并解決了傳統(tǒng)反步控制中存在的計(jì)算膨脹問(wèn)題。李浩等[8]提出一種反步非奇異快速終端滑?？刂品椒?，即先通過(guò)反步法有效抑制了系統(tǒng)中非匹配干擾的影響，在反步法最后一步構(gòu)造快速終端滑模消除匹配干擾力對(duì)系統(tǒng)的影響，該方法對(duì)匹配與非匹配干擾都具有一定的魯棒性。CHOI[9]使用LMI(linear matrix inequality)方法設(shè)計(jì)了線性滑模面，使得滑模對(duì)一類(lèi)特殊的非匹配擾動(dòng)具有不變性。YANG等[10]設(shè)計(jì)了連續(xù)終端滑?？刂破?，并利用有限時(shí)間干擾觀測(cè)器估計(jì)非匹配干擾，實(shí)現(xiàn)了估計(jì)誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂，有效抑制了非匹配干擾。WANG 等[11]利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了對(duì)存在未知外部常值干擾和參數(shù)不確定性的系統(tǒng)的漸進(jìn)跟蹤。鄭劍飛等[12-13]提出一種高階終端滑?？刂品椒ǎ行б种屏讼到y(tǒng)中的匹配與非匹配干擾，并且提高了收斂速度和跟蹤精度，消除了控制“抖振”。CAO等[14]設(shè)計(jì)了一種積分滑模，通過(guò)高精度的切換增益使系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模，該方法有效地抑制了系統(tǒng)中的非匹配干擾，但易導(dǎo)致滑?？刂浦械摹岸墩瘛眴?wèn)題。蒲明等[15]針對(duì)高階非線性系統(tǒng)，利用高階滑模微分器作為間接干擾觀測(cè)器，估計(jì)系統(tǒng)中的非匹配復(fù)合干擾，然后設(shè)計(jì)遞階Terminal滑模控制器，理論上能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)跟蹤誤差任意小。GUAN等[16-17]使用自適應(yīng)滑?？刂品椒▽?shí)現(xiàn)了對(duì)閥控系統(tǒng)與泵控系統(tǒng)的控制，即利用反步自適應(yīng)方法處理參數(shù)不確定性，并通過(guò)滑模控制方法處理反步自適應(yīng)的誤差與外界干擾力，但該控制方法針對(duì)的參數(shù)不確定性與外界干擾都是匹配的。反步法是一種常用的非線性設(shè)計(jì)方法，其思想是依據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理設(shè)計(jì)系統(tǒng)各狀態(tài)的虛擬控制器，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的控制。使用反步法能有效補(bǔ)償系統(tǒng)中的非匹配干擾，但其依賴(lài)于系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型，而滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型精度不敏感，可完全消除匹配干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，但難以處理非匹配干擾。針對(duì)反步法依賴(lài)于系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型與滑?？刂齐y以處理非匹配干擾的研究現(xiàn)狀，本文作者提出一種滑模反步控制方法，通過(guò)設(shè)計(jì)一種新的光滑連續(xù)一階可導(dǎo)的滑?？刂坡桑鉀Q滑?？刂品椒ㄅc反步控制方法之間的設(shè)計(jì)沖突，為滑模與反步法的結(jié)合提供理論依據(jù)；然后，利用李雅普諾夫穩(wěn)定性判定方法證明算法的穩(wěn)定性與最大跟蹤誤差的收斂性；最后，以閥控電液位置伺服系統(tǒng)為研究對(duì)象，對(duì)算法進(jìn)行聯(lián)合仿真，驗(yàn)證控制策略對(duì)未知數(shù)學(xué)模型的非匹配干擾與控制輸出“抖振”的抑制效果，并與PID控制器、反步控制器進(jìn)行比較。

1 系統(tǒng)描述

1.1 閥控電液位置伺服系統(tǒng)組成

閥控電液位置伺服系統(tǒng)構(gòu)成如圖1所示。閥控電液位置伺服系統(tǒng)通過(guò)控制伺服閥的閥芯位移來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)液壓缸活塞位置的控制。

1.2 閥控電液位置伺服系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

對(duì)稱(chēng)液壓缸的動(dòng)態(tài)可以被描述為

式中：m為負(fù)載的質(zhì)量；xp為液壓缸活塞的位移；PL=P1-P2，為負(fù)載壓力；P1為液壓缸左腔壓力；P2為液壓缸右腔壓力；A為液壓缸活塞的有效面積；ff為摩擦力；f為隨機(jī)外負(fù)載力與未建模非匹配干擾力的合力。

流量連續(xù)性方程推導(dǎo)過(guò)程基于以下假設(shè)：

1)使用的伺服閥是匹配對(duì)稱(chēng)的理想零開(kāi)口閥；

2)滑閥與液壓缸的外泄不計(jì)；

3)供油壓力恒定；

4)系統(tǒng)的總壓縮容積在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中不變。

基于以上假設(shè)可得系統(tǒng)的流量連續(xù)性方程[18]為

圖1 閥控電液位置伺服系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of valve-controlled electrohydraulic position servo system

式中：QL為負(fù)載流量；Ct為系統(tǒng)總的內(nèi)泄漏系數(shù)；βe為油液體積彈性模量；Vt為系統(tǒng)的總壓縮容積。

負(fù)載流量與閥芯位移之間的關(guān)系[18]為

式中：Cd為伺服閥的流量系數(shù)；ω為伺服閥的面積梯度；xv為閥芯位移；Ps為供油壓力；ρ為油液密度。

因伺服閥的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)值遠(yuǎn)高于所研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)值，所以，伺服閥的動(dòng)態(tài)被忽略，有

式中：kxv為伺服閥的增益；u為控制輸出。

sgn(x)定義了一個(gè)不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)：

選取活塞位移xp、線速度xp以及負(fù)載壓力PL為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即x=[x1，x2，x3]=[xp，xp，PL]。結(jié)合式(1)～(5)可得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

式中：F=ff+f，為摩擦力與隨機(jī)外負(fù)載力、未建模的非匹配干擾力的合力；θ1=4βeA Vt；。

在動(dòng)態(tài)方程(6)中，F(xiàn)為未知數(shù)學(xué)模型的非匹配干擾，對(duì)系統(tǒng)的位置跟蹤精度有重要的影響，本文的目的是給定一個(gè)參考的位置軌跡xd，設(shè)計(jì)滑模反步控制律去生成一個(gè)控制輸出u，有效抑制F對(duì)系統(tǒng)的影響，使得系統(tǒng)輸出y=x1以較高的精度跟蹤參考軌跡xd。

2 控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性證明

將滑?？刂评碚撆c反步遞推控制器設(shè)計(jì)方法相結(jié)合設(shè)計(jì)滑模反步控制器，并證明控制算法的穩(wěn)定性以及最大跟蹤誤差的收斂性?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)過(guò)程基于以下假設(shè)：

1)參考位置軌跡3階可導(dǎo)；

2)|F|max有界；

3)參數(shù)βe與Ct在系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中不變。

在式(6)所示的動(dòng)態(tài)方程組中，F(xiàn)位于第2個(gè)方程式中，為非匹配干擾，通常的做法是采用反步法來(lái)補(bǔ)償F的影響，但F的數(shù)學(xué)模型未知，傳統(tǒng)反步法達(dá)不到預(yù)期效果。考慮前2個(gè)方程式，若將第2 個(gè)方程式中的x3看作虛擬控制輸出，則F相對(duì)于x3為匹配干擾，因此采用滑?？刂品椒ǖ玫降睦硐離3可完全消除F對(duì)系統(tǒng)的影響。x3的虛擬控制器的設(shè)計(jì)采用滑模設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)過(guò)程如下。

定義xd為參考位置軌跡，定義位置跟蹤誤差e1為

定義滑模函數(shù)S為

式中：λ為正常數(shù)。

S對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

若將式(9)中的x3看作滑模控制輸出，則等效的負(fù)載壓力x3eq可設(shè)計(jì)為

由等效負(fù)載壓力x3eq可設(shè)計(jì)對(duì)于x3的虛擬控制量x3d即期望的負(fù)載壓力，因后續(xù)設(shè)計(jì)要求x3d對(duì)時(shí)間連續(xù)可導(dǎo)，而傳統(tǒng)的滑模控制律因使用符號(hào)函數(shù)，使得x3d在S=0 時(shí)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)不存在，為保證x3d對(duì)時(shí)間連續(xù)可導(dǎo)，本文提出一種新的光滑連續(xù)一階可導(dǎo)的滑?？刂坡伞?/p>

當(dāng)|S|≥ξ，x3d被設(shè)計(jì)為

當(dāng)|S|＜ξ，x3d被設(shè)計(jì)為

式中：|F|max用于消除摩擦力與隨機(jī)外負(fù)載力、未建模非匹配干擾力對(duì)系統(tǒng)的影響；б為一個(gè)大于零的常數(shù)，可適當(dāng)加快S的收斂速度；ξ為一足夠小的正數(shù)。

式(11)和(12)中，在|S|＜ξ的范圍內(nèi)用光滑連續(xù)的函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，既保證滑模控制律x3d對(duì)時(shí)間連續(xù)可導(dǎo)，滿足算法推導(dǎo)的條件，同時(shí)也使得x3d光滑連續(xù)，抑制了滑?？刂频亩秳?dòng)。此外，本文提出的新的滑?？刂坡蛇€有利于算法穩(wěn)定性證明與跟蹤誤差收斂性的定量分析。

由式(11)可得當(dāng)|S|≥ξ，x3d對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

由式(12)可得當(dāng)|S|＜ξ，x3d對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

定義x3與x3d之間的誤差e3為

定義李雅普諾夫函數(shù)V1為

則V1對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

剩余的任務(wù)是通過(guò)反步設(shè)計(jì)方法由x3d推導(dǎo)出真正的控制輸出u，并證明控制算法的穩(wěn)定性。由式(3)與式(4)可知，真正的控制輸出u由負(fù)載壓力與負(fù)載流量共同決定，所以，首先由x3d推導(dǎo)出期望的負(fù)載流量QLd。由式(2)可得：

式中：β=4βeVt。

定義李雅普諾夫函數(shù)V為

當(dāng)|S|≥ξ，V對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

為保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，令

式中：k為一個(gè)正常數(shù)。

則可得期望的負(fù)載流量QLd為

然后，由期望的負(fù)載流量QLd與負(fù)載壓力x3來(lái)導(dǎo)出真正的控制輸出u。由式(3)與式(4)可知導(dǎo)出u的主要困難是確定參數(shù)Cd與ω，這些參數(shù)與伺服閥的結(jié)構(gòu)有關(guān)，往往無(wú)法獲得精確值。

伺服閥額定流量Qr的計(jì)算公式為

式中：umax為伺服閥的最大控制輸入；Δpdrop為伺服閥額定壓降。

由式(3)，(4)和(23)可得控制器實(shí)際的控制輸出為

最后，證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最大跟蹤誤差的收斂性。當(dāng)|S|≥ξ，期望的負(fù)載流量QLd可保證式(25)恒成立，且只在ei(i=1,3)=0 時(shí)等號(hào)成立，所以系統(tǒng)收斂。

當(dāng)|S|＜ξ，V對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

此時(shí)，QLd雖然不能保證式(25)恒成立，但由式(8)可知，其引起的最大位置跟蹤誤差e1( )t為

式中：t0為系統(tǒng)第一次到達(dá)|S|=ξ的時(shí)刻；τ為積分變量。

因λ＞0，e1(t0)為一有限常數(shù)，則當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，可得最大位置跟蹤誤差為

從頻域的角度對(duì)誤差的收斂性進(jìn)行分析，也可以得到相同的結(jié)論，對(duì)式(27)作拉氏變換得：

式中：s為拉普拉斯算子；E1(s)為e1(t)的拉氏變換。

由終值定理可得，當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)系統(tǒng)最大位置跟蹤誤差為

由式(28)與式(30)可知，理論上可通過(guò)選擇合適的ξ和λ使得系統(tǒng)最大位置跟蹤誤差任意小。所以，采用本文中的滑模反步控制策略可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性與最大跟蹤誤差的收斂性。

綜上，閥控電液位置伺服系統(tǒng)的滑模反步控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性、跟蹤誤差的收斂的理論證明已經(jīng)完成，控制器計(jì)算過(guò)程圖如圖2所示。

3 仿真研究

為驗(yàn)證滑模反步控制器對(duì)未知非匹配干擾與控制輸出抖振的抑制效果，對(duì)算法進(jìn)行仿真研究。仿真研究在基于AMESim 和Matlab/Simulink 的聯(lián)合仿真平臺(tái)上進(jìn)行。聯(lián)合仿真模型如圖3所示。閥控電液位置伺服系統(tǒng)模型在AMESim 中搭建，仿真過(guò)程中算法在Matlab/Simulink 中計(jì)算。仿真模型中考慮了內(nèi)泄、摩擦力、外負(fù)載力等對(duì)系統(tǒng)的影響，其中摩擦力、外負(fù)載力為未知非匹配干擾。

仿真模型的主要參數(shù)如表1所示。仿真的采樣間隔設(shè)置為0.001 s。

所選參考位置信號(hào)為：xd=0.05sin(2πt)。外部干擾力信號(hào)在0 s 時(shí)加入，系統(tǒng)中的摩擦力與所加干擾力在算法設(shè)計(jì)過(guò)程中作為有界未知干擾力，在0 s所加外部干擾力信號(hào)為：x1=2 000sin(2πt)。加入此干擾力是為了驗(yàn)證控制器對(duì)未知非匹配干擾的抑制作用。

PID控制器因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單且具有較強(qiáng)的適應(yīng)性與魯棒性，被廣泛應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)中；反步控制器常被用于處理非匹配干擾。為驗(yàn)證滑模反步控制器對(duì)未知非匹配干擾的抑制效果，將滑模反步控制器與PID控制器、反步控制器進(jìn)行對(duì)比研究。控制器參數(shù)選擇3 個(gè)控制器各自表現(xiàn)較好的參數(shù)值。其中PID 控制器參數(shù)KP=3 000，KI=1 500，KD=0；反步控制器參數(shù)選擇為k1=200，k2=600，k3=300；滑模反步控制器的參數(shù)選擇為λ=300，ξ=0.3，σ=800，k=350。

圖2 控制器計(jì)算過(guò)程圖Fig.2 Diagram of controller computing process

圖3 聯(lián)合仿真模型Fig.3 Co-simulation model

表1 仿真模型參數(shù)Table 1 Parameters of simulation model

3個(gè)控制器的控制結(jié)果對(duì)比與控制輸出對(duì)比分別如圖4～6所示。

圖4 不同控制器跟蹤結(jié)果對(duì)比圖Fig.4 Comparison of simulation results of different controllers

由圖4和圖5可見(jiàn)：在考慮了摩擦力、外負(fù)載干擾力等未知非匹配干擾情況下，在整個(gè)控制過(guò)程中滑模反步控制器對(duì)未知非匹配干擾的抑制效果最好，反步控制器次之，PID控制器最差。由圖6 可見(jiàn)：滑模反步控制輸出穩(wěn)定后不存在抖動(dòng)現(xiàn)象，這是由于采用本文提出的新的光滑連續(xù)的滑?？刂坡桑捎行У匾种瓶刂戚敵龅亩秳?dòng)。

圖5 不同控制器跟蹤誤差對(duì)比圖Fig.5 Error comparison of different controllers

圖6 不同控制器控制輸出對(duì)比圖Fig.6 Contrast of control output of different controllers

為定量分析3個(gè)控制器的控制效果以及確保對(duì)比環(huán)境的公平性，定義以下3個(gè)參數(shù)：

式中：e(i)為第i次采樣時(shí)的跟蹤誤差；N為記錄的跟蹤誤差數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)；u(i)為第i次采樣時(shí)的控制輸出值；IAPE為最大的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差絕對(duì)值，IAPE越大控制效果越差；IMSE為穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差均方值，IMSE越大控制效果越差；IMSC為控制輸出均方值，可以反映控制器輸出信號(hào)的強(qiáng)度。

計(jì)算得到所定義的各控制器指標(biāo)如表2所示。

表2 控制器評(píng)價(jià)指標(biāo)Table 2 Parameters of controller evaluation

由表2可知滑模反步控制器的IAPE與IMSE明顯比PID 控制器與反步控制器的小，且IMSC為三者之中的最小值，說(shuō)明在控制器輸出強(qiáng)度較小的情況下，滑模反步控制器的控制效果明顯優(yōu)于PID與反步控制器的控制效果。這是因?yàn)镻ID控制器是利用輸入與輸出的偏差進(jìn)行控制的，只考慮了系統(tǒng)輸入與輸出對(duì)系統(tǒng)的影響，因此，計(jì)算的IAPE與IMSE最大，控制效果最差；反步控制器通過(guò)設(shè)置虛擬控制器，使得系統(tǒng)的狀態(tài)都達(dá)到期望值，考慮了系統(tǒng)中的各個(gè)狀態(tài)，因而具有更好的控制效果，但在未知系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的情況下，其控制效果并不理想；滑模反步控制器融合了滑?？刂婆c反步控制的優(yōu)點(diǎn)，在未知系統(tǒng)精確數(shù)學(xué)模型的情況下，依然具有良好的控制效果。

4 結(jié)論

1)滑模反步控制算法能夠有效抑制系統(tǒng)中的未知非匹配干擾，其控制效果相比PID控制器與反步控制器分別提高了87.7%和66.4%。

2)本文提出的新的光滑連續(xù)滑?？刂坡刹粌H為滑?？刂婆c反步法的結(jié)合提供理論依據(jù)，而且也有效地抑制了滑?？刂浦写嬖诘妮敵龆墩駟?wèn)題。

3)通過(guò)Lyapunov 理論證明了該算法的穩(wěn)定性與跟蹤誤差的收斂性。理論上，該算法能夠?qū)崿F(xiàn)跟蹤誤差任意小。