數(shù)控周邊磨床主軸系統(tǒng)熱關(guān)鍵點(diǎn)選取及熱誤差建模

廖啟豪，王玲，殷國富，謝政峰

(四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川成都，610065)

熱誤差是機(jī)床誤差的主要來源之一，由溫度引起的誤差可以占到機(jī)床總幾何誤差的75%[1]。減少熱誤差的途徑主要包括熱誤差防止、熱誤差控制和熱誤差補(bǔ)償3種方法，與前2種方法相比，熱誤差補(bǔ)償更易實(shí)現(xiàn)且成本更低[2]。熱誤差補(bǔ)償主要通過建立熱誤差模型實(shí)現(xiàn)，熱誤差建模依賴于熱關(guān)鍵點(diǎn)的溫度，因此，熱關(guān)鍵點(diǎn)選取和熱誤差建模是熱誤差補(bǔ)償?shù)闹饕芯績?nèi)容。馬馳等[3-4]通過模糊聚類和灰色聚類方法選取熱關(guān)鍵點(diǎn)，并通過遺傳算法和粒子群算法尋找合適參數(shù)建立了基于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的熱誤差模型；譚峰等[5-6]通過模糊C均值聚類選取熱關(guān)鍵點(diǎn)，并基于集成BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向量機(jī)建立了主軸熱誤差模型；周寶倉等[7]通過模糊聚類和相關(guān)系數(shù)確定熱關(guān)鍵點(diǎn)，建立了基于最小二乘方法的熱誤差模型；張捷等[8]通過模糊聚類和灰色關(guān)聯(lián)度方法選取了熱關(guān)鍵點(diǎn)，建立了基于遺傳算法徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高速電主軸熱誤差預(yù)測模型；DU 等[9]從相關(guān)性的角度出發(fā)，選取了與熱誤差相關(guān)系數(shù)最大的點(diǎn)作為熱關(guān)鍵點(diǎn)；LIU等[10]采用模糊聚類和灰色關(guān)聯(lián)度結(jié)合的方法選取熱關(guān)鍵點(diǎn)，并采用嶺回歸算法建立熱誤差模型。上述建模方法在對溫度測點(diǎn)分類之后多采用相關(guān)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度方法在每一類中選取熱關(guān)鍵點(diǎn)。已有研究[11-12]表明，根據(jù)溫度與熱誤差之間的關(guān)系所確定的熱關(guān)鍵點(diǎn)是動態(tài)變化的，即機(jī)床在不同運(yùn)行狀態(tài)下確定的熱關(guān)鍵點(diǎn)不完全一致。為此，本文作者提出一種基于時間特性的熱關(guān)鍵點(diǎn)選取方法，在選點(diǎn)過程中只依賴于溫度測點(diǎn)的溫度；針對數(shù)控周邊磨床主軸系統(tǒng)，實(shí)施不同運(yùn)行狀態(tài)下的熱誤差實(shí)驗(yàn)，并從16 個溫度測點(diǎn)中選取3個溫度測點(diǎn)作為熱關(guān)鍵點(diǎn)；利用多元線性回歸、BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等方法建立熱誤差模型，以驗(yàn)證本文熱關(guān)鍵點(diǎn)選取方法的有效性。

1 熱關(guān)鍵點(diǎn)選取方法

熱關(guān)鍵點(diǎn)是指在機(jī)床熱誤差建模過程中其溫度變化對熱誤差有決定性影響的溫度測量點(diǎn)[2]。熱關(guān)鍵點(diǎn)的選取一般包括分類和選擇，即先將所有的溫度測量點(diǎn)分為幾類，再從每一類中選取特定的點(diǎn)作為熱關(guān)鍵點(diǎn)。通過比較溫度與熱誤差之間的相關(guān)性來選擇同一類中的熱關(guān)鍵點(diǎn)，是一種常見的選點(diǎn)策略。但是，對于機(jī)床主軸系統(tǒng)來說，使用不同轉(zhuǎn)速圖譜下的溫度和熱誤差得到的熱關(guān)鍵點(diǎn)是不恒定的[12]。特定轉(zhuǎn)速圖譜下得到的熱關(guān)鍵點(diǎn)在用于預(yù)測該轉(zhuǎn)速圖譜的熱誤差時能保證一定的精度，但當(dāng)用于其他轉(zhuǎn)速圖譜下的熱誤差預(yù)測時，不能保證有良好的泛化性能。

基于相關(guān)性的熱關(guān)鍵點(diǎn)選取方法強(qiáng)調(diào)了溫度與熱誤差的相關(guān)關(guān)系，卻忽略了其因果性。主軸系統(tǒng)的軸向伸長量取決于流入和流出的熱量，前后軸承是主軸系統(tǒng)最主要的熱源，由此可以得到主軸軸向熱變形的初步理論模型[13]為

式中：δ為軸向熱變形；Tfec為前端面溫度；Tfb為前軸承溫度；Te為環(huán)境溫度；αt為待定參數(shù)；L為伸出端長度。

上述參數(shù)中，前軸承溫度Tfb代表了熱源溫度，符合熱關(guān)鍵點(diǎn)的溫度要求。但對于主軸系統(tǒng)而言，直接測量熱源溫度需要破壞主軸箱結(jié)構(gòu)，選擇主軸箱外表面靠近熱源的點(diǎn)作為熱關(guān)鍵點(diǎn)是可行的方式之一。已有的研究表明，越靠近熱源的點(diǎn)，在整個熱誤差實(shí)驗(yàn)過程中相對于其他溫度測量點(diǎn)其溫度最先達(dá)到最大值[9]?；谶@種時間特性，本文作者提出1 種熱關(guān)鍵點(diǎn)的選取方法，其表達(dá)式如下：

式中：xij為第i個溫度測量點(diǎn)在第j分鐘的溫度；α(i)為第i個溫度測點(diǎn)達(dá)到最大溫度時對應(yīng)的時間；β(i)為α(i)歸一化處理后的結(jié)果；m為溫度測量點(diǎn)的總個數(shù)；n為實(shí)驗(yàn)總的測量時間。β(i)越小，即表示該點(diǎn)在整個溫度測量過程中越先達(dá)到最高溫度，越適合作為熱關(guān)鍵點(diǎn)。

2 主軸系統(tǒng)熱誤差實(shí)驗(yàn)

在某型號數(shù)控周邊磨床上布置溫度傳感器和熱誤差傳感器進(jìn)行熱誤差實(shí)驗(yàn)。使用PT100磁吸式溫度傳感器采集主軸系統(tǒng)外表面15 個點(diǎn)的溫度以及距主軸箱一定距離的環(huán)境溫度；同時，非接觸式激光位移傳感器通過夾具固定在床身立柱上，用于測量主軸軸向熱位移。溫度傳感器每分鐘采集1次全部測點(diǎn)的溫度并保存在數(shù)據(jù)采集器中，激光位移傳感器采樣頻率為1.5 kHz，取每分鐘全部測量值的平均值作為該時刻的位移并保存在計(jì)算機(jī)中。

主軸系統(tǒng)表面溫度傳感器布置如圖1所示。其中1號傳感器和4號傳感器分別位于主軸箱表面靠近主軸前后軸承處；2 號和3 號傳感器均布于1 號和4 號傳感器之間；5 號、6 號、7 號和8 號傳感器分別位于1號、2號、3號和4號傳感器下方主軸箱表面凹槽處；9號傳感器位于主軸箱與前端蓋連接處，靠近前軸承；10號、11號、12號和13號傳感器布置于主軸箱與底座螺栓連接處；14 號和15 號傳感器位于主軸電機(jī)與主軸箱連接法蘭兩端；16號傳感器置于距離主軸箱一定距離處，用于測量環(huán)境溫度。

圖1 主軸系統(tǒng)表面溫度傳感器布置Fig.1 Temperature sensors arrangement of spindle system surface

熱誤差實(shí)驗(yàn)分別在3種轉(zhuǎn)速圖譜下進(jìn)行。轉(zhuǎn)速圖譜A 和轉(zhuǎn)速圖譜B 為GB/T 17421.3—2009[14]推薦的變轉(zhuǎn)速圖譜，分3 次連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)，總運(yùn)行時間共240 min，每次連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)之間暫停15 min，共暫停30 min，運(yùn)行完成后停機(jī)冷卻90 min。其中，轉(zhuǎn)速圖譜A的最大轉(zhuǎn)速為3×103r/min，轉(zhuǎn)速圖譜B的最大轉(zhuǎn)速為2×103r/min。變轉(zhuǎn)速圖譜是為了模擬機(jī)床主軸在不同轉(zhuǎn)速下的運(yùn)行情況而設(shè)置的，其轉(zhuǎn)速分布如圖2 所示。轉(zhuǎn)速圖譜C 為恒定轉(zhuǎn)速2×103r/min，運(yùn)行時間為240 min，運(yùn)行完成后停機(jī)冷卻90 min。

圖2 變轉(zhuǎn)速圖譜Fig.2 Variable speed spectrum

通過熱誤差實(shí)驗(yàn)得到3種轉(zhuǎn)速圖譜下的軸向熱誤差分布，如圖3所示。其中，轉(zhuǎn)速圖譜C對應(yīng)的主軸最大熱誤差最大，轉(zhuǎn)速圖譜B對應(yīng)的主軸最大熱誤差最小，這與“轉(zhuǎn)速越大，熱生成量越大，熱誤差越大”的客觀規(guī)律相符。由圖3 還可以看出：在主軸按變轉(zhuǎn)速圖譜運(yùn)行時，3次連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)之間的2次暫停均使軸向熱誤差明顯減少，說明主軸停轉(zhuǎn)以后，由于熱源不再生熱，剩余的熱量不足以維持主軸熱膨脹繼續(xù)。

轉(zhuǎn)速圖譜A對應(yīng)的溫度測點(diǎn)的溫度分布如圖4所示(為便于顯示，圖4 中只展示了偶數(shù)號測點(diǎn)的溫度變化)。由圖4可以看出：溫度最高的3個測點(diǎn)分別為4 號、14 號、8 號，這3 個測點(diǎn)都位于后軸承附近。溫度最低的測點(diǎn)為16 號測點(diǎn)，該測點(diǎn)測量的是距離主軸系統(tǒng)有一定距離的環(huán)境溫度。由此可見，隨著主軸運(yùn)轉(zhuǎn)，距主軸系統(tǒng)較近距離的環(huán)境溫度也隨之變化，說明主軸箱外表面熱邊界條件處于動態(tài)變化之中。

圖3 主軸軸向熱誤差分布Fig.3 Axial thermal error distribution of spindle

圖4 變轉(zhuǎn)速圖譜A對應(yīng)的溫度分布Fig.4 Temperature distribution of variable speed spectrum A

3 熱誤差建模過程與結(jié)果

3.1 溫度測點(diǎn)分類

用于熱誤差建模的熱關(guān)鍵點(diǎn)的數(shù)目不宜過多。一方面，一些無關(guān)數(shù)據(jù)的引入可能影響建模精度；另一方面，實(shí)際應(yīng)用時，機(jī)床表面也不可能布置大量傳感器[2]。按照先分類后選取的原則，需要對16個溫度測點(diǎn)進(jìn)行分類。模糊C均值聚類[15]是一種無監(jiān)督的聚類方法，通過指定聚類數(shù)和模糊權(quán)重指數(shù)，計(jì)算模糊目標(biāo)函數(shù)。

模糊目標(biāo)函數(shù)可以表示為

式中：J為模糊目標(biāo)函數(shù)；c為分類數(shù)；q為權(quán)重指數(shù)；xi為由第i個溫度測量點(diǎn)的溫度數(shù)據(jù)組成的溫度向量；vk為第k個類的聚類中心；uki為第i個溫度測量點(diǎn)對第k個類的隸屬度；dki為溫度向量xi與第k個類的聚類中心vk的距離。

計(jì)算時，先初始化隸屬度矩陣U，然后求得聚類中心V，再計(jì)算隸屬度矩陣U，最后計(jì)算目標(biāo)函數(shù)J。循環(huán)迭代，直到隸屬度變化量滿足給定值或達(dá)到最大迭代次數(shù)時為止。模糊C均值聚類的分類數(shù)需要事先給定，分類數(shù)即是熱關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)目?？紤]到前后軸承作為主要熱源以及其他熱源可能帶來的影響，同時為了盡量減少熱關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)目，對于周邊磨床主軸系統(tǒng)選取熱關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)為3個。將變轉(zhuǎn)速圖譜A對應(yīng)的16個溫度測點(diǎn)的溫度代入計(jì)算，取權(quán)重指數(shù)為2，隸屬度最小變化量為1×10-5，最大迭代數(shù)為300次，得到的溫度測點(diǎn)分類結(jié)果如表1所示。

表1 分類結(jié)果Table 1 Classification results

3.2 熱關(guān)鍵點(diǎn)選取

為驗(yàn)證本文所述熱誤差關(guān)鍵點(diǎn)選取方法的有效性，選擇基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)[7]的方法和基于灰色關(guān)聯(lián)度[8]的方法作為對比。

皮爾遜相關(guān)系數(shù)pi可以表示為

式中：yj為主軸第j分鐘的軸向熱誤差；為第i個溫度測量點(diǎn)的平均溫度；為軸向熱誤差平均值。

同樣地，灰色關(guān)聯(lián)度gi可以表示為

式中：s為溫度測點(diǎn)的數(shù)目；ρ為分辨系數(shù)，通常取0.5；ζij為關(guān)聯(lián)系數(shù)。

分別使用皮爾遜相關(guān)系數(shù)、灰色關(guān)聯(lián)度和式(2)中基于時間特性的排序方法對轉(zhuǎn)速圖譜A 得到的16 個溫度測量點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，按計(jì)算得到的溫度從小到大排序，其排序結(jié)果如表2所示。由表2可以看出：皮爾遜相關(guān)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度的排序結(jié)果相似，因?yàn)?種方法都是以溫度和熱誤差的相關(guān)程度作為計(jì)算的依據(jù)。

表2 不同方法的計(jì)算結(jié)果Table 2 Calculation results of different methods

結(jié)合表1的分類結(jié)果和表2的排序結(jié)果，在每一類中選取排序靠前的點(diǎn)作為熱關(guān)鍵點(diǎn)。當(dāng)選取3個點(diǎn)作為熱關(guān)鍵點(diǎn)時，可以得到基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度以及時間特性3種方法下的選點(diǎn)情況，如圖5所示。值得注意的是，基于灰色關(guān)聯(lián)度的方法和基于皮爾遜相關(guān)系數(shù)的方法在表2的排序結(jié)果中相似，在選點(diǎn)結(jié)果上完全相同。

圖5 不同方法下熱關(guān)鍵點(diǎn)選取結(jié)果Fig.5 Thermal key points selection results of different methods

從圖5 可以看出：基于時間特性的選點(diǎn)方法(方法1)選取了代表前后軸承(9 號和4 號)和環(huán)境溫度(16號)的點(diǎn)，基本符合熱交換規(guī)律?；谙嚓P(guān)系數(shù)的選點(diǎn)方法(方法2)選取了前后軸承之間(2號和3號)以及螺栓結(jié)合部(12 號)的溫度測點(diǎn)。已有研究表明，靠近結(jié)合部的部分由于固定約束的存在，對總熱誤差的貢獻(xiàn)很小[16]；同時，環(huán)境溫度的變化是影響熱誤差的因素之一[17]。因此，從選點(diǎn)結(jié)果上看，基于時間特性的選點(diǎn)方法更符合主軸系統(tǒng)實(shí)際情況。

3.3 熱誤差建模

為證明基于時間特性的選點(diǎn)方法的有效性，分別選擇支持向量機(jī)(SVM)、多元線性回歸(MLR)以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(BPNN)這3種建模方法，利用已確定的熱關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行熱誤差建模。

3.3.1 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)在熱誤差建模中具有較高精度和較好的魯棒性，其回歸模型[18]可以表示為

選擇高斯徑向基核函數(shù)K(Xk,X)=作為回歸模型核函數(shù)。其中，σ為寬度參數(shù)，記1/σ2為g。支持向量機(jī)回歸模型由參數(shù)C和g確定，本文采用交叉驗(yàn)證法從2-4～24范圍內(nèi)尋找合適參數(shù)。

3.3.2 多元線性回歸

多元線性回歸模型可以表示為

式 中 ：β=(β0,β1,…,βp)，為 待 確 定 的 系 數(shù) ；x1,x2,…,xp為p個熱關(guān)鍵點(diǎn)的溫度。

待定系數(shù)的求解可以通過最小二乘法計(jì)算，其表達(dá)式如下：

式中：Z為元素全為1的列向量和熱關(guān)鍵點(diǎn)溫度向量構(gòu)成的矩陣；Y為對應(yīng)熱誤差構(gòu)成的列向量。

3.3.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)包含輸入層、隱含層和輸出層，簡單的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層只有1 層，各層節(jié)點(diǎn)的數(shù)目由實(shí)際需求決定。對于熱誤差建模而言，輸出層節(jié)點(diǎn)為1，輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)即為熱關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)根據(jù)建模效果來確定。本文利用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱建立輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)為3、隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)為6、輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)為1 的BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，隱含層函數(shù)為logsig，輸出層函數(shù)為purelin，學(xué)習(xí)速率為0.05，最大訓(xùn)練次數(shù)為3×103。

3.4 預(yù)測結(jié)果與精度評價(jià)

為評價(jià)建模精度，選擇熱誤差實(shí)測值與預(yù)測值之間的均方根誤差(RMSE)作為評價(jià)指標(biāo)。以轉(zhuǎn)速圖譜A 下獲得的熱誤差和熱關(guān)鍵點(diǎn)溫度作為訓(xùn)練集訓(xùn)練3 種模型，再分別利用轉(zhuǎn)速圖譜A，B 和C下的熱關(guān)鍵點(diǎn)溫度對熱誤差進(jìn)行預(yù)測，對應(yīng)的預(yù)測集分別為A1，B1和C1。由于BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值和閾值是隨機(jī)給定的，因此，每1次預(yù)測的結(jié)果都不完全相同，取10 次預(yù)測的平均值作為建模精度的結(jié)果。圖6所示為支持向量機(jī)模型用2種選點(diǎn)方法對轉(zhuǎn)速圖譜A 下的熱誤差的預(yù)測結(jié)果和建模誤差。2 種選點(diǎn)結(jié)果對應(yīng)的3 種建模方法共9 組18 次預(yù)測的精度(以 RMSE 表示，RMSE 越小，精度越高)如表3所示。

從表3 可以看出：基于時間特性的選點(diǎn)方法(方法1)對3種建模方法的建模精度都有所提高。3種模型的9組預(yù)測中，均方根誤差降幅最低為6%，最高為40%。在3 種建模方法中，BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在自預(yù)測(訓(xùn)練集和預(yù)測集相同)時精度最高，交叉預(yù)測(訓(xùn)練集和預(yù)測集不同)時精度最低。與其他2 種建模方法相比，多元線性回歸模型(MRL)在自預(yù)測時精度最低，而支持向量機(jī)模型在自預(yù)測和交叉預(yù)測時都能保證較高的預(yù)測精度，顯示了其在熱誤差建模方面的魯棒性和良好的泛化性能。

圖6 不同選點(diǎn)方法的建模結(jié)果Fig.6 Modeling results of different points selection methods

表3 不同選點(diǎn)方法建模精度Table 3 Modeling accuracy of different points selection methods

2種選點(diǎn)方法在建模精度上產(chǎn)生差異的原因在于：基于相關(guān)系數(shù)的方法依賴于單次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，忽略了不同轉(zhuǎn)速圖譜下的熱誤差實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生不同的熱關(guān)鍵點(diǎn)所帶來的影響。同時，從圖5 可以看出，靠近主軸前軸承的點(diǎn)其溫度變化不大。在實(shí)驗(yàn)過程中，主軸前端法蘭結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)動所引起的空氣流動對主軸前端的溫度測點(diǎn)產(chǎn)生了降溫的效果，這將改變主軸箱外表面熱邊界條件，從而影響基于相關(guān)系數(shù)的選點(diǎn)結(jié)果。

4 結(jié)論

1)提出一種基于時間特性的熱關(guān)鍵點(diǎn)選取方法，該方法與基于相關(guān)系數(shù)和灰色關(guān)聯(lián)度的方法相比，減少了模型的不穩(wěn)定性，避免了由于主軸系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)變化對熱誤差關(guān)鍵點(diǎn)選取的影響。

2)針對某型號數(shù)控周邊磨床主軸系統(tǒng)，設(shè)計(jì)并實(shí)施了熱誤差實(shí)驗(yàn)；使用3種選點(diǎn)方法，分別從16個溫度測點(diǎn)中選取了3個點(diǎn)作為熱關(guān)鍵點(diǎn)。

3)利用支持向量機(jī)、多元線性回歸以及BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)3種建模方法進(jìn)行熱誤差建模，采用本文方法選取熱關(guān)鍵點(diǎn)，其熱誤差實(shí)測值與預(yù)測值之間的均方根誤差降幅最低為6%，最高為40%，證明了本文熱關(guān)鍵點(diǎn)選取方法的有效性。