數(shù)學(xué)文化融入高考試題（二）：展示中國(guó)數(shù)學(xué)成就

李雙雙

同學(xué)們，我們來(lái)談一談數(shù)學(xué)文化融入高考試題的另一種方式——展示中國(guó)數(shù)學(xué)成就．在高考試題中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)以中國(guó)數(shù)學(xué)家的研究成果或中國(guó)歷史上的數(shù)學(xué)研究著作為素材、結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)和原理命制的試題，再現(xiàn)我國(guó)數(shù)學(xué)家和勞動(dòng)人民在數(shù)學(xué)上所取得的成果，體現(xiàn)我國(guó)勞動(dòng)人民和科學(xué)家的勤勞與智慧，在培養(yǎng)同學(xué)們勇于實(shí)踐、不斷創(chuàng)新的精神的同時(shí)，進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義教育．

一、典型試題分析

(一)與中國(guó)數(shù)學(xué)家有關(guān)的試題

例1（2018年全國(guó)Ⅱ理科卷）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2 的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23．在不超過(guò)30 的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30 的概率是（ ）．

◆【分析】首先要知道素?cái)?shù)的概念，素?cái)?shù)是“只能被它自身和1 整除的、不小于2 的整數(shù)”，本題的難點(diǎn)在于列舉出不超過(guò)30 的所有素?cái)?shù)，理解這是一個(gè)古典概型的概率模型．首先由列舉法先求出不超過(guò)30 的所有素?cái)?shù)：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10 個(gè)．從這10 個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取2 個(gè)不同的數(shù)有種選法，其中，和等于30 的數(shù)對(duì)有：7 和23，11 和19，13 和17，共3 對(duì)．所以在不超過(guò)30 的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30 的概率為．故答案選C．

小知識(shí)

陳景潤(rùn)（1933．5．22—1996．3．19），師從于華羅庚，1973年在《中國(guó)科學(xué)》雜志上發(fā)表了“1+2”的詳細(xì)證明，被公認(rèn)為是對(duì)哥德巴赫猜想研究的重大貢獻(xiàn)．他的成果被國(guó)際數(shù)學(xué)界稱為“陳氏定理”．

世界近代三大數(shù)學(xué)難題：哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想和四色猜想．后兩者已被證明，現(xiàn)在我們稱之為費(fèi)馬大定理、四色定理；但哥德巴赫猜想尚未被完全證明，等著同學(xué)們?nèi)ヌ剿髋叮?/p>

解題回顧

本題一方面從知識(shí)角度考查古典概型這樣一個(gè)重要的概率模型，另一方面，是為了通過(guò)我國(guó)當(dāng)代數(shù)論專家陳景潤(rùn)所取得的重大研究成果，激勵(lì)同學(xué)們不斷學(xué)習(xí)、勇攀科技高峰，為國(guó)家的發(fā)展和中華民族的偉大復(fù)興貢獻(xiàn)聰明和才智．

例2（2019年浙江卷）祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)期的偉大科學(xué)家．他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體體積公式V柱體=Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖1所示，則該柱體的體積是（ ）

A．158 B．162 C．182 D．32

圖1

◆【分析】由正視圖得該棱柱的高為6．由俯視圖可知，其底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的（如圖2）：其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3；另一個(gè)上底為2，下底為6，高為3．所以該柱體的底面積為，故該柱體的體積為27×6=162．故選B.

圖2

解題回顧

本題的解題關(guān)鍵是要能夠根據(jù)三視圖，還原得到幾何體——棱柱，確定棱柱底面的形狀為兩個(gè)直角梯形拼成的圖形（如圖2），然后再由柱體體積公式V柱體=Sh計(jì)算出柱體的體積．本題難度較低，除了考查三視圖等立體幾何知識(shí)外，還為了讓同學(xué)們了解祖暅原理等中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化．

敲黑板

古典概型的概率計(jì)算公式比較簡(jiǎn)單．那么你還記得什么是古典概型嗎？

小知識(shí)

祖暅（456—536），中國(guó)南北朝時(shí)期著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，在求球體積時(shí)，他使用了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異．”其中“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高（即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等）．這一原理可用來(lái)計(jì)算一些復(fù)雜幾何體的體積，例如推導(dǎo)球的體積公式．

國(guó)外則一般稱之為卡瓦列里原理，在西方，意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里（Cavalieri．B)于1635年提出了等積原理，他的這一發(fā)現(xiàn)要比我國(guó)的祖暅晚1100 多年．

同學(xué)們到大學(xué)里學(xué)習(xí)定積分后，對(duì)這個(gè)結(jié)論的認(rèn)識(shí)就會(huì)更深刻啦！

(二)與中國(guó)數(shù)學(xué)著作有關(guān)的試題

例3（2018年上海卷）《九章算術(shù)》中，稱底面為矩形而有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐為陽(yáng)馬，設(shè)AA1是正六棱柱的一條側(cè)棱，如圖3所示．若陽(yáng)馬以該正六棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，以AA1為底面矩形的一邊，則這樣的陽(yáng)馬個(gè)數(shù)是（ ）．

A.4 B.8 C.12 D.16

圖3

圖4

◆【分析】如圖4，在正六邊形ABCDEF中，EA⊥AB,DB⊥AB，由正六棱柱的性質(zhì)可知，AA1⊥平面ABC，所以EA⊥AA1，DB⊥AA1，所以EA⊥平面AA1B1B，DB⊥平面AA1B1B；又由E1A1∥EA，D1B1∥DB，得E1A1⊥平面AA1B1B，D1B1⊥平面AA1B1B．所以，以矩形AA1B1B為底面的陽(yáng)馬有4 個(gè)．同理，以矩形AA1F1F為底面的陽(yáng)馬也有4 個(gè)；類似地，以矩形AA1C1C為底面的陽(yáng)馬有4 個(gè)，頂點(diǎn)分別是D,D1,F,F1；同理，以矩形AA1E1E為底面的陽(yáng)馬也有4 個(gè)．

所以，陽(yáng)馬的總數(shù)為16 個(gè)．故選答案D．

解題回顧

本題是一道立體幾何新概念題，旨在考查閱讀理解能力、邏輯推理能力和空間想象能力，并滲透中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化．解題時(shí)，首先要理解新概念“陽(yáng)馬”：它是一個(gè)四棱錐，底面是矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面；然后再去找四棱錐的底面——AA1為一邊的矩形，共有4 個(gè)，分別是AA1B1B，AA1F1F，AA1C1C，AA1E1E（想一想：為什么AA1D1D不行呢？）；再找分別與這4 個(gè)底面垂直的四棱錐的側(cè)棱，各有4 個(gè)，所以一共有16 個(gè)．

敲黑板

本題中，很多同學(xué)遺漏了以矩形AA1C1C和AA1E1E為底面的陽(yáng)馬，從而錯(cuò)選A 或B．

你是不是也掉坑了呢？

小知識(shí)

取一長(zhǎng)方體，按下圖斜割一分為二，得兩個(gè)一樣的三棱柱，稱為塹堵．

再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得四棱錐和三棱錐各一個(gè)．以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽(yáng)馬．余下的三棱錐是由四個(gè)直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．

塹堵

陽(yáng)馬

鱉臑

二、解題回顧與反思

同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)關(guān)注以下幾點(diǎn)：

1.關(guān)注我國(guó)數(shù)學(xué)成就，弘揚(yáng)中華文化

同學(xué)們可以利用閑暇時(shí)間，瀏覽我國(guó)數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)研究成果（如查找當(dāng)代數(shù)學(xué)家華羅庚、陳景潤(rùn)的研究成果，了解祖暅及其家族對(duì)中國(guó)數(shù)學(xué)的巨大貢獻(xiàn)），適當(dāng)閱讀我國(guó)古代的一些高水平的數(shù)學(xué)著作（如《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》《孫子算經(jīng)》等），從而關(guān)注我國(guó)的數(shù)學(xué)成就，了解我國(guó)歷代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，全面了解我國(guó)數(shù)學(xué)和科技發(fā)展的大致脈絡(luò)．

2.提高閱讀理解能力，正確理解題意

同學(xué)們要有意識(shí)地培養(yǎng)自己的閱讀理解能力，面對(duì)新的內(nèi)容（數(shù)學(xué)的，或者非數(shù)學(xué)的），要認(rèn)真地、逐字逐句地閱讀，并且在讀題的同時(shí)，動(dòng)手、動(dòng)腦．動(dòng)手，就是在題干上做一些標(biāo)注，或是通過(guò)列表、畫圖等方式，幫助我們更好地理解題干的本質(zhì)．如在例3 中，正確地理解“陽(yáng)馬”這一新概念，是我們解決問(wèn)題的前提．

3.重視數(shù)學(xué)抽象能力，提升核心素養(yǎng)

在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們要學(xué)會(huì)將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，理解所要求解問(wèn)題的本質(zhì)，并通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題．如在例1 中，首先要把問(wèn)題抽象成一個(gè)古典概型的求概率問(wèn)題，也就需要求出相應(yīng)的基本事件的個(gè)數(shù)，再由古典概型的概率公式，得到答案．

三、小試牛刀（原創(chuàng)題）

“分步設(shè)問(wèn)、一題兩空”是新高考的又一種新題型：在4道填空題中，有1 道試題采用這種方式命題，通常第一空2 分，第二空3 分．請(qǐng)你試著解下列這道填空題．

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休．”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們經(jīng)常運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的方法來(lái)解決問(wèn)題，請(qǐng)你嘗試著用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決下面的問(wèn)題：

答案：

①3；②(1，e)．