2-SPU/2-RPS并聯(lián)機構(gòu)運動分析

張 偉，周毅鈞，傅 敏，陳業(yè)富

(安徽理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

并聯(lián)機構(gòu)由于承載能力強、精度高、剛性好等特點一直受到國內(nèi)外學(xué)者廣泛而深入的研究，其中最典型的是擁有3個自由度Delta[1]機器人。在日常生活中未見Delta機器人，只是工業(yè)生產(chǎn)中有所應(yīng)用，它代替工人的高強度的勞作，大大提高了生產(chǎn)效率。因此，對自由度較少的并聯(lián)機構(gòu)的研究非常具有價值。最早四自由度并聯(lián)機構(gòu)出現(xiàn)在1999年，由Company和Pierrot共同研制出[2]。從1900年《螺旋理論》問世[3]，到螺旋理論被用作并聯(lián)機構(gòu)分析，再到戴建生、楊廷力[4-5]等把螺旋理論用于復(fù)雜機構(gòu)，螺旋理論才得以在研究機構(gòu)自由度方面突破發(fā)展。黃真[6]等提出運用螺旋理論來確定并聯(lián)機構(gòu)自由度。文獻[7-8]基于螺旋理論與雅克比矩陣分析了一種新型的并聯(lián)機構(gòu)2T2R。文獻[9]提出了一種三自由度機構(gòu)3-CPR，并通過Adams軟件進行了仿真。研究少自由度并聯(lián)機構(gòu)的空間姿態(tài)來確定該機構(gòu)具有重要意義，機構(gòu)位姿進行正解與逆解是分析機構(gòu)空間運動的重要理論支柱，逆解求解有空間坐標變換法、D-H矩陣法，正解求解有數(shù)值法、解析法[10-11]等，文獻[12-13]在螺旋理論基礎(chǔ)上，基于矢量封閉法，通過并聯(lián)機構(gòu)逆解與正解，確定了機構(gòu)工作空間位姿。

研究基于螺旋理論求解2-SPU/2-RPS機構(gòu)自由度，并通過機構(gòu)學(xué)理論建立了其正逆解模型。利用仿真軟件Adams對其正解與逆解進行了仿真，得到了機構(gòu)的運動特性曲線，對理論模型進行了驗證。

1 機構(gòu)描述與坐標系的建立

整個機構(gòu)都采用三副兩桿的結(jié)構(gòu)，并聯(lián)機構(gòu)簡圖如圖1所示。該并聯(lián)機構(gòu)由下面的定平臺、四條支鏈和上面的動平臺所組成，定平臺是每條邊長都為D的正方形，第一條支鏈S11球副與定平臺B1邊相鉸接，鉸接點為B1邊中心，通過移動副P12與動平臺相連接，與動平臺相鉸接的是虎克鉸U13；第二條支鏈構(gòu)型為S21P22U23,與第一條支鏈構(gòu)型一樣，對稱布置在定平臺的B2邊；第三條支鏈與定平臺連接的是轉(zhuǎn)動副R31，鉸接點在定平臺B3邊的中心處，通過移動副P32與動平臺相連接，與動平臺相鉸接的是球副S33；第四條支鏈R41P42S43與第三條支鏈對稱布置在定平臺的B4邊。四條支鏈構(gòu)型分別為S11P12U13、S21P22U23、R31P32S33、R41P42S4，動平臺是一個半徑為r的圓，其中2r=D。由圖1可知，坐標系B-xyz是通過右旋定律在固定平臺上建立的，坐標系B-xyz的原點在固定平臺的正中心，A-uvw坐標系建立在移動平臺上，并且動坐標系的原點與圓r的中心重合。

2 2-SPU/2-RPS并聯(lián)機構(gòu)的自由度分析

通過螺旋理論來建立機構(gòu)的螺旋系，運用正反螺旋互易積為零的理論求解反螺旋得到機構(gòu)的運動自由度。在物理意義上，互易積為零的兩個旋量，一個表示對象的運動，另一個表示對象所承受的力。但這個力在物體上沒有做功，此時反螺旋就是作用在物體上的約束力螺旋。

并聯(lián)機構(gòu)簡圖如圖1所示。由圖1可知，從機構(gòu)的整體運動來看，分別有兩組一樣支鏈呈對稱布置，所以只要研究這兩組支鏈中的各一條支鏈的運動螺旋系。把第一組支鏈1單獨拿出來，建立螺旋分解如圖2所示。

圖1 并聯(lián)機構(gòu)簡圖 圖2 RPS分支螺旋坐標簡圖

根據(jù)支鏈螺旋分解示意圖看出機構(gòu)構(gòu)型為RPS，在支鏈1轉(zhuǎn)動副處建立如圖2所示的坐標系，得到運動副軸線的螺旋表達式：

(1)

依據(jù)螺旋理論旋量對偶原理，旋量坐標具有6個分量，反螺旋坐標表示為：

sr=(LMN;OPQ)。

(2)

求出式(1)螺旋系的反螺旋，由正反螺旋的性質(zhì)，依據(jù)正反螺旋的互易積為零：

sj°sr=0,(j=1,2,3,4,5),

(3)

圖3 SPU分支螺旋坐標

得出此螺旋系的反螺旋為：

sr=(1 0 0;0f-e)。

(4)

第二組支鏈機構(gòu)構(gòu)型為SPU，拿出一條支鏈進行單獨螺旋運動分析，分支支鏈如圖3所示。在支鏈3球副處建立如圖3所示的坐標系，建立運動副軸線的螺旋表達式：

(5)

建立螺旋線系后，根據(jù)正反螺旋線互易積為零的原理，可以得出式(5)螺旋線系沒有反螺旋，也就沒有對動平臺施加約束力的作用。

分析支鏈4，同樣也依據(jù)螺旋理論列出了6個線性無關(guān)的螺旋方程。由于支鏈1與支鏈2機構(gòu)構(gòu)型完全一致，所以得出并聯(lián)機構(gòu)支鏈2的約束螺旋與支鏈1的約束螺旋相似。

兩個相同分支的反螺旋就有兩個類似的約束力，根據(jù)兩個相同約束螺旋可以得到動平臺受到了兩個約束作用力，也就限制了動平臺的兩個自由度，即動平臺在x方向上的移動以及圍繞動平臺法線z方向的相對旋轉(zhuǎn)。依據(jù)修正的G-K公式計算：

(6)

3 2-SPU/2-RPS并聯(lián)機構(gòu)位置逆解

并聯(lián)機構(gòu)的位置逆解是在已知末端位姿下，通過已知末端執(zhí)行機構(gòu)的輸出量求解驅(qū)動桿關(guān)節(jié)輸入變化量。如圖1所示，動平臺任一相對坐標都可以通過旋轉(zhuǎn)變換矩陣變換到以定坐標為基準的絕對坐標，動坐標旋轉(zhuǎn)變換時的歐拉角分別為α、β、γ=0，旋轉(zhuǎn)矩陣R為：

(7)

構(gòu)建矢量封閉方程，在參考坐標系B-xyz中，點A的位置向量r=(xyz)可以表示為：

r=bi+qiwi+ai,(i=1,2,3,4),

(8)

式中,ai、bi為Ai和Bi的位置矢量;wi為支鏈i的單位矢量;qi為支鏈長度矢量;ai=Rai0,ai0為ai在坐標系A(chǔ)-uvw的度量。

對于RPS支鏈，在式(8)的兩端同時點乘ci得：

(r+ai)Tci=0,(i=3,4),

(9)

式中,ci為轉(zhuǎn)動副軸線的單位矢量，c3=c4=(1 0 0)

同理對于SPU支鏈，由于沒有約束螺旋，在式兩邊點乘ci可得：

(r-bi)Tci=0,(i=1,2),

(10)

式中,c1=Rc10,c2=Rc20,c10=c20=(0 1 0)。

根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的螺旋約束，RPS支鏈在x方向的移動被約束，因此可以得到等式：

Ux=0,

(11)

將式(9)、式(10)、式(11)整理可得：

γ=0,x=0,y=tanβ,

(12)

對于給定參考點A的位置矢量r=(xyz)T,可以通過等式確定相應(yīng)的姿態(tài)角以及相應(yīng)的動平臺相對于定平臺的旋轉(zhuǎn)矩陣R，并可以通過式(13)求出各支鏈的關(guān)節(jié)變化量：

qi=|r-bi+ai|,(i=1,2,3,4)。

(13)

4 2-SPU/2-RPS并聯(lián)機構(gòu)位置正解

并聯(lián)機構(gòu)由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，位置正解求解的難易程度一般要高于位置逆解，主要是求解出一組非線性相關(guān)的方程，通常在求解正解時有數(shù)值法與封閉法。2-SPU/2-RPS并聯(lián)機構(gòu)的位置正解是在確定4條支鏈輸入的條件下，求解出末端位置和姿態(tài)；動平臺是通過加載在4條支鏈上的關(guān)節(jié)變量來改變自身的平動與轉(zhuǎn)動。

(14)

(15)

在投影變化公式的兩邊同時乘以dt，ΔLi驅(qū)動桿的變化量，得到位姿變化分量公式：

(16)

得到動平臺各個參數(shù)的分量：

x=x0,y=y0+Δy,z=z0+Δz,α=α0+Δα,β=β0+Δβ,γ=γ0，

(17)

以上就是通過對并聯(lián)機構(gòu)正解的求解最終求得動平臺相對于驅(qū)動桿給定的輸入，對它映射(x,y,z,α,β,γ)的位姿狀態(tài)。

5 2-SPU/2-RPS并聯(lián)機構(gòu)運動仿真

5.1 并聯(lián)機構(gòu)逆解仿真

并聯(lián)機構(gòu)的運動仿真是研究機構(gòu)空間運動的重要方法，通過運動仿真可以得到機構(gòu)末端及支鏈速度、加速度、位移曲線圖，為分析機構(gòu)的運動特征提供了很好的理論仿真依據(jù)。并聯(lián)機構(gòu)逆解仿真就是在已經(jīng)給出的末端位姿狀態(tài)，仿真得到機構(gòu)支鏈變化量的運動。

前面已經(jīng)通過螺旋理論求出機構(gòu)為4自由度，再通過正逆解確定機構(gòu)的末端位姿及支鏈桿的變化量，在Solidworks中創(chuàng)建并聯(lián)機構(gòu)的模型，簡化其對仿真影響的部位，然后導(dǎo)入Adams。在Adams中并聯(lián)機構(gòu)動平臺和定平臺與支鏈連接的鉸接部位添加相應(yīng)的運動副，在定平臺上添加固定副來固定定平臺與地面的連接，在4根支鏈上添加4個移動副，在動平臺中心處添加一般點驅(qū)動如圖4所示。

圖4 并聯(lián)機構(gòu)三維模型

設(shè)置驅(qū)動函數(shù)：

Trax=0.3*sin(0.25*time)

Tray=-0.4*sin(0.45*time)

Traz=0.5*sin(0.45*time)，

(18)

測量4根支鏈桿的位移、速度、加速度變化，在后處理模塊中生成變化曲線如圖5、圖6、圖7所示。4根支鏈桿采用相同機構(gòu)構(gòu)型對稱布置的方式，支鏈1與支鏈2對稱，支鏈3與支鏈4對稱。從圖5、圖6、圖7中可以看出支鏈1與支鏈2在空間三維坐標系中起始坐標一樣，支鏈3與支鏈4起始坐標也相同，但是它們的變化曲線不一樣；在給定驅(qū)動函數(shù)之后可以很好地確定出每條支鏈的位移變化幅度，支鏈1與支鏈3速度、加速度變化一樣，支鏈2與支鏈4變化幅度一樣，在運動6 s左右，4條支鏈此時的加速度相等。

5.2 并聯(lián)機構(gòu)正解仿真

由于理論求解并聯(lián)機構(gòu)正解難度較大，公式推導(dǎo)比較繁瑣，利用Adams進行并聯(lián)機構(gòu)正解運動仿真可以很好地求解機構(gòu)正解。在支鏈1、支鏈2、支鏈3、支鏈4移動副處添加驅(qū)動函數(shù)：

支鏈1：L1=-5*sin(0.5*time)

支鏈2：L2=-5*sin(0.5*time)

支鏈3：L3=-5*sin(0.5*time)

支鏈4：L4=5*sin(0.5*time)。

(19)

在仿真控制中設(shè)置終止時間為10 s，步數(shù)500，開始仿真，打開后處理模塊，生成移動板在x、y、z3個方向的位移、速度、加速度曲線圖如圖8、圖9、圖10所示。從圖8、圖9、圖10可以看出，移動板位移、速度、加速度在x、y方向變化呈周期對稱，變化幅度較小，在z軸方向即移動板法線方向變化幅度較大。

圖5 4條支鏈位移 圖6 4條支鏈速度

圖7 4條支鏈加速度 圖8 動平臺位移

圖9 動平臺速度圖 圖10 動平臺加速度

6 結(jié)論

基于螺旋理論建立并聯(lián)機構(gòu)2-SPU/2-RPS螺旋系方程，通過求解反螺旋得出自由度數(shù)，確定了機構(gòu)運動特性。已知空間機構(gòu)自由度與運動特性，求解并聯(lián)機構(gòu)逆解，得出支鏈桿運動變化量；得到驅(qū)動輸入量求解出末端位姿狀態(tài)，實現(xiàn)并聯(lián)機構(gòu)的位置正解。用Adams軟件模擬了該機構(gòu)的正解和逆解，仿真結(jié)果與原理分析基本一致，驗證了其在運動學(xué)方面的可行性，得出2-SPU/2-RPS并聯(lián)機構(gòu)在工廠自動化生產(chǎn)中可以穩(wěn)定的使用。