雙體量子系統(tǒng)的算子權(quán)并發(fā)度

AUNG Khaing Zaw, 劉鍇, 蔣立寧

(北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,北京 100081)

二十世紀(jì)三十年代,物理學(xué)家發(fā)現(xiàn)量子系統(tǒng)中存在著不能由局部信息表征的全局量子態(tài),這一量子特性被稱為量子糾纏.由于該特性的應(yīng)用相比于經(jīng)典通信的巨大優(yōu)勢,它逐漸發(fā)展了量子計算和量子通信等相關(guān)理論[1-2].目前如何進(jìn)一步刻畫一個量子態(tài)的糾纏程度,以及探討并發(fā)度的相關(guān)應(yīng)用成為了該領(lǐng)域的熱點問題[3-4].本文基于Hilbert空間算子理論,通過算子對量子空間局部操作的表示,定義了雙體量子系統(tǒng)中的一類算子權(quán)并發(fā)度.同時對于量子通信問題,刻畫了該類糾纏度與量子信道的相容性及對應(yīng)關(guān)系.

1 量子系統(tǒng)與糾纏度量

在量子理論中,稱可分的復(fù)Hilbert空間H為一個量子系統(tǒng),H中的向量|φ〉為量子態(tài),〈φ|為其共軛轉(zhuǎn)置,則H上的內(nèi)積為〈φ|φ〉.稱H中的單位向量為量子系統(tǒng)的純態(tài),σ=∑ipi|φi〉〈φi|表示系統(tǒng)中的混態(tài),其中∑ipi=1,pi∈.基于量子力學(xué)的基本假設(shè),可以通過矩陣力學(xué)的方法刻畫量子系統(tǒng)的特征并給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)描述[5].

本文討論雙體量子系統(tǒng)H=H1?H2上的量子糾纏性質(zhì),其中H1和H2為H的子系統(tǒng),則量子系統(tǒng)H有唯一的剖分H=H1|H2.稱純態(tài)|φ〉∈H是可分的,若|φ〉=|φ1〉?|φ2〉,其中|φi〉為Hi中的純態(tài),否則稱|φ〉為糾纏純態(tài).為了量化糾纏態(tài)的糾纏程度,首先需要引入糾纏度量的概念.

定義1[2]設(shè)H為Hilbert空間,ρ為H中的量子態(tài).稱H上的正泛函D為H上的糾纏度量,若滿足以下條件：

①D是正定的,即D(ρ)=0當(dāng)且僅當(dāng)ρ是可分態(tài)；

②D為糾纏單調(diào),即D(Λ(ρ))≤D(ρ),其中Λ為LOCC變換(局部操作與經(jīng)典通信)；

注1若H上的正泛函D只滿足條件②與③,則稱其為準(zhǔn)糾纏度量.

注2對于H中的混態(tài)σ,有矩陣表示σ=∑ipi|φi〉〈φi|,此時純態(tài)|φ〉對應(yīng)于密度矩陣集合中的端點.為了滿足局部酉不變性和糾纏單調(diào)性.通常借助于矩陣的跡和其它不變指標(biāo)來構(gòu)造糾纏度量.下面給出構(gòu)造此類糾纏度量的方法.

定理1[5](Vidal)設(shè)H=H1?H2為有限維雙體量子系統(tǒng),|φ〉∈H為純態(tài),μ為H上的任意糾纏單調(diào).則存在L(H)上酉不變的凸函數(shù)h,使得μ(|φ〉)=h(ρ),其中ρ=trH1|φ〉〈φ|.

稱定理1中由密度矩陣的偏跡定義的糾纏度量為跡類糾纏度量.下面給出兩個通過密度矩陣的不變量定義的糾纏度量的例子.

例1(并發(fā)度)設(shè)H=H1?H2為雙體量子系統(tǒng),|φ〉為H上純態(tài),H上的并發(fā)度C(·)定義為

例2(D-并發(fā)度)H=H1?H2為雙體量子系統(tǒng),|φ〉為H上的純態(tài),H上的D-并發(fā)度C(·)定義為

2 算子權(quán)并發(fā)度

量子系統(tǒng)上的局部操作可以用其上的算子作用來表示,進(jìn)而為了量化量子系統(tǒng)中局部操作對量子糾纏度的影響,首先對于雙體量子系統(tǒng)H=H1?H2中的并發(fā)糾纏度量C(·),定義算子權(quán)并發(fā)度.

定義3設(shè)H=H1?H2為量子系統(tǒng),Ti∈B(Hi),對于純態(tài)|φ〉∈H,H上的算子權(quán)并發(fā)度CTi(·)定義為

引理1設(shè)H=H1?H2為雙體量子系統(tǒng),Ti∈U(Hi),則算子權(quán)并發(fā)度CTi(·)是糾纏度量.

證明只需說明CTi(·)是正定的,酉不變且在LOCC變換下CTi(·)是糾纏單調(diào).

對任意純態(tài)|φ〉∈H,

則

若|φ〉是可分的,則有

進(jìn)而CTi(·)是正定的.

又

因為Ti|φ〉∈Hi,‖Ti|φ〉‖=1.所以

定理2設(shè)H=H1?H2為雙體量子系統(tǒng),Ti∈B(Hi),CTi(·)是糾纏度量當(dāng)且僅當(dāng)Ti為滿秩算子.

證明對任意純態(tài)|φ〉∈H,dimHi=di.

若Ti為滿秩算子,則

由引理1,CTi(·)是糾纏度量.

令dimH1=m,dimH2=n,取

則|φ0〉為H上的純態(tài).因為

所以|φ0〉是可分態(tài).此時

不滿足正定性,即此時CTi(·)不是糾纏度量.

因此CTi(·)是糾纏度量當(dāng)且僅當(dāng)算子Ti滿秩.證畢.

注3當(dāng)算子Ti非滿秩時,稱CTi(·)是準(zhǔn)并發(fā)糾纏度量.

對于量子系統(tǒng)中的同一量子態(tài),采用并發(fā)度對態(tài)的可分性進(jìn)行量化時,態(tài)空間上的局部操作可通過算子的特殊選取而表達(dá).下面的例子表明不同的局部操作會改變量子的性態(tài).

例3設(shè)H=H1?H2為二維雙體量子系統(tǒng),{e1,e2},{e3,e4}分別為子系統(tǒng)H1與H2的基,則H的一組基底可定義為{e13,e14,e23,e24},eij=ei?ej.對于H可進(jìn)行不同的局部變換Ot={T1,T2},Os={S1,S2},其中

CT1(|φ〉)=CT2(|φ〉)=0,

3 量子信道與算子權(quán)并發(fā)度量

在量子信息中,通常利用量子信道傳輸信息并研究量子態(tài)的性質(zhì)[7].下面研究算子權(quán)并發(fā)度與具體的量子信道的聯(lián)系與相容關(guān)系.

特別地,當(dāng)H=K時,稱{Mi:1≤i≤k}是H上的測量系統(tǒng).

定理3設(shè)Hs,Ho為雙體量子系統(tǒng),C(·)為Ho上的并發(fā)度量,則對于任意的規(guī)范的測量系統(tǒng)MHs,Ho,存在Hs上的加權(quán)并發(fā)度CT(·),使得CT=C°MHs,Ho.

證明設(shè)Hs=Hs1?Hs2,Ho=Ho1?Ho2為雙體量子系統(tǒng),取子系統(tǒng)Ho2的一組基為{ej:1≤j≤do2,do2=dimHo2}{Mi:Hs→Ho,1≤i≤k}定義的量子信道為τ.

此時

tr(τ(ρHs1))=

因而C°MHs,Ho定義合理.

又因為MHs,Ho是規(guī)范的,

推論1設(shè)Ha,Hb,Hc,Hd為雙體量子系統(tǒng),MHa,Hc,NHb,Hd是規(guī)范的測量系統(tǒng),C(·)為Hb?Hd上的并發(fā)度量,則存在Ha?Hc上的算子權(quán)并發(fā)度CT(·),使得CT=C°(MHa,Hc?NHb,Hd).

證明令MHa,Hc={Mi:1≤i≤s},NHb,Hd={Nj:1≤i≤t}.Ha,Hc上的量子信道分別為τa和τc.對任意ρ∈L(Ha?Hc),令τ=τa?τa,τ(ρ)=∑i,j(Mi?Nj)ρ(Mi?Nj)*.

又因為∑i,j(Mi?Nj)ρ(Mi?Nj)*=I,所以τ為量子信道.

由定理3,若MHa,Hc,NHb,Hd是規(guī)范的,因為

則有

令T=∑i,jMi?Nj,則CT(·)為Ha?Hc上的算子權(quán)并發(fā)度,且CT=C°(MHa,Hc?NHb,Hd).

推論2設(shè){Hi:1≤i≤n}為一族雙體量子系統(tǒng),{MHi,Hi+1:1≤i≤n-1}為對應(yīng)的規(guī)范測量系統(tǒng),C(·)為Ht上的并發(fā)度量,則存在Hs上的算子權(quán)并發(fā)度CT(·),使得

CT=C°MHt-1,Ht°…°MHs +2,Hs +1°

MHs +1,Hs,1≤s≤t≤n.

證畢.

上述結(jié)果證明了量子信道與算子權(quán)并發(fā)度的相容性,進(jìn)而可以借此量化量子信道對量子系統(tǒng)的影響并研究相關(guān)性質(zhì).