李勁松
摘? 要:利用圖形面積自身相等的性質(zhì)、圖形可拆分性質(zhì)進(jìn)行解題的方法叫做“面積法”,在中學(xué)階段是一種常用的方法,具有解題便捷快速、簡(jiǎn)單易懂的特點(diǎn)。
關(guān)鍵詞:面積法;線段相等;可拆分性
所謂巧用三角形面積法解題就是利用幾何圖形中邊、角與面積之間的關(guān)系,運(yùn)用代數(shù)手段來(lái)完成幾何中的推理過(guò)程,用面積法一般可不添或少添輔助線,證法簡(jiǎn)潔,易于接受和掌握。可以用來(lái)證明諸如線段相等,角相等,求線段的長(zhǎng),圖形的面積等等。下面淺談幾種方面的例題選取。
一、用面積法求線段的長(zhǎng):
例1:如圖1,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,BD⊥AC于點(diǎn)D。求BD的長(zhǎng)。
解析:先利用勾股定理求出 ,再利用三角形的面積得: ,可求出 。
例2:如圖2,已知Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,BD平分∠ABC,求CD的長(zhǎng)。
解析:過(guò)點(diǎn)D分別向AB、BC作垂線,則四邊形BEDF是正方形,設(shè)DE=? ,利用三角形的面積可拆分性, ,可以列出方程: ,求出DE,最后用勾股定理易求出BD的長(zhǎng)。
總結(jié):這種利用圖形面積自身相等的性質(zhì)、圖形可拆分性質(zhì)進(jìn)行解題的方法叫做“面積法”,在中學(xué)階段是一種常用的方法,具有解題便捷快速、簡(jiǎn)單易懂的特點(diǎn)。
二、用面積法證明線段相等。
例3:已知:如圖3,AD是△ABC的中線,CF⊥AD于F,BE⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于E。求證:CF=BE。
解析:連接CE,因?yàn)椋?/p>
所以:
即:BE=CF
三、用面積法證明線段和差相等。
例4:如圖4,點(diǎn)P是等邊三角形內(nèi)部一點(diǎn),過(guò)P作PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,△ABC的高為h,試說(shuō)明PD+PE+PF=h.
解析:連接AP、CP、BP,利用面積可拆分性質(zhì)有:
得出:PD+PE+PF=h.
例5:如圖5,P是等腰三角形ABC底邊BC上任一點(diǎn),PE⊥AB于E、PF⊥AC于F,BH是等腰三角形ABC的邊AC上的高。試猜想線段PH和PE、PF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系。
解析:連接AP,利用三角形面積可拆分性質(zhì)有: ,
所以:
即:BH=PE+PF
例6、如圖6,E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn),且BE=ED,P是對(duì)角線上任一點(diǎn),PF⊥BE,PG⊥AD,垂足分別為點(diǎn)F、G。試證明PF+PG=AB。
解析:連接PE,
因?yàn)椋?/p>
所以:
則可得出:PF+PG=AB
在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中,面積法有廣泛的應(yīng)用價(jià)值,利用面積法往往能化難為易,化繁為簡(jiǎn)。在教學(xué)中適當(dāng)?shù)臐B透給學(xué)生這方面的數(shù)學(xué)思想,講解幾道例題,能有效提升學(xué)生綜合能力,豐富解題手段,使學(xué)生分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力得到一定提高。
參考文獻(xiàn)
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