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    基于核心素養(yǎng)的主題單元教學(xué)研究

    2020-07-14 08:35劉永剛
    新智慧·中旬刊 2020年5期
    關(guān)鍵詞:銳角

    劉永剛

    【摘?要】教師可以以“問(wèn)題串”的形式指導(dǎo)學(xué)生借助三角函數(shù)定義及圓的對(duì)稱(chēng)性得出π+α,π-α及-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系,采用獨(dú)立探究和小組討論相結(jié)合的方式得出結(jié)論。滲透特殊到一般,類(lèi)比以及數(shù)形結(jié)合的思想方法,力求發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。

    【關(guān)鍵詞】銳角;單位圓;誘導(dǎo)公式

    【教學(xué)片段1】提出問(wèn)題?引發(fā)思考

    問(wèn)題1:利用三角函數(shù)的定義計(jì)算π6和7π6,π4和5π4,π3和4π3三角函數(shù)值,觀察它們相應(yīng)的同名三角函數(shù)值之間存在什么關(guān)系?為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果?

    追問(wèn):對(duì)任意角α,π+α的三角函數(shù)值也會(huì)滿足“tan值相等,cos值和sin值互為相反數(shù)”嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由。

    教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧三角函數(shù)的定義,計(jì)算π6和7π6,π4和5π4,π3和4π3三角函數(shù)值并觀察它們相應(yīng)三角函數(shù)值之間的關(guān)系,然后引導(dǎo)學(xué)生思考其本質(zhì)進(jìn)而推廣到對(duì)于任意角α,π+α的終邊必定與其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),所以兩個(gè)角與單位圓的交點(diǎn)必定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),進(jìn)而總結(jié)概括出公式二:對(duì)于任意角α,都有sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α,tan(π+α)=tan α。

    這個(gè)過(guò)程中學(xué)生不難看出π6和7π6,π4和5π4,π3和4π3的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),但推廣到任意角α和π+α,有些學(xué)生就可能看不出來(lái),教師可通過(guò)回顧角的定義引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖幫助學(xué)生理解,以培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。

    誘導(dǎo)公式本質(zhì)是圓的對(duì)稱(chēng)性的代數(shù)表示,教師教學(xué)過(guò)程中應(yīng)讓學(xué)生感受到這一本質(zhì),突顯出圓的對(duì)稱(chēng)性在解決問(wèn)題中的重要作用,從而使學(xué)生深刻理解公式,并且能夠有效地發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng),同時(shí)為探究后續(xù)誘導(dǎo)公式提供了方向和思維基礎(chǔ)。

    【教學(xué)片段2】總結(jié)反思?合作探究

    教師和學(xué)生一起回顧總結(jié)誘導(dǎo)公式二的推導(dǎo)所經(jīng)歷的思維過(guò)程,首先研究角的代數(shù)關(guān)系,再研究角的終邊的對(duì)稱(chēng)關(guān)系,進(jìn)而得出角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,最后得出函數(shù)關(guān)系。

    問(wèn)題2:類(lèi)比公式二,思考角α與角-α(α為任意角)終邊的關(guān)系,并探究它們對(duì)應(yīng)的同名三角函數(shù)的關(guān)系,并說(shuō)明理由。

    教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比公式二的推導(dǎo)過(guò)程,通過(guò)畫(huà)圖借助角的旋轉(zhuǎn)定義得出角α與角-α終邊必定關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),所以兩個(gè)角與單位圓的交點(diǎn)必定關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),進(jìn)而得出公式三:sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α,tan(-α)=-tan α。

    任意角α與-α的終邊的位置關(guān)系比較簡(jiǎn)單,推導(dǎo)出公式三并不難,過(guò)程中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用數(shù)形結(jié)合和類(lèi)比的思想來(lái)解決問(wèn)題,養(yǎng)成及時(shí)回顧總結(jié),及時(shí)反思的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣。

    【教學(xué)片段3】 類(lèi)比探究?獨(dú)立推導(dǎo)

    問(wèn)題3:類(lèi)比公式二和三,思考角α與角π-α(α為任意角)終邊的關(guān)系,并探究它們對(duì)應(yīng)的同名三角函數(shù)的關(guān)系,并說(shuō)明理由。

    角α與角π-α終邊的位置關(guān)系對(duì)很多學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難,教師引導(dǎo)學(xué)生由角-α與角π-α終邊的位置關(guān)系突破,進(jìn)而總結(jié)概括出公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α,tan(π-α)=-tan α。

    公式四的推導(dǎo)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成,并鼓勵(lì)學(xué)生大膽上臺(tái)展示.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)關(guān)鍵在于學(xué)生能夠自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題,培養(yǎng)和提升獨(dú)立探究問(wèn)題的意識(shí)和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力,而這種獨(dú)立性意識(shí)和能力是靠學(xué)生在實(shí)踐操作中不斷摸索、感悟和積累的。

    通過(guò)問(wèn)題串的形式,學(xué)生在教師的引領(lǐng)下推導(dǎo)出公式二,師生及時(shí)總結(jié)概括,學(xué)生合作探究推導(dǎo)出公式三,學(xué)生類(lèi)比公式二、三推導(dǎo)過(guò)程,獨(dú)立完成公式四的推導(dǎo)。新課講授過(guò)程讓學(xué)生從具體角的三角函數(shù)值猜想公式,再結(jié)合圖形利用圓的對(duì)稱(chēng)性對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。學(xué)生的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷從特殊到抽象,由感性到理性、由圖形特征到文字語(yǔ)言表述再到數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述的過(guò)程,數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理等核心素養(yǎng)得到逐步提升。

    【教學(xué)片段4】公式應(yīng)用 鞏固新知

    課堂測(cè)試:1.利用公式求下列三角函數(shù)值:

    (1)cos 225°;(2)sin8π3;(3)sin-116π3;(4)tan(-2040°)。

    2。化簡(jiǎn)cos(180°+α)sin(α+360°)

    tan(-α-180°)cos(-180°-α)。

    3。(1)已知sinπ3+α=-12,求sinα-π3的值.

    (2)已知cosπ6+α=33,求cos7π+α6的值.

    引導(dǎo)學(xué)生分析運(yùn)算對(duì)象,選擇運(yùn)算公式和運(yùn)算方向,計(jì)算并判斷問(wèn)題結(jié)果等環(huán)節(jié)。然后教師引導(dǎo)總結(jié)反思計(jì)算和化簡(jiǎn)的過(guò)程,概括運(yùn)用誘導(dǎo)公式計(jì)算化簡(jiǎn)的一般步驟:負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了。通過(guò)這個(gè)過(guò)程逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

    本課教學(xué)過(guò)程是從具體到抽象,再由抽象到具體,重點(diǎn)研究了終邊分別關(guān)于原點(diǎn)、x軸、y軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系,從而得到了三組三角公式,并通過(guò)例題的研究學(xué)習(xí),將抽象的公式應(yīng)用于具體的問(wèn)題中,同時(shí)又總結(jié)出了化簡(jiǎn)計(jì)算任意角三角函數(shù)的一般步驟。整節(jié)課始終力求發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]黃邵華,何嬌.形之完美表達(dá)數(shù)之完美表現(xiàn)——對(duì)誘導(dǎo)公式教學(xué)的深入思考和分析[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2019,58(09):50~51,55.

    [2]劉海燕.注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì),培養(yǎng)理性精神——對(duì)“三角誘導(dǎo)公式”課的教學(xué)思考[J].數(shù)學(xué)之友,2019(05):42~44.

    [3]閆振仁.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式教學(xué)實(shí)錄與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2019(08):5~8.

    [4]王丹峰.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)探析——以“三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式”教學(xué)為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào),2019,33(03):197~198,203.

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