中考路徑長(zhǎng)問(wèn)題之直線型路徑

劉菲芬

摘要：運(yùn)動(dòng)軌跡問(wèn)題是近年數(shù)學(xué)的中考熱點(diǎn)，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的探究，并通過(guò)數(shù)學(xué)思考來(lái)解決問(wèn)題的綜合應(yīng)用能力。初中階段對(duì)于線長(zhǎng)的求法只有線段和圓弧，因而對(duì)于運(yùn)動(dòng)軌跡的限定也就只有直線型和圓弧型，所以在只是計(jì)算路徑長(zhǎng)，而無(wú)須證明時(shí)，可通過(guò)描點(diǎn)法大膽猜想求路徑：即對(duì)目標(biāo)點(diǎn)描出它的起點(diǎn)、過(guò)程點(diǎn)、終點(diǎn)時(shí)的位置，連接起來(lái)猜想形狀，從而求值。而需要對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行證明時(shí)，可對(duì)直線型路徑和曲線型路徑進(jìn)行探索，本文主要研究的是直線型路徑。

關(guān)鍵詞：中考;動(dòng)點(diǎn);路徑長(zhǎng);直線型;軌跡

一、目標(biāo)點(diǎn)到定點(diǎn)的連線與定直線所夾角為定值（定夾角得直線）

【題型剖析】目標(biāo)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終到某個(gè)定點(diǎn)的連線與某條定直線的夾角保持不變，而這個(gè)定點(diǎn)經(jīng)常就是目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)，這時(shí)目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是該目標(biāo)點(diǎn)與起點(diǎn)所在的直線，即為直線型路徑。此時(shí)只要找到目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，路徑長(zhǎng)為以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)。

二、目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為三角形（或梯形）中位線

（一）定距離得平行線

【題型剖析】此類(lèi)題型中，過(guò)程點(diǎn)均為線段的中點(diǎn)，過(guò)程點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中到定線段的距離始終保持不變，根據(jù)平行線間的距離處處相等，可得過(guò)程點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與定線段平行，再加上中點(diǎn)即可證運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為三角形（或梯形）的中位線。另：此類(lèi)題也可通過(guò)四點(diǎn)共圓的幾何證法，得角相等，再根據(jù)同位角（內(nèi)錯(cuò)角）相等，兩直線平行得中位線。

【方法總結(jié)】第一步：求出過(guò)程點(diǎn)到定線段的距離（或以過(guò)程點(diǎn)為頂點(diǎn)的角與某定角）相等，根據(jù)平行線的判定得出過(guò)程點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡與定直線平行。第二步：找出過(guò)程點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)中位線的定義，判斷其運(yùn)動(dòng)路徑為三角形（或梯形）的中位線。第三步：利用中位線的性質(zhì)求出路徑長(zhǎng)。

（二）到兩定點(diǎn)距離為定值得垂直平分線

【題型剖析】此類(lèi)題的目標(biāo)點(diǎn)常為某定線段的中點(diǎn)，而目標(biāo)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終與另一定線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等，即目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在該線段的垂直平分線上，從而可知該目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為直線型路徑，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)都為定線段的中點(diǎn)，得目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為這兩線段所構(gòu)成的三角形（或梯形）的中位線。

【方法總結(jié)】第一步：證目標(biāo)點(diǎn)到某定線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等（目標(biāo)點(diǎn)常為兩個(gè)直角三角形公共斜邊上的中點(diǎn)），得出目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在該線段的垂直平分線上，從而印證直線型路徑;第二步：找出目標(biāo)點(diǎn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)為三角形（或梯形）兩邊上的中點(diǎn)，得出目標(biāo)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑為三角形（或梯形）的中位線;第三步：利用中位線定理求出路徑長(zhǎng)。

注：本文為2019年度泉州市基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題“基于核心素養(yǎng)下的中考數(shù)學(xué)微專(zhuān)題整合”（課題編號(hào)：QJYKT2019-227）研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧文忠.例析中考動(dòng)點(diǎn)路經(jīng)長(zhǎng)問(wèn)題[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014（1）.

（責(zé)編? 楊 菲）