基于多目標決策的軌道控制網網形設計

宋占峰，楊 飛，李 軍

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

根據有砟鐵路軌道精調和養(yǎng)護的要求，TB 10101—2018《鐵路工程測量規(guī)范》增加了新建有砟軌道鐵路CPⅢ控制網采用自由測站方式測設的技術標準：對于設計速度160～200 km/h之間的有砟鐵路，CPⅢ網形為50～70 m一對點的邊角交會網，點位中誤差在3 mm內，相鄰點的相對點位中誤差在1.5 mm內[1]。

我國速度120 km/m以上鐵路既有線里程已超過2萬km。在長期運營中，既有線軌道的幾何形狀、空間位置不斷發(fā)生改變，造成的軌道不平順會影響列車的運行舒適度和安全性。因此，建立既有線軌道CPⅢ網，是既有鐵路軌道精調和養(yǎng)護的迫切需求。

既有線上建立軌道CPⅢ網，不同于新建鐵路：(1)天窗時間短，干擾大；(2)經費有限。因此，需要設計適合既有線的軌道CPⅢ網形。控制網設計中，網形的設計稱為一類設計問題[2-3]?？刂凭W設計質量的優(yōu)劣取決于精度、可靠性和建網費用三個方面[4]。將既有線兩側的接觸網支柱作為固定樁，布設控制點，可以減少建設費用。新建有砟軌道鐵路CPⅢ網沿用了高速鐵路無砟軌道的兩種CPⅢ網形，只是精度指標有所放寬。為了降低建網費用，通過改變設站間距和觀測方案，在前面兩種交會網基礎上，設計了兩種新的CPⅢ交會網。通過計算分析，這四種方案都可以達到新規(guī)范對精度的要求。為了進一步優(yōu)選既有線CPⅢ網形方案，考慮精度、可靠性及建網費用等指標，基于多目標決策方法，得到最優(yōu)設計方案。最后通過敏感性分析驗證了權重被修正時所選最優(yōu)方案的穩(wěn)定性。

1 多目標決策分析

多目標決策是基于確定的決策指標集合Z={Z1, …,Zn}，在方案集合F={F1, …,Fm}中選出最優(yōu)方案。不同指標的權重不同，但應滿足

( 1 )

式中：wj為第j個指標的權重。

多目標決策中的主要結構為決策矩陣D，包含方案比較的定量數(shù)據

( 2 )

矩陣D中的行表示每個指標不同方案的數(shù)據，可確定該指標下的最優(yōu)方案；列表示每個方案在不同指標下的數(shù)據。

方案的重要度可通過合成權重表示

( 3 )

式中：Pi為第i個方案的合成權重；pij為第i個方案在第j個指標上的權重。

多目標決策方法有AHP法[5]和TOPSIS法[6]等, 其確定權重的方法不同。最常用的是AHP法，即層次分析法，最早由Saaty提出[7]，構建一個n維判斷矩陣確定指標權重wj；構建n個m維判斷矩陣確定權重pij。判斷矩陣是根據決策矩陣中各指標的兩兩重要程度得到的，判斷矩陣中的元素aij表示要素i與要素j相對重要度之比，aij越大，則要素i相對要素j的重要度就越高。對于一個多目標的決策問題，用n維判斷矩陣A表示n個指標對目標層的重要程度，用m維判斷矩陣Bi表示對于第i個特定指標m個待選方案的優(yōu)劣程度。判斷矩陣還需要進行一致性檢驗，具體方法參見文獻[8]，此處不再贅述。

敏感性分析的目的，是驗證指標權重變化時方案重要度的穩(wěn)定性[9]。修正權重可以由式( 4 )獲得。對于先修正指標，有

(4a)

對于后修正指標，有

(4b)

式中：wj為先修正指標的原權重；wh為后修正指標的原權重；β為修正因子，且β≥-1；(1+β)為先修正指標的修正系數(shù)；α為后修正指標的修正系數(shù)

( 5 )

2 網形設計質量準則

網形設計質量的優(yōu)劣可由精度、可靠性及費用這三類定量的指標表征。CPⅢ控制網中的方向及邊長觀測量可通過線性化表示為觀測方程

( 6 )

基于最小二乘原理，要求vTPv最小，可得出x的最小二乘估值為

( 7 )

( 8 )

絕對及相對點位精度可由坐標的協(xié)方差陣計算獲得，在確定觀測值的先驗精度后，點位精度取決于網形[10]。

多目標決策中，選擇的前4個指標與精度相關，分別是：

Z1——絕對點位中誤差最大值；

Z2——絕對點位中誤差低于閾值(按規(guī)范[1]取3.0 mm)的比例；

Z3——相對點位中誤差最大值；

Z4——相對點位中誤差低于閾值(按規(guī)范[1]取1.5 mm)的比例。

控制網中存在兩類不同的觀測值，通常按先驗定權法確定方向和距離兩類觀測量的權比關系[11]，定權公式為

( 9 )

式中：單位權中誤差σ0取為方向先驗中誤差σL；σS為距離先驗中誤差；a和b分別為光電測距固定誤差和比例誤差；s為測量距離。

規(guī)范要求CPⅢ網要使用方向標稱精度不低于1″、測距標稱精度不低于1 mm+2 mm/km×s的全站儀，測兩測回[1]。則在分析網形質量時，采用的先驗指標為:σ0=σL=±0.71″，a=0.71 mm，b=1.41 mm/km。

控制網的可靠性是指控制網檢測粗差和抵抗殘存粗差的能力，取決于多余觀測數(shù)，反映在觀測值的多余觀測分量上[12]。可靠性矩陣R為

R=I-B(BTPB)-1BTP

(10)

式中：I為單位矩陣。

由此可見，可靠性矩陣R同樣取決于系數(shù)矩陣B和權陣P，與實際觀測值無關。在先驗定權的情況下，矩陣R取決于控制網網形結構。

可靠性矩陣R的跡為

(11)

式中：n為觀測值數(shù)目；t為參數(shù)的個數(shù)；rii為第i個觀測值對應的可靠性分量。

(12)

每個觀測值的可靠性分量rii在0～1之間。在極端情況下，如rii=0，則該觀測值的粗差無論多大，都不能被發(fā)現(xiàn)。所以好的網形要使可靠性分量大于某一閾值的比例盡可能大，本文將可靠性分量的閾值取為0.2。

因此，多目標決策中關于可靠性的指標有兩個：

Z5——整體可靠性；

Z6——可靠性分量高于閾值的比例。

建網費用可分為交通費、人員費用、時間成本等等，難以精確量化。但是，一般而言，總的權重越小，建網費用就越低?？偟臋嘀卦叫?，意味著觀測數(shù)越少，相應時間、人員及交通費用都會減少。因此，可以用觀測值權之和來表征建網費用指標[15]。

(13)

式中：pii為對應第i個觀測值的權重。

多目標決策中關于費用的指標為：

Z7——觀測權總和。

3 CPⅢ控制網網形布設方案

設計的既有線CPⅢ控制網的四種網形方案如下：

(1)間隔1對橫向點的觀測網形方案F1：這種網形在高速鐵路CPⅢ控制網中采用，網形見圖1(a)。相鄰測站間有一對橫向固定樁控制點，測站間距為60 m，控制點縱向間距為60 m，橫向間距為10 m。每個測站觀測4對控制點，相鄰兩個測站重復觀測 3對控制點，每個控制點被觀測4次，最長觀測距離90 m。

(2)間隔2對橫向點的觀測網形方案F2：這種網形也在高速鐵路CPⅢ控制網中采用，網形見圖1(b)。相鄰測站間有兩對橫向固定樁控制點，測站間距為120 m，控制點縱向間距為60 m，橫向間距為10 m。每個測站觀測6對控制點，相鄰兩個測站重復觀測 4對控制點，每個控制點被觀測3次，最長觀測距離為150 m。

(3)間隔3對橫向點的觀測網形方案F3：網形見圖1(c)。相鄰測站間有三對橫向固定樁控制點，測站間距180 m，控制點縱向間距為60 m，橫向間距10 m。每個測站觀測7對控制點，里程減小方向觀測3對控制點，里程增大方向觀測4對控制點，相鄰兩個測站重復觀測4對控制點，每個控制點被兩個或三個連續(xù)測站觀測，最長觀測距離為210 m。

(4)間隔2對斜向點的觀測網形方案F4：網形見圖1(d)，相鄰測站間有2對斜向固定樁控制點，測站間距240 m，控制點縱向間距為120 m，橫向間距為10 m。每個測站觀測5對控制點，每個控制點被兩個或三個連續(xù)測站觀測，最長觀測距離為270 m。

圖1 既有線CPⅢ控制網網形方案

4 模擬計算與分析

以2 km測段為試驗段，計算得到四種網形的精度指標、可靠性指標和費用指標。

4.1 絕對點位精度

四種網形的絕對點位精度隨里程變化規(guī)律見圖2。從圖2可知：

(1)距已知點越遠，控制點的絕對點位精度越低，最弱點出現(xiàn)在相鄰已知點中間位置；

(2)四種網形的絕對點位精度均小于3 mm；

(3)僅比較絕對點位精度指標，最優(yōu)網形為間隔2對橫向點的觀測網形F2，其最大點位中誤差為1.13 mm。

圖2 四種網形的絕對點位中誤差

4.2 相對點位精度

對于前三種觀測網形，相鄰點位主要有三種類型：橫向10 m、縱向60 m和斜向61 m。而對于間隔2對斜向點的觀測網形方案F4，相鄰點位有縱向120 m、斜向61 m兩種類型。四種類型相鄰點的相對點位中誤差見圖3。

由圖3可知：

圖3 四種網形的相對點位中誤差

(1)測站間距越大，相鄰點相對點位精度越低；

(2)四種網形的相對點位精度均小于1.5 mm；

(3)僅比較相對點位中誤差指標，最優(yōu)網形為間隔1對橫向點的觀測網形F1。

4.3 可靠性指標

網形的可靠性指標如表1所示。由表1可知：四種網形的整體可靠性均大于0.4；僅比較可靠性指標，間隔1對橫向點的觀測網形F1明顯優(yōu)于其他網形。

表1 四種網形的可靠性指標

4.4 費用指標

費用指標是既有線控制網建設時應考慮的重要指標。四種網形的工作量及觀測權總和如表2所示。

表2 四種網形建網費用指標

從表2可以看到，觀測權總和隨著工作量的增加也相應增大，說明觀測權總和可以較好地表征費用。表2說明間隔2對斜向點的觀測網形F4的費用指標優(yōu)于其他網形。

5 基于多目標決策的方案優(yōu)選

不同指標確定的最優(yōu)方案不同，因此需要基于多目標決策確定最優(yōu)方案。

既有線CPⅢ網形方案優(yōu)選的決策矩陣通過模擬計算得到，結果如表3所示。

表3 CPⅢ網形方案優(yōu)選決策矩陣

通過判斷矩陣來確定指標權重。建立7維的判斷矩陣，計算7個指標的權重，結果如表4第1行所示。指標Z2和Z4具有最大權重0.332?；跊Q策矩陣，建立4維判斷矩陣，計算4個方案在每項指標上的權重。例如對于Z7指標，基于表3最后一行的數(shù)據，建立判斷矩陣確定四個方案在該指標上的權重，結果如表4的Z7列。

表4 四個方案重要度計算

由式( 3 )可計算出四個方案的重要度，列于表4最后一列，確定綜合最優(yōu)方案次序為F4、F1、F3、F2。

選取不同的修正系數(shù)和先修正指標，按式( 4 )和式( 5 )可計算28組權重方案(表5)。對于每一組權重方案，按照同樣的方法計算網形方案排序，列于表6。結果表明，只有5種權重方案的排序結果與原結果不一致，且除權重方案7d外(費用權重僅為8.9%)，所有權重方案下得到的最優(yōu)方案均為間隔2對斜向點的觀測網形方案F4。敏感性分析驗證了方案F4作為綜合最優(yōu)既有線軌道控制網的穩(wěn)定性。

6 結論

本文針對既有線軌道精調和養(yǎng)護要求，分析比較了四種軌道控制網網形方案，從精度、可靠性和費用三方面提出了七項評價控制網質量的指標，通過2 km測段的模擬算例，定量計算出了四種控制網的七項指標，得到以下結論：

(1)距已知點越遠，控制點的絕對點位精度越低；測站間距越大，相鄰點相對點位精度越低；四種網形方案在精度上均可滿足絕對點位精度在3 mm內，相鄰點的相對點位精度在1.5 mm內的規(guī)范要求。

(2)僅就單項指標而言，會得到不同的最優(yōu)網形；通過多目標決策分析，確定了綜合最優(yōu)的間隔2對斜向點的觀測網形方案F4，該方案建網費用最低。

(3)通過敏感性分析驗算了28組權重方案，驗證了觀測網形方案F4作為綜合最優(yōu)方案的穩(wěn)定性，其適合在既有線軌道控制建網中推廣使用。

表5 修正權重

表6 不同權重方案下的網形方案排序