多元函數(shù)列的一致收斂性及相關極限性質(zhì)的研究

費時龍，洪佳音，朱少娟

（宿州學院，安徽 宿州234000）

0 引言

常見的分析類教材中討論了一元函數(shù)列一致收斂的概念，這個概念的引入主要目的是在一致收斂的基礎上，可以通過函數(shù)列自身的連續(xù)性、可微性、可積性來研究其極限函數(shù)的連續(xù)性、可微性、可積性。但是，對于多元函數(shù)列一致收斂的概念及相應極限函數(shù)的性質(zhì)卻未見涉及，而多元函數(shù)列的積分與極限的交換次序的問題無論在理論上還是應用上都是極其重要的，因此，研究多元函數(shù)列的一致收斂性及其極限函數(shù)的性質(zhì)有著重要的意義。本文將在一元函數(shù)列一致收斂及極限函數(shù)性質(zhì)的基礎上引入多元函數(shù)列一致收斂的概念并分別討論其一致收斂極限函數(shù)的若干性質(zhì)。

1 基本概念

定義1.1 設fn(x，y)與f(x，y)為定義在同一平面點集D?R2上，若對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得對所有n＞N，及任意(x，y)∈D時，都有

則稱二元函數(shù)函數(shù)列fn(x，y)在D上一致收斂于f(x，y)，記作

定義1.2 設fn(x1，x2，…，xk)與f(x1，x2，…，xk)為定義在同一點集E?Rk上，若對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得對所有n＞N，及任意(x1，x2，…，xk)∈E時，都有

則稱k元函數(shù)函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)在E上一致收斂于f(x1，x2，…，xk)，記作

2 一致收斂的判別方法

定理2.1 （Cauchy 收斂準則）二元函數(shù)列fn(x，y)在平面點集D?R2上一致收斂的充要條件是對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N ，使得對所有n，m＞N，及任意(x，y)∈D時，都有

證明 必要性，設fn(x，y)?f(x，y)(n→∞)，(x，y)∈D。則對任意的ε ＞0，存在正整數(shù)N ，使得當n＞N時，對一切(x，y)∈D，都有

充分性，由（1）式及數(shù)列極限的柯西收斂準則知，{fn(x，y)}在D上任意一點都收斂，不妨記其極限為f(x，y)?，F(xiàn)固定（1）式中的n，讓m→∞，于是當n＞N時，對于(x，y)∈D，都有

由定義1知，fn(x，y)?f(x，y)(n→∞)，(x，y)∈D。

定理2.2 （Cauchy 收斂準則）k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)在點集E?Rk上一致收斂的充要條件是對任意給定的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N ，使得對所有n，m＞N，及任意(x1，x2，…，xk)∈E時，都有

證明 類似于定理2.1的證明。

定理2.3 二元函數(shù)列fn(x，y) 在平面點集D?R2上一致收斂于f(x，y)的充要條件是

證明 必要性，若fn(x，y)?f(x，y)(n→∞)，(x，y)∈D。則對任給的正數(shù)ε ，存在不依賴于(x，y)的正整數(shù)N，使得當n＞N時，有

由上確界的定義，亦有

充分性，由假設，對任給ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當n＞N時，有

因為對一切(x，y)∈D，總有

故由（5）得

于是fn(x，y)在D 上一致收斂于fn(x，y)。

定理2.4k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk) 在點集E?Rk上一致收斂于f(x1，x2，…，xk)的充要條件是

證明 類似于定理2.3。

3 一致收斂極限函數(shù)的性質(zhì)

定理3.1 設fn(x，y)?f(x，y)，(x，y)∈D，P0為平面區(qū)域D的一個聚點，若對每個n ，極限均存在且

證明 首先證明數(shù)列{an}收斂，對任意給定的正數(shù)ε＞0，由fn(x，y)?f(x，y)知存在正整數(shù)N，當n＞N及任意給定正整數(shù)p，及任意(x，y)∈D均有

令P→P0，則有

由Cauchy收斂準則知數(shù)列{an}收斂。

因此，當0＜|P-P0|＜δ時，有|f(P)-A|≤|f(P)-

注：定理3.1表明：在二元函數(shù)列一致收斂的假設下，{fn(x，y)}中變量x與n，在對兩個變量分別求極限時，極限的順序可互換，即

定 理 3.2 設fn(x1，x2，…，xk)?f(x1，x2，…，xk)，(x1，x2，…，xk)∈E，P0為平面區(qū)域E 的一個聚點，若對每個n，極限則極限

證明 類似于定理3.1。

定理3.3（二元極限函數(shù)的連續(xù)性）設二元函數(shù)列fn(x，y)在二維平面區(qū)域D?R2上一致收斂于f(x，y)，且每一項fn(x，y)都在D上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x，y)在D上也連續(xù)。

證明 設任意Q0(x0，y0)∈D，由fn(x0，y0) 及定理3.1 可得存在，并且故f(x，y) 在 點Q0(x0，y0)連續(xù)，由Q0(x0，y0)的任意性知f(x，y)在D上連續(xù)。

注定理3.3 表明：若連續(xù)的二元函數(shù)列fn(x，y)其極限函數(shù)f(x，y)不連續(xù)，則fn(x，y)不一致收斂。

定理3.4（多元極限函數(shù)的連續(xù)性）設k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk) 在 區(qū) 域E?Rk上 一 致 收 斂 于f(x1，x2，…，xk)，且每一項都在E上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x，y)在E 上也連續(xù)。

證明 類似于定理3.3。

注：定理3.4 表明：若連續(xù)的k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)其極限函數(shù)f(x1，x2，…，xk)不連續(xù)，則fn(x1，x2，…，xk)不一致收斂。

定理3.5（二元極限函數(shù)的一致連續(xù)性）設fn(P)在平面區(qū)域D?R2上一致收斂，且fn(P)在D上一致連續(xù)，則f(P)在D上也一致連續(xù)。

證明：因為fn(P)在D上一致收斂，故對任意ε＞0，存在正整數(shù)N，使得當n＞N及任意p∈D，有|f(P)-fn(P)|＜ε

又因為fn(P)在D上一致連續(xù)，從而對上述的ε＞0，存在δ＞0 ，使得任意p1，p2∈D，只要|p1-p2|＜δ，就有|fn(P1)-fn(P2)|＜ε，從而對上述的ε＞0，存在δ'=δ，當|p1-p2|＜δ'時，令n＞N，則|f(P1)-f(P2)|=|f(P1)-fn(P1)+fn(P1)-fn(P2)+fn(P2)-f(P2)|≤|f(P1)-fn(P1)|+|fn(P1)-fn(P2)|+|f(P2)-fn(P2)|＜3ε，故[f(P)]在D上一致連續(xù)。

定理3.6（多元極限函數(shù)的一致連續(xù)性）設fn(P)在平面區(qū)域E?Rk上一致收斂，且fn(P)在E上一致連續(xù)，則極限函數(shù)f(P)在E 上也一致連續(xù)。

證明類似于定理3.5。

定理3.7（二元極限函數(shù)的可積性）設二元函數(shù)列fn(x，y)在有界閉域D?R2上一致收斂，且每一項都在D上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x，y)在D 上也可積。

證明 設f(x，y)為{fn(x，y)}的極限函數(shù)，則由定理3.3的結(jié)論知，f(x，y)在D上連續(xù)，故fn(x，y)(n=1，2，…)與f(x，y)在D 上均可積。

定理3.8（多元極限函數(shù)的可積性）設k元函數(shù)列fn(x1，x2，…，xk)在有界閉域E?Rk上一致收斂，且每一項都在E 上連續(xù)，則極限函數(shù)f(x1，x2，…，xk)在E 上也可積。

證明類似于定理3.7。