基于航路點分段的預測校正再入制導方法

章吉力，佘智勇，樊雅卓，劉 凱，安帥斌

（1.大連理工大學航空航天學院，大連116024；2.北京空天技術研究所，北京100074）

1 引 言

隨著高超聲速航空航天技術的進步與發(fā)展，新型的可重復使用空天飛行器為經濟實用的空間往返提供了新的可行方案?？仗祜w行器具有速度快、可靠性高的特點，在民用和軍用領域均有重大應用價值，因此在近幾年一直是世界各國研究的焦點。毫無疑問，空天飛行器將大大降低空間任務的運營成本，因為它在任務之后可以進行部分甚至全部的回收，將原有的一次性成本分攤到多次發(fā)射任務中去。

基于可重復使用與水平起降的要求，空天飛行器需要具有升力面，加上其本身飛行包線寬，環(huán)境不確定性大，導致其彈道設計十分困難，尤其是在空天飛行器的再入階段，歷經真空和大氣環(huán)境，速度變化大，高度下降多，可調控制變量少，精度要求高。面對高精度再入制導的挑戰(zhàn)和要求，許多研究人員付出了巨大的努力，并提供了多種制導方法［1-7］。

數(shù)值預測校正制導算法是一種可以在線運行制導方法。該算法不需要預先存儲參考軌跡，而是利用當前狀態(tài)和最終目標點信息給出制導指令。由于數(shù)值預測校正制導算法使用了這種制導邏輯，即使空天飛行器在再入階段遇到較大的擾動，偏離了預先存儲的參考軌跡，制導算法也可以生成一條合適的傾側角指令，引導空天飛行器沿著新的軌跡飛向目標點。

預測校正算法被應用在許多方面，其可行性已在多個環(huán)境的仿真中得到了驗證，主要包括可重復使用的運載火箭再入，月球進入及探月飛行器再入返回，火星進入和精確著陸等。研究人員對預測校正制導算法進行了有針對性的優(yōu)化。基礎的預測校正制導算法由Xue S等在文獻［8］中提出，并通過X-33 測試驗證了算法的有效性。Wang T 等［9］提出了一種基于模糊邏輯的預測校正制導方法，利用龍格-庫塔數(shù)值積分實現(xiàn)彈道預測。Xia Y 等［10］和Zheng Y 等［11］研究了預測校正算法在進入火星過程中的應用，驗證了該算法在極低升阻比的火星著陸器上也是可行的。文獻［12］給出了一種基于降階運動方程的預測校正制導算法，降階后的方程利用較少的計算量，就可以快速生成可行的三維進入軌跡。Wang T等［13］考慮了再入過程中的禁飛區(qū)約束，禁飛區(qū)和航路點被轉換成一系列的參考點。在參考點上都設計了一次傾側角反轉。王光綸［14］首先提出使用總航程而不是剩余航程來進行傾側角指令的迭代，這樣可以避免校正算法的發(fā)散。

本文首先建立了空天飛行器在發(fā)射坐標系下的三自由度動力學模型，分析了再入階段的過程約束和終端約束。然后，基于當前狀態(tài)和目標點的終端狀態(tài)，使用在線的預測-校正再入制導算法對完整的再入軌跡進行反復的數(shù)值迭代計算，得到所需的傾側角幅值指令，達到制導精度，同時，通過對航程的在線計算，給出了傾側角的反轉邏輯。此外，為了避免再入過程后期剩余航程接近零而導致的迭代發(fā)散，文中使用再入總航程代替剩余航程進行迭代；為了避免迭代算法自身原因導致的不收斂，文中還引入一個調節(jié)因子來自適應地調整迭代步長。最后，本文通過數(shù)值仿真驗證了該算法的有效性，為了解決控制指令飽和問題、增強制導律氣動不確定性下的魯棒性引入了分段方法，仿真結果表明，再入制導算法工作正常、性能良好、能夠實現(xiàn)精度要求。

2 空天飛行器再入問題建模

2.1 發(fā)射坐標系中的動力學方程

典型的再入及返場過程如圖1所示。

圖1 典型的再入返場過程剖面Fig.1 Typical re-entry and back process

三維動力學方程在發(fā)射系中建立，位置和速度信息均被分解成了三個方向上的分量來表示，發(fā)射坐標系O-xyz定義如下：O為空天飛行器發(fā)射點，也是空天飛行器返回原著陸場的目標點。Ox在水平面內指向射向，Oy在豎直平面內指向上方，與Ox垂直，Oz由右手定則確定。式（1）～（6）給出了空天飛行器的動力學方程。

式中，x，y，z是位置坐標，Vx，Vy，Vz是速度在發(fā)射坐標系中的三個分量，X，Y，Z是氣動力的分量，F(xiàn)x，F(xiàn)y，F(xiàn)z是離心力的分量，F(xiàn)gx，F(xiàn)gy，F(xiàn)gz是歌氏慣性力的分量，g是重力加速度，r是飛行器的地心距。

X，Y，Z的計算方法由式（7）～（9）給出。

式中，D是阻力，L是升力，θ是彈道傾角，ψ是彈道偏角。θ和ψ可以通過Vx，Vy，Vz求得，σ是傾側角。

一般來說，再入過程的控制變量是攻角α和傾側角σ，而攻角α的值一般由事先設定好的α-V剖面給出。預測校正制導算法能夠根據(jù)給定的傾側角預測后續(xù)航程，并基于此進行迭代得到滿足航程要求的傾側角。在本文中，傾側角是唯一的控制變量。

2.2 再入的過程約束和終端約束

典型的再入過程約束由式（10）～（12）給出。

式中，˙是熱流率，q是動壓，n是過載系數(shù)；、qmax、nmax即是對應的熱流率、動壓、和過載的約束。kQ是與飛行器本身相關的常數(shù)，Vc=是一個無量綱化參數(shù)，L是升力，D是阻力。

對于末端需要滿足的約束，終端的高度，速度以及航程需要滿足式（13）。

其中高度和速度又可以用能量來進行統(tǒng)一表示：

因此式（13）表示的終端狀態(tài)約束還有一個等效的表達形式為：

式中，ef表示終端能量，sf是再入過程的總航程，eTAEM和sTAEM是相應的能量和航程的約束。

3 預測校正制導算法

預測-校正制導方法（也稱預測制導法）是以消除實際飛行軌跡的預測落點和期望落點之間的偏差為目的的制導方法。該方法的基本思想是利用機載計算機在線預測飛行軌跡的終端點，并將求解出的終端點狀態(tài)與理想狀態(tài)比較得出預測終端誤差，制導系統(tǒng)根據(jù)預測終端誤差校正制導指令，使得飛行軌跡的預測終端誤差為零，其工作原理如圖2所示。預測-校正制導方法按照軌跡預測方式又可以分為解析法和數(shù)值法。本文重點討論數(shù)值預測校正制導方法。

圖2 預測-校正制導算法流程Fig.2 Predictor-corrector algorithm process

3.1 約束轉化與再入走廊

在再入過程中，飛行器始終要遵守約束條件。但是，在全程計算和判斷所有的約束是否都能滿足是難以實現(xiàn)的，這會極大地加大運算量。事實上，由于各個約束中均含有傾側角，可以把過程中的約束都轉化為傾側角的約束，若設置平衡滑翔段，則還需要滿足平衡滑翔約束，利用準平衡滑翔條件（QEGC）可以將高度和速度約束轉化為傾側角約束。

圖3 過程約束下的再入走廊Fig.3 Re-entry corridor under constraints

如圖3所示，在H-V剖面上，高度的上下界由各項約束決定，高度的上界由QEGC 條件決定，高度的下界由過載、動壓、熱流約束的最大值決定，即：

再入過程中的約束決定了傾側角幅值的邊界，從圖4中可以看出，隨著傾側角幅值的增大，再入走廊也會收窄，為了不使平衡滑翔約束與熱流約束曲線相交并保留足夠的裕度，需要給傾側角設置合理的上界。

圖4 不同傾側角下QEGC邊界的變化情況Fig.4 QEGC’s changing under different bank angle

事實上，根據(jù)QEGC條件：

若已知r和V，就可以求出對應的σ值。根據(jù)已經得到的Hup和Hdown，可以求得對應的地心距rup和rdown，對應的傾側角邊界由式（18）給出：

所以，控制指令σ需要滿足：

其中，σi是由預測環(huán)節(jié)的迭代算法給出的傾側角幅值。需要注意，由于|σ|決定了飛行器在再入過程中的變向能力，|σ|min(V)的值不宜太小，通常取5°～15°。

3.2 縱向制導邏輯

如前文所述，數(shù)值預測校正制導算法的最終目的是生成傾側角指令。而縱向制導部分的任務是確定傾側角的幅值。

3.2.1 航程預測環(huán)節(jié)

傳統(tǒng)的再入制導研究往往在再入點建立坐標系，使用剩余航程來迭代制導指令。然而，在再入過程接近終端時，剩余航程的值接近于0，這很可能會造成迭代發(fā)散，使算法無法獲得傾側角指令。同時，對剩余的導數(shù)進行積分來計算剩余航程的過程會帶來巨大的計算量。為了解決這一問題，本文采用再入總航程來代替剩余航程。并且基于發(fā)射坐標系到地心坐標系的經緯度位置信息，提出了一種不進行積分直接計算總航程新方法。

式（1）～（6）給出了六個狀態(tài)變量的導數(shù)，通過對這六個方程的積分，我們可以得到空天飛行器在每個時刻的位置和速度信息。再入航程定義在飛行過程的縱平面內。因此，通過發(fā)射坐標系到地心坐標系的轉換，可以實時得到飛機的經度和緯度。通過給定一個初始的傾側角，預測校正算法的預測環(huán)節(jié)就可以預測飛行器的最終落點，再入航程可以用式（20）計算。

式中，λ0、φ0是再入點的經緯度，λf、φf是由算法預測環(huán)節(jié)得到的目標點的經緯度，是對應的地心角。

3.2.2 指令校正環(huán)節(jié)

在航程預測環(huán)節(jié)獲得了在給定傾側角下的航程之后，指令校正環(huán)節(jié)通過牛頓迭代來求解符合要求的傾側角指令，如式（21）所示。

在式（21）中，a是下山因子，一般情況下，為了保證計算效率，需要給它分配一個合適的值。然而，當接近真正的解時，如果a的值太大，迭代可能陷入死循環(huán)，在真解附近振蕩。迭代中的另一個問題是目標函數(shù)fi在局部的單調性可能與它的整體單調性不一致，由于局部的單調性異常，迭代可能會反向進行從而偏離正確的解，這也會產生發(fā)散。為了解決這一問題，本文給出一種自適應迭代算法，當式（22）滿足時，a將縮減一定倍數(shù)。

式（21）中，sall是根據(jù)再入點和目標落點的經緯度求取的再入航程的參考值，具體求解方法由式（23）給出。

式中，λfinal、φfinal是目標落點的經緯度，Δall是sall對應的地心角。

式（20）中，目標函數(shù)fi的導數(shù)˙一般來說難以解析求取，因此在實際應用中可以采用差分來代替。

迭代算法的流程如圖5所示。

3.3 側向制導邏輯

側向制導就是要通過合理的定義傾側角反轉邏輯來實現(xiàn)，在本節(jié)中反轉邏輯的設計是通過定義橫程和橫程邊界來實現(xiàn)。因此本文中的側向制導律的設計就是定義橫程并設計橫程邊界。橫程邊界的設計原則為使再入軌跡滿足終端位置約束，又不至于使側傾反轉過于頻繁。對于特定飛行器，可以通過多次仿真實驗獲得適當?shù)臋M程邊界參數(shù)。橫程有多種定義方法，對于不同定義的橫程，需要設計不同的橫程邊界。

為了定義橫程，首先在橫向定義橫向剩余航程，由式（24）給出。

橫程的定義如式（25）。

這種定義方法在傾側角變號時，橫程可以很快的響應，有較好的控制效果，航向角誤差Δφ是以目標落點為基準，可以保證軌跡會逐漸趨向于目標落點。

橫程的上下邊界設計為：

其中，k1、k2為可調參數(shù)。因此，傾側角符號翻轉邏輯為：

因此當前使用傾側角指令變?yōu)椋?/p>

綜合縱向與側向制導，得到完整的預測校正制導邏輯如圖6所示。

3.4 分段制導邏輯

全程的預測-校正制導在標稱情況下一般有很好的精度，但對于長程的再入問題，氣動不確定性在預測環(huán)節(jié)中的積累會影響傾側角幅值迭代的準確性。為了進一步提升算法應對氣動不確定性的性能，本文中的分段預測校正制導方法首先將再入過程分為兩大段，分別是初始下降段和預測校正段，由于再入段的仿真再入點位于再入走廊之外，需要經歷一個高度迅速下降的階段才能進入再入走廊，因此在再入段前期規(guī)劃初始下降段。

圖6 預測-校正制導邏輯流程Fig.6 Predictor-corrector guidance process

初始下降段下沉率大，且由于再入飛行器尚未進入大氣環(huán)境，氣動力的控制能力有限。基于初始下降段的這些物理特性，在該階段設計比較精確的傾側角方案，或通過改變這一過程中的傾側角來控制飛行軌跡，但效果并不明顯。所以，為了避免不必要的計算量，設置初始下降段的傾側角為一給定常值。該值由迭代算法確定，要求在使再入軌跡位于熱流約束曲線之上的前提下使傾側角盡量大，本文中設計對象以45°傾側角飛行直至滿足式（29）。

之后進入預測校正段，在進行傳統(tǒng)的再入段軌跡規(guī)劃時，往往根據(jù)物理過程把再入分為許多階段，但這種分段方式過于復雜，不利于快速實現(xiàn)。預測校正制導因其只需要初始和終端狀態(tài)即可進行計算的特性，使其在標稱情況下運行時兼具了提供標稱軌跡的功能，因此考慮在標稱預測校正仿真的軌跡上選取若干航路點，以航路點為各段預測校正的終點來進行新的分段預測校正制導仿真。

4 仿真分析與制導性能評估

本文研究空天飛行器的再入階段，初始條件由表1給出。表2給出了目標落點的相關信息。

表1 再入點初始條件Table 1 The initial conditions of the re-entry point

表2 目標落點相關信息Table 2 The conditions of the drop point

4.1 全程預測-校正制導仿真

由于每次迭代都要運行預測環(huán)節(jié)，為了減少運算時間，預測環(huán)節(jié)算法的步長比狀態(tài)環(huán)節(jié)的步長要長，但是如果預測環(huán)節(jié)的狀態(tài)變化很大（狀態(tài)導數(shù)值偏大），算法會自動減小步長以規(guī)避誤差。

如圖7～8所示：制導算法能夠滿足速度、高度等終端約束。從圖9可以看出，在飛行的前期，傾側比較穩(wěn)定。在再入過程的后期，隨著橫程邊界的縮小和算法給出指導指令頻率的增加，傾側角開始反轉。在表3中，我們可以發(fā)現(xiàn)落點在誤差范圍內。

圖7 再入軌跡高度-時間Fig.7 Altitude-time of the re-entry phase

4.2 分段預測-校正制導仿真

在上節(jié)的仿真結果中，飛行末端控制指令會出現(xiàn)飽和，且在氣動不確定性存在的情況下制導精度下降明顯。

圖8 再入軌跡速度-時間Fig.8 Velocity-time of the re-entry phase

圖9 再入軌跡傾側角-時間Fig.9 Bank angle-time of the re-entry phase

圖10 再入軌跡地面軌跡-時間Fig.10 Subsatellite track-time of the re-entry phase

表3 落點誤差Table 3 Error of drop point condition

本節(jié)在標稱預測校正仿真的軌跡上選取若干航路點，以航路點為各段預測校正的終點來進行新的分段預測校正制導仿真，仿真彈道參數(shù)由圖11～14給出。

圖12 再入軌跡速度-時間Fig.12 Velocity-time of the re-entry phase

圖13 再入軌跡傾側角-時間Fig.13 Bank angle-time of the re-entry phase

圖14 再入軌跡攻角-時間Fig.14 Angle of attack-time of the re-entry phase

從圖15中可以看到，將再入過程分段后有效的緩解了末端控制指令飽和的問題，飽和時間明顯后移且不再有震蕩，落點誤差也被控制在3km以內。

圖15 再入軌跡落點誤差Fig.15 Drop point error of the re-entry phase

5 結束語

通過對仿真結果的分析，可以發(fā)現(xiàn)該算法在空天飛行器再入階段工作良好。作為對數(shù)值預測校正方法的改進，本文設置航路點對再入過程進行分段，采用自適應迭代算法來提高預測校正制導算法迭代環(huán)節(jié)的收斂性和精度，有效地抑制了迭代的發(fā)散。在未來的工作中，將考慮把深度學習應用于航程預測環(huán)節(jié)，在使用本套算法獲取大量仿真數(shù)據(jù)的基礎上，利用AI 學習獲取傾側角與航程之間的輸入輸出規(guī)則，用基于數(shù)據(jù)模型的傾側角-剩余航程映射代替原有的預測環(huán)節(jié)，由此進一步提高制導算法的計算效率。