一類帶有分層接種的麻疹模型的穩(wěn)定性分析

王 茉,劉俊利

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710048)

0 引 言

傳染病一直是人類致力于攻克的難題,為了預(yù)防和控制疾病的傳播,學(xué)者們常常建立微分方程數(shù)學(xué)模型研究分析傳染病特性[1-2]。麻疹是一種由副黏病毒感染引起的急性呼吸道疾病,其傳染性極強(qiáng),在人口密集區(qū)域且未普及接種疫苗地區(qū)易流行傳播,約2～3年形成一次大流行。其中兒童期為高發(fā)年齡段,且大多數(shù)是5歲以下兒童,發(fā)病率可高達(dá)95%以上,是全球幼兒死亡的主要原因之一。臨床表現(xiàn)為發(fā)熱、上呼吸道炎癥、眼結(jié)膜炎以及皮膚上現(xiàn)斑丘疹等,常見的并發(fā)癥有中耳炎、肺炎、麻疹腦炎,嚴(yán)重者可危及生命。潛伏期最長(zhǎng)可達(dá)21天,并且麻疹發(fā)病具有較為明顯的季節(jié)性規(guī)律,其中春季和冬季為高發(fā)季節(jié)[3-8]。目前接種常規(guī)麻疹疫苗是預(yù)防麻疹疾病的關(guān)鍵公共衛(wèi)生戰(zhàn)略,但在實(shí)際生活中,往往存在漏種、不及時(shí)接種以及自身免疫等因素使接種效果受到影響,因此對(duì)麻疹病情的傳播及治療還需要做進(jìn)一步的深入研究。

目前,國(guó)內(nèi)外諸多學(xué)者對(duì)于麻疹疾病的流行病學(xué)特點(diǎn)都已經(jīng)進(jìn)行了較為全面的分析。其中,考慮到接種一劑疫苗的時(shí)效性問題,2015年佘連兵[9]建立了一類具有二次接種的麻疹傳染病模型,并對(duì)模型的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。由于麻疹患病者的治療情況較為復(fù)雜,2017年Garba等[10]研究了關(guān)于疫苗接種和麻疹治療相結(jié)合的確定性模型,定性評(píng)估了接種和治療相結(jié)合的方式對(duì)于麻疹染病人群的綜合影響。隨著二次接種的普及率越來越高,Li等[11]針對(duì)我國(guó)麻疹疫苗接種的二劑常規(guī)劑量情況進(jìn)行了建模和分析,并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了二劑疫苗接種率對(duì)麻疹疾病控制的影響。Stephane等[12]建立并研究了一類通過補(bǔ)充常規(guī)免疫的偏微分方程,得出了通過提高麻疹疫苗接種覆蓋率可控制麻疹傳播的結(jié)論。在文獻(xiàn)[12]的研究基礎(chǔ)上,本文考慮了麻疹分人群接種的傳播影響,建立并分析一類帶有分層接種的常微分方程麻疹模型,證明了模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性以及疾病的一致持久性。

1 模型建立

將總?cè)丝贜(t)分為6類:S(t)、I(t)、R(t)、V1(t)、V2(t)、V3(t)分別表示t時(shí)刻人群中的易感者、染病者、恢復(fù)者、接種易感者、接種染病者和接種恢復(fù)者,模型如下:

(1)

式中:A表示人口輸入率;β表示感染率;r表示恢復(fù)率;μ表示自然死亡率;k1、k2分別表示第1次、第2次接種疫苗覆蓋率;τ1、τ2分別表示第1次、第2次接種疫苗的有效性;θ1表示由于接種原因,相對(duì)于染病者,接種染病者對(duì)易感者的相對(duì)傳染性;θ2表示相對(duì)于易感者的傳染,染病者和接種染病者對(duì)接種易感者的相對(duì)傳染性;并且0≤τ1≤1、0≤τ2≤1、0≤θ1≤1、0≤θ2≤1。

定義集合Ω如下:

假定模型(1)中所有參數(shù)都是非負(fù)的,且A>0,μ>0,根據(jù)文獻(xiàn)[13]中定理2.1的證明,可得系統(tǒng)的解是非負(fù)的。將模型(1)中的6個(gè)方程相加得總?cè)丝贜(t)=S(t)+I(t)+R(t)+V1(t)+V2(t)+V3(t)滿足方程

因此Ω為模型(1)的正向不變集。

2 平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

模型(1)總存在唯一的無病平衡點(diǎn)

根據(jù)文獻(xiàn)[14-15],有

(2)

計(jì)算得到模型(1)的基本再生數(shù)為

R0=[Aβ(μ+τ2k2)(μ+r+k1θ1)+Aβk1θ1θ2(1-τ1)(k1+μ+r)]/

[(k1+μ+r)(μ+r)(k1+μ)(μ+τ2k2)]

3 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

定理1如果R0<1,則模型(1)的無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的;如果R0>1,則E0不穩(wěn)定。

證明模型(1)在平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為

J(E0)=

得

則E0處的特征方程為

(λ+μ)(λ+k1+μ)2(λ+μ+τ2k2)·

[(λ-x1+k1+μ+r)(λ-θ1x2+μ+r)-

θ1x1(x2+k1)]=0

因此,該特征方程存在4個(gè)負(fù)特征根:λ1=-μ、λ2=-μ-τ2k2、λ3=λ4=-k1-μ。其余特征根滿足方程

λ2+aλ+b=0

其中

由 Hurwitz 判據(jù)[16]可知, 當(dāng)R0<1時(shí), 有a>0,b>0, 從而方程λ2+aλ+b=0 的根均具有負(fù)實(shí)部, 此時(shí)無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的。當(dāng)R0>1 時(shí), 得b<0, 即方程λ2+aλ+b=0 有一個(gè)正實(shí)根, 此時(shí)無病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的, 從而定理1結(jié)論成立。

4 疾病的持久性

用s(A)表示n×n矩陣A的穩(wěn)定性模,定義為

s(A)max{Rez:z定義為A的一個(gè)特征值}

由式(2)可知,顯然F-V是不可約的,并且具有非負(fù)的非對(duì)角元,則s(F-V)是(F-V)的一個(gè)簡(jiǎn)單特征值,且對(duì)應(yīng)正的特征向量[17]。

引理1[13]下列等價(jià)條件成立:

R0>1?s(F-V)>0,R0<1?s(F-V)<0

定理2如果R0>1,則模型(1)至少存在一個(gè)正平衡點(diǎn),且?ε>0,使得模型(1)具有非負(fù)初值條件的任意解(S(t)，I(t)，R(t)，V1(t)，V2(t)，V3(t))滿足

證明由模型(1)得

則

則?η>0,?t0>0,當(dāng)t>t0時(shí),有

S(t)>m1-η

(3)

當(dāng)t>t0時(shí),由式(3)有

則

當(dāng)t>t0時(shí),由式(3)有

rV2-μV3≥τ1k1S-μV3

則

定義

X0={(S,I,R,V1,V2,V3)∈X,

I+V2>0,?t≥0}

?X0=XX0

易證模型(1)關(guān)于X和X0是正不變的。

令Φ(t)=(S(t),I(t),R(t),V1(t),V2(t),V3(t)),定義

M?={Φ(0);Φ(t)∈?X0,t≥0}

下證

M?={(S,0,R,V1,0,V3):S≥0,

R≥0,V1≥0,V3≥0}

(4)

為了證明式(4)成立,假設(shè)Φ(0)∈M?,只需證明?t≥0,有I=0,V2=0即可。若不成立,則?t1≥0,使得I(t1)+V2(t1)>0,因此Φ(t1)∈X0這與Φ(0)∈M?相矛盾。 用ω(Φ(0))表示模型(1)從Φ(0)∈X出發(fā)的解的ω-極限集。令

P=U(ω(Φ(0)):Φ(0)∈M?}

在M?={(S,0,R,V1,0,V3):S≥0,R≥0,V1≥0,V3≥0}上有

(5)

其中Φ(t)是初值屬于X0的模型(1)的任意解,只需證明

Ws(E0)∩X0=?

(6)

其中Ws(E0)是E0的穩(wěn)定流形。假設(shè)式(6)不成立,則在X0中存在一個(gè)解Φ(t),滿足

(7)

則存在充分小的δ>0,當(dāng)T1>0時(shí),有

(8)

當(dāng)t≥T1時(shí),根據(jù)模型(1)的第2個(gè)和第5個(gè)方程,由式(8)得

即

其中

5 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證模型(1)理論結(jié)果的正確性。從文獻(xiàn)[10]中得到參數(shù)τ1=0.85,τ2=0.98,文獻(xiàn)[19]中得到參數(shù)A=1 340 000,k1=0.629 1,k2=0.8,r=1/0.633 3。參數(shù)以月為單位,假設(shè)人的平均壽命是840個(gè)月,因此死亡率u=1/840≈0.001 2?？紤]參數(shù)θ1=0.01,θ2=0.05，可得以下結(jié)論。

當(dāng)β=0.000 008 5時(shí),求得R0=8.212 5>1,圖1分別表示染病者和接種染病者與時(shí)間的關(guān)系,顯示了麻疹疾病是持續(xù)存在的,與定理2結(jié)論一致。

當(dāng)β=0.000 000 85時(shí),無病平衡點(diǎn)為E0=(2.1×106,0,0,2.6×105,0,1.1×109),R0=0.821 3<1。圖2分別表示染病者與接種染病者與時(shí)間的關(guān)系,表明此時(shí)無病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的,麻疹疾病絕滅,與定理1結(jié)論一致。

圖3為部分相關(guān)系數(shù)(PRCC)的結(jié)果R0對(duì)每個(gè)參數(shù)的依賴性。從圖3可知,β和A對(duì)R0有較大的正的影響,r和k1對(duì)R0有較大的負(fù)的影響。相比較而言,μ,θ1和τ1對(duì)R0的影響較小,即不敏感。另外,麻疹疾病的感染率β對(duì)R0的影響最大,其次是恢復(fù)率r,然后是第一次接種覆蓋率k1和人口輸入率A,這些因素在很大程度上影響著疾病的存在和持續(xù)傳播,因此,為了減少麻疹染病者人數(shù)的增加并達(dá)到控制疾病流行的目的,可以采取的有效措施有:①盡量減少麻疹染病者和普通人群以及從未接種過麻疹疫苗的易感者的接觸,從而達(dá)到降低感染率的目的;②在麻疹患者染病的整個(gè)潛伏期過程中,需盡量縮短治愈周期,控制治療時(shí)間在潛伏期范圍內(nèi),以期望達(dá)到高效的治愈率,從而避免了麻疹疾病再次傳播;③全面擴(kuò)大新生兒首次接種覆蓋率,第一次接種的覆蓋率對(duì)基本再生數(shù)的影響要大于第二次接種覆蓋率,因此新生兒出生后的第一劑麻疹疫苗覆蓋率需盡可能達(dá)到100%。

6 結(jié) 語

本文在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上考慮了分人群接種對(duì)麻疹疾病傳播動(dòng)力學(xué)的影響,通過計(jì)算得到了模型的無病平衡點(diǎn)和基本再生數(shù),證明了無病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和疾病的一致持久性,并進(jìn)行數(shù)值模擬驗(yàn)證。結(jié)果表明：感染率、接種覆蓋率以及恢復(fù)率對(duì)基本再生數(shù)的影響較大,對(duì)閾值的敏感性較強(qiáng)。由此總結(jié)得到控制麻疹流行的3個(gè)有效措施,從而達(dá)到控制麻疹疾病流行的目的。