基于參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演

張福才， 劉允剛， 孫曉剛

1. 陜西科技大學(xué)電氣與控制工程學(xué)院， 陜西 西安 710021 2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與工程學(xué)院， 黑龍江 哈爾濱 150001

引 言

近些年來， 多光譜光學(xué)高溫計已經(jīng)成為高溫輻射領(lǐng)域中重要的測量工具[1]。 如何準確可靠地求解出光譜發(fā)射率仍然是多光譜測溫核心問題， 關(guān)于光譜發(fā)射率的求解主要以下三種方案： 波長假設(shè)模型， 采用光譜發(fā)射率與波長之間建立模型來實現(xiàn)真溫和光譜發(fā)射率反演的方法是目前國內(nèi)外最常用的方法， 1976年， Svet將光譜發(fā)射率和波長之間建立數(shù)學(xué)模型， 采用含有波長的多項式近似代替未知的光譜發(fā)射率， 當(dāng)方程組處于超定或正定狀態(tài)時， 可以實現(xiàn)對方程組的求解， 此種方案可以反演出真溫和光譜發(fā)射率[2]。 經(jīng)過幾十年的發(fā)展， 2013年， Rodiet等采用最小二乘法對多光譜輻射溫度測量法中的波長的選取進行了優(yōu)化， 實驗中波長采用近紅外波段， 波長范圍為1.5～5.5 μm， 實現(xiàn)了573～673 K溫度的測量[3]。 2015年， 邵艷明等對煉鋼過程進行了深入研究， 采用最小二乘法， 利用光譜儀測量得到的光譜信息對轉(zhuǎn)爐爐口火焰溫度進行了測量與分析[4]。 同一年， Zhang采用維恩公式代替普朗克公式， 假設(shè)某一溫度下光譜發(fā)射率與波長之間存在線性或非線性關(guān)系， 提出光譜識別法的多光譜真溫反演算法， 實現(xiàn)了中紅外波段真溫的反演[5]。 2018年， 楊藝帆等針對輻射測溫中未知數(shù)大于方程個數(shù)的這一客觀事實， 假設(shè)測量對象的光譜發(fā)射率具有緩變的特性， 因此相鄰波長處的光譜發(fā)射率近似相等， 從而減少了未知數(shù)的個數(shù)， 實現(xiàn)了真溫和光譜發(fā)射率的反演[6]。 這類模型真溫反演的結(jié)果與光譜發(fā)射率假設(shè)模型關(guān)系密切， 而假設(shè)模型又有多種類型， 如何選擇一種假設(shè)模型更為恰當(dāng)缺乏足夠的理論依據(jù)， 如果光譜發(fā)射率的假設(shè)模型選取不合理， 將可能導(dǎo)致較大的真溫反演誤差。 另外是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)假設(shè)模型， 1998年， 孫曉剛等首次將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于多光譜真溫反演的過程中， 結(jié)果表明， 大多數(shù)情況下， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法無需建立光譜發(fā)射率與波長之間的關(guān)系， 是一種有效的多光譜真溫反演方法[7]。 2001年， 孫曉剛等先后利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對多光譜測溫數(shù)據(jù)進行了處理， 提出了一種新的多光譜溫度測量數(shù)據(jù)處理的思路， 全面將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法引入到了多光譜溫度測量領(lǐng)域， 得到了良好的測量效果[7]。 這類模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多光譜真溫反演方法是一種重要的真溫反演方法， 但這種方法的Matlab反演程序最為復(fù)雜， 而且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都需要事先進行學(xué)習(xí)， 學(xué)習(xí)的過程不但需要大量正確、 可靠的數(shù)據(jù)而且學(xué)習(xí)本身就需要花費大量的時間， 因此這種方法真溫反演的速度也最慢。 有報道真溫假設(shè)模型于2001年孫曉剛假設(shè)光譜發(fā)射率與真溫之間在一定溫度范圍內(nèi)存在某種線性函數(shù)關(guān)系， 在此模型基礎(chǔ)上， 初步提出了二次測量法的理論模型， 完成了相關(guān)理論的仿真實驗[8]。 2003年后， 孫曉剛完善了光譜發(fā)射率和真溫的假設(shè)模型， 通過迭代的方法可以求解出真溫和光譜發(fā)射率[9]。 2017年， Liang針對二次測量法反演速度較慢的問題， 增加了發(fā)射率模型的非線性約束條件， 提出了一種基于模型約束條件的二次測量法， 這種模型約束條件的二次測量法速度最高提高了43.45%[10]。 這類模型將光譜發(fā)射率與真溫之間建立模型來實現(xiàn)真溫和光譜發(fā)射率反演的這種方法是一種獨特的真溫反演方法， 其真溫反演精度較高且具有較好的魯棒性； 由于采用了迭代的求解方式， 其真溫的反演速度并不高， 因此， 如何提高真溫和光譜發(fā)射率的反演速度以更好地滿足實際需要是這種方法亟待解決的問題之一。

在實際的輻射測溫過程中， 當(dāng)一個發(fā)射率隨波長變化規(guī)律是已知的， 采用多光譜測溫得到的測溫數(shù)據(jù)相對是合理可靠的， 然而， 絕大多數(shù)情況二者之間的關(guān)系是不明確的， 甚至是沒有任何規(guī)律的， 因而會對測量結(jié)果的準確性造成較大的影響， 上述多光譜測量方法還是存在一定局限性的。 本研究提出一種基于定點黑體爐參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演方法， 不再考慮光譜發(fā)射率與波長、 光譜發(fā)射率與真溫之間的關(guān)系， 也不需要預(yù)先建立光譜發(fā)射率與波長、 光譜發(fā)射率與真溫之間的數(shù)學(xué)模型， 是一種可行的多波長高溫計的數(shù)據(jù)處理方法。

1 基于參考溫度的多目標(biāo)函數(shù)極值真溫反演原理

從多光譜高溫計的測量理論可知， 對于參考黑體在參考溫度T的輸出電壓Vi可表示為

(1)

式(1)中，Aλi是只與波長有關(guān)的儀器常數(shù)， 它與該波長下探測器的光譜響應(yīng)率、 光學(xué)元件透過率、 幾何尺寸及第一輻射常量有關(guān)， 稱為檢定常數(shù)， 通過標(biāo)定可以確定。ελi是溫度T時的目標(biāo)光譜發(fā)射率，λi是相應(yīng)通道的波長，C2是第二輻射常數(shù)。 在定點黑體參考溫度Trb下， 第i個通道的輸出的電壓Vλib為

(2)

式(2)中，ελib黑體爐在參考溫度Trb=2 252 K時的光譜發(fā)射率， 實際計算中取ελib=0.99。 將式(1)和式(2)相除， 得

(3)

應(yīng)用式(3)， 對于n個通道的多光譜測溫系統(tǒng)， 可以得到n個測量方程的同時也得到n+1未知數(shù)(n個ελi和一個T)。 從理論上講， 對應(yīng)無窮多個解， 因此， 必須找到一種方法解決這個問題。 以往的研究方法主要是假設(shè)ελi和λi存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系， 用含有λi(λi的值一般由通道的濾波片決定， 故為已知量)的表達式代替ελi， 使方程的未知數(shù)降為n個后得以求解。 但這種假設(shè)關(guān)系一旦不存在將對測量結(jié)果帶來較大的誤差。 基于這種原因， 尋找一種合適的不依賴于光譜發(fā)射率和波長之間關(guān)系假設(shè)且具有通用性的數(shù)據(jù)方法變得日益迫切。

由式(3)， 第i個測量通道表示的真溫為Ti為

(4)

式(4)中，ελib黑體爐在參考溫度時的光譜發(fā)射率， 實際計算中取ελib=0.99，ελi是溫度T時的目標(biāo)光譜發(fā)射率， λi是相應(yīng)通道的波長，C2是第二輻射常數(shù)，Vλib為第i個通道的輸出的電壓，Vλi對于待測目標(biāo)溫度為T的輸出電壓， 通過式(4)， 可以被測目標(biāo)的真溫。

1.1 多目標(biāo)函數(shù)

對于含有煙黑、 炭?；蚬腆w顆粒(Al2O3)的火焰， 其輻射光譜主要位于可見光和近紅外波段的連續(xù)光譜， 每一個光譜通道都可以利用式(4)表示真溫。 其中， 光譜發(fā)射率是未知數(shù)， 由輻射測溫的基本可知， 光譜發(fā)射率隨著波長的變化具有漸變的特征， 相鄰兩個通道表示的真溫差不會相差很大， 因此， 取相鄰兩個通道表示的真溫差最小構(gòu)成一個目標(biāo)函數(shù)， 即式(5)

F1=min(Tz1-Tz2)

F2=min(Tz3-Tz4)

F3=min(Tz5-Tz6)

F4=min(Tz7-Tz8)

(5)

由輻射測溫的基本理論常識可知， 對于同一點、 同一時刻的測量， 真溫具有唯一性， 由不同通道表示的真溫分別為Tzi和Tz(i+1)， 由于測量中隨機誤差的存在， 造成Tzi≠Tz(i+1)， 由于誤差的基本可知， 由不同通道表示的真溫標(biāo)準差越小表示測量的可靠性就越大， 測量精度也相對較高， 另外， 由于測量真溫是待求的未知量， 因此這里采用貝塞爾(Bessel)公式表示的標(biāo)準差的平方最小作為一個目標(biāo)函數(shù)， 即

(6)

式(5)和式(6)構(gòu)成了五個目標(biāo)函數(shù)， 由約束優(yōu)化理論可知， 很難求得真溫一個T使五個目標(biāo)函數(shù)同時達到極小值， 因此， 只能將滿足五個目標(biāo)函數(shù)的近似解或弱有效解時的T視為被測目標(biāo)的真溫。

1.2 非線性多變量等式約束條件

為了構(gòu)造非線性多變量等式約束條件， 首先對式(4)的N個光譜通道相加取平均值后再減去式(4)中的第一個通道方程并整理， 得

(7)

通過減法操作， 消去了真溫Ti， 由式(7)構(gòu)成了一個等式方程， 其余的變量如波長λi和亮度溫度Ti都是已知量。

1.3 線性多變量不等式約束條件

由輻射測溫的基本理論可知光譜發(fā)射率的變化范圍都在0和1之間， 另外， 根據(jù)相關(guān)文獻， 相鄰?fù)ǖ赖墓庾V發(fā)射率滿足

(8)

式(8)限定了式(7)中非線性多變量等式約束條件變化范圍， 減少了冗余數(shù)據(jù)而且提高了算法的反演速度。 求得的真溫Tz并不是約束條件解的交集而是近似有效解或弱有效解， 將這個溫度Tz視為被測目標(biāo)的真溫， 這一點與二次測量法的原理相同。 另外， 當(dāng)多目標(biāo)函數(shù)數(shù)量和形式的不同時， 也會對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。

2 基于參考溫度的多目標(biāo)函數(shù)極值真溫反演方法的求解

通過上述原理分析可知， 建立了基于參考溫度的多目標(biāo)函數(shù)極值真溫反演方法的多目標(biāo)函數(shù)和約束條件。 這種結(jié)構(gòu)與多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)構(gòu)近似， 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)構(gòu)基本的形式為

V-min{f1(X),f2(X), …，fp(X)},X∈Rn

(9)

式(9)中，f1(X),f2(X), …，fp(X)為目標(biāo)函數(shù)表達式，Rn為一個向量，X為自變量，gj(X)≤0和hk(X)=0為不等式和等式約束條件。 因此， 可以使用Matlab工具箱中的中的fgoalattain函數(shù)實現(xiàn)多目標(biāo)函數(shù)的求解， 在求解目標(biāo)函數(shù)極值的過程中實現(xiàn)真溫和光譜發(fā)射率的反演。

3 實驗驗證

調(diào)節(jié)黑體爐到某一固定溫度， 待其穩(wěn)定后， 使用單波長高溫計測量得到黑體爐的溫度為2 252.0 K， 表1為在定點黑體參考溫度Trb=2 252.0 K處多光譜高溫計有效波長及在參考溫度處的電壓信號輸出， 對于黑體爐而言， 黑體參考溫度與亮度溫度相等， 對于一般待測目標(biāo)而言， 其真溫都大于亮度溫度， 表2為實際測量時各個測量通道的電壓， 是本計算的原始數(shù)據(jù)[12]。

表1 參考溫度下的各個測量通道的電壓

表2 實際測量時各個測量通道的電壓

在黑體爐和微型光譜儀之間分別插入已知光譜特性的JB9, QB18和LB6三種型號的衰減片模擬真實輻射目標(biāo)， 由多光譜高溫計采集的多光譜電壓數(shù)據(jù)通過USB接口傳送至計算機。 分別利用二次測量法(second measurement method， SMM)和基于參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演方法(true temperature inversion method for minimum of multi-objective function based on reference temperature， IMR)反演真溫并記錄了反演時間， 如表3所示； 反演的光譜發(fā)射率如表4所示。

表3 真溫反演結(jié)果

表4 光譜發(fā)射率反演結(jié)果

圖1 光譜發(fā)射率隨波長的變化曲線

由表3中兩種方法反演的結(jié)果的對比可知， 兩種方法的求解結(jié)果基本相同， 都在理論值約2 490.0 K； 在反演時間上， 二次測量法的反演時間都在60 s左右， 而基于參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演方法的反演時間都小于3 s， 反演時間提高的比例均超過95%。

圖1為根據(jù)光譜發(fā)射率繪制的光譜發(fā)射率隨波長變化的曲線圖， 從圖中可以看出， 雖然反演的真溫值不同， 但每一個真溫下光譜發(fā)射率隨波長先增加后減小的趨勢基本相同。

4 結(jié) 論

提出了一種基于參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演方法， 可以得到以下結(jié)論： (1) 該方法無需對光譜發(fā)射率與波長之間的函數(shù)關(guān)系、 光譜發(fā)射率與溫度之間的函數(shù)關(guān)系不做任何限制， 理論上簡化了真溫反演的原理； (2) 火箭發(fā)動機尾焰理論真溫約為2 490.0 K， 研究中提出了一種基于參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演方法反演的真溫與理論值之差都在±20 K以內(nèi)， 在相同條件下， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和鏡像延拓法的真溫反演誤差在±100 K以內(nèi)， 本研究提出的反演方法在精度上有了較大的提高； (3) 在反演時間上， 與二次測量法相比， 基于參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演方法的反演時間都小于3 s， 反演速度提高的比例都在95%以上。

本研究提出的基于定點黑體爐參考溫度的多目標(biāo)極小值優(yōu)化原理的多光譜真溫反演方法是一種可行的真溫反演的方法， 采用優(yōu)化思想的真溫反演方法很可能成為多光譜真溫反演研究的新方向。