相干矢量表象中的量子相干性度量

丁 磊

(西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 成都 610031)

1 引 言

由量子態(tài)疊加原理產(chǎn)生的量子相干性是量子力學(xué)中最重要的基本特征之一，是量子世界從經(jīng)典領(lǐng)域中分離出來(lái)的標(biāo)志.在跨學(xué)科領(lǐng)域中，量子相干性扮演著極其重要的角色，比如納米熱力學(xué)[1]，量子度量學(xué)[2]，量子生物學(xué)[3]等. 在物理學(xué)中，它更是發(fā)揮著核心作用，能實(shí)現(xiàn)經(jīng)典物理學(xué)和射線光學(xué)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的一些應(yīng)用. 量子相干性是量子物理和量子信息科學(xué)中的一個(gè)熱門的研究課題，是一些量子應(yīng)用的基礎(chǔ)條件，如量子隱形傳態(tài)[4]，量子信息分裂的量子參數(shù)估計(jì)等.

值得關(guān)注的是，人們已經(jīng)注意到，在Baumgratz等人[5]提出的框架中，如果對(duì)量子態(tài)進(jìn)行基矢變換，那么就會(huì)出現(xiàn)相干態(tài)與非相干態(tài)相互轉(zhuǎn)換的情況[10]. 進(jìn)一步說(shuō)就是基矢的變換，會(huì)導(dǎo)致同一量子態(tài)的相干性在同一度量下發(fā)生變化. 從物理學(xué)的角度出發(fā)，物理系統(tǒng)量子態(tài)的物理特性在相同度量下不應(yīng)該隨基矢變換而改變，但是允許其數(shù)值隨度量方式的改變而改變. 王偉臣等人[10]已經(jīng)提出獨(dú)立于基矢選擇的度量方式，重新定義的非相干態(tài)為經(jīng)典最大混合態(tài).

本工作在相干矢量表象下提出另一種獨(dú)立于基矢選擇的量子相干性度量，稱為相干矢量相干性. 給出了符合相干矢量相干性的非相干態(tài)、非相干算符和性質(zhì).

2 量子態(tài)的相干矢量

在介紹相干矢量相干性之前，本部分將簡(jiǎn)短回顧量子態(tài)的相干矢量描述及其部分性質(zhì). 眾所周知，N維Hilbert空間H中的量子態(tài)用密度矩陣ρN來(lái)描述，ρN滿足厄米性、正定性和單位跡性. 同時(shí)，離散N維Hilbert空間H中的量子態(tài)ρN還可以用一個(gè)單位算符IN和SU(N)群的生成元展開并得到發(fā)展和廣泛應(yīng)用[11-18]. 其中SU(N)群生成元由如下過程構(gòu)成[17].

首先，在離散N維Hilbert空間H中的一組正交規(guī)范基{|i〉,(i=1,2,…,n)}下引入一組轉(zhuǎn)換投影算符:

Pij=|i〉〈j|

(1)

然后，利用以下這三組算符

Pll-lPl+1,l+1)

(2)

來(lái)構(gòu)造生成元，其中1≤l≤N-1,1≤j

(3)

其中i=1,2,…,N2-1，并滿足如下關(guān)系：

(4)

利用Tr(ρN)=1,密度矩陣ρN可以表示成如下形式：

(5)

根據(jù)文獻(xiàn)[16]中的球坐標(biāo)觀點(diǎn)，在(N2-1)維相干矢量表象B(RN2-1)中，所有可描述密度矩陣的相干矢量形成一個(gè)閉合有界凸集，到達(dá)該閉合有界凸集邊界上的相干矢量的模長(zhǎng)并不相等. 其中純態(tài)所對(duì)應(yīng)的相干矢量的模長(zhǎng)最大，為:

(6)

同時(shí)，Schlienz等人[11]已經(jīng)證明，當(dāng)對(duì)N維Hilbert空間H中的密度矩陣ρN做一個(gè)酉變換UN時(shí)，該密度矩陣在相干矢量表象中對(duì)應(yīng)的相干矢量做了一個(gè)(N2-1)維的轉(zhuǎn)動(dòng)O(UN).

3 相干矢量相干性度量

基于對(duì)密度矩陣做酉變換時(shí)，其在相干矢量表象中對(duì)應(yīng)的相干矢量做旋轉(zhuǎn)的獨(dú)特性質(zhì),本文在相干矢量表象中利用相干矢量的歸一化模定義了一種新的量子相干性度量：

(7)

(8)

即為經(jīng)典最大混合態(tài). 實(shí)際上，這樣定義的非相干態(tài)是Baumgratz等人[5]定義的非相干態(tài)中δi全部相等時(shí)的那一類. 王偉臣[10]已經(jīng)證明，把經(jīng)典最大混合態(tài)作為非相干態(tài)時(shí)，非相干算符就只能是酉算符UN. 在本文定義的相干矢量相干性度量中，也是把非相干態(tài)定義為經(jīng)典最大混合態(tài)，因此本文定義的非相干算符也是酉算符UN.

4 相干矢量相干性的性質(zhì)

雖然本文定義的非相干態(tài)和非相干算符與文獻(xiàn)[5]中的不同，但是其提出的四個(gè)條件卻是普適的，所以本文依然需要依據(jù)其條件討論相干矢量相干性的性質(zhì).

性質(zhì)a：非負(fù)性，即

0≤Ccv(ρN)≤1

性質(zhì)b：凸性，量子態(tài)的混合態(tài)的相干矢量相干性不增大，即

證畢.

性質(zhì)c:非相干算符作用下的不變性, 即

Ccv(ρN)

總的來(lái)說(shuō)，相干矢量相干性度量完全符合Baumgratz框架的條件(C1)和(C3). 而量子態(tài)在非相干算符酉算符UN作用后，不管測(cè)量與否，其相干矢量相干性都保持不變.

5 結(jié) 論

本文在相干矢量表象中提出了一種新的量子相干性度量，即相干矢量相干性，其實(shí)質(zhì)就是采用相干矢量的歸一化模長(zhǎng)來(lái)度量量子相干性. 相干矢量相干性能避開相干態(tài)與非相干態(tài)隨基矢的選擇而相互轉(zhuǎn)換的問題，也就是對(duì)量子態(tài)進(jìn)行幺正變換后其相干矢量相干性保持不變. 本文還在這種度量方式下討論了把非相干態(tài)定義為經(jīng)典最大混合態(tài)和把非相干算符定義為酉算符的可行性. 最后，本文還得到了相干矢量相干性的三條性質(zhì)：非負(fù)性、凸性和非相干算符，即幺正算符，作用下的量子相干性不變性. 這對(duì)探索量子相干性更好地度量和豐富量子資源理論具有一定的積極意義.