P-SMCG法在TSV陣列電磁散射特性快速分析中的應(yīng)用

李 娜,繆 旻

(北京信息科技大學(xué) 信息與通信工程學(xué)院，北京 100192)

0 引言

近年來，隨著電子集成封裝技術(shù)的快速發(fā)展，三維互連技術(shù)越來越受到關(guān)注。硅通孔(through-silicon via，TSV)具有低密度、低功耗、低時(shí)延等優(yōu)勢(shì),是解決高速互連問題的關(guān)鍵。這種垂直互連技術(shù)可應(yīng)用于三維圓片級(jí)封裝(three-dimensional wafer-level-packaging，3D WLP)、三維系統(tǒng)級(jí)封裝(three-dimensional system-in-package，3D SIP)、三維堆疊集成(three-dimensional stacked-integration，3D Stacked-IC)、三維芯片系統(tǒng)(three-dimensional system-on-a-chip，SoC)等領(lǐng)域[1]。由于電子產(chǎn)品的工作頻率和互連線傳輸數(shù)據(jù)速率的提高，大規(guī)模TSV陣列在高頻條件下對(duì)襯底中橫向傳播的電磁波產(chǎn)生顯著的散射，從而產(chǎn)生電磁干擾(electromagnetic interference，EMI)[2]、串?dāng)_、噪聲和其他信號(hào)完整性等問題[3]。因此，研究硅襯底中基于密集TSV陣列的大規(guī)模三維互連網(wǎng)絡(luò)中的多重散射問題具有重要的意義。

常見的三維集成中通孔結(jié)構(gòu)的電磁建模方法主要有準(zhǔn)靜態(tài)法和離散數(shù)值分析方法，前者應(yīng)用于低頻條件，后者應(yīng)用于高頻條件，這些方法通常以散射參數(shù)(S參數(shù))為指標(biāo)來表示信號(hào)傳輸性能的優(yōu)劣。目前使用比較多的、最簡(jiǎn)單的建模方法是準(zhǔn)靜態(tài)分析法，文獻(xiàn) [4-5]在該方法的基礎(chǔ)上提出了集總參數(shù)等效電路模型。該模型在低于20 GHz時(shí)全波三維仿真結(jié)果與測(cè)試結(jié)果有較好的一致性，而對(duì)于更高頻率的散射效應(yīng)沒有精確建模。所以這種方法的精確性和普適性還存在一定缺陷。隨著計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備性能的大幅提升，時(shí)域有限差分法(finite difference time domain，F(xiàn)DTD)、矩量法(method of moments，MOM)、有限元法(finite element method，F(xiàn)EM)[6]以及場(chǎng)—路協(xié)同仿真法[7]等數(shù)值方法得到了廣泛的應(yīng)用。這些方法可以在高頻條件下建立密集TSV的電磁模型，但是仿真需要大量的計(jì)算時(shí)間。

為了解決上述方法存在的問題，本文采用Foldy-Lax方程半解析技術(shù)對(duì)硅襯底中TSV之間的多重散射特性進(jìn)行全波電磁建模，并利用預(yù)處理稀疏矩陣正則網(wǎng)格(preconditioned sparse-matrix canonical-grid，P-SMCG)方法求解Foldy-Lax方程，快速獲取代表TSV陣列散射特性的S參數(shù)。稀疏矩陣規(guī)則網(wǎng)格(sparse-matrix canonical-grid，SMCG)法是一種高效率的數(shù)值計(jì)算方法，通常用于解決粗糙表面和三維介質(zhì)目標(biāo)的電磁散射問題[8-9]。該方法將所有場(chǎng)相互作用分解為強(qiáng)相互作用(近場(chǎng))部分和弱相互作用(遠(yuǎn)場(chǎng))部分，通過優(yōu)化散射傳播行為分析算法，建立可快速計(jì)算三維系統(tǒng)級(jí)封裝中電磁問題的數(shù)學(xué)、物理模型，求解其有限介質(zhì)空間的電場(chǎng)和磁場(chǎng)分布，以達(dá)到降低計(jì)算資源和時(shí)間消耗的目標(biāo)，優(yōu)于商用全波仿真軟件HFSS(high frequency structures simulator，HFSS)[10]。對(duì)于大規(guī)模TSV多重散射問題，SMCG方法的收斂速度較慢，本文對(duì)SMCG方法中包含主導(dǎo)信息的近場(chǎng)通過LU分解進(jìn)行預(yù)處理，減少了迭代次數(shù)，加快了收斂速度，提高了計(jì)算效率。

1 電磁建模

1.1 TSV在SiO2-Si-SiO2襯底中的模型

單層SiO2-Si-SiO2襯底和單個(gè)TSV縱截面結(jié)構(gòu)如圖1所示。

硅襯底兩側(cè)的SiO2平面具有防止來自其他層元件電磁干擾的作用，使得研究單層的TSV信號(hào)傳輸性能和耦合模式不受影響。為了限制沿TSV軸線流動(dòng)的電流，使兩個(gè)平行平面間形成波導(dǎo)，將等效磁流作為TSV端口處的激勵(lì)，放置在焊盤的空隙上，如圖2所示。

由于磁流激勵(lì)沒有方位依賴性，因此僅激發(fā)TM波[11]。通過求解SiO2-Si-SiO2襯底中的TM模式方程(1)得到硅襯底中的波數(shù)kρl。

(RTM)2exp(-2jk1zd)-1=0

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：RTM為包含Si邊界處所有信息的最終反射系數(shù)；k1、k2和kc分別為Si、SiO2和Cu的波數(shù)；ε1、ε2和εc分別為Si、SiO2和Cu的介電常數(shù)；d和h分別為Si和SiO2的厚度。TM模式的一階近似公式為

(6)

(7)

式中l(wèi)為模式的階數(shù)，l=0,1,2,…。

1.2 Folay-Lax方程對(duì)柱面波展開

N個(gè)TSV的等效示意圖如圖2所示。a、b、c分別為銅半徑、銅加涂層SiO2半徑以及TSV焊盤空隙的半徑。兩個(gè)SiO2平面分別位于z=d/2和z=-d/2處，N個(gè)TSV分別位于ρ1,ρ2,…，ρN處。根據(jù)等效原理，兩個(gè)平面間TSV處的等效磁流Mqu位于(ρq,z′=d/2)、Mqb位于(ρq,z′=-d/2)(q=1,…,N)。其中，下標(biāo)u表示位置處于TSV上端口即z′=d/2，下標(biāo)b表示位置處于TSV下端口即z′=-d/2。經(jīng)過多次散射后，多個(gè)TSV中第q個(gè)TSV最終的總激勵(lì)場(chǎng)為

(8)

(9)

[J0(k1ρlc)-J0(k1ρlb)]

(10)

(11)

式中：

Bm=

(12)

(13)

(14)

(15)

式中：Jm(k1ρ)、Ym(k1ρ)分別為第一類和第二類m階Bessel函數(shù)；Hm(k1ρ)為第一類m階Hankel函數(shù)。

(e-jk1zld+RTMejk1zld)

(16)

(1+RTM)

(17)

1.3 導(dǎo)納矩陣

硅通孔中的激勵(lì)電流通過與電壓和導(dǎo)納的聯(lián)系得出：

Iuu=YuuVu

(18)

Ibu=YbuVu

(19)

式中：Iuu和Ibu為N維激勵(lì)電流矢量；Vu為N維電壓矢量。

導(dǎo)納矩陣的每一列可以用相應(yīng)的端口激勵(lì)條件獨(dú)立求解：

(20)

(21)

散射矩陣通過與導(dǎo)納矩陣的聯(lián)系得出：

S=(Y0E+Y)-1(Y0E-Y)

(22)

2 SMCG方法

在SMCG方法中，硅通孔p與硅通孔q周圍其他硅通孔對(duì)于硅通孔q總激勵(lì)場(chǎng)的具體求解過程如圖3所示。

通過平移到相鄰的規(guī)則網(wǎng)格來間接求解兩個(gè)TSV之間的弱(遠(yuǎn)場(chǎng))相互作用。定義虛線圓圈內(nèi)為強(qiáng)(近場(chǎng))相互作用，可通過直接法得到結(jié)果；虛線圓圈外為弱(遠(yuǎn)場(chǎng))相互作用，通過使用二維快速傅里葉變換方法(two-dimensional fast Fourier transform，2D-FFT)加速弱相互作用矩陣與列向量的乘法運(yùn)算。對(duì)于SMCG方法，F(xiàn)oldy-Lax方程(9)可改寫為

Jm′-m(kρl|ρp-ρp0|)ej(m′-m)φρpρp0×

Jn-n′(kρl|ρq0-ρq|)ej(n-n′)φρq0ρq+

(23)

式中S(p)為硅通孔p強(qiáng)(近場(chǎng))相互作用內(nèi)的硅通孔集合，并將其進(jìn)行預(yù)處理。定義硅通孔q在硅通孔p強(qiáng)(近場(chǎng))相互作用內(nèi)滿足的條件為

|ρp0-ρq0|≤D

(24)

式中D=0.2λ，為近場(chǎng)半徑，一般取D=3r，r為方格的長(zhǎng)度。

定義一組階數(shù)(m,n,m′,n′)，將式(23)改寫為矩陣方程形式：

Zw=a

(25)

Z=Z(S)+Z(W)

(26)

Z(W)=L(d)Z(G)L(u)

(27)

3 P-SMCG方法

通過預(yù)處理技術(shù)，將式(25)轉(zhuǎn)換為等效矩陣方程：

M-1Zw=M-1a

(28)

(29)

其中

(30)

(31)

3)使用快速傅里葉變換計(jì)算Z(W)w，將結(jié)果存儲(chǔ)到X1，即X1=Z(W)w；

4 仿真結(jié)果與分析

具體仿真參數(shù)如表1所示。

表1 TSV建模的具體參數(shù)設(shè)置

利用快速計(jì)算方法P-SMCG仿真并驗(yàn)證了兩個(gè)TSV模型的散射參數(shù)，第一個(gè)模型為1×2信號(hào)TSV陣列，第二個(gè)模型為7×7信號(hào)TSV均勻陣列。這兩種仿真模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與全波電磁仿真軟件HFSS及未預(yù)處理SMCG方法結(jié)果具有很好的一致性。兩種模型仿真所需CPU時(shí)間如表2所示。

表2 CPU時(shí)間

4.1 1×2信號(hào)TSV陣列仿真與分析

1×2信號(hào)TSV陣列仿真模型如圖4所示。

1×2信號(hào)TSV陣列仿真模型的散射參數(shù)如圖5～8所示，分別顯示了信號(hào)TSV的回波損耗S11、插入損耗S21、近端串?dāng)_S31和遠(yuǎn)端串?dāng)_S41。在高達(dá)40 GHz的頻段內(nèi)可以觀察到使用P-SMCG方法所得仿真結(jié)果與HFSS仿真及未預(yù)處理SMCG方法得到的散射參數(shù)之間具有很好的一致性。

由表2可知，1×2信號(hào)TSV陣列模型在Matlab平臺(tái)仿真0～40 GHz頻段得到數(shù)值解所需CPU時(shí)間為2.863 025 s，而對(duì)于相同結(jié)構(gòu)，未預(yù)處理SMCG需要4.305 758 s，HFSS仿真需要48 s。通過仿真1×2信號(hào)TSV陣列模型表明，本文所使用的P-SMCG方法在計(jì)算效率方面占有一定的優(yōu)勢(shì)。

4.2 7×7信號(hào)TSV均勻陣列仿真與分析

為了證明P-SMCG方法在求解高密集TSV中占據(jù)絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，仿真分析了7×7信號(hào)TSV均勻陣列，陣列模型如圖9所示。幾何參數(shù)和材料屬性與1×2信號(hào)TSV陣列模型相同。

7×7信號(hào)TSV均勻陣列模型的散射參數(shù)如圖10～12所示，分別顯示了拐角TSV(端口1)和中心TSV(端口25)的插入損耗、回波損耗及其與相鄰TSV間的近端串?dāng)_。由圖可知，P-SMCG方法得到的數(shù)值結(jié)果同HFSS仿真和未預(yù)處理SMCG方法結(jié)果吻合良好。由表2可知，7×7信號(hào)TSV均勻陣列模型在MATLAB平臺(tái)仿真得到計(jì)算結(jié)果用時(shí)32.957 382 s，而對(duì)于相同結(jié)構(gòu)模型，未預(yù)處理SMCG需要53.854 219 s，HFSS仿真需要2858 s。仿真7×7信號(hào)TSV均勻陣列結(jié)構(gòu)表明，對(duì)于高密集TSV，本文所采用的P-SMCG方法在計(jì)算效率方面展示了顯著的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文采用預(yù)處理稀疏矩陣正則網(wǎng)格(P-SMCG)方法對(duì)硅襯底中的多個(gè)TSV陣列的電磁散射特性進(jìn)行了分析。該方法通過LU分解法構(gòu)造預(yù)處理器，優(yōu)化SMCG方法，快速計(jì)算散射參數(shù)，減少了時(shí)間消耗。數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，P-SMCG方法的計(jì)算結(jié)果與HFSS仿真和未預(yù)處理SMCG方法結(jié)果具有良好的一致性。在計(jì)算效率方面，P-SMCG方法優(yōu)于商用仿真軟件HFSS及未預(yù)處理SMCG方法。