一類兩性分枝過程條件均值增長率的極限性質(zhì)?

宋明珠, 邵 靜

(銅陵學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，安徽 銅陵 244061)

1 引言

為了描述兩性生物繁衍的過程，Daley 在1968 年建立了兩性分枝過程的數(shù)學(xué)模型[1]，引起數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家廣泛的關(guān)注和深入的研究，獲得了許多有價(jià)值的結(jié)果[2-4].事實(shí)上，兩性生物在繁衍的過程中受眾多因素的影響，如：自然環(huán)境、社會(huì)環(huán)境、當(dāng)前人口數(shù)和人口遷移等等.因此，為了更準(zhǔn)確地刻畫兩性生物繁衍的過程，前人建立了一系列比較復(fù)雜的模型，如變化環(huán)境中的兩性分枝過程[5-7]、生物人口可遷移的兩性分枝過程[8]、繁衍人口數(shù)與當(dāng)前人口數(shù)有關(guān)的兩性分枝過程[2]以及繁衍數(shù)受控制函數(shù)控制的兩性分枝過程[9-11]，等等.

目前大多數(shù)隨機(jī)環(huán)境中的兩性分枝過程只研究了概率母函數(shù)之間的關(guān)系和過程必然滅絕和非必然滅絕的條件.而本文研究的是隨機(jī)環(huán)境中配對(duì)依賴人口數(shù)兩性分枝過程的條件均值增長率的極限性質(zhì).本文先給出每個(gè)配對(duì)單元平均增長率的定義，得到配對(duì)單元平均增長率的極限值；再研究條件均值增長率的上、下界，獲得了過程條件均值增長率的極限性質(zhì)，進(jìn)而推進(jìn)了前人的研究.

設(shè)N 表示非負(fù)整數(shù)集，N+表示正整數(shù)集，(?,F,P)是一概率空間，(Θ,B)為任意可測(cè)空間.= {ξn: n ∈ N}是定義于(?,F,P)上、取值于(Θ,B)的隨機(jī)序列，{(fξn,i,mξn,i), i ∈N+}是給定環(huán)境ξn下取值于N2的獨(dú)立同分布二維隨機(jī)變量序列.配對(duì)函數(shù)Lk(x,y)是定義在N+×N ×N 上、取值于N 的函數(shù)，并約定

Lk(0,y)=Lk(x,0)=Lk(0,0)=0.

定義1稱序列{Zn,n ≥0}是隨機(jī)環(huán)境中配對(duì)依賴人口數(shù)的兩性分枝過程，若其滿足下列條件：

1) Z0=N0, N0是正整數(shù)；

3) Zn+1=LZn(Fn+1,Mn+1)；

其中fξn,i和mξn,i分別表示第n 代第i 個(gè)配對(duì)單元在環(huán)境ξn下生成的雌性和雄性個(gè)體數(shù)，F(xiàn)n+1和Mn+1分別表示第n 代所有的雌性和雄性個(gè)體總數(shù).

注1易證{Zn,n ≥0}和{(Fn+1,Mn+1), n ≥0}是隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈.

定義2稱隨機(jī)環(huán)境中配對(duì)依賴人口數(shù)的兩性分枝過程{Zn,n ≥0}是上可加的，如果配對(duì)函數(shù)L·(·,·)是上可加的，即配對(duì)函數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：

(A1) 對(duì)固定的k ∈N, Lk(·,·)是上可加的，即

(A2) 對(duì)固定的x,y ∈R+, L·(x,y)是上可加的，即

Lj+k(x,y)≥Lk(x,y)+Lj(x,y), j,k ∈N+.

注2k 對(duì)配對(duì)單元在一起繁衍的后代數(shù)，肯定比每個(gè)配對(duì)單元獨(dú)自配對(duì)繁衍的后代數(shù)多，因此配對(duì)函數(shù)的上可加性符合兩性生物繁衍的實(shí)際情況.

由注1 可知：對(duì)任意的k ∈N+, n ∈N, E(Zn+1|Zn= k, ?→ξ )只與k, ξn有關(guān)，故有以下定義.

2 配對(duì)單元平均增長率的極限性質(zhì)

定理1

證明 由rk,ξn的定義、L·(·,·)的上可加性以及{(fξn,i,mξn,i),i ≥1}在ξn下是獨(dú)立同分布的，有

定理1得證.

定理2

證明 由rk,ξn的定義、L·(·,·)上可加性知，對(duì)任意的k ∈N+，有

所以

推論1

證明 因?yàn)?/p>

所以，由定理1 和定理2 知

對(duì)任意的n ≥2，我們有

同理可得

推論1得證.

注3由上述過程知，r1,ξn, rξn是配對(duì)單元平均增長率rk,ξn的下、上界，雖然我們沒有給出過程{Zn,n ≥0}條件均值E(Zn|?→ξ )的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式，但由推論1 可知，

令

定義序列如下

引理1[4]對(duì)固定的n ∈N，若{rk,ξn,k ≥1}是非降序列，則存在定義在正實(shí)數(shù)的非降函數(shù)序列fξn(·)，使fξn(k)≤rk,ξn, k ≥1，且f?ξn(x):=xfξn(x)是凸函數(shù).

注4當(dāng)x ≥1 時(shí)，令

因r[x],ξn是非降序列，易證

即引理1 得證.下文中涉及的fξn(·)就是引理1 所提及的fξn(·).

定理3設(shè)

證明 因?yàn)閧Zn,n ≥0}是隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈，由n的定義知

由定理2可知rZn,ξn≥r1,ξn，故E(Wn+1|Fn(?→ξ )) ≥Wn, a.s.，即{Wn,n ≥0}是關(guān)

于{Fn(ξ ),n ≥0}的非負(fù)下鞅.由推論1 知

由題設(shè)

知

對(duì)(2)式兩邊取期望得

注5從定理3 可知，若

則

由Fotou 引理可得

這表示隨著繁衍代數(shù)的增加，配對(duì)單元平均增長率rk,ξn的下、上界相互逼近，從而使各代的條件均值E(Zn|)增長率相互接近.

定理4序列{n,n ≥0}L1-收斂于非負(fù)、有限隨機(jī)變量W 的充分必要條件是-收斂于一個(gè)非負(fù)、有限隨機(jī)變量.則由定理3 的證明過程知，{n,n ≥0}是關(guān)于{Fn(),n ∈N}的非負(fù)下鞅，所以由題設(shè)可得

證明 若

對(duì)任意的n ∈N，由引理1 和Jensen 不等式得

由上式遞推可得

因此

注意到r1,ξk≤rξk，由(3)得

所以

由(3)和(4)可得

即

另一方面，若

則

所以

因?yàn)?/p>

所以

由(1)可得

從而

由Fotou 引理得

定理5存在一個(gè)有限、非負(fù)隨機(jī)變量，使

由定理1 可知rZn,ξn≤rξn，所以E(n+1|Fn())≤n，即{n,n ≥0}是關(guān)于{Fn(),n ∈N}的上鞅，又因?yàn)?/p>

令

則

注6對(duì)任意n ∈N，序列{σk,ξn,k ∈N+}有上界.由L·(·,·)的上可加性得

因?yàn)?/p>

即σξn是序列{σk,ξn,k ∈N+}的一個(gè)上界.

定理6若

且獨(dú)立隨機(jī)級(jí)數(shù)的收斂性可以通過Kolmogorov 三級(jí)數(shù)定理來判定，則存在一正、有限的隨機(jī)變量^W，使

由上式遞推得

因已知

所以

由引理1 可知

由上式遞推得

已知

所以

即

定理6得證.