利用幾何畫板 提高教學(xué)效率

○ 張掖實(shí)驗(yàn)中學(xué)

幾何畫板是一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，可以給學(xué)生提供一個(gè)“操作數(shù)學(xué)”的環(huán)境，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象、直觀，并以動(dòng)態(tài)的形式展示教學(xué)內(nèi)容或數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而化抽象為具體、化具體為形象。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要適時(shí)利用幾何畫板輔助教學(xué)，使教學(xué)內(nèi)容更加直觀、生動(dòng)，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性。下面，筆者以高中課后一道例題為例，談?wù)剮缀萎嫲逶跀?shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、問題的引出

高中數(shù)學(xué)教材選修2—1：（第50頁B組第2題）一動(dòng)圓與圓O1：x2+y2+6x+5=0 外切，同時(shí)與圓O2：x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線。

二、探究過程

（一）利用幾何畫板作圖。為了更直觀地探討上述問題，我們首先用幾何畫板做出上述問題的演示效果，做法如下：

1.建立參數(shù)：建立6個(gè)參數(shù)分別是：圓O1的圓心橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、半徑r，圓O2的圓心橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、半徑R；

2.在界面上建立直角坐標(biāo)系，做出圓O1、O2，如圖1；

3.在圓O2上任取一點(diǎn)A，以點(diǎn)A為圓心，圓O1的半徑r為半徑作圓，構(gòu)造直線O2A與該圓的交點(diǎn)為C、D，如圖2；

4.構(gòu)造線段O1D，并作出線段O1D的垂直平分線與直線02A的交點(diǎn)為M，以M為圓心，MA為半徑作圓，并顯示為虛線，則圓M分別與圓02內(nèi)切，與圓O1外切，如圖3。

5.依次選中點(diǎn)M、A，點(diǎn)擊菜單中構(gòu)造軌跡，便可構(gòu)造出圓心M的軌跡，而該圓心軌跡就是以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的與橢圓，如圖4。

（二）推理論證

由上述作圖過程知?jiǎng)訄AM與圓O2內(nèi)切，與圓O1外切，滿足題設(shè)條件，作圖是準(zhǔn)確的，下面我們論證動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓，如圖5。（略）

（三）拓展

解答完這題，我們將問題稍作改動(dòng)：“動(dòng)圓內(nèi)與圓 O1：x2+y2+6x=0 內(nèi)切，同時(shí)與圓O2：x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說明它是什么曲線”，這個(gè)問題我作如下的說明：①在作圖過程中要稍做改動(dòng)，需將第4步中的點(diǎn)D改為點(diǎn)C，其他過程不變。②推理論證過程中，MO1=MC，MO2+O2C=MC，O2C=R-r，而 后 得 到MO1-MO2=5，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線如圖6。

通過不斷改變題設(shè)條件（兩定圓的位置關(guān)系，動(dòng)圓與定圓的內(nèi)外切關(guān)系），便可以得到不同類型的動(dòng)圓圓心的軌跡問題，通過幾何畫板的動(dòng)畫演示，讓學(xué)生開拓了視野，也讓學(xué)生了解到此題中的軌跡會(huì)隨著兩圓的位置關(guān)系的改變而改變，使學(xué)生得到了舉一反三的效果。

運(yùn)用幾何畫板有效地拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)的空間，培養(yǎng)了學(xué)生研究的興趣、解決問題的欲望及發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動(dòng)性明顯增強(qiáng)；同時(shí)能讓學(xué)生真正地動(dòng)手操作、觀察、研究、思考。