基于“學(xué)習(xí)科學(xué) 友善用腦”模式下關(guān)于《兩個計數(shù)原理》教學(xué)實(shí)踐

趙玉秋 李龍強(qiáng) 張鐵豐

摘 ?要：在我校大力開展“學(xué)習(xí)科學(xué) 友善用腦”教學(xué)研究過程中，我對“兩個計數(shù)原理”的教學(xué)進(jìn)行透徹的研究.首先讓學(xué)生明白教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)目標(biāo)，教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn).引導(dǎo)學(xué)生帶著這些疑問進(jìn)行學(xué)習(xí).其次教師要了解、掌握學(xué)生關(guān)于“兩個計數(shù)原理”的前擁知識.最后教師要對學(xué)生的學(xué)習(xí)效果進(jìn)行教學(xué)診斷.最終讓學(xué)生學(xué)有所得，學(xué)有所獲.

關(guān)鍵詞：兩個計數(shù)原理;教學(xué)診斷

一、教學(xué)內(nèi)容分析

在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）中，“兩個基本計數(shù)原理”是高中數(shù)學(xué)選修2-3第1章“計數(shù)原理”的起始課.是本章后續(xù)內(nèi)容排列、組合、二項式定理、隨機(jī)變量的概率等內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供理論依據(jù)，對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用.另外本節(jié)課涉及的分類、分步的思想是解決實(shí)際問題的有力工具，是人們思考問題的最根本方法.

（一）教學(xué)目標(biāo)：

1.通過實(shí)例分析，讓學(xué)生自主建構(gòu)分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，并弄清它們的區(qū)別.

2.能初步運(yùn)用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的計數(shù)問題.

3.經(jīng)歷由實(shí)際問題抽象出原理，再回到實(shí)際解決問題的過程，體會數(shù)學(xué)源于生活、用于生活的道理.

（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：本節(jié)課的重點(diǎn)是經(jīng)歷對實(shí)際問題進(jìn)行方法建構(gòu)的過程，能應(yīng)用原理解決實(shí)際計數(shù)問題;

難點(diǎn)：在具體問題解決中，有區(qū)別地使用計數(shù)原理，正確區(qū)分“分類”和“分步”.

二、學(xué)生前擁知識調(diào)查

學(xué)生在小學(xué)三年級的時候，數(shù)學(xué)老師已經(jīng)向?qū)W生介紹了形如：某位同學(xué)有三件不同的上衣，4條不同的褲子可供選擇，問這位學(xué)生有多少種穿衣搭配方案？小學(xué)老師從學(xué)生思維特點(diǎn)出發(fā)，利用枚舉的方法例舉出穿衣搭配方案.學(xué)生讀初中時，掌握了列舉法以及畫樹狀圖的方法，有一定的觀察、歸納、推理的能力，在平時的學(xué)習(xí)中也會不自覺地使用“分類”與“分步”的方法來解決問題，學(xué)生能夠熟練的解出“從甲、乙、丙三人中任意抽取兩人一共有多少中方法？”這樣有關(guān)組合的問題.兩個計數(shù)原理的思想從學(xué)生讀小學(xué)、初中時已有所滲透，然而由于學(xué)生年齡、思維等因素的制約，當(dāng)時沒有把兩個計數(shù)原理上升到理論的高度傳授給學(xué)生.因此，兩個原理的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)已經(jīng)具備.但是簡單的計數(shù)能力是不夠的，要在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的“原理應(yīng)用意識”，經(jīng)歷從生活中的各種計數(shù)問題抽象出數(shù)學(xué)問題，再選擇應(yīng)用原理解決問題的過程.

三、教學(xué)診斷

（一）兩個計數(shù)原理的區(qū)別

學(xué)生在解題的過程中，會出現(xiàn)不知道何時用分類加法計數(shù)原理，何時用乘法計數(shù)原理.學(xué)生出現(xiàn)這種認(rèn)知上的問題，歸根結(jié)底還是因?yàn)閷W(xué)生對這兩個計數(shù)原理的理解不到位.如果從中任取一種辦法都能完成指定的任務(wù)，就用分類加法計數(shù)原理，我把這個原理定義成“一步到位”.如果從中任取一種辦法都不能完成指定的任務(wù)，當(dāng)每一步都完成之后才能完成指定的任務(wù)，就用分步乘法計數(shù)原理，我把這個原理定義成“步步為營”.學(xué)生從字面上可能理解這兩個原理，然而當(dāng)他們真正遇到實(shí)際問題的時候，需要學(xué)生對事件進(jìn)行抽象的概括，提煉出與之對應(yīng)的計數(shù)原理，這需要學(xué)生的理性思維分析

（二）學(xué)生對問題的理解，決定了學(xué)生解決問題的思維方式

兩個計數(shù)原理就是解決 “完成一件什么事，以及如何完成”的問題，學(xué)生思考問題的切入點(diǎn)，決定了學(xué)生解決問題的思維方式以及操作層面的繁簡、難易程度.

例1.從甲等6名同學(xué)中選出4名同學(xué)分別從事翻譯、導(dǎo)游、銷售、秘書這四個職務(wù)，其中甲同學(xué)不能從事翻譯，問有多少種分配方案？對于這道題，如果學(xué)生從每個職務(wù)配一名同學(xué)這個角度出發(fā)，大大簡化了這道題的難度.由于甲同學(xué)不能從事翻譯，根據(jù)特殊元素（位置）優(yōu)先考慮的原則，給翻譯配一名同學(xué)有5中方案，剩下3個職務(wù)從5名同學(xué)中（除去甲）任意取3名進(jìn)行排序，即 ，所以完成這件事共有 種方法.如果學(xué)生從人選職務(wù)這個角度出發(fā)，先選人，再分配任務(wù)，相對來說繁瑣一點(diǎn).由于甲同學(xué)不能從事翻譯，所以選出的4名同學(xué)中是否含有甲要確定，這樣便于分配任務(wù).方案一，如果選出的4名同學(xué)中不含有甲，有 種選法，選出的4名同學(xué)再進(jìn)行分配職務(wù)有 種方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理有 種方法;方案二，如果選出的4名同學(xué)中含有甲，有 種選法，選出的4名同學(xué)再進(jìn)行分配職務(wù)有 種方法，依據(jù)分步乘法計數(shù)原理有 種方法，由分類加法計數(shù)原理，共有 種方法.

（三）學(xué)生審題上的失誤，造成解題上的障礙

關(guān)于兩個計數(shù)原理應(yīng)用的問題，歷年來對于學(xué)生來說都是難點(diǎn).尤其是有兩個或者兩個以上限制條件的樣題，更是如此.應(yīng)用計數(shù)原理解決問題，讀懂題意是關(guān)鍵.當(dāng)學(xué)生理解題干信息，清楚完成一件什么事，學(xué)生思維就轉(zhuǎn)向了如何完成這件事，這樣順理成章的沿著正確的思路去解決問題.例如：從甲、乙、丙等7名同學(xué)中選出5人分別擔(dān)任班級5個不同的職務(wù).（1）若甲、乙、丙3人中有2人擔(dān)任正、副班長，有多少種安排方案？（2）若甲、乙、丙3人中只有1人擔(dān)任正、副班長，有多少種安排方案？對于這道題第一問學(xué)生認(rèn)為是 種方法，第二問學(xué)生認(rèn)為是 種方法.通過預(yù)判以及與學(xué)生溝通了解到，學(xué)生只是關(guān)注了正、副班長，而忽略了其他三個職務(wù)，造成理解上的誤差.如果學(xué)生把這道題定位在每個職務(wù)配一名同學(xué)，第一問就是 種方法，第二問答案就是 種方法.所以學(xué)生研究有關(guān)計數(shù)原理這部分問題時，一定逐字逐句的審題，一道題多讀幾遍，邊讀題邊思考，切莫因理解題意出現(xiàn)偏差造成解題上的失誤.分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理體現(xiàn)了解決問題時將其分解的兩種常用方法，即分步解決或分類解決，它不僅是推導(dǎo)排列數(shù)與組合數(shù)計算公式的依據(jù)，而且其思想貫穿于解決本章應(yīng)用問題的始終.要注意“類”間互相獨(dú)立，“步”間互相聯(lián)系.

參考文獻(xiàn)

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