運(yùn)用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示數(shù)學(xué)中的抽象定義

何洪英

摘要：將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合是高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)提出的理念。為了進(jìn)一步推動(dòng)該理念的實(shí)現(xiàn)，文章主要介紹了利用幾何畫(huà)板軟件，對(duì)平面解析幾何中的抽象定義進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)，從而讓數(shù)學(xué)課堂更生動(dòng)、形象、直觀，有效提高學(xué)生的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：新課標(biāo);數(shù)學(xué);幾何畫(huà)板;深度融合

中圖分類(lèi)號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）14-0226-02

中華人民共和國(guó)教育部制定的2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的基本理念中提出：“提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性?！币獙⑿畔⒓夹g(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合，就必須使用強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)軟件輔助數(shù)學(xué)教學(xué)，雖然現(xiàn)在大家都提倡讓計(jì)算機(jī)走進(jìn)教室，但很多中學(xué)老師對(duì)計(jì)算機(jī)軟件的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用水平都跟不上，所以導(dǎo)致在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計(jì)算機(jī)軟件輔助教學(xué)并沒(méi)有得到廣泛運(yùn)用。

為此，本文主要介紹一款優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件——《幾何畫(huà)板》，在平面解析幾何教學(xué)中對(duì)抽象定義的動(dòng)態(tài)演示，拋磚引玉，以實(shí)際案例使更多一線教師認(rèn)識(shí)并學(xué)習(xí)相應(yīng)的軟件，以更好實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。

1軟件介紹

《幾何畫(huà)板5.0》是最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)、物理教學(xué)軟件之一。幾何畫(huà)板操作簡(jiǎn)單，具有強(qiáng)大的圖形和圖像功能，能構(gòu)造出各種幾何圖形及解析幾何中的所有曲線，也能構(gòu)造出任意函數(shù)的圖像，同時(shí)，它具有方便的動(dòng)畫(huà)功能，能夠制作出平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、反射等各種動(dòng)畫(huà)，還能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行追蹤，并顯示追蹤的軌跡。

2在平面解析幾何中的具體應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的課程內(nèi)容指出“平面解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下過(guò)程：首先，通過(guò)實(shí)例了解幾何圖形的背景，例如通過(guò)行星運(yùn)行軌道、拋物運(yùn)動(dòng)軌跡等，使學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用;進(jìn)而，結(jié)合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問(wèn)題，例如橢圓是到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡等?！?/p>

在這里，橢圓的定義用文字描述非常的抽象，用傳統(tǒng)教學(xué)手段也不好演示橢圓的形成，為了更好地掌握橢圓的定義，可以利用幾何畫(huà)板創(chuàng)設(shè)情境、動(dòng)態(tài)演示橢圓的形成過(guò)程，讓學(xué)生通過(guò)自主探究自己推出結(jié)論并深刻理解定義。

2.1橢圓的定義

橢圓定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定長(zhǎng)（該定長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。這兩個(gè)定點(diǎn)也稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)之間的距離叫作焦距。

要?jiǎng)討B(tài)性展示動(dòng)點(diǎn)的軌跡形成過(guò)程，可以使用《幾何畫(huà)板》的“追蹤”功能，具體實(shí)現(xiàn)方法如下。

（1）單擊[線段工具]，在畫(huà)板適當(dāng)位置繪制出一條線段AB。單擊[點(diǎn)工具]，在線段AB上取一點(diǎn)c。如此點(diǎn)c即是線段AB上的點(diǎn)并只能在AB上運(yùn)動(dòng)，而不管如何運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之和始終為定長(zhǎng)（線段AB的長(zhǎng)）。

（2）選中點(diǎn)A、點(diǎn)c，執(zhí)行[構(gòu)造]I[線段]，選中點(diǎn)c、點(diǎn)B，執(zhí)行[構(gòu)造]I[線段]，分別構(gòu)造出線段Ac和線段CB。

（3）單擊[點(diǎn)工具]，在畫(huà)板適當(dāng)位置任取一點(diǎn)D，選中點(diǎn)D和線段Ac，執(zhí)行[構(gòu)造]I[以圓心和半徑繪圓]命令，繪制一個(gè)圓D。

（4）單擊[點(diǎn)工具]，在畫(huà)板適當(dāng)位置任取一點(diǎn)E，使DE的距離小于線段AB的長(zhǎng)，選中點(diǎn)E和線段cB，執(zhí)行[構(gòu)造]l[以圓心和半徑繪圓]命令，繪制一個(gè)圓E。

說(shuō)明：點(diǎn)D和點(diǎn)E即是兩個(gè)定點(diǎn)，使DE的距離小于線段AB的長(zhǎng)，是為了滿足定義中的條件“定長(zhǎng)大于兩點(diǎn)間的距離”。繪出的效果如圖1所示。

（5）選中兩個(gè)圓，執(zhí)行[構(gòu)造]I[交點(diǎn)]命令，構(gòu)造出兩個(gè)圓的交點(diǎn)F和G，這樣兩個(gè)交點(diǎn)到定點(diǎn)D和E的距離之和等于線段AB的長(zhǎng)。拖動(dòng)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)圓的半徑隨之改變，但不論如何改變，兩個(gè)圓的交點(diǎn)F和G到定點(diǎn)D和E的距離之和始終等于定長(zhǎng)（線段AB的長(zhǎng)）。

至此就構(gòu)造出了定義的前提條件：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)。后面只需再追蹤動(dòng)點(diǎn)F和G，就可以看到滿足條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡。

（6）選中點(diǎn)c，執(zhí)行[編輯]I[操作類(lèi)按鈕]I[動(dòng)畫(huà)]命令，生成點(diǎn)C的動(dòng)畫(huà)按鈕。

（7）選中點(diǎn)F和G，執(zhí)行[顯示]I[追蹤交點(diǎn)]命令。

單擊“點(diǎn)c的動(dòng)畫(huà)”按鈕，就可以展示出點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，追蹤交點(diǎn)進(jìn)而形成橢圓軌跡的動(dòng)態(tài)過(guò)程，學(xué)生可以自主探索，如改變線段AB的長(zhǎng)度，改變點(diǎn)D和E的位置，拖動(dòng)改變點(diǎn)C的位置，在這個(gè)過(guò)程中學(xué)生自己就能得出結(jié)論并深刻理解橢圓的定義。

最終效果如圖2所示。

2.2拋物線的定義

拋物線定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡。

根據(jù)定義，首先應(yīng)該在畫(huà)板上構(gòu)造出一條定直線和一個(gè)定點(diǎn)。具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

（1）構(gòu)造定直線1。單擊[直線工具]，繪制一條豎直直線AB，選中點(diǎn)A和B，執(zhí)行[顯示]I[隱藏點(diǎn)]命令隱藏點(diǎn)A和B。

（2）構(gòu)造定點(diǎn)。單擊[點(diǎn)工具]，在適當(dāng)位置繪制繪制點(diǎn)c。如圖3所示。

（3）到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)肯定在定直線的任意垂線上，因此第三步構(gòu)造定直線的任意垂線。單擊[點(diǎn)工具]在定直線上取一點(diǎn)D，選中點(diǎn)D和定直線，執(zhí)行[構(gòu)造]I[垂線]命令，構(gòu)造出過(guò)點(diǎn)D的定直線的垂線k。因?yàn)辄c(diǎn)D是定直線上的點(diǎn)，可以在直線上任意運(yùn)動(dòng)，因此當(dāng)點(diǎn)D在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D的定直線的垂線即是定直線的任意垂線。

此時(shí)只需找出垂線上的一點(diǎn)到點(diǎn)D和到點(diǎn)C的距離相等，顯然這個(gè)點(diǎn)只可能在線段cD的垂直平分線上。

（4）選中點(diǎn)c和D，執(zhí)行[構(gòu)造]I[線段]命令，構(gòu)造出線段cD。選中線段cD，執(zhí)行[構(gòu)造]I[中點(diǎn)]命令，構(gòu)造出線段cD的中點(diǎn)E。

（5）選中線段cD和中點(diǎn)E，執(zhí)行[構(gòu)造]I[垂線]命令，構(gòu)造出線段CD的垂直平分線i。

（6）單擊垂線k和垂直平分線j的交點(diǎn)位置做出兩條直線的交點(diǎn)F。顯然點(diǎn)F到定直線l和到定點(diǎn)c的距離相等（都等于線段CD的長(zhǎng)）。而當(dāng)點(diǎn)D在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)F的位置隨之改變，但始終保持到一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線的距離相等，因此只需制作點(diǎn)D的動(dòng)畫(huà)，追蹤點(diǎn)F的變化軌跡就完成了定義的情境設(shè)定。

（7）選中點(diǎn)D，執(zhí)行[編輯]I[操作類(lèi)按鈕]I[動(dòng)畫(huà)]命令，生成點(diǎn)D的動(dòng)畫(huà)按鈕。

（8）選中點(diǎn)F，執(zhí)行[顯示]I[追蹤交點(diǎn)]命令。最終效果如圖4所示。

單擊“點(diǎn)D的動(dòng)畫(huà)”按鈕，就可以展示出隨著點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致交點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)而形成拋物線軌跡的動(dòng)態(tài)過(guò)程。

通過(guò)上面兩個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例，可以發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)手段不好解釋的一些數(shù)學(xué)定義，用《幾何畫(huà)板》軟件卻能輕松地模擬出具體情境，形象直觀，讓學(xué)生從對(duì)具體情境的探究中自己就能推出定義，自然就達(dá)到了深刻理解掌握定義的目的。

3結(jié)束語(yǔ)

在數(shù)學(xué)概念與理論的教學(xué)中，幾何畫(huà)板既能創(chuàng)設(shè)隋境又能讓學(xué)生主動(dòng)參與，引導(dǎo)學(xué)生親歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，即數(shù)學(xué)模式的建構(gòu)過(guò)程，使抽象、枯燥的數(shù)學(xué)概念變得直觀、形象，所以能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;同時(shí)在學(xué)習(xí)過(guò)程中，養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，讓學(xué)生通過(guò)探索、反思、修改、完善，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識(shí)，并品嘗成功的快樂(lè)。

幾何畫(huà)板與課程整合應(yīng)用于創(chuàng)設(shè)情境、自主探究、動(dòng)態(tài)演示、概念教學(xué)、輔助解題和參數(shù)討論等方面。本文例談只是應(yīng)用的某些方面，希望以此能讓更多老師了解和認(rèn)識(shí)該軟件，以促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合。