藤Copula 模型在我國股市多資產(chǎn)組合 VaR 預(yù)測中的應(yīng)用

徐剛剛，蔡學(xué)鵬，熊尚敏

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)理學(xué)院，新疆，烏魯木齊 830052)

0 引言

在大數(shù)據(jù)時代繁榮發(fā)展的今天，金融序列數(shù)據(jù)不僅表現(xiàn)出傳統(tǒng)的“高峰厚尾”、集聚性以及非對稱性等特點，還具有動態(tài)的時變性、時速快和維數(shù)高等大數(shù)據(jù)特點，因此對金融數(shù)據(jù)理論方法的研究亟待創(chuàng)新。Copula 作為一種連接函數(shù)，在度量多變量之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)方面得到了許多讀者的青睞，尤其在金融風(fēng)險管理領(lǐng)域。其中Embrechts 等[1]對此做出了重要的貢獻(xiàn)，首次應(yīng)用Copula 函數(shù)研究金融數(shù)據(jù)，隨后國內(nèi)外大量學(xué)者利用Copula 函數(shù)在金融資產(chǎn)定價、金融市場相關(guān)性等方面做出了有意義的成果。例如我國學(xué)者吳振翔等[2]將Arichimedean Copula 和VaR 理論結(jié)合在一起，運用于研究外匯投資組合問題；柏滿迎等[3]利用三種Copula 與VaR理論將美元和歐元進(jìn)行組合研究它們之間的相依結(jié)構(gòu)和預(yù)測風(fēng)險價值；Patton[4]利用動態(tài)Copula 模型建模，分析了國際外匯市場動態(tài)相關(guān)性等問題。然而以上文獻(xiàn)對高維變量問題并未做過多討論，如果只停留在二維Copula 模型的研究上，對分析實際中的多資產(chǎn)變量問題來說意義不大，因此對Copula理論在高維的拓展問題上展開討論顯得很有必要。

藤Copula 模型作為一個新的理論創(chuàng)新方法為人們所接納，它是在Joe[5]提出的Pair Copula 模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行構(gòu)建的，其原理是利用Pair Copula 模型將變量之間的二元Copula 函數(shù)組建到一起，從而形成具有藤結(jié)構(gòu)的Copula 模型組。由于每個Pair Copula 可以根據(jù)具體變量間的相依結(jié)構(gòu)而選擇合理的Copula 函數(shù)，具有較強(qiáng)的靈活性，因此用Vine-Copula 模型刻畫多資產(chǎn)金融序列就顯得較為合理。在實際問題的研究中，Bedford 等[6]對此技術(shù)進(jìn)一步深入分析，提出了Regular Vine(R-Vine)結(jié)構(gòu)，并衍生出兩種特殊的藤結(jié)構(gòu)，分別為Canonical Vine(C-Vine)和Drawable Vine(D-Vine)；Yew Low等[7]認(rèn)為在管理多資產(chǎn)組合應(yīng)用上C-Vine 更合理；我國學(xué)者謝赤[8]利用幾類藤Copula 探討了金磚國家股指期貨市場的相關(guān)結(jié)構(gòu)及譜風(fēng)險度量，得出了在C-Vine 結(jié)構(gòu)下，南非市場在金磚市場中的重要性。由于金融序列均存在“高峰厚尾”和非對稱等特點，而這些特點都會嚴(yán)重影響最終的VaR 預(yù)測。因此應(yīng)用不同特點的Pair Copula 來分析金融序列的局部特點同樣顯得很有意義。

鑒于此，本文研究的主要問題有以下幾點：第一，在邊緣分布的選取上，由于考慮到金融數(shù)據(jù)的“高峰厚尾”性、動態(tài)時變性以及非對稱性等特點，本文選擇ARMA(1,1)-GJR(1,1)-SkT 模型來刻畫各序列；并探討了藤Copula 密度函數(shù)的推導(dǎo)過程以及藤結(jié)構(gòu)中Pair Copula 的排序與選擇、節(jié)點等問題；第二，為了體現(xiàn)藤Copula 模型的靈活性與實用性，先將R 藤中的Pair Copula 函數(shù)固定為t-Copula 和Gumbel Copula，即R-Vine all t 模型和R-Vine all Gumbel 模型，再與R-Vine 模型的檢驗結(jié)果進(jìn)行比較；另外，將R-Vine all t 模型和R-Vine all Gumbel模型做比較，從而可以反映出R-Vine all Gumbel 模型在擬合具有非對稱和厚尾特點的金融序列上更占優(yōu)勢；第三，因為序列具有時變性，因此在Vine Copula 模型的參數(shù)估計時應(yīng)用了滾動Monte Carlo模擬的思想，在動態(tài)VaR 計算時利用滾動時間窗口方法進(jìn)行預(yù)測；其次在模型VaR 預(yù)測效果穩(wěn)健性檢驗過程中利用Mean-CVaR 約束條件[9～12]重新確定權(quán)重，這樣做更符合實際；第四，在模型檢驗中采用常用的AIC 和BIC 信息準(zhǔn)則，在VaR 預(yù)測結(jié)果中利用成熟的Kupiec 返回值檢驗法驗證幾種藤Copula 的預(yù)測效果，在理論依據(jù)上具有一定的可靠性。

1 邊緣分布模型

股票收益率數(shù)據(jù)一般具有“高峰厚尾”及非對稱等特點[13]，在GARCH 族模型中，通常假定標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列服從正態(tài)分布、t 分布以及GED 等分布，而這些分布均是對稱的，因此本文選擇偏學(xué)生t 分布(SkT)來準(zhǔn)確刻畫序列的非對稱性,最后確定的邊緣分布為ARMA(p,q)-GJR(1,1)-SkT 模型。具體形式如下：

SkT v λ的分布函數(shù)為：

其中，

λ ∈( - 1,1)為偏度參數(shù)， v∈ (2, +∞)是自由度，T (?, v)是t分布函數(shù)。

2 藤Copula 模型

2.1 藤結(jié)構(gòu)

一般地，由于(1)式分解不唯一，因此(4)式也隨之有多種分解。

2.2 幾類藤Copula 模型

由于藤結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，因此本文采用R 藤矩陣法[16～18]來表示R 藤，聯(lián)合密度形式為

藤Copula 模型的參數(shù)估計采用極大似然估計法，具體步驟為：首先根據(jù)最大生成樹MST-PRIM算法[19]來選擇藤結(jié)構(gòu)，然后在每條邊上利用信息準(zhǔn)則確定Pair Copula 模型(在R 藤結(jié)構(gòu)中，當(dāng)所有的Pair Copula 函數(shù)確定為t Copula 時，稱為R-Vine all t，其他類似)，最后通過極大似然估計法計算出所有參數(shù)的值。在確定Pair Copula 模型時，本文選擇AIC 與BIC 信息準(zhǔn)則檢驗，計算公式為

3 滾動窗口VaR 度量及返回值檢驗

3.1 滾動窗口VaR 計算

風(fēng)險價值(VaR)是指在一定時期內(nèi)，給定的置信水平下，某資產(chǎn)組合預(yù)期可能的最大損失值。公式為

其中iω 表示資產(chǎn) iX 在組合中的權(quán)重。

計算VaR 的方法有多種，這里采用能夠反映具有動態(tài)時變特點的滾動時間窗口Monte Carlo 模擬法[11,16,20]來計算風(fēng)險價值。計算VaR 的具體過程如下：

(iii) 在樣本量保持不變的情況下，將樣本區(qū)間向后平移一天，得到的新樣本即為第911 日的估計樣本，然后按照步驟(ii)和(iii)，預(yù)測第912 日的VaR預(yù)測值。

(Iv) 反復(fù)進(jìn)行步驟(Iv)，就可以計算出第913 日、914 日直到第1210 日的VaR 值，即得到樣本外300天的投資組合VaR。

3.2 Back-testing 檢驗

4 實證分析

4.1 數(shù)據(jù)選取與處理

4.2 數(shù)據(jù)分析與參數(shù)估計

對整合之后的收益率數(shù)據(jù)做描述統(tǒng)計分析，從表1 的分析結(jié)果可以看到六只股票日收益率的峰度均大于零，偏度小于零，表現(xiàn)出典型的“高峰厚尾”、左偏的特點。從均值和標(biāo)準(zhǔn)差也反映出數(shù)據(jù)波動幅度很大。J-B 和LM 檢驗表明：每組收益率數(shù)據(jù)均不服從正態(tài)分布的假設(shè)，并且都存在明顯的ARCH效應(yīng)。因此不適合用靜態(tài)的、非對稱的分布來建模。

表1 原始數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計分析結(jié)果 Table 1 Descriptive statistical analysis results of original data

表2 各序列邊緣分布模型的參數(shù)估計結(jié)果 Table 2 Parameter estimation results of edge distribution model of each sequence

表2 給出了邊緣分ARMA(1,1)-GJR(1,1)-SkT的參數(shù)估計以及模型的檢驗結(jié)果，可以看出在顯著性水平為0.05 時，Q(5)與LM(3)檢驗統(tǒng)計量對應(yīng)的p 值均大于0.05，不能拒絕原假設(shè)，即各殘差序列均不存在自相關(guān)現(xiàn)象以及ARCH 效應(yīng)，模型擬合較理想.將標(biāo)準(zhǔn)化殘差序列經(jīng)過概率積分化處理，使其服從0-1 均勻分布并參與藤Copula 建模。由于藤Copula 模型結(jié)構(gòu)非常復(fù)雜，本文僅給出了R-Vine- Copula 模型首次滾動的結(jié)果，具體如表3 所示。

表3 R-Vine 首次滾動的RVM(左)與對應(yīng)的Pair Copula 函數(shù)(右) Table 3 RVM (left) of r-vine's first roll and corresponding pair copula function (right)

表3 中展示了R-Vine 首次滾動的RVM 結(jié)構(gòu)中節(jié)點排序和對應(yīng)的Pair Copula 函數(shù)情況，第一層節(jié)點為(3，4)(4，2)(2，5)(1，5)(5，6)對應(yīng)的Pair-Copula函數(shù)，為survival BB7(即表3(右)中對應(yīng)(R6，C1)位置的數(shù)字19)，survival Gumbel，BB1(Clayton Gumbel)，t-，t-.其余層的節(jié)點和Pair Copula 也可以從表3 和圖1 中看出。

圖1 R-Vine 首次滾動的RVM 結(jié)構(gòu)圖 Fig.1 RVM structure of r-vine first rolling

由此可見，對于不同資產(chǎn)之間的相依結(jié)構(gòu)可以靈活選擇不同的Copula模型，理論上R-Vine-Copula較R-Vine all t刻畫多元資產(chǎn)序列相依結(jié)構(gòu)更具優(yōu)越性。為了更直觀比較幾種藤Copula 的擬合效果，表4通過對數(shù)似然值及信息準(zhǔn)則對模型進(jìn)行比較。

表4 幾類Vine-Copula 模型的擬合效果比較 Table 4 Comparison of fitting effects of several kinds of vine copula models

由表4 的結(jié)果可知：C-Vine-Copula 模型對應(yīng)的AIC 值最小，BIC 值也比較小，說明C-Vine-Copula模型比其它模型更能描述序列數(shù)據(jù)之間的相關(guān)關(guān)系；R-Vine-Copula 比R-Vine all t 和R-Vine all Gumbel 擬合效果好，這是因為R-Vine-Copula 在選擇 Pair Copula 時比較靈活，同時也說明R-Vine-Copula 擬合實際資產(chǎn)序列數(shù)據(jù)更加合理；從R-Vine all t 和R-Vine all Gumbel 模型的擬合效果比較來看，后者的擬合結(jié)果更令人滿意，反映出了Gumbel Copula 比t Copula 更適合描述金融數(shù)據(jù)的非對稱性。

4.3 模型VaR 預(yù)測效果檢驗

在計算投資組合VaR 時，首先考慮等權(quán)重的情形，即ωi=1/6，以前面910 天收益率數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用滾動Monte Carlo 模擬法估計藤Copula 中的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上結(jié)合邊緣分布通過反推得到模擬日收益率，然后運用滾動窗口反復(fù)模擬得到樣本外300 天的VaR 預(yù)測值，經(jīng)過設(shè)定不同的置信水平來比較VaR 情況。

表5 幾類藤Copula 模型VaR 預(yù)測及Kupiec 檢驗結(jié)果 Table 5 VaR prediction and kupiec test results of several vine copula models

由于等權(quán)重計算VaR 與實際情況不太符合，因此為了體現(xiàn)模型的穩(wěn)健性，本文采用Mean-CVaR約束條件，利用原數(shù)據(jù)的最后300 天收益率計算得到新權(quán)重，依次為0.1772，0.1831，0.2018，0.1609，0.1735，0.1035。再次計算動態(tài)V aR 并進(jìn)行返回值檢驗，結(jié)果如表6 所示。

表6 新權(quán)重下藤Copula 模型VaR 預(yù)測及Kupiec 檢驗結(jié)果 Table 6 VaR prediction and kupiec test results of vine copula model under new weight

由表5 和表6 可得：5 種模型都通過了檢驗(括號中為對應(yīng)的檢驗P 值)，并且在兩種置信水平與兩種權(quán)重下，C 藤與R-Vine all t 在VaR 預(yù)測時表現(xiàn)出較好的穩(wěn)健性，即失敗天數(shù)保持不變。圖2 展示了在新權(quán)重下C 藤的VaR 預(yù)測檢驗結(jié)果，從圖中可知：隨著置信水平的增大，VaR 值減小，也就是說資產(chǎn)投資組合收益率超出最壞損失的天數(shù)減小，即失敗天數(shù)在隨之減小。

圖2 新權(quán)重下C 藤的VaR 預(yù)測穩(wěn)健性檢驗結(jié)果 Fig.2 VaR prediction robustness test results of C vine under new weight

5 結(jié)論

針對具有“高峰厚尾”的高維金融序列，本文選擇具有時變特點的ARMA(1,1)-GJR(1,1)-SkT 模型、幾類藤Copula 模型以及VaR 等理論，通過實證分析，證明了利用這些模型刻畫金融序列具有實效性，為高維投資組合風(fēng)險管理提供了理論依據(jù)。 經(jīng)模型VaR 的預(yù)測與返回值檢驗結(jié)果可得出：不管是等權(quán)重還是新權(quán)重下，從整體上看，C 藤的預(yù)測效果最佳，其次是R-Vine all t，D 藤最差。而通過表4 模型檢驗的信息準(zhǔn)則以及對數(shù)似然值顯示：C 藤擬合最理想，R 藤次之，R-Vine all t 最差，這充分反映了C藤最適合解釋多資產(chǎn)金融序列的諸多特性，而R 藤與R-Vine all t 在兩次檢驗中反差如此之大，其原因是本文未進(jìn)行詳細(xì)的統(tǒng)計診斷，事實上R 藤在選擇Pair Copula 時比R-Vine all t 更靈活，因此也更實用。計算VaR 方面，Mean-CvaR 約束條件比等權(quán)重更符合實際。