基于里卡蒂方法的H控制

王永超

(吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長春 130000)

0 引言

H控制是近年來才發(fā)展起來的優(yōu)化控制理論中的熱門課題，以極大奇異值理論著稱的H范數(shù)描述系統(tǒng)性能指標(biāo)，產(chǎn)生的H控制在工程設(shè)計中起著越來越重要的作用，已取得了相當(dāng)大的進展[1-6].本文基于里卡蒂方法，研究了奇異系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H次優(yōu)控制問題，對其進行了補充.

1 預(yù)備知識

考慮具有如下形式的正則的奇異系統(tǒng)[7]

(1)

其中x(t)∈Rn是狀態(tài)向量，u(t)∈Rm是控制輸入，w(t)∈Rq是外部擾動，z(t)∈Rl是控制輸出，E,A∈Rn×n，B∈Rn×m,C∈Rl×n，D∈Rl×m，E為奇異矩陣.

對奇異系統(tǒng)(1)做如下形式的狀態(tài)反饋

u(t)=Kx(t),K∈Rm×n

(2)

得閉環(huán)系統(tǒng)為：

(3)

其中，Ac=A+B2K,Cc=C+DK.

對于奇異系統(tǒng)(1)及給定的正數(shù)γ>0，設(shè)計狀態(tài)反饋控制器(2)，使閉環(huán)系統(tǒng)(3)是容許的，且從w到控制輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw(s)滿足‖Tzw(s)‖<γ.

引理1[8]對于廣義系統(tǒng)(E,A,B,C)和它的傳遞函數(shù)G(s)，下面的命題等價:

(i)(E,A)是容許的，且‖G(s)‖<γ.

(ii)存在可逆實矩陣X滿足里卡蒂不等式

與之對應(yīng)的H里卡蒂方程為：

(iii)存在可逆實矩陣X滿足如下線性矩陣不等式

2 主要結(jié)果

下面給出基于里卡蒂方程的H控制器設(shè)計，對奇異系統(tǒng)(1)做如下假設(shè):

(a)(E,A,B2)能穩(wěn)且(E,A,C)能檢測.

定理1對于滿足假設(shè)(a)和(b)的奇異系統(tǒng)(1)，下面的命題等價.

(I)存在狀態(tài)反饋矩陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)(3)是容許的，且‖Tzw(s)‖<γ.

(II)存在一個可逆矩陣X滿足如下里卡蒂方程

(4)

如果命題(II)成立，則所求的一個容許的狀態(tài)反饋矩陣為：

(5)

證明

Ⅰ?Ⅱ.設(shè)存在一個狀態(tài)反饋K，使(E+B2K)是容許的‖Tzw(s)‖<γ.

根據(jù)引理1，存在一個可逆矩陣X滿足如下里卡蒂方程：

(6)

整理得：

(7)

其中

(8)

從而矩陣X滿足里卡蒂方程(4).

Ⅱ?Ⅰ.設(shè)可逆矩陣X滿足里卡蒂方程：

且由式(5)知

則上式中

ZK=0，

從而有

成立，再根據(jù)引理1知閉環(huán)系統(tǒng)

是容許的,且‖Tzw(s)‖<γ.

3 結(jié)論

本文在奇異系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，基于里卡蒂方法討論奇異系統(tǒng)的狀態(tài)反饋H次優(yōu)控制，通過設(shè)計狀態(tài)反饋控制器，利用里卡蒂方法給出了問題的具體證明過程.