化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

謝 川 張 贏

（重慶市長(zhǎng)征學(xué)校 重慶 400080）

一、數(shù)學(xué)思想概述

（一）數(shù)學(xué)思想的涵義

所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果，是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)、概念、理論與方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是體現(xiàn)于基礎(chǔ)科學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性的內(nèi)容。它含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本觀點(diǎn)，并且將繼續(xù)發(fā)展完善。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是開(kāi)啟數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫(kù)的金鑰匙，是用之不竭的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉。可以說(shuō)數(shù)學(xué)的發(fā)展史是一部生動(dòng)的數(shù)學(xué)思想的發(fā)展史，它深刻地告訴我們：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，它為分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了指導(dǎo)方針和解題策略。

（二）基本數(shù)學(xué)思想及分類

在數(shù)學(xué)思想中，有一類思想是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性和總結(jié)性的思維成果，這些思想則稱之為基本數(shù)學(xué)思想?；緮?shù)學(xué)思想包括：符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷搿⒓纤枷?、?duì)應(yīng)思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、對(duì)立統(tǒng)一的思想、整體思想、函數(shù)與方程思想、極限思想等。基本數(shù)學(xué)思想有兩大“基石”，即符號(hào)與變?cè)硎镜乃枷牒图纤枷耄钟袃纱蟆爸е?，即?duì)應(yīng)思想和公理化與結(jié)構(gòu)思想。下面我們就將結(jié)合各類題型分析研究三角函數(shù)中常見(jiàn)的基本數(shù)學(xué)思想。

二、三角函數(shù)中常見(jiàn)的基本數(shù)學(xué)思想及題型分析

（一）轉(zhuǎn)化與化歸思想

數(shù)學(xué)解題以轉(zhuǎn)化為手段，以化歸為目的，所以“轉(zhuǎn)化與化歸思想”是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想。同時(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸思想方法是高中數(shù)學(xué)核心思想方法之一。當(dāng)我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，它無(wú)處不在。而“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”，“解題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，解題是數(shù)學(xué)活動(dòng)的主要內(nèi)容”那么如何解題就非常重要了。世界著名數(shù)學(xué)家C.A.雅潔卡婭在一次演講中提到：“解題就是把要接的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)接過(guò)的題”，也就是說(shuō)解題的過(guò)程即為“轉(zhuǎn)化與化歸”的過(guò)程。解題的基本模式：由復(fù)雜到簡(jiǎn)單，由陌生到熟悉，由抽象到直觀，由特殊到一般?！稗D(zhuǎn)化與化歸思想”沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一和固定的模式，其過(guò)程還有“等價(jià)”和“不等價(jià)”之分，就使其具有靈活性和多樣性，并且我們?cè)诮鉀Q幾乎所有數(shù)學(xué)問(wèn)題中都有應(yīng)用它，故它又具有廣泛性。通過(guò)新問(wèn)題的解決，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這種方法在三角函數(shù)的解題中也是常見(jiàn)的。

（二）轉(zhuǎn)化與化歸思想解題程序及基本原則

轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的基本程序?yàn)椋喊褑?wèn)題A通過(guò)一定手段進(jìn)行轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)容易解決的問(wèn)題或已知固定的解題思維的問(wèn)題，且通過(guò)問(wèn)題B的解決，搭建橋梁，從而使得問(wèn)題A得以解決。

轉(zhuǎn)化與化歸思想的基本原則：熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、直觀化原則、正難則反原則。

（三）轉(zhuǎn)化與化歸思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

三角函數(shù)中求非特殊角三角函數(shù)值問(wèn)題一直以來(lái)是高考中的?？键c(diǎn)之一，這類問(wèn)題將特殊角三角函數(shù)與三角函數(shù)積化和差公式整合在一起，形成了眾多值求值的三角函數(shù)問(wèn)題。遇到這樣的題型，我們常使用“轉(zhuǎn)化與化歸思想”將問(wèn)題熟悉化、簡(jiǎn)單化，從而將其解決。在解三角形中，我們也常遇到“邊角”混合的題目，這時(shí)我們就需要使用“正余弦定理”將邊角統(tǒng)一化。下面我們將從以下兩個(gè)方面及相關(guān)題型探討轉(zhuǎn)換與化歸思想在高中三角函數(shù)中的應(yīng)用。

◆建立化歸橋梁，將已知量與未知量相結(jié)合。建立化歸橋梁就是要在問(wèn)題的接入點(diǎn)之間建立關(guān)系橋梁，創(chuàng)造條件達(dá)到化歸的目的。

【例1】求sin15°cos75°+sin75°cos15°的值。

分析題中給出的15°和75°都不是特殊角，故不能直接計(jì)算。但不難發(fā)現(xiàn)題中所給的兩個(gè)角為互補(bǔ)角，故可通過(guò)三角恒等轉(zhuǎn)化為同角。

解法一：sin15°cos75°+sin75°cos15°

=sin15°cos(90°-15°)+sin(90°-15°)cos15°

=sin215°+cos215°

=1。

評(píng)析本題將非特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算，滿足了“轉(zhuǎn)化與化歸思想”的熟悉性原則及簡(jiǎn)單性原則。

小結(jié)：通過(guò)建立化歸橋梁時(shí)，突破口在于已知量和未知量的聯(lián)系，這個(gè)聯(lián)系往往是一個(gè)過(guò)渡元素，主要表現(xiàn)為一個(gè)字母、一個(gè)代數(shù)式、一個(gè)定理等，找到這個(gè)聯(lián)系后問(wèn)題也就迎刃而解?！艮D(zhuǎn)化思維角度，將已知量與未知量相結(jié)合。有些問(wèn)題按常規(guī)思維難以解決時(shí)，我們常考慮從另一個(gè)角度來(lái)研究。思維角度轉(zhuǎn)化主要包括：代數(shù)到三角、幾何；數(shù)到形；正化反；特殊到一般；抽象到具體等。

通過(guò)以上例子，我們知道化歸思想在三角函數(shù)中有著舉足輕重的作用，對(duì)我們解決問(wèn)題有很大的幫助。但數(shù)學(xué)思想的形成需要長(zhǎng)期性的滲透與訓(xùn)練，這就使得我們教師必須在教學(xué)中作更深的探討和研究。如果將數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅看成是一般數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授（照本宣科的傳授式教學(xué)），那么即使教授再多的公式和定理，可能仍然難免淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮它們的作用；而掌握了數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，就可以由不多的公式演繹出千變?nèi)f化的生動(dòng)結(jié)論，顯現(xiàn)出無(wú)窮無(wú)盡的威力。這也正是我們新課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)各位教師和學(xué)生提出的新要求。