儲(chǔ)層巖石的三維逾滲模型研究

蘇 嶄，李 瑋，黃紅亮，王旭東，鄭智冬

（1.東北石油大學(xué)石油工程學(xué)院，黑龍江大慶163318；2.渤海鉆探工程有限公司第五鉆井分公司，河北河間062465；3.中海油研究總院有限責(zé)任公司海洋石油高效開發(fā)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100028；4.渤海鉆探第三鉆井工程公司，天津300280）

儲(chǔ)層中流體的流通狀況是制定油田開發(fā)方案的重要依據(jù)，它對(duì)提高采收率具有重要作用。裂縫性地層中的裂縫是流體流動(dòng)的主要通道，研究裂縫連通情況對(duì)儲(chǔ)層滲流特性的影響，一直是油田開采領(lǐng)域的一個(gè)難點(diǎn)。隨著時(shí)代的發(fā)展，計(jì)算機(jī)技術(shù)在油田中的應(yīng)用也愈加廣泛。許多在現(xiàn)實(shí)中難以實(shí)現(xiàn)的實(shí)驗(yàn)、難以驗(yàn)證的猜想，都可以用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬。計(jì)算機(jī)模擬已成為除實(shí)驗(yàn)外解決問題最為有效的手段。

隨著介質(zhì)中的孔隙被隨機(jī)堵塞，孔隙度減小，滲透率變差。當(dāng)孔隙度下降到某一臨界值Pc時(shí)，介質(zhì)由可滲透轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢蓾B透，這種現(xiàn)象被定義為逾滲。逾滲模型是一種描述流體在無(wú)序介質(zhì)中隨機(jī)流動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。彭自正等[1]利用計(jì)算機(jī)建立了巖石的二維逾滲模型。馮增朝等[2]詳細(xì)研究了二維條件下帶裂縫介質(zhì)的逾滲機(jī)制，建立了二維逾滲規(guī)律研究模型。朱大勇等[3]基于二維逾滲模型，用相同尺寸的均勻網(wǎng)格劃分巖石，并使每個(gè)連接節(jié)點(diǎn)的鍵具有相同的連通概率，研究逾滲模型中滲透概率遞推矩陣?？抵厩诘萚4]基于顯微CT技術(shù)研究了三維孔隙結(jié)構(gòu)的逾滲規(guī)律。以上研究運(yùn)用不同方法建立了逾滲模型，從不同角度研究逾滲規(guī)律?，F(xiàn)實(shí)中的逾滲發(fā)生在三維物體中，二維模型模擬結(jié)果不夠直觀、精確。目前三維逾滲模型的建模方式較少，對(duì)逾滲規(guī)律的認(rèn)識(shí)也不夠深入。

本文運(yùn)用MATLAB建立三維逾滲模型，將儲(chǔ)層巖石理想地看作由均勻網(wǎng)格劃分的規(guī)則多孔介質(zhì)。與傳統(tǒng)的研究方法不同，它從多孔介質(zhì)的微觀角度出發(fā)，將其視為鍵和節(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)絡(luò)體。此模型能夠模擬裂縫連通團(tuán)的分布情況，得出均勻多孔介質(zhì)的逾滲規(guī)律；描述巖石的形狀、大小對(duì)其內(nèi)部流體流動(dòng)的影響，對(duì)高效開發(fā)油藏具有重要的意義。

1 三維逾滲模型的建立

1.1 構(gòu)建模型的思路

逾滲理論研究的是多孔介質(zhì)由于內(nèi)部連接程度的改變所引起的滲透狀態(tài)的改變，即多孔介質(zhì)由不滲透到滲透的過程。裂縫被視為流體流通的通道，裂縫之間的相互連接使其“叢集”最終達(dá)到“貫通”[5]。建立三維逾滲模型，首先將所研究的儲(chǔ)層巖石理想化為一個(gè)規(guī)則的長(zhǎng)方體，然后用均勻網(wǎng)格劃分長(zhǎng)方體。將儲(chǔ)層中的裂縫視為逾滲網(wǎng)格中的節(jié)點(diǎn)，裂縫之間的連接情況用逾滲網(wǎng)格中的鍵來(lái)表示。每個(gè)鍵都有一定的“連通概率（P）”，被鍵連接到一起的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)簇，即逾滲集團(tuán)。

由逾滲的定義可知，流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)時(shí)，若介質(zhì)被隨機(jī)堵塞，一旦被堵塞的比例達(dá)到某個(gè)值，多孔介質(zhì)就會(huì)由可滲透轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢蓾B透。也就是說，存在著一個(gè)臨界值，使模型是否可滲透的狀態(tài)發(fā)生改變，這個(gè)臨界值被稱為逾滲閾值。

1.2 構(gòu)建模型的方法

逾滲主要分為鍵逾滲和點(diǎn)逾滲。鍵逾滲是指所有的節(jié)點(diǎn)都是通的，每條鍵以概率P連通；點(diǎn)逾滲是指所有的鍵都是連通的，節(jié)點(diǎn)有可能通有可能不通，通過的點(diǎn)叫作被占據(jù)的點(diǎn)。本文中的模型以鍵逾滲理論為基礎(chǔ)。

三維點(diǎn)陣的節(jié)點(diǎn)之間的鍵有兩種狀態(tài)：連通或不連通，每個(gè)鍵連通的概率是P，不連通的概率是（1-P），每個(gè)鍵的連通狀況與相鄰的鍵無(wú)關(guān)。在三維點(diǎn)陣上，每個(gè)節(jié)點(diǎn)周圍有六個(gè)節(jié)點(diǎn)與之相鄰，假設(shè)每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表相同的裂縫，可以認(rèn)為每個(gè)簇的大小僅由內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)數(shù)量確定，這樣就建立了三維逾滲模型[6]。當(dāng)連通概率達(dá)到某個(gè)值時(shí)（即逾滲閾值），三維點(diǎn)陣上就會(huì)形成使模型可滲透的簇，即滲流集群。

假設(shè)模型中鍵的連通概率（P）取值0.01～0.90，模型的長(zhǎng)、寬、高分別用n1、n2、n3表示。設(shè)計(jì)五種不同尺寸的模型N1-N5進(jìn)行模擬，如圖1所示。其中，N1、N2、N3的尺寸等比例增大，N2、N4、N5的節(jié)點(diǎn)數(shù)相近，幾何形態(tài)分別為長(zhǎng)方體、正方體和扁長(zhǎng)方體。

圖1 五種不同尺寸模型Fig.1 Five different size models

隨著連通概率（P）的改變，N1、N2、N3模型的簇的分布情況如圖2所示，其中藍(lán)點(diǎn)代表節(jié)點(diǎn)，黑色、綠色、紅色的線分別代表節(jié)點(diǎn)之間x、y、z三個(gè)方向的鍵。模型能較直觀地反映多孔介質(zhì)的內(nèi)部連接情況，還能得到不同連通概率下，每個(gè)模型中各個(gè)尺寸的簇的數(shù)量和最大簇。

圖2 不同尺寸模型的簇分布情況Fig.2 Cluster distribution of different size models

由不同尺寸的簇的數(shù)量可以計(jì)算出孔隙率和平均簇，計(jì)算孔隙率的公式為：

式中，Q 為孔隙率；s為簇的大??；Smax為最大簇；n（s）為簇大小為s的簇的個(gè)數(shù)；N為模型總節(jié)點(diǎn)數(shù)。

計(jì)算平均簇的公式為：

式中，Sav為平均簇。

相互連接的節(jié)點(diǎn)形成的集團(tuán)稱為簇，一個(gè)簇至少包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)最多的簇為最大簇[7]。逾滲概率為最大簇節(jié)點(diǎn)數(shù)與總節(jié)點(diǎn)數(shù)的比值，它可以作為判斷多孔介質(zhì)滲透性優(yōu)劣的依據(jù)，是逾滲問題的一個(gè)重要概念。

計(jì)算逾滲概率的公式為：

式中，Yg為逾滲概率；Nmax為最大簇節(jié)點(diǎn)數(shù)。

2 模型模擬結(jié)果的分析

2.1 連通概率對(duì)總簇?cái)?shù)的影響

模型可以模擬得出多孔介質(zhì)中的總簇?cái)?shù)。在不同尺寸的模型中，改變連通概率進(jìn)行模擬，其對(duì)應(yīng)的總簇?cái)?shù)如表1所示，兩者的關(guān)系如圖3所示。

表1 總簇?cái)?shù)Table 1 Total number of clusters

圖3 不同尺寸模型總簇?cái)?shù)與連通概率的關(guān)系Fig.3 Relationship between total cluster number and P of different size models

由圖3可知，當(dāng)連通概率較小時(shí)，相互連接的節(jié)點(diǎn)少，聚集程度低，難以形成簇。隨著連通概率增加、模型尺寸增大，總簇?cái)?shù)增加得越快。此時(shí)節(jié)點(diǎn)之間快速連接形成簇，雖然已經(jīng)形成的簇有可能會(huì)連接成一個(gè)新簇，使總簇?cái)?shù)減少，但總體來(lái)說，總簇?cái)?shù)還是呈增加趨勢(shì)。此時(shí)連通概率繼續(xù)增加，已經(jīng)形成的簇相互連接，總簇?cái)?shù)的增長(zhǎng)變緩[7]。當(dāng)連通概率達(dá)到一定值時(shí)，總簇?cái)?shù)開始隨連通概率的增加而減少，這是因?yàn)榇刂g連接的趨勢(shì)初始階段大于單個(gè)節(jié)點(diǎn)之間連接的趨勢(shì)。

N1、N2、N3模型尺寸不同，其總簇?cái)?shù)與連通概率的關(guān)系曲線有較大差別，但曲線峰值對(duì)應(yīng)的連通概率相同，均為0.17。N2、N4、N5的曲線基本重合，說明總簇?cái)?shù)只與模型的尺寸有關(guān)，與模型的形狀無(wú)關(guān)。

2.2 孔隙率與逾滲概率的關(guān)系

孔隙率可以用式（1）計(jì)算，當(dāng)可滲透的多孔介質(zhì)被隨機(jī)堵塞時(shí)，多孔介質(zhì)的孔隙率下降，多孔介質(zhì)由可滲透轉(zhuǎn)變?yōu)椴豢蓾B透[8]。用孔隙率可以粗略評(píng)價(jià)介質(zhì)的滲透性。不同連通概率下，N1-N5模型的孔隙率如圖4所示。

圖4 不同尺寸模型孔隙率與連通概率的關(guān)系Fig.4 Relationship between porosity and P of different size models

對(duì)不同尺寸的模型，在不同連通概率下進(jìn)行模擬，得到最大簇，運(yùn)用式（3）計(jì)算逾滲概率。同一連通概率下，孔隙率和逾滲概率的關(guān)系如圖5所示。

圖5 孔隙率和逾滲概率的關(guān)系Fig.5 Relationship between porosity and percolation probability

由圖5可知，連通概率小于0.20時(shí)，孔隙率和逾滲概率之間的關(guān)系沒有規(guī)律性。逾滲概率的大小反映了多孔介質(zhì)內(nèi)部最大簇的分布程度，可避免因過多統(tǒng)計(jì)對(duì)滲透性無(wú)貢獻(xiàn)的“小級(jí)別死端及封閉裂縫”而造成的對(duì)多孔介質(zhì)滲透性優(yōu)劣的誤判[8]。逾滲概率可以對(duì)多孔介質(zhì)的滲透性進(jìn)行判斷，比孔隙率更為準(zhǔn)確。

2.3 連通概率對(duì)逾滲概率的影響

不同連通概率下，N1-N5模型的逾滲概率如圖6所示。由圖6可知，不同尺寸、不同形狀的模型，其逾滲概率隨連通概率的變化呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)。當(dāng)連通概率較小時(shí)，逾滲概率增加比較緩慢，對(duì)N1、N5模型來(lái)說，當(dāng)連通概率超過第一臨界值0.30時(shí)，逾滲概率突然大幅度增加，當(dāng)連通概率超過第二臨界值0.70時(shí)，逾滲概率再次開始緩慢增加并最終趨近于1。

圖6 不同尺寸模型逾滲概率與連通概率的關(guān)系Fig.6 Relationship between percolation probability and P of different size models

對(duì)N2、N3、N4模型來(lái)說，當(dāng)連通概率超過第一臨界值0.25時(shí)，逾滲概率突然大幅度增加，當(dāng)連通概率超過第二臨界值0.60時(shí)，逾滲概率再次開始緩慢增加并最終趨近于1。

當(dāng)連通概率小于第一臨界值時(shí)，單個(gè)節(jié)點(diǎn)之間連接的趨勢(shì)較小，逾滲概率的增長(zhǎng)率較?。划?dāng)連通概率在第一、第二臨界值之間時(shí)，簇與簇之間迅速連接形成更大的簇；當(dāng)連通概率大于第二臨界值時(shí)，節(jié)點(diǎn)與簇的連接狀態(tài)比較穩(wěn)定，逾滲概率增加較為緩慢，最終趨向于 1[9‐10]。

2.4 連通概率對(duì)滲流集群的影響

在實(shí)際應(yīng)用中，用逾滲概率判斷多孔介質(zhì)是否可滲透存在一定誤差。本模型提出了滲流集群的概念，滲流集群是可以使多孔介質(zhì)滲透的簇，它可以準(zhǔn)確判斷介質(zhì)是否可滲透，精準(zhǔn)捕捉逾滲閾值。本模型中，逾滲閾值指的是當(dāng)多孔介質(zhì)由不滲透轉(zhuǎn)變?yōu)闈B透時(shí)對(duì)應(yīng)的連通概率，即滲流集群≥1時(shí)對(duì)應(yīng)的連通概率。不同連通概率下，N1-N5模型的滲流集群如圖7所示。滲流集群等于0時(shí)，模型不可滲透；滲流集群在0～1時(shí)，模型有滲透的可能，且滲透的可能性隨著滲流集群數(shù)值的增大而增大；滲流集群等于或大于1時(shí)，模型一定可滲透。

圖7 不同尺寸模型滲流集群數(shù)與連通概率的關(guān)系Fig.7 Relationship between the number of seepage clusters and the P of different size models

由圖7可以看出，N1-N5模型的滲流集群開始大于0時(shí)對(duì)應(yīng)的連通概率分別是0.05、0.10、0.17、0.10、0.07，即五個(gè)模型各自的逾滲閾值。對(duì)于N1、N2、N3來(lái)說，模型尺寸越大，逾滲閾值就越大；對(duì)于N2、N4、N5來(lái)說，N5的幾何形狀較為特殊，有一個(gè)較小的面，因此其逾滲閾值小于N2、N4。

五條曲線的最大值都不相同，N3最大，N1最小，N2、N4、N5相近可看作一類?？芍Ｐ统叽缭酱螅?jié)點(diǎn)越多，可形成滲流集群的上限越高，反映到圖像中就是曲線的最大值越大。

隨著連通概率的增加，不管是何種尺寸、何種形狀的模型，滲流集群的數(shù)量最終都會(huì)趨向于1。因?yàn)楫?dāng)連通概率達(dá)到一定值時(shí)，模型內(nèi)的節(jié)點(diǎn)連接狀況趨于穩(wěn)定，最終會(huì)形成一個(gè)滲流集群。

在圖線波動(dòng)階段，尺寸越小的模型波動(dòng)得越劇烈。因?yàn)槌叽缧〉哪Ｐ凸?jié)點(diǎn)少，由連通概率所導(dǎo)致的連接不確定性比較明顯[11‐12]。

2.5 平均簇與連通概率之間的關(guān)系

對(duì)N1-N5模型進(jìn)行模擬，可以得出各個(gè)尺寸的簇的個(gè)數(shù)，將得到的數(shù)據(jù)代入式（2），可計(jì)算平均簇，繪制圖8。由圖8可以看出，連通概率小于0.5時(shí)，平均簇比較小且增長(zhǎng)緩慢；連通概率在0.5～0.8時(shí)，平均簇的增長(zhǎng)率突然變大，這是因?yàn)榇嘏c簇之間迅速連接，使簇的尺寸變大，簇的個(gè)數(shù)變少；當(dāng)連通概率大于0.8時(shí)，節(jié)點(diǎn)之間的連接狀況趨于穩(wěn)定，平均簇大小的增長(zhǎng)率有所緩和。

2.6 對(duì)錯(cuò)誤逾滲規(guī)律的否定

對(duì)N1-N5模型在相同的連通概率下多次模擬，可以明確一些容易誤判的逾滲規(guī)律。

2.6.1 最大簇與平均簇的關(guān)系 在同一模型、同一連通概率下多次模擬，得到圖9所示結(jié)果。

圖8 模型平均簇大小與連通概率的關(guān)系Fig.8 Relationship between model average cluster size and P

圖9 最大簇與平均簇間的關(guān)系Fig.9 Relationship between the largest cluster and the average cluster size

由圖9可以看出，平均簇和最大簇的大小隨著連通概率的增加總體呈增加趨勢(shì)。在同一模型，同一連通概率下多次模擬，可以得知最大簇和平均簇之間的關(guān)系沒有明顯的規(guī)律性。

2.6.2 最大簇與總簇?cái)?shù)的關(guān)系 在同一模型、同一連通概率下多次模擬，得到的結(jié)果如圖10所示。由圖10可以看出，最大簇的大小隨著連通概率的增加總體呈增加趨勢(shì)，總簇?cái)?shù)隨著連通概率的增加總體呈減少趨勢(shì)。在同一模型，同一連通概率下多次模擬，可以得知最大簇和總簇?cái)?shù)之間沒有明顯的規(guī)律性。

圖10 最大簇與總簇?cái)?shù)的關(guān)系Fig.10 Relationship between the largest cluster and the total number of clusters

3 結(jié) 論

（1）本文所建立的三維逾滲模型能夠模擬多孔介質(zhì)中由于連通概率變化所引起的長(zhǎng)程聯(lián)結(jié)性突變。它能模擬裂縫連通團(tuán)的分布情況，得出均勻多孔介質(zhì)的逾滲規(guī)律、逾滲閾值，并判斷其是否可滲透，模型模擬的結(jié)果與其它模型模擬結(jié)果及實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致并有了一定的優(yōu)化。

（2）在連通概率從0開始增加的初期，隨著連通概率增加，單個(gè)節(jié)點(diǎn)之間相互連接形成簇，總簇?cái)?shù)增加。當(dāng)連通概率增加到0.17后，總簇?cái)?shù)開始減少?？偞?cái)?shù)的變化規(guī)律只與介質(zhì)的尺寸有關(guān)，與介質(zhì)的形狀無(wú)關(guān)。

（3）孔隙率、逾滲概率都可以作為判斷多孔介質(zhì)滲透性的依據(jù)，逾滲概率可避免過多統(tǒng)計(jì)對(duì)滲透性無(wú)貢獻(xiàn)的“小級(jí)別死端及封閉裂縫”，因此更為準(zhǔn)確。當(dāng)連通概率較小時(shí)，逾滲概率隨著連通概率的增加而緩慢增加，當(dāng)連通概率超過第一臨界值時(shí)，逾滲概率的增加幅度突然增大，當(dāng)連通概率超過第二臨界值時(shí)，逾滲概率再次開始緩慢增加且最終趨近于1。

（4）滲流集群可以準(zhǔn)確地判定多孔介質(zhì)是否可滲透，精準(zhǔn)捕捉逾滲閾值。N1-N5模型的滲流集群開始大于0時(shí)對(duì)應(yīng)的連通概率分別是0.05、0.10、0.17、0.10、0.07，即五個(gè)模型各自的逾滲閾值。逾滲閾值的大小與介質(zhì)的尺寸和形狀都有關(guān)，尺寸越大，逾滲閾值就越大；當(dāng)尺寸相同時(shí)，若介質(zhì)有一個(gè)較小的面，逾滲閾值就會(huì)較小。

（5）最大簇與平均簇、最大簇與總簇?cái)?shù)的關(guān)系之間沒有明顯的規(guī)律性。