擬Clifford半環(huán)的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)

韓 姣 李 剛

(山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,250358,濟南)

1 引言及預(yù)備知識

半環(huán)是具有加法和乘法兩個代數(shù)運算且滿足結(jié)合律、分配律的代數(shù)系.半環(huán)的概念最早是在1894年由Dedekind提出來的，如今半環(huán)理論已經(jīng)廣泛運用到泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)及計算機科學(xué)等領(lǐng)域，近年來，許多代數(shù)學(xué)者對半環(huán)的結(jié)構(gòu)進行了深入的研究并取得了很多有意義的研究成果.

稱半環(huán)S=(S,+,·)為冪等元半環(huán)，若?(a∈S)a+a=a·a=a.文獻[1]介紹了一類重要的冪等元半環(huán)—帶半環(huán)，一個冪等元半環(huán)S=(S,+,·)稱為帶半環(huán)，若對?a,b∈S，

a+ab+a=a，

a+ba+a=a.

一個帶半環(huán)S=(S,+,·)稱為T半環(huán)，若S的加法半群(S,+)是一個T帶，其中T可能是“矩形”、“左(右)零”、“左(右)正則”、“正則”、“正規(guī)”帶等等.

本文定義了擬Clifford半環(huán)，它是左(右)Clifford半環(huán)、矩形Clifford半環(huán)的推廣，給出了一個半環(huán)是擬Clifford半環(huán)的充要條件及擬Clifford半環(huán)的織積分解.

引理1[2]若S是純整群，則?a,b∈S,V+(b)+V+(a)?V+(a+b).

引理2[2]關(guān)于半群S下列條件等價：

(i)S是一個左群；

(ii)S是正則的且E(S)是左零半群；

(iii)S?L×G,其中L是左零半群，G是群.

引理3[3]關(guān)于半群S下列條件等價：

(i)S是一個左Clifford半群；

(ii)S是左群的半格.

同樣對于右Clifford半群有類似的結(jié)論.

定義1[4]純整群S稱為擬Clifford半群，若E(S)是正則帶.

因為純整群是矩形群的半格，所以若S是擬Clifford半群，則S是矩形群的半格且E(S)是正則帶.

定理1[4]半群S是擬Clifford半群的充分必要條件是S同構(gòu)于織積Sl×TSr,其中Sl=[Y;Lα×Tα]是左Clifford半群，Sr=[Y;Tα×Rα]是右Clifford半群，且在半群同態(tài)Φ:(i,x)x，?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)x，?(x,λ)∈Sr下它們有相同的Clifford半群分量T=[Y;Tα].

引理4[5]若S是加法半群為完全正則半群的半環(huán)，則

定義2[6]一個半環(huán)S稱為左環(huán)，若S是一個左零帶半環(huán)和一個環(huán)的直積.

定理2[6]一個半環(huán)是左環(huán)的充分必要條件是：

(i)S的加法半群(S,+)是一個左交換群，即是一個左零帶和一個交換群的直積；

(ii)E+(S)?E·(S)其中E+(S)(E·(S))表示S的加法(乘法)半群的冪等元的集合.

定義3[6]一個半環(huán)S稱為左Clifford半環(huán)，若S是左環(huán)的分配格.

定義4[5]一個半環(huán)S稱為矩形環(huán)，若S是一個矩形帶半環(huán)和一個環(huán)的直積.

定理3[5]一個半環(huán)S是矩形環(huán)的充分必要條件是：

(i)S的加法半群(S,+)是一個矩形交換群，即是一個矩形帶和一個交換群的直積；

(ii)E+(S)?E·(S)其中E+(S)(E·(S))表示S的加法(乘法)半群的冪等元的集合.

定義5[6]一個半環(huán)S稱為矩形Clifford半環(huán)，若S是矩形環(huán)的分配格.

2 擬Clifford 半環(huán)的定義與性質(zhì)

定義6[7,8]一個半環(huán)S稱為擬Clifford半環(huán)，若S是矩形環(huán)的分配格，并且E+(S)是一個正則帶.

定理4半環(huán)S是擬Clifford半環(huán)的充分必要條件是S的加法半群(S,+)是擬Clifford半群，其極大子群是可交換的，E+(S)?E·(S)，并且S滿足以下條件：

(i) ?a∈S,V+(a)+a?a(a+V+(a))；

(ii) ?a,b∈S,V+(ab)+ab?(b+V+(b))a；

(iii) ?a,b∈S,V+(a)+a?a+ab+V+(ab)+V+(a).

a2+ax+a2=a(a+x+a)=aa=a2；

ax+a2+ax=a(x+a+x)=ax.

所以aV+(a)?V+(a2)，從而由引理4知

V+(a)+a=a2+V+(a2)?a2+aV+(a)=a(a+V+(a))，

即

?a∈S,V+(a)+a?a(a+V+(a)).

(1)

同樣的，由引理4知

V+(ab)+ab=ba+V+(ba)?ba+V+(b)a=(b+V+(b))a，

即

?a,b∈S,V+(ab)+ab?(b+V+(b))a.

(2)

又因為(S,+)是純整群，所以?a,b∈S,V+(a+b)?V+(b)+V+(a)，因此由引理4得

V+(a)+a=a+ab+V+(a+ab)?(a+ab)+V+(ab)+V+(a)，

?a,b∈S,V+(a)+a?a+ab+V+(ab)+V+(a).

(3)

(a2+V+(a2)∩(V+(a)+a)?a(a+V+(a))，

因為?a,b∈S,ba+V+(ba)?ba+V+(b)a=(b+V+(b))a，由S滿足條件(ii)得

(ba+V+(ba)∩(V+(ba)+ab)?(b+V+(b))a，

因為?a,b∈S,a+ab+V+(a+ab)?a+ab+V+(ab)+V+(a)，所以由S滿足條件(iii)得

(a+ab+V+(a+ab))∩(V+(a)+a)?a+ab+V+(ab)+V+(a)，

在上述定理中，通過式子(2)我們知道對?a,b∈S,V+(ab)+ab?a(V+(b)+b)，由此可得E+(S)是(S,·)上的理想.

3 擬Clifford 半環(huán)的織積結(jié)構(gòu)

?(i,x)∈Sl與Ψ:(x,λ)x，?(x,λ)∈Sr下它們有相同的半環(huán)Clifford分量T=[D;Tα].

證充分性.若S同構(gòu)于織積Sl×TSr，其中(Sl,+)=[D;(Lα,+)×(Tα,+)]是左Clifford半群，(Sr,+)=[D;(Tα,+)×(Rα,+)]是右Clifford半群且它們在同態(tài)Φ:(i,x)x，?(i,x)∈(Sl,+)與Ψ:(x,λ)x，?(x,λ)∈(Sr,+)下具有相同的Clifford半群分量(T,+)=[D;(Tα,+)],則(S,+)=(Sl,+)×T(Sr,+),E+(S)=E+(Sl)×TE+(Sr),其中E+(Sl)=[D;(Iα,+)×{1(Tα,+)}]，E+(Sr)=[D;{1(Tα,+)}×(Rα,+)]，則E+(S)是正則帶.對?((i,x),(x,λ))∈Sl×Sr，記((i,x),(x,λ))=(i,x,λ).易證S是矩形環(huán)Lα×Tα×Rα的分配格，因為E+(S)是正則帶，因此S是擬Clifford半環(huán).由引理5得是左Clifford半環(huán)Sl和右Clifford半環(huán)Sr上的半環(huán)同余，所以是(S,+)上的同余.

的織積，其中(Lα,+)是左零帶，(Tα,+)是交換群，(Rα,+)是右零帶，并且它們在半群同態(tài)Φ:(i,x)x，?(i,x)∈(Sl,+)與Ψ:(x,λ)x，?(x,λ)∈(Sr,+)下它們有相同的Clifford半群分量若(i,x),(x,λ))∈(Lα×Tα)×(Tα×Rα),((j,y),(y,μ))∈(Lβ×Tβ)×(Tβ×Rβ)，則((i,x),(x,λ))+((j,y),(y,μ))=((i,x)+(j,y),(x,λ)+(y,μ))∈(Lα+β×Tα+β)×(Tα+β×Rα+β)，其中(i,x)+(j,y)表示(i,x)與(j,y)在(Sl,+)中的和，(x,λ)+(y,μ)表示(x,λ)與(y,μ)在(Sr,+)中的和.

下面討論((i,x),(x,λ))∈(Lα×Tα)×(Tα×Rα)與((j,y),(y,μ))∈(Lβ×Tβ)×(Tβ×Rβ)的積.令((i,x),(x,λ))((j,y),(y,μ))=((k,z),(z,c))，下證k(z、c)的選擇只依賴于i與j(x與y、λ與μ)的選擇.

?((i,x),(x,λ))∈(Lα×Tα)×(Tα×Rα)，?((i',x),(x,λ))∈(Lα×Tα)×(Tα×Rα)，((j,y),(y,μ))∈(Lβ×Tβ)×(Tβ×Rβ)，若((i,x),(x,λ))((j,y),(y,μ))=((k,z),(z,c)),((i',x),(x,λ))((j,y),(y,μ))=((k',z'),(z',c'))，則由S滿足乘法分配律及E+(S)是(S,·)上的理想可知

((k,z),(z,c))=((i,x),(x,λ))((j,y),(y,μ))

=[((i,0),(0,λ))+((i',x),(x,λ))]((j,y),(y,μ))

=((i,0),(0,λ))((j,y),(y,μ))+((i',x),(x,λ))((j,y),(y,μ))

=((k,0),(0,c))+((k',z'),(z',c'))

=((k,z'),(z',c')),

所以z=z'，c=c'，從而可得z、c的選擇與i無關(guān)，同理可證z、c的選擇與j無關(guān).

同理，?((i,x),(x,λ))∈(Lα×Tα)×(Tα×Rα)， ?((i,x),(x,λ'))∈(Lα×Tα)×(Tα×Rα)，((j,y),(y,μ))∈(Lβ×Tβ)×(Tβ×Rβ)，若((i,x),(x,λ))((j,y),(y,μ))=((k,z),(z,c))，((i,x),(x,λ'))((j,y),(y,μ))=((k',z'),(z',c'))，則由S滿足乘法分配律及E+(S)是(S,·)上的理想可知

((k,z),(z,c))=((i,x),(x,λ))((j,y),(y,μ))

=[((i,x),(x,λ'))+((i,0),(0,λ))]((j,y),(y,μ))

=((i,x),(x,λ'))((j,y),(y,μ))+((i,0),(0,λ))((j,y),(y,μ))

=((k',z'),(z',c'))+((k,0),(0,c))

=((k',z'),(z',c)),

所以k=k'，z=z'，從而可得k、z的選擇與λ無關(guān)，同理可證k、z的選擇與μ無關(guān).由此可得k(z、c)的選擇只依賴于i與j(x與y、λ與μ)的選擇.由上面的事實，可以在Sl(Sr)上定義乘法運算如下：

?(i,x)∈Lα×Tα,(j,y)∈Lβ×Tβ(?(x,λ)∈Tα×Rα,(y,μ)∈Tβ×Rβ)，

(i,x)(j,y)=(k,z)?((i,x),(x,λ))((j,y),(y,μ))=((k,z),(z,λμ))；

(x,λ)(y,μ)=(z,c)?((i,x),(x,λ))((j,y),(y,μ))=((ij,z),(z,c)).