非牛頓流體充填料漿的管輸摩擦阻力預(yù)測(cè)

楊曉炳，肖柏林，高謙

（北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083）

膠結(jié)充填采礦方法是地下礦山傳統(tǒng)三大采礦方法之一，其利用膠凝材料、水和骨料在地表攪拌站攪拌均勻后，形成固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)約60%～80%均勻料漿，利用重力自流或泵送，經(jīng)管道輸送到井下采場(chǎng)空區(qū)，經(jīng)過一段時(shí)間的硬化后形成固態(tài)膠結(jié)充填體，提供支護(hù)功能，防止塌陷[1].膠結(jié)充填采礦法能有效解決選礦尾砂的地表堆存問題，保護(hù)環(huán)境，形成綠色循環(huán)經(jīng)濟(jì)[2]；膠結(jié)充填采礦法具有最高的資源回收率，可有效管理地壓，提高井下作業(yè)安全性[3]；特別是當(dāng)前淺地表資源的耗竭，采礦活動(dòng)逐漸往深部發(fā)展，例如我國(guó)有越來越多的礦山開采達(dá)到并超過1 000 m[4-6]，深部開采意味著高溫高應(yīng)力，伴隨著巖爆風(fēng)險(xiǎn)，此時(shí)膠結(jié)充填采礦法以其良好的地壓管理能力，將成為深部開采的最主要采礦方法之一.

充填料漿可當(dāng)作流態(tài)混凝土，必須能夠?qū)崿F(xiàn)自流平，也有人稱之為低強(qiáng)度混凝土[7].研究如何將充填料漿安全、高效地輸送到井下采場(chǎng)空區(qū)，是該技術(shù)成功應(yīng)用的關(guān)鍵之一.在工程實(shí)際中，充填料漿在管道輸送中的沿程摩擦阻力計(jì)算，直接影響甚至決定了能否自流輸送、充填系統(tǒng)的建設(shè)、設(shè)備（尤其是泵）選型、管網(wǎng)敷設(shè)形式等諸多核心問題.國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)摩擦阻力計(jì)算進(jìn)行深入研究，如唐艷蓓等人[8]采用CFX 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，分析流體在管道中的沿程阻力系數(shù)與管道內(nèi)壁相對(duì)粗糙度的關(guān)系；于躍等人[9]以新陽煤礦為背景，提出了適用于該礦的高濃度膠結(jié)充填料漿的沿程阻力損失的理論公式；王石等人[10]研究了添加陰離子型聚丙烯酰胺（APAM）前后，全尾似膏體漿料管道輸送的沿程阻力計(jì)算公式；吳愛祥等人[11]根據(jù)流體力學(xué)理論建立了考慮管壁滑移效應(yīng)的膏體管道輸送阻力模型，并根據(jù)響應(yīng)面分析確定管道摩擦阻力的影響順序由大到小依次為灰砂比、尾廢比、濃度.國(guó)內(nèi)研究多直接提出用于針對(duì)特定某個(gè)礦山的阻力計(jì)算的經(jīng)驗(yàn)公式，著名的沿程阻力計(jì)算公式還有如金川公式、長(zhǎng)沙礦冶院研究公式、鞍山黑色金屬礦山設(shè)計(jì)院公式[12]，然而這些公式應(yīng)用復(fù)雜，往往是經(jīng)驗(yàn)公式且僅適用于某一特定情況，很少對(duì)前提進(jìn)行界定，缺乏通用性總結(jié)；而國(guó)外研究多采用無量綱的摩擦阻力系數(shù)的概念，并通過Darcy-Weisbach 方程轉(zhuǎn)化為具體沿程阻力值[13].

在國(guó)內(nèi)礦山實(shí)際中，也有很多采用設(shè)計(jì)環(huán)管實(shí)驗(yàn)的方法，直接對(duì)阻力進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量[14-15].環(huán)管實(shí)驗(yàn)是最準(zhǔn)確的測(cè)試方法，但其代價(jià)極其昂貴，實(shí)驗(yàn)過程及操作繁雜費(fèi)事[16]，在實(shí)際中經(jīng)常需要對(duì)料漿進(jìn)行不斷調(diào)整，采用環(huán)管實(shí)驗(yàn)是極其浪費(fèi)的一種做法.最有效的辦法是采用阻力計(jì)算公式進(jìn)行預(yù)測(cè)，然而在國(guó)內(nèi)眾多文獻(xiàn)中，并沒有多少正確利用阻力系數(shù)預(yù)測(cè)充填料漿阻力的案例.其原因之一是公式的數(shù)量繁多，另一個(gè)是缺乏考慮料漿流態(tài)、狀態(tài)的多變性，從而選擇正確、適用所需情況下的阻力計(jì)算方法.因此本文在總結(jié)國(guó)內(nèi)外常用關(guān)鍵的一些賓漢塑性體的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算方法的基礎(chǔ)上，解釋說明各方法的適用條件，然后結(jié)合一個(gè)具體案例，探討如何正確應(yīng)用這些公式進(jìn)行充填料漿摩擦阻力預(yù)測(cè)，并對(duì)這些公式的適用性進(jìn)行評(píng)價(jià).希望能為正確使用這些模型提供參考.

1 賓漢塑性體的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算模型

在工程實(shí)際中，現(xiàn)代充填料漿基本可分為高濃度及膏體兩種，表現(xiàn)為非牛頓體特性，且絕大多數(shù)是賓漢塑性流體[17].賓漢塑性體料漿同其他流體類似，在管道中流動(dòng)同樣可以分為層流運(yùn)動(dòng)、紊流運(yùn)動(dòng)及過渡區(qū)三種流態(tài)，對(duì)于過渡區(qū)，有太多不確定性，仍是當(dāng)前的學(xué)術(shù)難題，因此本節(jié)首先按流態(tài)分，總結(jié)了適用于層流區(qū)、紊流區(qū)及層流紊流通用的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算方法.

1.1 適用層流區(qū)的摩擦阻力系數(shù)模型

1.1.1 Buckingham-Reiner 方程

Buckingham-Reiner 方程[18]適用于賓漢塑性體層流狀態(tài)下的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算模型，如式（1）所示.可見該方程為fL的四階隱式方程，雖然可以獲得精確解析解，但其計(jì)算過程復(fù)雜，有諸多研究者尋找該方程的顯式近似解.

式中：fL為層流中的摩擦阻力系數(shù)；D 為管道直徑，m；U 為料漿在管道中的平均流速，m/s；ρm為料漿密度，kg/m3；ηp為動(dòng)力黏度，Pa·s；τy為屈服剪切應(yīng)力，Pa；Re 為雷諾數(shù)；He 為赫德數(shù).

1.1.2 Darby-Melson 模型

Darby-Melson 模型[19]通過修改Buckingham-Reiner 方程中的雷諾數(shù)，提出了Finning 摩擦阻力系數(shù)Cf：

同時(shí)他們還提出一個(gè)適用于紊流的顯式經(jīng)驗(yàn)方程，如式（3）所示.

為了得到一個(gè)統(tǒng)一同時(shí)適用層流和紊流的顯式方程，他們提出了式（4）：

式中：m=1.7+40 000/Re；f 為Darcy-Weisbach 摩擦阻力系數(shù)；Remod為修正雷諾數(shù)；fT為紊流中的摩擦阻力系數(shù).

1.1.3 Swamee-Aggarwal 方程

Swamee-Aggarwal 方程[20]用來直接求解賓漢塑性體層流下的Darcy-Weisbach 摩擦阻力系數(shù)fL，它是Buckingham-Reiner 隱式方程的一種近似，如式（5）所示.

1.2 適用紊流區(qū)的摩擦阻力系數(shù)模型

1.2.1 Colebrook-White 方程

該模型[21]是一個(gè)僅適用于紊流區(qū)的通用模型，除了賓漢塑性體，也可用于其他如H-B 等流體，該模型認(rèn)為，假如相對(duì)粗糙度的影響甚微，可用式（6）的隱式方程求解水力光滑管的摩擦阻力系數(shù).

該模型還有一個(gè)顯式的近似方程來估算水力光滑管的摩擦阻力系數(shù)，如式（7）所示.

該方程在4 000≤Re≤108 的范圍內(nèi)有效.

1.2.2 Wilson-Thomas 模型

該模型[22]適用于賓漢塑性體料漿的紊流運(yùn)動(dòng)阻力系數(shù)計(jì)算：

1.2.3 Dodge-Metzner 模型

該模型[23]修正了剪切變稀的紊流運(yùn)動(dòng)非牛頓體在水力光滑管的摩擦阻力系數(shù)：

式中：n′為流變指數(shù).

1.3 適用層流紊流的通用模型

Danish 等人[24]通過采用阿多米安分解法提出了計(jì)算層流下的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算方法，如式（12）所示.

對(duì)于紊流，采用式（13）：

式中：C0=4lgRe-0.4.

2 充填料漿沿程阻力預(yù)測(cè)的工程案例應(yīng)用及評(píng)價(jià)

前面總結(jié)了7 種常用的摩擦阻力系數(shù)模型，下面結(jié)合一個(gè)具體案例討論這些模型的應(yīng)用，并進(jìn)行評(píng)價(jià).

2.1 利用模型預(yù)測(cè)沿程阻力的步驟

上述模型中有的適用于層流運(yùn)動(dòng)，有的適用于紊流運(yùn)動(dòng)，在具體實(shí)際應(yīng)用時(shí)必須事先判斷充填料漿在管道中的流態(tài)，即計(jì)算其雷諾數(shù).從式（1）中雷諾數(shù)的定義可知，工程中某一流體的雷諾數(shù)與料漿的動(dòng)力黏度、料漿密度、料漿流速以及管道直徑有關(guān)；密度、流速及管道直徑可以根據(jù)具體礦山實(shí)際情況獲取，動(dòng)力黏度是料漿流變參數(shù)之一，需要通過流變儀進(jìn)行測(cè)量.通過流變儀還可以測(cè)量另一個(gè)流變參數(shù)——屈服應(yīng)力，這兩個(gè)流變參數(shù)也是計(jì)算赫德數(shù)的必要條件之一.

利用摩擦阻力系數(shù)模型預(yù)測(cè)充填料漿的沿程阻力損失的步驟是：1）用流變儀測(cè)量料漿的動(dòng)力黏度及屈服應(yīng)力；2）得到的料漿流變參數(shù)結(jié)合工程實(shí)際的管道大小、料漿密度及流速，計(jì)算得到料漿雷諾數(shù)及赫德數(shù)；3）根據(jù)得到的雷諾數(shù)判斷料漿在管道中的流態(tài)，結(jié)合赫德數(shù)，正確選取一個(gè)摩擦阻力系數(shù)模型；4）根據(jù)模型計(jì)算對(duì)應(yīng)的摩擦阻力系數(shù)，通過Darcy-Weisbach 方程轉(zhuǎn)換成沿程水頭損失hf，如式（14）所示.

式中：L 為管道長(zhǎng)度，m；g 為重力加速度，m/s2；hf為沿程水頭損失，m.

可以將式（14）轉(zhuǎn)化為工程中更為常用的沿程阻力損失S，Pa/m（或kPa/km），如式（15）所示.

2.2 應(yīng)用案例

2.2.1 工程背景

金川鎳礦位于中國(guó)甘肅省，是中國(guó)最大的鎳鈷生產(chǎn)基地.龍首礦是金川三個(gè)礦山之一，其采用下向進(jìn)路式分層充填，高濃度料漿通過自流管輸?shù)讲蓤?chǎng)，充填倍線3～4，采用水泥為膠結(jié)劑，添加量為280～310 kg/m3，骨料為棒磨砂和廢石混合骨料（最大粒徑5 mm，D50=1～2 mm，棒磨砂廢石比例為7 ∶3），料漿質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%.工程中遇到的問題是，料漿分層離析較嚴(yán)重，對(duì)管道磨損及井下充填體穩(wěn)定性影響很大，其主要原因是缺少-20 μm 細(xì)顆粒含量，通過實(shí)驗(yàn)對(duì)料漿進(jìn)行優(yōu)化后，最終優(yōu)化后的料漿配比是：水泥摻量300 kg/m3，料漿質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%，采用石灰石粉替換部分原混合骨料，以增加細(xì)顆粒含量，替換量為骨料質(zhì)量的10%.

2.2.2 實(shí)驗(yàn)材料

該案例中所用的材料均為龍首礦充填系統(tǒng)實(shí)際生產(chǎn)中所用的材料，其中水泥為當(dāng)?shù)亟鸩鹉嗉瘓F(tuán)的42.5 水泥，骨料為棒磨砂（A1）、廢石（A2）混合骨料，添加的細(xì)骨料為石灰石粉（A3），這些骨料的粒徑級(jí)配分布如圖1 所示.骨料的主要化學(xué)成分如表1所示.

圖1 案例中所用的骨料粒徑級(jí)配分布曲線Fig.1 Particle size distributions of the aggregates in this case

表1 骨料的主要化學(xué)成分（質(zhì)量分?jǐn)?shù)）Tab.1 Chemical composition of the aggregates（mass fraction） %

2.2.3 調(diào)整后的料漿流變特性測(cè)試

按照上述步驟，首先對(duì)調(diào)整后的料漿在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)進(jìn)行流變測(cè)試，料漿配比為水泥摻量300 kg/m3，固體質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%，骨料中混合骨料與石灰石粉的比例為9 ∶1，混合骨料中棒磨砂與廢石的比例為7 ∶3，料漿密度ρm=2 007.2 kg/m3.

采用Brookfiled 的R/S-SST 流變儀+Rheo3000軟件對(duì)料漿在室溫環(huán)境下進(jìn)行流變測(cè)試.測(cè)試前將混合物用攪拌機(jī)攪拌5 min 至均勻狀態(tài)，然后裝入600 mL 的玻璃燒杯中，立即開始流變測(cè)試，流變儀采用VT-40-20 葉片轉(zhuǎn)子，測(cè)試時(shí)采用控制剪切速率模式（CSR），為了減少通道效應(yīng)及蠕變效應(yīng)，測(cè)試時(shí)先用120 s-1的速率剪切2 min，然后設(shè)置剪切速率從120 s-1在120 s 內(nèi)逐漸降低至0 s-1得到，該期間記錄的剪切速率與剪切應(yīng)力關(guān)系如圖2 所示，并用賓漢塑性體模型進(jìn)行擬合，得到的結(jié)果為：

即得到料漿的屈服應(yīng)力τy=38.13 Pa，動(dòng)力黏度ηp=0.244 6 Pa·s.

圖2 充填料漿流變參數(shù)（屈服應(yīng)力和動(dòng)力黏度）測(cè)試結(jié)果Fig.2 Measured results of the rheological properties（yield stress and dynamic viscosity）of the backfilling slurry

2.2.4 計(jì)算雷諾數(shù)選擇合適的模型

龍首礦西部充填站的充填管道直徑D=0.11 m，調(diào)整后料漿的密度ρm=2 007.2 kg/m3，西部充填站運(yùn)行中控制系統(tǒng)終端監(jiān)測(cè)得到的流量除以管道截面積可以換算成料漿流動(dòng)速度（見圖3）；把已知參數(shù)代入式（1）雷諾數(shù)的計(jì)算公式，可以得到雷諾數(shù)的變動(dòng)范圍，如圖3 所示.

圖3 充填系統(tǒng)中料漿的流動(dòng)速度及雷諾數(shù)變化Fig.3 Variation of velocity and Reynold Number in the backfill system

由圖3 可知，該條件下料漿在管道中大部分時(shí)間處于層流運(yùn)動(dòng)（雷諾數(shù)小于2 100），但也有一小部分由流速變化導(dǎo)致其處于層流紊流過渡區(qū).引起料漿流速變化波動(dòng)的原因有3 個(gè)：1）充填系統(tǒng)配比波動(dòng)，如料漿質(zhì)量分?jǐn)?shù)為78%，但實(shí)際中不可能完全穩(wěn)定在78%，一般在77%～79%間波動(dòng)，這是充填系統(tǒng)本身特性所決定，是不可避免的；2）充填材料，尤其是骨料的差異性，攪拌桶中雖然是連續(xù)攪拌，但在不同時(shí)刻放入的骨料具有差異性，其粒徑級(jí)配不可能完全一樣，這將引起料漿密度、黏度、屈服應(yīng)力等各個(gè)特性的波動(dòng)，從而造成流速波動(dòng)；3）充填料漿的非均質(zhì)性，高濃度料漿可以當(dāng)作似均質(zhì)流，但達(dá)不到理想均質(zhì)狀態(tài)，因此料漿在管道縱截面上的速度會(huì)有細(xì)微差異，再加上金川充填料漿中骨料顆粒的最大粒徑達(dá)12 mm，料漿中大顆粒的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)恰好經(jīng)過管道傳感器位置將可能引起波動(dòng)異常.

因此，可以把該料漿當(dāng)作是層流運(yùn)動(dòng)，根據(jù)第1節(jié)所總結(jié)的模型，該情況下可選用的模型有Buckingham-Reiner 方程、Darby-Melson 模型、Swamee-Aggarwal 方程和Danish-Kumar 模型；其中Swamee-Aggarwal 方程只是Buckingham-Reiner 高階隱式方程的顯式近似求解，因此兩個(gè)方程的解差異不大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，采用Swamee-Aggarwal 方程，即最終采用式（4）、式（5）和式（12）3 種模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

3 結(jié)果驗(yàn)證與評(píng)價(jià)

3.1 驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證及評(píng)價(jià)所選方法所預(yù)測(cè)沿程阻力損失的準(zhǔn)確性和適用性，在龍首礦西部充填站已有的充填管道系統(tǒng)架設(shè)壓力傳感器，通過實(shí)際工業(yè)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型的適用性與準(zhǔn)確性.西部充填站的充填管網(wǎng)水平管總長(zhǎng)為1 520 m；垂直管總長(zhǎng)為421 m，充填倍線3.61，管道內(nèi)徑110 mm；共安裝了4 個(gè)壓力變送器以監(jiān)測(cè)料漿在管道流動(dòng)中的阻力變化，并采用無紙記錄儀每隔1 min 記錄一次監(jiān)測(cè)點(diǎn)的壓力.管網(wǎng)簡(jiǎn)圖、監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位置及安裝如圖4 所示.

圖4 西部充填站管道布置及壓力變送器安裝示意圖Fig.4 Schematic of the pipeline system and the installation of pressure transmitter in the West Backfill Plant

3.2 結(jié)果分析與評(píng)價(jià)

以調(diào)整后的料漿配比進(jìn)行工業(yè)實(shí)驗(yàn)，所有流量流速、壓力、濃度等監(jiān)測(cè)信息都傳輸至地表控制終端，根據(jù)監(jiān)測(cè)點(diǎn)的流速等相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型，可以計(jì)算得到各模型的預(yù)測(cè)摩擦阻力系數(shù)，再經(jīng)過式（15）即可轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)的沿程阻力損失；實(shí)際監(jiān)測(cè)中將兩個(gè)不同監(jiān)測(cè)站監(jiān)測(cè)的壓力差除以該兩個(gè)監(jiān)測(cè)站的距離即為實(shí)際監(jiān)測(cè)沿程阻力損失；最終采用的3種模型沿程阻力預(yù)測(cè)結(jié)果與監(jiān)測(cè)點(diǎn)所記錄的實(shí)際阻力損失對(duì)比如圖5 所示.從圖5 中可以得到：

圖5 預(yù)測(cè)的沿程阻力損失與實(shí)測(cè)損失對(duì)比Fig.5 Comparison on pressure loss unit per length between measured and predicted

1）首先對(duì)于實(shí)際監(jiān)測(cè)得到的壓力損失，其波動(dòng)較大，原因除了在2.2.4 所述的配比波動(dòng)、骨料變異性及料漿非均勻性以外，還與實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)和充填采場(chǎng)倍線大小等關(guān)系密切相關(guān)，在工業(yè)中這種波動(dòng)是正常及不可避免的.

2）Swamee-Aggarwal 方法及Darby-Melson 方法預(yù)測(cè)得到的沿程阻力幾乎重合，前者略大于后者，這是因?yàn)檫@兩個(gè)方程的本質(zhì)都是Buckingham-Reiner，只是進(jìn)行顯式求解的不同造成了略微不同.但兩者預(yù)測(cè)到的沿程阻力與實(shí)際監(jiān)測(cè)的沿程阻力基本一致，處于同一水平波動(dòng)，吻合良好；而與實(shí)際監(jiān)測(cè)差異較大的部分點(diǎn)是由于流態(tài)變化造成的.由前文所述速度及雷諾數(shù)波動(dòng)中，已經(jīng)驗(yàn)證有極少時(shí)刻，料漿處于層流紊流過渡區(qū)，此時(shí)沿程阻力將十分不可控，變化較大，而這里的這兩種方法都是適用層流運(yùn)動(dòng)下的阻力計(jì)算，因此造成這些部分預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值差異較大.從工程實(shí)際上看，Swamee-Aggarwal 方法及Darby-Melson 模型能預(yù)測(cè)得到與實(shí)際工業(yè)充填中相吻合的阻力損失.

3）Danish-Kumar 模型預(yù)測(cè)得到的沿程阻力損失與實(shí)際相差較大，其預(yù)測(cè)值遠(yuǎn)小于實(shí)測(cè)值，且對(duì)速度波動(dòng)的反應(yīng)也不明顯，“失真”較嚴(yán)重.在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)中間參數(shù)K2十分微小，達(dá)到10-10，本文認(rèn)為其比較適用赫德數(shù)He 較大的流體（50 000 以上），但考慮篇幅問題并未進(jìn)行深入解釋.

4 結(jié)論

本文通過總結(jié)文獻(xiàn)常用的7 個(gè)非牛頓流體的摩擦阻力系數(shù)計(jì)算模型，按照其適用流態(tài)類型進(jìn)行分類并簡(jiǎn)要介紹討論了具體用法，然后結(jié)合一個(gè)具體案例論述了模型的具體應(yīng)用，得到了以下幾點(diǎn)結(jié)論：

1）高濃度或膏體充填料漿可以看作均質(zhì)或似均質(zhì)的非牛頓體，可以通過選擇正確的模型計(jì)算其在工程實(shí)際管道流動(dòng)中的沿程阻力損失；正確模型的選擇十分重要，必須先考慮工程實(shí)際流體的類型（冪次、賓漢體、H-B 體）、流態(tài)（雷諾數(shù)），才能根據(jù)這些前提選擇準(zhǔn)確的阻力系數(shù)模型.

2）對(duì)于賓漢塑性體的層流運(yùn)動(dòng)，Buckingham-Reiner 方程、Darby-Melson 模型、Swamee-Aggarwal方程和Danish-Kumar 模型是4 種最常用的預(yù)測(cè)模型，其中Buckingham-Reiner 方法是4 次隱式方程，必須通過迭代才能求解，實(shí)際中往往用Darby-Melson 模型和Swamee-Aggarwal 方程進(jìn)行近似替代；通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，Darby-Melson 和Swamee-Aggarwal 方法所預(yù)測(cè)的沿程阻力與實(shí)際監(jiān)測(cè)十分吻合，處于同一平均位置波動(dòng)，是賓漢塑性體層流運(yùn)動(dòng)首選的阻力預(yù)測(cè)模型，而Danish-Kumar 模型則過低估計(jì)阻力值，適合赫德數(shù)較大的流體.

3）實(shí)際中速度、沿程阻力波動(dòng)的原因與料漿配比波動(dòng)、骨料變異性、料漿非均勻性、實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)和充填采場(chǎng)倍線大小等因素密切相關(guān)，是不可避免的；盡管如此，Darby-Melson 和Swamee-Aggarwal 方法也能根據(jù)速度波動(dòng)模擬其阻力的變化，而當(dāng)料漿進(jìn)入層流紊流過渡區(qū)時(shí)則誤差較大，對(duì)于大部分時(shí)刻處于過渡區(qū)或紊流區(qū)的流體必須采用其他模型進(jìn)行預(yù)測(cè).