三模腔-原子閉環(huán)系統(tǒng)中可控的量子干涉和光子傳輸*

戴雨菲 陳垚彤 王嵐 銀愷 張巖?

1) (東北師范大學物理學院， 量子科學中心， 長春 130024)2) (中南大學物理與電子學院， 超微結構與超快過程湖南省重點實驗室， 湖南 410083)(2020 年2 月6日收到; 2020 年3 月29日收到修改稿)

通過構造一個由相互垂直的兩腔和一個二能級原子組成的光學腔-原子系統(tǒng)， 研究可控的量子干涉引起的非傳統(tǒng)光子傳輸現(xiàn)象. 該系統(tǒng)中， 兩個正交腔之間通過光纖直接耦合和通過放在兩腔交叉處的二能級原子間接耦合. 該三模系統(tǒng)支持兩個相互垂直的傳播方向， 即兩探測場相互垂直. 在考慮原子弛豫速率的情況下，該閉環(huán)系統(tǒng)中的光場、腔模與原子躍遷間相互作用所產(chǎn)生的可控量子干涉能導致一些新的對稱或非對稱的光子輸運行為， 如相干完美合成、相干完美透明. 此外， 輸運的群速度也可調節(jié)， 即產(chǎn)生快慢光效應. 這些過程能夠通過調節(jié)探測場間相對相位、兩腔之間的隧穿耦合強度進行動態(tài)調控. 該機制有望用于開發(fā)高效的量子信息處理和全光網(wǎng)絡的功能元器件(如光開關和路由器等).

1 引 言

光學微腔作為研究光與物質相互作用最具優(yōu)勢的平臺之一， 成為經(jīng)典光學和量子光學的重要組成部分[1，2]. 目前已經(jīng)提出了許多包含微腔的光學器件方案， 如光子路由器[3-5]、單光子晶體管[6]、可控放大器[7-9]、完美光子吸收器[10-12]等. 另外， 由于具有高魯棒性的光子被認為是量子信息的理想載體[5，13，14]， 所以在有限幾何條件下實現(xiàn)相干光子控制的微腔成為了量子計算和通信的重要組成部分[15，16]. 特別是基于微腔的光子傳輸和全光開關，引起了人們的極大興趣且具有廣闊的應用前景[17-21].全光開關是一個很有前景的可用于控制各種經(jīng)典和量子光學現(xiàn)象的平臺[22-25]， 也是光學科學和量子信息處理研究的重點之一[15，26-28]. 光子開關可以作為量子電路和量子網(wǎng)絡的核心節(jié)點， 因而是實現(xiàn)量子路由器、量子晶體管的關鍵[29].

近年來， 隨著光機械系統(tǒng)(由一個可移動的腔鏡和固定的腔鏡構成的法布里-珀羅腔)的發(fā)展[30]，人們實現(xiàn)了諧振器的基態(tài)冷卻[31，32]、超低閾值混亂[33]、量子同步[34]和非互惠的光子傳輸[35，36]. 基于量子干涉效應， 通過控制耦合場之間的相對相位以及其他機械驅動和腔體耦合參數(shù)， 可以實現(xiàn)光學系統(tǒng)的非互易性[35，37-39]. 另外， 基于光力學， 通過調節(jié)光力系統(tǒng)中的控制場強度等參數(shù)， 還可以實現(xiàn)快慢光效應和可調諧光放大[30，38]. 近年來， 人們不僅在理論上提出了一些新的光機械系統(tǒng)[40]， 并且在實驗上也得到了驗證[41，42].

然而， 量子信息和量子網(wǎng)絡的發(fā)展需要更多的多功能光量子器件， 包括全光可控的非互易或非對稱的非傳統(tǒng)光子輸運. 為此， 本文提出了一種由兩個具有正交結構的腔組成的光學腔-原子系統(tǒng). 置于兩微腔垂直相交點的二能級原子分別受到兩個腔的作用. 利用光纖將兩個腔連接， 以獲得更多可控的參數(shù). 基于這種結構中的量子干涉， 通過適當選擇兩個腔之間的隧穿強度、輸入場之間的相對相位， 可以產(chǎn)生相干完美吸收和相干完美合成[19]. 由于這種量子干涉的可調性， 這種正交結構的兩個端口中的任意一個都可以檢測到輸出場的可調光開關， 可以通過相干完美吸收、合成和透明之間的轉換來實現(xiàn). 除了光傳播的兩個可切換的垂直方向外， 還可以動態(tài)地控制光的群速度.

2 模型和方程

如圖1(a)所示， 考慮了一個腔-原子閉環(huán)的三模系統(tǒng)， 雙腔的模分別為a和b， 雙腔分別與二能級原子耦合， 二能級原子的基態(tài)(激發(fā))態(tài)為 |g〉 ( |e〉 ).如圖1(b)所示， 將兩個法布里-珀羅微腔相互垂直，將原子放置于十字相交處， 并且考慮兩腔完全相同的理想情況， 即腔本征頻率、衰減率以及腔原子耦合系數(shù)相同[19，43]， 從而構造對稱的系統(tǒng)結構. 類似的結構已用于研究PT-對稱非線性光學[44]. 此外，通過微波電路將腔與原子耦合機制[45，46]， 也可實現(xiàn)兩腔同頻率、同衰減率. 之所以使用垂直結構， 是由于對于光腔中大部分沿軸向運動的光子來說， 兩腔垂直放置可以減少兩腔中光子之間的相互作用，從而避免兩腔在與原子耦合時同時出現(xiàn)額外的不可控相互作用. 而系統(tǒng)在兩個光腔通過外部的光纖進行可控的耦合， 從而實現(xiàn)可控的量子干涉現(xiàn)象.

圖 1 (a)由兩個光學腔模和原子組成的閉環(huán)三模系統(tǒng)圖;(b)正交腔結構的裝置圖Fig. 1. (a) Schematic diagram of an optical system composed of two optical cavities and the atomic ensemble;(b) realistic setup of that optical system with the doublecavity orthogonal structure.

在本系統(tǒng)中通過增加連接兩個微腔的光纖從而引入了強度為 J 的光子隧穿作用. 兩腔的頻率為ω0， 衰減率為 κa( κb)， 兩腔通過玻色子湮滅算符 a ( b )和產(chǎn)生算符 a?( b?)來表示. 中間二能級原子的基態(tài) |g〉 與 激發(fā)態(tài) |e〉 之間的躍遷頻率(自發(fā)衰減率)表示為 ωe( γ ). 頻率為 ωp的弱輸入探測場的振幅為εpa( εpb)， 從腔a(b)的一端腔鏡(作為一個輸入/輸出端)探測到另一端全反射腔鏡.

關于頻率 ωp的旋轉變換下， 這個三模系統(tǒng)的哈 密頓量寫為如下形式:

其中 g0=ga=gb為腔與單個原子之間的耦合系數(shù)，，μeg為 原 子 躍 遷 偶 極 矩，Va，b為腔體積. Δ =ω0-ωp和 δ =ωe-ω0是對應的頻率 失 諧. 兩 腔 的 輸 入 探 測 場 振 幅 為 εpa=εpeiθ，εpb=εp， 其中 θ 為兩探測場的相對相位. 原子躍遷是 由 泡 利 下 降 算 符 σ-=|g〉〈e| 和 上 升 算 符σ+=|e〉〈g| 來描述的. 而 σz=(〈σ+σ-〉-〈σ-σ+〉)為在 |e〉 和 |g〉 之間的布局數(shù)差.

根據(jù)半經(jīng)典的海森伯-朗之萬運動方程， 假設q=〈q〉 ( q =a，b，σ-)， 并且在弱激發(fā)條件和半經(jīng)典近似 σz=-1 下， 穩(wěn)態(tài)解的展開形式可以寫成如下形式[20，47]:

其中 M =2i(Δ+δ)+γ，κa=κb=κ .

根據(jù)輸入-輸出關系[48，49]， 結合上述穩(wěn)態(tài)解， 兩個腔的輸出場可以表示為:

則相應的輸出探測場系數(shù)為:

歸一化輸出場強度 Ia=|ia|2和 Ib=|ib|2可以用來測量兩個腔的穩(wěn)態(tài)光子輸運行為.

3 結果和討論

由于這種閉環(huán)模式系統(tǒng)對輸入探測場之間的相對相位 θ 敏感， 所以本文將研究在不同相位情況下系統(tǒng)輸出的變化與腔間隧穿耦合強度之間的關系， 從而研究不對稱效應. 此前研究中[50]展示了當原子的衰減率趨近為零且兩垂直腔之間不存在光子隧穿時， 系統(tǒng)會呈現(xiàn)較完美的且對稱的相干完美合成等量子干涉現(xiàn)象. 而在本研究中， 考慮了天然原子實際衰減率并不小的情況下， 通過在雙腔之間引入光子隧穿， 從而實現(xiàn)可調諧的量子干涉現(xiàn)象.

首先， 輸入探測場為 εpa=εpeiθ，εpb=εp時，Ia( Ib)是可觀測的. 通過調節(jié)參數(shù)， 可以滿足不同的輸出要求. 圖2顯示的是當兩腔的輸入探測場相對相 位 分 別 為 θ =0，π/2，π，3π/2 且 隧 穿 強 度 為J=0，3κ，6κ 時， 輸出場強 Ia( Ib)隨著不同失諧 Δ變化的情況.

圖2(a)顯示在兩腔輸入探測場之間不存在相對相位， 即 θ =0， 兩個歸一化輸出場強度 Ia和 Ib相同， 無非互惠現(xiàn)象; 可見， 在近共振區(qū)域形成了兩個谷(吸收峰)夾一透射峰. 中間的場強并不高; 同時， 與 J =0 (紅色實線)情況相比，J ／=0 時共振兩側吸收峰未達到0， 即并未形成很好的相干完美吸收. 而隨著隧穿強度 J 增加， 在共振附近的輸出場強逐漸增大， 且透射峰逐漸稍微遠離 Δ =0 ， 整體輸出場強度提高. 這說明由于光子通過光纖在兩腔模之間的隧穿破壞了相干完美吸收而相干透射被提高了. 當 J 增加到足夠大的時候， 即光子隧穿非

圖 2 當 隧 穿 強 度 J =0，3κ，6κ， 歸 一 化 輸 出 場 強 度 Ia ( Ib)隨 輸 入 場 失 諧 Δ /κ 的 變 化 情 況 (a) θ =0 ; (b) θ = (a腔)，θ=(b腔); (c) θ =π ; (d) θ = (b腔)，θ = (a腔). 其他參數(shù)分別為 g 0=2κ，γ =2κ，κ=1Fig. 2. Normalized output field intensities Iavs. normalized input field detuning Δ /κ with tunneling strength J =0，3κ，6κ :(a) θ =0 ; (b) θ =(cavity-a)，θ =(cavity-b); (c) θ =π ; (d) θ =(cavity-b)，θ =(cavity-a). Other parameters are g0=2κ，γ =2κ，κ =1 .

常明顯時，I

a

( I

b

)可以在近共振頻率范圍內增加到接近1， 從而引發(fā)了表現(xiàn)為探測場輸出無任何能量損耗的量子干涉現(xiàn)象——相干完美透明. 這種明顯的吸收抑制現(xiàn)象來自于腔、場和原子模式之間的相消量子干涉. 圖2(c)顯示了當相位 θ =π 時， 在整個頻率范圍內，I

a

和 I

b

始終等于1. 這種對稱透射的量子干涉現(xiàn)象被稱為與頻率無關的相干完美透明， 也可以看作兩個任意頻率的場同時發(fā)生完全反射

[20，40]

. 在引入腔間耦合( J ／=0 )時， 仍能維持互惠的相干完美透明現(xiàn)象.

圖2(b)和圖2(d)顯示了當兩腔的輸入場相對相位 θ =π/2 和 θ =3π/2 時， 兩腔的輸出場不再相同， 因此實現(xiàn)了兩腔的非對稱傳輸行為. 圖2(b)顯示的是在兩輸入場相對相位 θ =π/2 ( θ =3π/2 )條件下， a(b)腔的輸出場強度; 圖2(d)顯示的是在θ=3π/2 ( θ =π/2 )條件下， a(b)腔的歸一化輸出場強度. 首先觀察當輸入場相對相位 θ =π/2 時a腔和b腔的輸出情況， 即圖2(b)和圖2(d). 若忽略原子耗散(或設原子耗散極小)， 在適當區(qū)域可出現(xiàn)探測場單向傳輸[49](單方向無透射)， 且歸一化輸出場強度為200%， 即相干完美合成. 此現(xiàn)象是由系統(tǒng)多模間的相長量子干涉誘導生成的[20，40]. 在本系統(tǒng)中， 由于兩腔的對稱性和考慮原子實際弛豫耗散，Ia和 Ib在 [ 0，2] 范 圍內變化， 且滿足 Ia+Ib≤2 .與忽略原子耗散(或設原子耗散極小)的情況不同，當無腔間耦合( J =0 )時， 在任何頻率區(qū)域歸一化輸出場強度都不會達到2， 即未實現(xiàn)相干完美合成，其光場損耗部分是由原子耗散引起的. 然而， 當引入腔間耦合 J ， 單向傳輸?shù)妮敵鰣鰪姸葧S J 的增長 逐 漸 增 大， 從 而 出 現(xiàn) Ia=2 和 Ib=0 ( Ia=0 和Ib=2 )， 即實現(xiàn)相干完美合成. 其物理原因是， 如圖1(a)所示， 本系統(tǒng)引入腔間耦合構造了閉合環(huán)形結構， 因而兩腔模間、兩腔與原子間會誘發(fā)量子干涉， 所以當取適當參數(shù)時， 在不忽略原子弛豫耗散時仍能實現(xiàn)相干完美合成.

如圖3所示， 取 Δ =4.88κ ， 研究兩歸一化輸出場強度 Ia和 Ib隨兩探測場間相對相位 θ 的變化情況. 可見， 輸出場強顯示出以 θ =2π 為周期發(fā)生變化，并始終滿足 Ia+Ib=2 . 當 θ =nπ/2 ( n =1，3，5，··· )時， 兩個不同方向的輸出場會交替出現(xiàn)相干完美合成， 也就是說會交替出現(xiàn)單向(非互惠)光傳輸. 通過調節(jié)相位， 可以實現(xiàn)不同方向的單向光傳輸、對稱光傳輸?shù)葯C制之間的切換. 因此， 可以通過相位調制來實現(xiàn)系統(tǒng)輸出在對稱和非對稱光傳輸行為之間的開關控制.

圖 3 歸一化輸出場強度 Ia(紅色線)和 Ib(藍色線)隨相對 相 位 θ 變 化 情 況. 其 他 參 數(shù) 為 Δ =4.88κ，J =6κ ，g0=κ，γ =2κ，κ=1Fig. 3. Normalized output field intensities Ia(red-line) and Ib(blue-line) vs. the relative phase θ with Δ =4.88κ .Other parameters are J =6κ，g0=κ，γ =2κ，κ =1 .

該可調諧的閉環(huán)三模系統(tǒng)不僅可以控制光子傳輸?shù)姆较颍?還可以控制探測場的群速度， 如快、慢光效應. 基于此， 我們將關注可調諧的快、慢光和控制快慢光轉換的方法. a(b)腔的輸出場的群延遲定義為

其中 Θa，b=arg[ia，b(ωp)] 為 頻率為 ωp的相應輸出場的輻角相位.

圖4為 輸 入 探 測 場 存 在 εpa=εpb=εp， 即θ=0 時， 來 檢 測 兩 探 測 場 εpa和 εpb的 群 速 度. 在圖4(a)中， 兩腔隧穿強度 J =0 ， 輸出群延遲τa=τb＞0 ， 這意味著在近共振范圍系統(tǒng)完全呈現(xiàn)慢光效應. 隨著 J 的增加， 如圖4(b)所示， 當 J=κ時， 在共振點附近， 群延遲出現(xiàn)低谷 τa=τb＜0 ， 這對應著快光效應. 其中群延遲最小值約為 - 1.0/κ ，出 現(xiàn) 在 Δ ?1.0κ . 如 圖4(c)(圖4(d))顯 示， 當J=2κ ( J =3κ )時 群 延 遲 最 小 值 約 是 -0.22/κ( - 0.06/κ )， 此時的失諧為 Δ ?0.6κ ( Δ ?0.3κ ). 顯然， 當兩個腔之間存在光子隧穿時， 會出現(xiàn)快光.但是， 隨著 J 的增大， 快光效應非單調變化， 出現(xiàn)快光的頻率范圍也會發(fā)生偏移. 圖4(e)顯示了在輸入場失諧固定為 Δ =1.0κ 時， 群延遲與兩腔耦合強度 J 的關系圖像. J 從0增加， 慢光會在J≈0.63κ 變換為快光， 且快光效應在 J ≈1.5κ 最為明顯. 這表明， 對于固定頻率的輸入場， 通過調節(jié)兩 腔間的耦合強度可以實現(xiàn)快、慢光之間的轉換.

圖 4 輸 出 群 延 遲 τaκ ( τbκ )隨 輸 入 場 失 諧 Δ /κ 變 化 情 況， 其 中 隧 穿 強 度 為 (a) J =0， (b) J =κ， (c) J =2κ， (d) J =3κ ;e)輸出群延遲 τaκ ( τbκ )與隧穿強度 J /κ 在 Δ /κ=1 時的關系圖. 其他參數(shù)為 g0=2κ，γ =2κ，κ=1Fig. 4. Normalized output group delay τaκ ( τbκ ) vs. normalized input field detuning Δ /κ with tunneling strength of (a) J =0 ，b) J =κ， (c) J =2κ， (d) J =3κ ; (e) output group delay τaκ ( τbκ ) vs. normalized tunneling strength J /κ for Δ /κ=1 . Other arameters are g0=2κ，γ =2κ，κ =1 .

4 結 論

本文提出了一個正交雙腔結構的閉環(huán)三模系統(tǒng)， 用于研究由可調諧的量子干涉而導致的涉及傳播方向和群速度的非傳統(tǒng)光子傳輸行為. 雙腔通過二能級原子間接耦合， 且通過光子隧穿直接耦合.在這種閉環(huán)模結構下， 兩個腔與原子間的復雜的相干相互作用導致了一些有趣的量子干涉現(xiàn)象， 如相干完美透明和相干完美合成. 這些輸運行為可以通過調節(jié)兩個腔之間的隧穿強度以及兩個輸入探測場之間的相對相位來控制. 基于這些動態(tài)過程， 可以控制兩個相互正交的輸出端口之間的探測場的傳播方向. 具體來講， 相干完美透明對應著探測場完全反射而無損耗; 相干完美合成是指兩個相互垂直的探測場分別從兩個端口輸入， 可以合成從某一端口完全輸出而無損耗. 因此， 這是一個具有可控的對稱或不對稱傳播方向的可調開關方案. 同時，在此研究方案中可以控制探測場的群速度， 通過調整隧穿耦合強度可實現(xiàn)快、慢光的轉換. 該系統(tǒng)所具有的可調諧量子干涉特性， 可為量子信息處理和網(wǎng)絡提供高效的光開關和路由方案.