馬約拉納零能模的非阿貝爾統(tǒng)計及其在拓?fù)淞孔佑嬎愕膽?yīng)用*

何映萍 洪健松 劉雄軍3)4)?

1) (北京大學(xué)物理學(xué)院， 量子材料科學(xué)中心， 北京 100871)2) (量子物質(zhì)科學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100871)3) (北京量子信息科學(xué)研究院， 北京 100193)4) (中國科學(xué)院大學(xué)， 中國科學(xué)院拓?fù)淞孔佑嬎阕吭絼?chuàng)新中心， 北京 100190)(2020 年5 月31日收到; 2020 年6 月3日收到修改稿)

自1937年被預(yù)言以來， 馬約拉納費(fèi)米子在粒子物理領(lǐng)域和暗物質(zhì)領(lǐng)域就廣受關(guān)注. 它們在凝聚態(tài)物理中的“副本”， 馬約拉納零能模(Majorana zero mode， MZM)， 被指出可以通過拓?fù)涑瑢?dǎo)實現(xiàn)， 并由于滿足非阿貝爾統(tǒng)計及可以用來實現(xiàn)容錯的量子計算機(jī)而成為凝聚態(tài)領(lǐng)域最受關(guān)注的研究方向之一. 尤其在近二十年中， 馬約拉納零能模在理論和實驗方面均取得了諸多重要進(jìn)展， 一些綜述文章對此做了較詳細(xì)介紹. 本文將會重點(diǎn)回顧MZM的非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)以及它們在量子計算中的應(yīng)用. 文章的第一部分首先簡單介紹了凝聚態(tài)系統(tǒng)中MZM的理論發(fā)展并概述了在人工異質(zhì)結(jié)體系中尋找MZM的最新理論和實驗進(jìn)展. 然后介紹了MZM非阿貝爾統(tǒng)計的基本概念， 并討論這一性質(zhì)怎樣應(yīng)用到量子計算中. 接下來重點(diǎn)討論了利用MZM平臺實現(xiàn)量子計算機(jī)的兩個關(guān)鍵步驟: MZM非阿貝爾編織操作的實驗實現(xiàn)方案和MZM量子比特的讀取. 在這一部分里， 本文分別詳細(xì)列舉了現(xiàn)有的比較受關(guān)注的實現(xiàn)MZM編織操作和量子比特的讀取實驗裝置. 最后， 文章介紹了在對稱性保護(hù)的拓?fù)涑瑢?dǎo)系統(tǒng)中實現(xiàn)馬約拉納的對稱保護(hù)非阿貝爾統(tǒng)計的可能性.

1 引 言

馬約拉納費(fèi)米子在20世紀(jì)30年代由意大利物理學(xué)家Ettore Majorana[1]在研究滿足電子與正電子對稱形式的Dirac方程解時提出. 當(dāng)將Dirac矩陣用純虛的矩陣表示， 即在Majorana表象下， Dirac方程的解為實數(shù)場， 存在的能量為零的定態(tài)解. 這個定態(tài)解滿足場的共軛為自身. 用場論語言來說， 由這種場描述的粒子在實空間的產(chǎn)生和消失算符等于自身， 即 γ (x)=γ?(x) . 通俗來說，這相當(dāng)于馬約拉納費(fèi)米子的反粒子等于它自身. 在馬約拉納表象下，U (1) 規(guī)范對稱性不再滿足， 因此馬約拉納費(fèi)米子是一種輕子數(shù)不守恒， 電中性、且自旋為 1 /2 的粒子. 這種粒子被預(yù)言以來， 在粒子領(lǐng)域至今未被證實. 高能物理中猜想中微子可能是馬約拉納費(fèi)米子， 但是能支持這一觀點(diǎn)的無中微子雙 β 衰變尚未在實驗室被觀測到[2]. 由于馬約拉納費(fèi)米子對進(jìn)一步理解基本粒子物理有重要意義， 尋找馬約拉納費(fèi)米子作為一種基本粒子的證據(jù)仍是高能物理的重要課題[3-6].

在凝聚態(tài)領(lǐng)域中， 馬約拉納費(fèi)米子在近二十年獲得大量關(guān)注和積極研究[7-12]. 凝聚態(tài)體系中的基本粒子只有電子， 馬約拉納費(fèi)米子只能以類似準(zhǔn)粒子的形式存在. 我們知道， 在電子形成的費(fèi)米液體中， 基態(tài)是電子從能帶底部填充到費(fèi)米面而形成的費(fèi)米海. 在費(fèi)米面以上和費(fèi)米面以下出現(xiàn)的激發(fā)分別是帶負(fù)電的電子型激發(fā)和帶正電的空穴型激發(fā).在凝聚態(tài)物理中電子和空穴可看作彼此的準(zhǔn)反粒子. 因此， 一個導(dǎo)致馬約拉納費(fèi)米子的簡單考慮是讓電子和空穴疊加， 形成新的準(zhǔn)粒子. 顯然這類準(zhǔn)粒子態(tài)可能在超導(dǎo)中存在. 超導(dǎo)中的伯格留波夫準(zhǔn)粒子激發(fā)是電子和空穴的疊加. 當(dāng)電子和空穴等幅值疊加時， 可以得到電中性的準(zhǔn)粒子. 這是超導(dǎo)體中可能出現(xiàn)馬約拉納準(zhǔn)粒子重要原因. 具體而言，在傳統(tǒng)的s波超導(dǎo)體中， 庫珀對是由自旋相反的兩個電子配對形成的， 其配對哈密頓量可描述為

該配對哈密頓量可以等價寫在Nambu空間中，即電子-空穴空間表象中， 從而變成 Hpair=， 其中如上所述， 空穴算符是電子算符的準(zhǔn)反粒子算符 dk，↑=c?-k，↑. 這個簡單形式告訴我們， 超導(dǎo)中形成庫珀對的機(jī)制可等價看作電子和空穴的耦合. 這就使得在s波超導(dǎo)中出現(xiàn)的激發(fā)必然是電子和空穴的疊加態(tài)， 即一般滿足bk=uck，↑+vdk，↓= u ck，↑+vc?-k，↓的形式. 然而這種破壞s波超導(dǎo)中庫珀對的激發(fā)仍是自旋相反的電子和空穴的疊加， 顯然不滿足自共軛條件. 要出現(xiàn)滿足自共軛的準(zhǔn)粒子激發(fā)， 需要消除自旋自由度差異帶來的影響. 因此， 馬上可以想到的是由同種自旋態(tài)的電子形成庫珀對的超導(dǎo)載體， 其對應(yīng)激發(fā)態(tài)必然為自旋相同的電子和空穴的疊加， 從而可能出現(xiàn)馬約拉納費(fèi)米子. 根據(jù)泡利不相容原理， 自旋相同的兩個電子配對的空間波函數(shù)必須是奇宇稱的. 其中p波超導(dǎo)是最簡單的例子， 配對哈密頓量可 滿足如下形式:

其中序參量滿足奇宇稱: Δp(k)=-Δp(-k) . 類似s波超導(dǎo)， 此時準(zhǔn)粒子激發(fā)算符必然滿足 γk=uck+vc?-k形 式. 如 寫 到 實 空 間， 很 容 易 驗 證 γ(x)=u(x)c(x)+v(x)c?(x) . 于是當(dāng) u =v*， 即得到馬約拉納費(fèi)米子.

按照這個思路， 理論進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)， 在一維p波拓?fù)涑瑢?dǎo)體的邊界處和二維 p +ip 拓?fù)涑瑢?dǎo)體的渦旋中心， 存在零能的馬約拉納零能模(Majorana zero mode， MZM)激發(fā)， 滿足自共軛特征. MZM的粒子數(shù)算符滿足 γ?γ=γ2=1 . MZM的自共軛性使得單個的MZM不存在粒子數(shù)空間. 兩個MZM組成一個Dirac復(fù)費(fèi)米子， 對應(yīng) | 0〉，|1〉 兩個量子態(tài)， 因此每個MZM的量子維度是， 對應(yīng)于半個費(fèi)米子. 這個特殊的量子維度使得MZM滿足非阿貝爾統(tǒng)計這一十分奇特的性質(zhì)[7，13-15]. 另一方面， 組成一個復(fù)費(fèi)米子態(tài)的兩個MZM在空間上是可以分離的， 這樣構(gòu)成的復(fù)費(fèi)米子態(tài)有著非局域性. 由于空間單獨(dú)存在的MZM不能被局域擾動影響， 這使得非局域存在的復(fù)費(fèi)米子態(tài)具有拓?fù)浞€(wěn)定特性[7，13-15]. 這兩方面重要特性使得MZM有可能成為實現(xiàn)抗退相干拓?fù)淞孔佑嬎愕闹匾締卧?，因而成為近十年凝聚態(tài)物理中備受矚目的熱點(diǎn)研究課題.

過去三十年里， 遵循量子力學(xué)規(guī)律工作的量子計算機(jī)是物理研究的重要熱點(diǎn). 其中主要挑戰(zhàn)在于量子態(tài)很容易受環(huán)境的干擾產(chǎn)生退相干現(xiàn)象， 使得難以實現(xiàn)大規(guī)模的量子計算機(jī). 上述由MZM組成的非局域拓?fù)淞孔颖忍乜赏鉀Q退相干問題， 拓?fù)淞孔佑嬎阏且虼藙訖C(jī)而被提出. 利用非阿貝爾任意子的統(tǒng)計性質(zhì)， 在受拓?fù)浔Ｗo(hù)的任意子量子系統(tǒng)中， 量子信息能夠以非局域的形式被存儲起來， 這使得量子信息能抵抗局域的環(huán)境噪聲影響， 從而在硬件上解決量子退相干問題. 另外， 量子信息的操控由非阿貝爾任意子的拓?fù)渚幙?braiding)來實現(xiàn). 量子門操作不依賴任意子的交換軌跡， 其精度受拓?fù)湫再|(zhì)保護(hù)[16]. 分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)系統(tǒng)是最早被考慮作為實現(xiàn)拓?fù)淞孔佑嬎闫脚_的非阿貝爾任意子系統(tǒng)[15，17，18]. 進(jìn)一步， 拓?fù)涑瑢?dǎo)系統(tǒng)中的MZM被證明具有非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)后， 成為拓?fù)淞孔佑嬎愕闹匾芯繉ο骩7，13，19]. 近十年多來， 在真實物理系統(tǒng)中實現(xiàn)MZM的理論工作取得突破[20-26]，尋找MZM的實驗取得一系列重要進(jìn)展[27-35]. 把拓?fù)涑瑢?dǎo)作為可拓展的量子計算平臺的裝置也相繼被提出[36-41]. 這些發(fā)展使得MZM正在成為最有潛力實現(xiàn)拓?fù)淞孔佑嬎愕钠脚_[18，42].

2 凝聚態(tài)體系中的MZM

可承載MZM的最簡單的系統(tǒng)是Kitaev[19]在2001年提出一維無自旋的p波超導(dǎo)鏈模型:

其中， 每個格點(diǎn)有一個無自旋的費(fèi)米子態(tài) cx，μ 是化學(xué)勢， 最近鄰躍遷強(qiáng)度為t，Δ 是最近鄰p波超導(dǎo)配對強(qiáng)度，φ 是超導(dǎo)配對相位. 定義馬約拉納算 符 γx，A=i(c?xe-iφ/2-cxeiφ/2)，γx，B=c?xe-iφ/2+cxeiφ/2. 顯然， 馬約拉納算符滿足反對易關(guān)系γx，α=γx，α，{γα，x，γα′，x′}=2δαα′δx，x′， 其 中 α =A ，B . 在這組馬約拉納基矢下改寫哈密頓量為:

這個系統(tǒng)看起來很簡單， 卻有兩個不同的拓?fù)湎?在這里我們以兩組特殊的參數(shù)說明這兩個不同拓?fù)?相 有 完 全 不 同 的 物 理. 在 μ ／=0，Δ =t=0 時，如圖1(a)所示， (4)式只有第一項不為零， 哈密頓量 簡化為

此時每一個格點(diǎn)上的兩個馬約拉納算符通過化學(xué)勢 μ 耦合在一起形成能量不為零的費(fèi)米子激發(fā) cx，系統(tǒng)不存在空間分離的MZM， 也沒有零能的激發(fā)，系統(tǒng)具有唯一的非簡并基態(tài). 在 μ =0，Δ =t 時， 如圖1(b)所示， (4)式中只有第二項不為零， 哈密頓量簡化為

邊界處MZM的存在是由系統(tǒng)體態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)決定的. 對Kitaev鏈取周期邊界條件并對哈密頓量作傅里葉變換， 得到體系在動量空間可以被寫為 (令 Ck=(ck，c?-k) 為Nambu空間基矢算符)

圖 1 Kitaev鏈的兩個拓?fù)湎?(a)和(b) Majorana基矢下的哈密頓量示意圖. 圖(a)中 μ ／=0，Δ=t=0 ， 只有第一項 (1+iγx，Bγx，A) 不為零， 每一個格點(diǎn)上的兩個馬約拉納算符耦合在一起， 不存在空間分離的MZM. 圖(b)中μ=0，Δ=t， 只 有 第 二 項 γx，Bγx+1，A 不 為 零， 相 鄰 格 點(diǎn)的兩個馬約拉納算符耦合在一起， 超導(dǎo)鏈的兩端各自剩下一個MZM. (c) Δ =0 時的色散關(guān)系. (d) Kitaev鏈的拓?fù)湎鄨D. 當(dāng)化學(xué)勢穿過能帶時， 體系處在拓?fù)湎啵?由(d) 中的橙色區(qū)域描述; 反之， 體系處在平庸相， 由(d)中的白色區(qū)域描述Fig. 1. Two topological phases of the Kiteaev chain. (a) Schematic illustration of the Hamiltonian in Majorana basis. In(a) μ ／=0，Δ =t=0， only the first term (1+iγx，Bγx，A)survives thus Majoranas couple at the same site leaving no seperate MZMs left. In (b) μ =0，Δ=t ， only the second term γx，Bγx+1，Asurvives thus Majoranas couple at adjacent sites， leaving one MZM at each end of the chain.(c) Energy dispersion for Δ =0 . (d) Topological phase diagram of Kitaev chain. When the chemical potential crosses the nomal spectrum the system is in topological phase， as described by the orange region in (d); otherwise the system is trivial， as described by the white region in (d).

體系拓?fù)洳蛔兞靠捎梢痪S纏繞數(shù)刻畫[8，43]. 為簡便，可做變換使得 φ =0， 哈密頓量變?yōu)?H(k)=hzτz+hyτy. 一維纏繞數(shù)即為當(dāng)k改變 2π 時向量 h(k)=(hy，hz) 在 y -z 平面內(nèi)纏繞的圈數(shù). 對于Kitaev鏈，拓?fù)鋽?shù)可以進(jìn)一步由高對稱動量點(diǎn)的性質(zhì)給出:N=[sgn(hz(0))-sgn(hz(π))]/2，hz=-μ-tcosk.由此可知拓?fù)浞瞧椒蚕嗟膮^(qū)域滿足 | μ|＜t . 在任何不關(guān)閉能隙的連續(xù)變換下拓?fù)洳蛔兞勘３植蛔儯?要發(fā)生拓?fù)湎嘧儽仨氁P(guān)閉能隙. 對角化哈密頓量H (k) 得到體態(tài)的激發(fā)能譜為

容易得到， 只有在 | μ|=|t| 時， 系統(tǒng)能隙關(guān)閉， 也即發(fā)生拓?fù)湎嘧? Kitaev鏈的拓?fù)湎鄨D由圖1(d)給出. 在 | μ|＜|t| 時， 體系處于拓?fù)湎? 在 | μ|＞|t| 時，體系處于平庸相. 需要注意， 在有限尺寸的非平庸相下， 體系兩端各存在的MZM可以存在有限尺寸耦合， 但耦合的能量隨著距離的增加而指數(shù)衰減Ef∝e-L. 一方面， 可以通過控制兩個MZM的耦合初始化MZM組成的非局域的費(fèi)米子態(tài)f， 另一方面， 當(dāng)使得兩個MZM離得足夠遠(yuǎn)時， 該非局域費(fèi)米子f的激發(fā)能為零， 系統(tǒng)具有二重簡并的基態(tài).下文中會提到， MZM帶來的基態(tài)簡并度和非局域性使其可以成為實現(xiàn)拓?fù)淞孔佑嬎愕钠脚_.

盡管內(nèi)秉的Kitaev超導(dǎo)鏈在真實系統(tǒng)中并未被發(fā)現(xiàn)， 與之等價的一維拓?fù)涑瑢?dǎo)可通過有強(qiáng)自旋軌道耦合效應(yīng)(spin-orbit coupling， SOC)的半導(dǎo)體納米線放在s波超導(dǎo)體上并外加與自旋軌道方向垂直的塞曼場來實現(xiàn). 該條件下納米線中可以誘導(dǎo)出等效的無自旋p波超導(dǎo)[23，24]. 此時體系由以下哈 密頓量描述:

其中 ψ =(ψ↑，ψ↓)T， m是電子的有效質(zhì)量，μ 是化學(xué)勢，λ 是SOC的強(qiáng)度， h是外加塞曼場的強(qiáng)度，由外加磁場強(qiáng)度和材料的朗德因子g決定，Δ 是s波超導(dǎo)體通過近鄰效應(yīng)在納米線中誘導(dǎo)出的超導(dǎo)強(qiáng)度. 如圖2所示， 由于存在SOC， 自旋和動量關(guān)系被鎖定. 再加上塞曼場在 k =0 處打開能隙， 使得當(dāng)費(fèi)米能量處于此能隙中時， 費(fèi)米面上只有一個能帶， 系統(tǒng)的低能物理等效于“無自旋”費(fèi)米子. 此時由超導(dǎo)近鄰效應(yīng)在納米線中誘導(dǎo)的費(fèi)米點(diǎn)附近±k 動量之間s配對， 再寫到自旋本征態(tài)上， 等效成為一維p波超導(dǎo)， 因而此時體系的低能物理由Kitaev模型描述. (9)式的哈密頓量和Kitaev鏈的拓?fù)湫再|(zhì)由同一個拓?fù)洳蛔兞棵枋? 通過對(9)式進(jìn)行能譜分析， 可以得到體系的拓?fù)浞瞧椒蚕鄥^(qū)域為 h2＞Δ2+μ2， 由圖2(c)給出[44-46]. 很快， Delft實驗組[27]在2012年首先報道， 把InSb納米線放在超導(dǎo)體的表面， 在一定外加磁場的條件下初步觀測到了由末端MZM誘導(dǎo)的零偏壓電導(dǎo)峰(Zero-Bias Conductance Peak， ZBCP).類似觀測也被其他實驗組看到[47-50]. 零壓隧穿電導(dǎo)峰是MZM的間接證據(jù)之一. 特別地， 由于MZM的自共軛特性， 在零溫下由MZM誘導(dǎo)的隧穿譜ZBCP應(yīng)該是高度為 2 e2/h 的量子化電導(dǎo)[51-54]， 并在有限溫度下會降低[55]. 此外， Yazdani研究組[28]在有SOC的鉛襯底上生長的鐵原子鏈兩端也測到了ZBCP， 分析可能是MZM存在的跡象. 把圖2(a)中的一維SOC納米線換成二維拓?fù)浣^緣體[56，57]的邊緣態(tài)形成二維拓?fù)浣^緣體邊緣/s波超導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)， 在外加鐵磁體的情況下同樣可以實現(xiàn)等效Kitaev模型[20，58].

圖 2 在一維SOC納米線中實現(xiàn)馬約拉納零模激發(fā)[8] (a)裝置簡圖； (b)一維SOC納米線的色散關(guān)系. 在無外加塞曼場時， 系統(tǒng)具有時間反演對稱性， 體系有偶數(shù)個費(fèi)米面(紅色和藍(lán)色曲線); 在外加塞曼場時， 時間反演對稱性被破壞，k =0 處被打開能隙(黑色曲線). 若化學(xué)勢位于能隙中間， 該體系只有一個費(fèi)米面， 其低能哈密頓量等效為Kitaev鏈. (c)體系的拓?fù)湎鄨D， 其中相邊界由 h2=Δ2+μ2給出， 橙色(白色)表示拓?fù)?平庸)區(qū)Fig. 2. Realizing MZMs in a 1D SOC nanowire[8]. (a) Sketch of the basic setup. (b) Energy dispersion for the 1D SOC nanowire. When Zeeman field is absent， the system is timereversal symmetric(TRS) and possesses even number of Fermi surfaces (red and blue curves); when Zeeman field is introduced， TRS is broken and a gap is opened at k=0(black curves). Given that the chemical potential lies within gap， the system possesses only one Fermi surface， and the low-energy Hamilitonian is equivalent to that of the Kitaev chain. (c) Topological phase diagram of the system with the phase boundary given by h2=Δ2+μ2 . Orange(white) denotes topological (trivial) region.

此外， Pientka等[26]在2017年的工作提出一種新型的平面約瑟夫森結(jié)也產(chǎn)生準(zhǔn)一維的MZM.這種約瑟夫森結(jié)是在強(qiáng)SOC的二維電子氣體系上放置兩個超導(dǎo)體形成約瑟夫森結(jié)， 在結(jié)區(qū)無超導(dǎo)處形成一維的Andreev束縛態(tài)能帶. 在結(jié)區(qū)加上面內(nèi)的磁場， 通過調(diào)節(jié)磁場和兩端超導(dǎo)的相位差可以調(diào)節(jié)結(jié)區(qū)Andreev束縛態(tài)能帶的拓?fù)渑c平庸的拓?fù)湎嘧儯?從而調(diào)控結(jié)區(qū)的垂直方向兩端點(diǎn)的MZM出現(xiàn)和消失. 這個裝置的優(yōu)點(diǎn)一是通過調(diào)控結(jié)兩端的超導(dǎo)相位差， 增大MZM出現(xiàn)的磁場范圍， 降低實驗對磁場強(qiáng)度的要求; 二是裝置中磁場主要加在非超導(dǎo)區(qū)， 不影響會抑制超導(dǎo)序. 根據(jù)這個方案， 兩個實驗組分別在HgTe量子阱中的二維電子氣和高遷移率的InAs電子氣上面覆蓋兩塊超導(dǎo)鋁形成約瑟夫森結(jié)上測到了驗證MZM存在的零偏壓電子峰[33，34]. 基于該裝置提出了MZM編織等其他性質(zhì)[41，59，60].

MZM也可以存在于二維無自旋 px+ipy拓?fù)涑瑢?dǎo)體的渦旋中心[13，61]. 二維無自旋 px+ipy手性拓 撲超導(dǎo)體的哈密頓量可寫為

二維手性拓?fù)涑瑢?dǎo)的拓?fù)溆傻谝魂悢?shù)刻畫 (即二維纏繞數(shù)， 為動量空間往布洛赫球面的映射)[8，43].二維的無自旋內(nèi)秉 px+ipy拓?fù)涑瑢?dǎo)體同樣難以在實際材料中實現(xiàn)， 但可以通過s波超導(dǎo)和二維自旋軌道耦合電子氣做成人工異質(zhì)結(jié)構(gòu)而通過近鄰效應(yīng)等效實現(xiàn). 其中， 將三維拓?fù)浣^緣體的表面和s波超導(dǎo)結(jié)合， 在三維拓?fù)浣^緣體由狄拉克錐描述的表面態(tài)[62]中引入超導(dǎo)序而形成等效的二維px+ipy拓?fù)涑瑢?dǎo)[20，63-66]. 類似地， 將二維半導(dǎo)體量子阱和s波超導(dǎo)形成異質(zhì)結(jié)， 并在外加塞曼場于k=0 處打開能隙解除費(fèi)米雙重性(Fermion doubling)， 使得費(fèi)米面只有一個能帶時， 系統(tǒng)將形成等效的 px+ipy二維拓?fù)涑瑢?dǎo)體[21，22，67，68]. 相對復(fù)雜的異質(zhì)結(jié)對實驗工藝提出了挑戰(zhàn). 2012年， 賈金鋒等[69]把層狀三維拓?fù)浣^緣體 B i2Te3薄膜生長在NbSe2超導(dǎo)體襯底表面上， 第一次實現(xiàn)了超導(dǎo)相和拓?fù)湎嗟墓泊? 在后續(xù)的研究中， 研究人員在體系的渦旋中心觀察到了強(qiáng)度受自旋極化影響的零偏壓峰， 實現(xiàn)了基于自旋探測的MZM觀測[29，70-72].相比于通過異質(zhì)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)二維拓?fù)涑瑢?dǎo)， 更近的理論預(yù)言鐵基超導(dǎo)體的表面態(tài)可出現(xiàn)天然的二維p波拓?fù)涑瑢?dǎo)態(tài)[73，74]. 基于這個預(yù)測， 丁洪實驗組[31，32，75]在2018年取得突破， 他們在 F eTe0.55Se0.45的表面觀察到了超導(dǎo)能隙被打開， 并后續(xù)觀察到了超導(dǎo)渦旋中心的ZBCP. 這一結(jié)果進(jìn)一步被其他實驗組證實[76-79]. 基于鐵基超導(dǎo)實現(xiàn)二維拓?fù)涑瑢?dǎo)有兩個特點(diǎn): 一是不需要生長復(fù)雜的異質(zhì)結(jié)， 這降低了工藝難度并避免生長晶體過程中的雜質(zhì)等由異質(zhì)結(jié)生長帶來的問題; 二是體態(tài)超導(dǎo)直接誘導(dǎo)表面態(tài)打開能隙， 加上鐵基超導(dǎo)的高的轉(zhuǎn)變溫度能誘導(dǎo)出大的拓?fù)涑瑢?dǎo)能隙.

值得一提的是， 在渦旋中實現(xiàn)非阿貝爾MZM并非必須實現(xiàn)二維拓?fù)涑瑢?dǎo). 近期的理論預(yù)言， 除了在拓?fù)涑瑢?dǎo)體的渦旋中， 在體態(tài)平庸的二維超導(dǎo)體中的拓?fù)淙毕葜行囊部赡艹霈F(xiàn)MZM[80，81]. 事實上， 渦旋中的MZM并非由二維陳數(shù)刻畫， 而是由定義在更高的三維空間中(二維實空間加一維渦旋相位參數(shù)空間)的Hopf拓?fù)鋽?shù)[82]或陳-西蒙斯數(shù)決定[81]. 在特定的條件下， 體態(tài)拓?fù)淦接沟亩S超導(dǎo)體中的渦旋中心， 也可存在滿足非阿貝爾統(tǒng)計的MZM[81]. 這項理論結(jié)果表明MZM可能存在于更廣泛的拓?fù)浠蚱椒渤瑢?dǎo)中. 將二維拓展到三維超導(dǎo)半金屬中， 理論預(yù)言了第二陳數(shù)保護(hù)并滿足三維圈非阿貝爾統(tǒng)計的手性MZM[83].

除了渦旋中的MZM， 一維手性馬約拉納邊緣態(tài)存在于二維手性拓?fù)涑瑢?dǎo)的邊界[84-87]， 但實驗觀測存在更大的挑戰(zhàn). 近期報道在基于砷化鎵襯底生長的單層 (Cr0.12Bi0.26Sb0.62)2Te3合金量子反常霍爾絕緣體和超導(dǎo)體 N b 形成的異質(zhì)結(jié)結(jié)構(gòu)中初步測到了由手性馬約拉納邊緣態(tài)產(chǎn)生的半整數(shù)量子化兩端隧穿電導(dǎo)平臺[30]. 在另一基于鈦酸鍶( S rTiO3)襯底生長的三明治結(jié)構(gòu)量子反?；魻柦^緣體和超導(dǎo)異質(zhì)結(jié)構(gòu)中沒有觀測到半整數(shù)量子化電導(dǎo)平臺[88]. 應(yīng)當(dāng)注意， 在量子反?；魻柦^緣體/s波超導(dǎo)的實現(xiàn)中， 二維手性拓?fù)涑瑢?dǎo)只存在于量子反?；魻栂嗟耐?fù)滢D(zhuǎn)變區(qū)域附近. 因為在此區(qū)域附近， 量子反?；魻柌牧象w內(nèi)能帶處于接近能隙關(guān)閉狀態(tài)， 使得費(fèi)米能可能穿過單一費(fèi)米面， 從而通過s波超導(dǎo)近鄰效應(yīng)誘導(dǎo)出二維手性拓?fù)涑瑢?dǎo). 容易判定， 這個轉(zhuǎn)變區(qū)域必須對應(yīng)于材料體內(nèi)磁化能量和材料上下表面耦合能可競爭比較的參數(shù)區(qū)域. 因此， 實現(xiàn)手性馬約拉納邊緣態(tài)需要對量子反?；魻柦^緣材料體內(nèi)磁化強(qiáng)度具有相對平緩操控的能力.并不是基于任意量子反?；魻柌牧隙寄芷毡閷崿F(xiàn)手性馬約拉納邊緣態(tài). 實驗觀測仍需更多進(jìn)步.

到目前為止， 觀測MZM的絕大多數(shù)實驗仍然是通過MZM誘導(dǎo)的隧穿電導(dǎo)的零偏壓峰進(jìn)行[27，33，35，48，89-93]. 另一方面， MZM誘導(dǎo)的 4 π 周期的分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)是另一個重要觀測現(xiàn)象[7]. 在拓?fù)涑瑢?dǎo)體形成的約瑟夫森結(jié)中， 兩個MZM耦合形成Andreev束縛態(tài)， 約瑟夫森電流可以通過單電子隧穿產(chǎn)生. 由于單電子相位只是超導(dǎo)相位的一半， 拓?fù)涑瑢?dǎo)體約瑟夫森結(jié)中的隧穿電流和超導(dǎo)相位形成 4π 的周期特征. 目前還沒有實驗?zāi)軠y到直流分?jǐn)?shù)約瑟夫森電流， 但是已經(jīng)有報道指出在InAs納米線結(jié)構(gòu)中實驗觀測到了交流約瑟夫森效應(yīng)[94-96]. 本文接下來將會重點(diǎn)介紹MZM在拓?fù)淞孔佑嬎愕膽?yīng)用， 包括非阿貝爾統(tǒng)計及其在量子計算中的應(yīng)用， MZM編織操作的實現(xiàn)方案， 以及量子比特的讀取方案等.

3 MZM非阿貝爾統(tǒng)計及其在量子計算的應(yīng)用

3.1 MZM非阿貝爾統(tǒng)計

全同粒子的統(tǒng)計性質(zhì)是量子多體物理的基本性質(zhì). 熟知的量子統(tǒng)計包括費(fèi)米和玻色統(tǒng)計， 分別對應(yīng)在兩個粒子交換后系統(tǒng)波函數(shù)改變或不改變符號. 更一般情形， 對于阿貝爾任意子， 交換前后的波函數(shù)滿足 | Φf〉=eiφ|Φi〉，即相差一般化相位 φ .由于相應(yīng)演化算符由阿貝爾的 U (1) 相 位( eiφ)描述， 這類統(tǒng)計性質(zhì)被稱為阿貝爾統(tǒng)計. 當(dāng)多體系統(tǒng)存在由準(zhǔn)粒子帶來的簡并基態(tài)， 比如兩個分離的MZM導(dǎo)致 |0〉 和 |1〉 的簡并基態(tài)， 準(zhǔn)粒子間的交換操作不僅帶來系統(tǒng)波函數(shù)的相位改變， 且會發(fā)生不同簡并基態(tài)之間的演化. 一般地， 有 |Φf〉=Ufi|Φi〉.這樣準(zhǔn)粒子交換操作由在簡并基態(tài)空間內(nèi)的矩陣Ufi描述. 由于矩陣不可對易， 此類統(tǒng)計性質(zhì)被稱為非阿貝爾統(tǒng)計， 相應(yīng)的全同粒子稱為非阿貝爾任意子[15]. 任意子的空間-時間軌跡可以由“世界線”描述， 如圖3(b)所示. 在任意子的交換的過程中， 它們的“世界線”互相纏繞如同編辮子， 每一種纏繞方式對應(yīng)一種交換， 因此任意子的交換又稱為編織操作. 編織操作必須滿足絕熱條件， 并在單次編織完成后， 系統(tǒng)的哈密頓量回到初始. 從絕熱定理可知，要使絕熱交換粒子前后系統(tǒng)的量子態(tài)發(fā)生變化， 系統(tǒng)必定具有簡并的基態(tài). 絕熱交換兩個任意子， 會導(dǎo)致在這個基態(tài)子空間中的一個幺正變換， 數(shù)學(xué)表示為[97]:

其中 e-?1dtE(t)是動力學(xué)相位; B0(t)| 是貝里相位的推廣， 稱為貝里矩陣. 考慮2N個空間分離足夠遠(yuǎn)的MZM γ1，···，2N， 把MZM組合成N個 狄 拉克費(fèi)米子

圖 3 MZM交換示意圖 (a)含有4個空間分離足夠遠(yuǎn)的MZM γ1，2，3，4的 體 系， 其 中 γ1和 γ2、 γ3和 γ4 分 別 構(gòu) 成兩 個 費(fèi) 米 子. γ2和 γ3順 時 針 交 換 一 次，γ2會 跨 越 γ3 所 在渦旋 的 相 位 割線獲得 一 個 負(fù) 號， 而 γ3并 未 跨越 γ2 所 在 渦旋的相位割線不獲得負(fù)號. 因此結(jié)果是 γ2→-γ3，γ3→γ2 . (b)描述4個MZM的時間-空間(x; t)軌跡的世界線. γ2和 γ3 被 編織 一 次， 因 此 它 們的 世 界 線 纏 繞 一 次.系統(tǒng)由初態(tài) | Φi〉=|00〉 演化到 | Φf〉=|00〉+ i|11〉Fig. 3. Skecth of a MZM braiding operation. (a) A system consists of 4 MZMs far enough apart， with γ1and γ2，γ3 and γ4forming 2 fermions f1and f2. γ2and γ3are braided once clockwise. γ2 crosses the branch cut of the votex hosting γ3 and gains a minus sign， while γ3 doesn't cross the branch cut of the votex hosting γ2 and doesn't gain a minus sign. Hence the result is given by γ2 →—γ3， γ3 → γ2. (b) Worldlines in a space-time (x; t) diagram，describing four MZMs. γ2and γ3are braided once， hence their worldlines winds each other once. The initial state|Φi〉=|00〉 evolves into | Φf〉=|00〉+i|11〉 .

其中每個費(fèi)米子 fj的能量為零 ?j=0 . 因此這N個費(fèi) 米 子 構(gòu) 成 2N重 簡 并 的 基 態(tài) 空 間 |Φi〉=|n1，···，nN〉， 其 中 nj=0，1 是 占 據(jù) 數(shù) n ?j=fj?fj的本征值. 由于超導(dǎo)滿足費(fèi)米宇稱(Fermion parity)守恒， 編織操作只能使得量子態(tài)在 2N-1-維度的簡并空間演化. 由MZM導(dǎo)致系統(tǒng)的基態(tài)簡并， 這滿足非阿貝爾統(tǒng)計的必要條件.

MZM的非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)最早在二維系統(tǒng)中被提出來. Read和Green[13]在研究 5 /2 -分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的Moore-Read Pfaffian態(tài)時發(fā)現(xiàn)它們adf與二維 p +ip 超導(dǎo)系統(tǒng)有著對應(yīng)關(guān)系， 前者中的非阿貝爾統(tǒng)計在二維 p +ip 超導(dǎo)的渦旋中心的零能激發(fā)將同樣成立， 這一點(diǎn)由Ivanov[14]給出直接證明. 此外， Teo和Fu[98-100]提出三維系統(tǒng)中滿足特定條件的拓?fù)淙毕菪纬傻腗ZM激發(fā)也可以滿足非阿貝爾統(tǒng)計. 2011年， Alicea等[101]通過構(gòu)造一維網(wǎng)絡(luò)證明了準(zhǔn)一維拓?fù)涑瑢?dǎo)系統(tǒng)中的MZM同樣滿足非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)， 這個工作開啟了以一維MZM系統(tǒng)作為實現(xiàn)主要拓?fù)淞孔佑嬎阊芯科脚_的廣泛研究.

為方便描述， 我們以二維 p +ip 拓?fù)涑瑢?dǎo)中的MZM介紹非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì). 如圖3(a)， 考慮二維拓?fù)涑瑢?dǎo)中的4個相互離得足夠遠(yuǎn)的渦旋， 每一個渦旋中心有一個MZM， 其中 γ1和 γ2按(12)式規(guī)則構(gòu)成費(fèi)米子 f1，γ3和 γ4構(gòu)成 f2. 超導(dǎo)相位沿著每個渦旋繞一周變化 2π . 一種方便的選擇是讓超導(dǎo)相位為關(guān)于割線的階躍函數(shù)， 在割線以外的區(qū)域， 超導(dǎo)相位恒定， 越過割線時， 超導(dǎo)相位躍變 2π .這條割線可以是任意一條從渦旋中心延伸到無窮遠(yuǎn)處的線(或延伸到一個反渦旋的中心). 由于超導(dǎo)序參量是2個電子的乘積， 而MZM 是電子空穴的線性疊加， 所以MZM 的相位是超導(dǎo)相位 φ 的一半， 即 γ ∝(feiφ/2+ f?e-iφ/2)[14]. 現(xiàn) 在 讓 γ2和 γ3所在的渦旋順時針交換一次， 如圖3(a)所示，γ2所在渦旋會跨越 γ3所在渦旋的相位割線， 超導(dǎo)相位改變2π， 則 γ2相應(yīng)獲得 π 相位， 即變負(fù)號， 而 γ3并未跨越 γ2所在渦旋的相位割線不獲得負(fù)號. 因此 γ2和γ3順時針交換一次結(jié)果是

系統(tǒng)態(tài)在編織過程的演化用世界線的語言來描述，如圖3(b). 編織導(dǎo)致不同簡并態(tài)之間的轉(zhuǎn)化， 表明編織操作屬于矩陣操作， 因而對應(yīng)為非阿貝爾編織. 需要注意的是， 編織結(jié)果與MZM具體走過的路徑無關(guān)， 只由路徑的拓?fù)湫再|(zhì)決定， 是受拓?fù)浔Ｗo(hù)的. 如果初始態(tài)是， 則編織后的結(jié)果為. 注意這里得到的是單次編織操作的結(jié)果. 一次完整的編織包含兩次上述的單次編織， 其結(jié)果導(dǎo)致和復(fù)費(fèi)米子空間的變化為.類似地可以得出， 順時針交換 γ1和 γ2操作算符為. 容易知道， 編織操作 B12不改變 f1和 f2的宇稱， 因而粒子數(shù)態(tài)表象中為對角化 矩 陣， 并 可 得 到 B12|00〉=|00〉 和 B12|11〉=-i|11〉 . 因此， 在偶費(fèi)米宇稱子空間 (|00〉，|11〉) 中編織操作 B23和 B12可以寫成如下矩陣:

為方便， 矩陣 B12乘了一個整體相位因子. 這不改變非阿貝爾統(tǒng)計物理. 顯然， 貝里矩陣滿足

這重復(fù)驗證了MZM之間的編織操作滿足非阿貝爾特征. 事實上， 2N個MZM的編織操作在基態(tài)子空間的貝里矩陣對應(yīng)著編織群 B2N的一個投影表示[14]. 通過編織實現(xiàn)對量子態(tài)的操控， 可用于量子計算.

需要注意， 關(guān)于MZM的非阿貝爾統(tǒng)計常存在誤解. MZM的非阿貝爾統(tǒng)計核心在于: 我們在復(fù)費(fèi)米子態(tài)空間看MZM的交換性質(zhì). 事實上， 不同MZM的算符滿足費(fèi)米子對易關(guān)系 {γi，γj}=0( i ／=j ). 但是， 單個MZM沒有完好定義的復(fù)費(fèi)米子態(tài)空間， 而有量子維度. 必須由MZM兩兩組合出復(fù)費(fèi)米子態(tài)空間. 這導(dǎo)致即使不同MZM算符滿足費(fèi)米子反對易關(guān)系， 在復(fù)費(fèi)米子態(tài)空間來看， 其編織相當(dāng)于對非局域的量子態(tài)進(jìn)行“分?jǐn)?shù)化”操控， 從而導(dǎo)致量子態(tài)在簡并空間的演化. 由此可知， MZM的非阿貝爾統(tǒng)計是其在復(fù)費(fèi)米子態(tài)空間的特殊量子維度所致. 這導(dǎo)致我們在復(fù)費(fèi)米子態(tài)空間看MZM的編織出現(xiàn)非阿貝爾特征. 由此得知，零能量并非非阿貝爾統(tǒng)計的本質(zhì)因素， 即使非零能(但簡并的)馬約拉納費(fèi)米子， 只要能夠以某種方式實現(xiàn)編織， 也必然滿足非阿貝爾統(tǒng)計行為. 但是MZM在實現(xiàn)單個MZM之間的編織上， 顯然要自然和方便， 并受拓?fù)淠芟兜谋Ｗo(hù).

3.2 量子計算基礎(chǔ)

1982年， 物理學(xué)家費(fèi)曼[102]提出了按照量子力學(xué)規(guī)律工作的計算機(jī)的概念， 這是最早的量子計算機(jī)的思想. 在講量子計算機(jī)以前， 首先回答: 什么是計算機(jī)? 計算機(jī)是一種處理信息的工具， 所有的計算系統(tǒng)都要有兩大基本功能: 信息的存儲和操控. 經(jīng)典二進(jìn)制計算機(jī)是把信息存儲在二進(jìn)制數(shù)組里， 通過對輸入二進(jìn)制數(shù)組實現(xiàn)特定的布爾運(yùn)算得到新的二進(jìn)制數(shù)組， 從而實現(xiàn)對信息的操控. 而量子計算機(jī)則是把信息存儲在量子態(tài)里， 通過對量子態(tài)在特定條件下按照量子力學(xué)演化得到新的量子態(tài)， 從而實現(xiàn)對量子信息的操控. 顯然， 量子物理具有很多經(jīng)典物理所不具有的特點(diǎn)， 如量子態(tài)的疊加原理， 量子糾纏和量子相干性等性質(zhì). 通過充分利用這些奇特的量子特性制造出的量子計算機(jī)將有可能在一些問題的計算上比經(jīng)典計算機(jī)有很大的優(yōu)勢. 目前已被證明的大大優(yōu)于經(jīng)典計算機(jī)的量子算法主要有三大類[16]: 用于做指數(shù)分解的Shor算法[103]， Grover的搜索算法[104]， 和模擬真實的物理系統(tǒng)[102，105].

經(jīng)典計算的最小信息單位是比特， 每個比特可以是0或1兩個狀態(tài). 量子計算的最小信息單位則包含兩個量子態(tài)， 記為 | 0〉，|1〉 ， 稱為量子比特. 和經(jīng)典比特不同的是， 量子態(tài)是概率性的、滿足疊加原理的， 也就是說， 每一個比特 | ψ〉 都可以是 |0〉 和 |1〉的疊加態(tài)， 即

因此一個寄存器能同時存儲 2N個信息狀態(tài). 從一個包含N個量子比特的量子態(tài)函數(shù)出發(fā)， 做一次計算實際上可相當(dāng)于做了 2N次計算， 這被稱為量子并行計算[106，107]. 量子并行計算是人們認(rèn)為量子計算有可能大大超越經(jīng)典計算的主要原因之一. 除了態(tài)的疊加原理外， 量子力學(xué)中的量子態(tài)糾纏和干涉都是量子算法區(qū)別于經(jīng)典算法的重要性質(zhì).

經(jīng)典計算實現(xiàn)信息操控的是邏輯門[107]， 每一個經(jīng)典邏輯門對應(yīng)實現(xiàn)一個布爾函數(shù)

每一個經(jīng)典門由一個 2m×2n的真值表描述. 而量子計算的操控是實現(xiàn)量子門， 每一個量子門由一個2N×2N的幺正矩陣描述， 每一個量子門對應(yīng)一個演化算符，

與經(jīng)典量子門對應(yīng)的量子門是指按照經(jīng)典門的真值表實現(xiàn)量子態(tài)矢量轉(zhuǎn)化的量子門. 比如， 經(jīng)典的非門是一個單比特門， 由一個2 × 2的真值表表示: 0→1，1→0， 對應(yīng)的量子門使得 |0〉→|1〉，|1〉→， 矩陣形式為

實現(xiàn)通用的量子計算要求， 對于一個N比特的存儲器， 必須要實現(xiàn)2N維希爾伯特空間的任意幺正變換 U (2N) . 正如在經(jīng)典計算中實現(xiàn)通用計算只需實現(xiàn)一個完備的邏輯門集， 其他的邏輯門都可以由這個基本的邏輯門集里的門組合給出， 實現(xiàn)通用量子計算同樣只需要實現(xiàn)一個通用量子門集， 其他的量子門都可以由這個集合里的量子門通過有限次組合得到. 下一節(jié)討論基于MZM的拓?fù)淞孔佑嬎阒袑⒔o出具體形式.

DiVincenzo[108]在2000年總結(jié)出了實現(xiàn)量子計算的物理系統(tǒng)必須滿足的五大要求: 1) 具有良好特征的量子寄存器的可擴(kuò)展物理系統(tǒng); 2) 在簡單的基準(zhǔn)狀態(tài)下初始化量子寄存器的能力; 3) 足夠長的相關(guān)的相干時間， 遠(yuǎn)長于門控操作時間;4) 可以實現(xiàn)一組“通用”的量子門; 5) 具有系統(tǒng)的測量能力. 然而， 量子系統(tǒng)都是“脆弱”的， 易于受環(huán)境干擾而且精確操控難度極高， 所以可擴(kuò)展的量子計算機(jī)的研究碰到了很大的障礙. 目前而言， 對量子計算機(jī)的探求中遇到的兩個最大的“絆腳石”是: 環(huán)境噪聲導(dǎo)致的量子退相干問題和量子操作精度有限導(dǎo)致的量子門誤差. 這兩個困難使DiVincenzo給出的五大要求中的第三和第四個要求不能滿足.拓?fù)淞孔佑嬎阏菫榱藦母旧辖鉀Q這兩個問題而提出. 在受拓?fù)浔Ｗo(hù)的非阿貝爾任意子量子系統(tǒng)中以非局域的形式存儲量子信息， 并通過任意子的拓?fù)浣粨Q來實現(xiàn)量子信息的操控， 從硬件上可以實現(xiàn)抗退相干效應(yīng)的量子計算[16]. 為此， 拓?fù)涑瑢?dǎo)中的MZM系統(tǒng)是近十年來被研究最多的可用來作為拓?fù)淞孔佑嬎闫脚_的非阿貝爾任意子量子系統(tǒng).

3.3 基于MZM實現(xiàn)量子計算

由于量子計算的優(yōu)越性， 量子計算機(jī)被廣泛研究， 但是由于量子態(tài)非常易于受環(huán)境干擾產(chǎn)生退相干效應(yīng)和量子操作精度有限導(dǎo)致的量子門誤差， 人們至今仍沒有實現(xiàn)通用量子計算機(jī). 而MZM形成的Dirac復(fù)費(fèi)米子態(tài)具有非局域特性. 這使得由MZM組成的量子態(tài)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)， 不會被局域擾動所改變; 另一方面， MZM的非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)又保證了通過交換MZM的位置可以在保持量子態(tài)非局域性的前提下高精度地實現(xiàn)量子態(tài)操控， 這些性質(zhì)使得MZM成為實現(xiàn)量子計算的重要物理平臺[109].

前文中提到， 含有 2 N+2 個MZM的系統(tǒng)具有 2N+1重簡并的基態(tài)， 但如前所述， 由于超導(dǎo)系統(tǒng)中的費(fèi)米子宇稱守恒(即費(fèi)米子奇偶數(shù)守恒)， 這一系統(tǒng)實際上只能形成N個獨(dú)立的量子比特. 圖4中我們以密集編碼方式的2比特的量子計算為例，說明用MZM怎樣實現(xiàn)信息的存儲和操控[110].2比 特 系 統(tǒng) 由6個MZM構(gòu) 成 γ1，2，3，4，5，6， 按 照構(gòu)成3 個費(fèi)米子， 對應(yīng)的占據(jù)數(shù)可以標(biāo)記基態(tài) | n1n2n3〉 . 現(xiàn)選奇數(shù)基態(tài)子空間作為計 算空間， 選取我們的計算基矢為

圖 4 通過MZM編織操作實現(xiàn)量子門[110] (a)-(d) 分別為實現(xiàn)單比特量子門H-門、Z-門、雙比特門CNOT門和雙比特門CZ門的編織操作示意圖Fig. 4. Quantum gates realized by MZM braiding operations[110]. (a)-(d) The elementary braids corresponding to the single-qubit gates H-， Z-gates on the first qubit as well as the 2-qubit CNOT and CZ gates.

類似可以給出其他兩個MZM之間的編織算符. 通過組合不同的編織操作可以實現(xiàn)不同功能的量子門. 其中常見的一些量子門的實現(xiàn)可以由圖4中的“世界線”給出.

理論證明， 三個單比特量子門， 即H-門， Z-門和T-門， 加上一個糾纏的雙比特門， 如CNOT-門，可以組成完備的通用量子門集[42，111，112]. 基于這4個基本的量子門， 其他的量子門都可以由這4個門的有限次組合近似得到， 進(jìn)而實現(xiàn)通用量子計算. 這幾個量子門表示如下

其中， H-門， Z-門和CNOT-門都可以在圖4 中的世界線給出. 然而， T-門并不能由受拓?fù)浔Ｗo(hù)MZM的編織組合給出. 因此， 單純通過MZM的非阿貝爾編織還不能實現(xiàn)通用量子計算. 一種補(bǔ)充方案是通過非拓?fù)浔Ｗo(hù)的方式實現(xiàn)T-門 ， 從而結(jié)合拓?fù)浜头峭負(fù)涞氖侄蜗嘟Y(jié)合來實現(xiàn)通用量子計算[113-117].

4 MZM編織操作的物理實現(xiàn)

4.1 一維T-型結(jié)

在嚴(yán)格的一維體系中， MZM不可能繞開彼此完成編織過程. 因此， Alicea等[101]提出用T型幾何結(jié)構(gòu)(圖5)的拓?fù)涑瑢?dǎo)體 (T-junction) 實現(xiàn)MZM的編織. 通過調(diào)節(jié)門(gate)電壓移動拓?fù)湎嗪推接瓜嘀g的疇壁， MZM可以在T-型結(jié)上移動， 借助豎直部分避免了MZM在編織過程中相遇. 利用 f =(γ1+iγ2)/2 定義簡并的多粒子基態(tài)波函數(shù)

原則上可以通過計算貝里相位

驗證編織結(jié)果的非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì). 詳細(xì)計算可以證明兩個態(tài)之間的貝里相位差為 π /2 . 具體可參考文獻(xiàn)[101]. 此處通過如下直觀定性分析快速得到編織結(jié)果.

從圖5的編織過程可以看到， 基于T-型結(jié)實現(xiàn)的一次編織實際上相當(dāng)于 γ1和 γ2相對于結(jié)點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)圈. 與二維系統(tǒng)不同， 一維鏈中MZM并不伴隨渦旋， 因此沒有渦旋割線描述. 但是在T-型結(jié)的結(jié)點(diǎn)處， 由三端結(jié)點(diǎn)往納米線的三個方向(左、右、下)， 以及虛擬的往上方向， 超導(dǎo)配對參數(shù) Δp必須存在等效的相位渦旋特征， 方式如下. 考慮橫向納米線中為px-波超導(dǎo)， 則從結(jié)點(diǎn)往右(圖5(a)箭頭方向)和往左方向配對參量分別正負(fù)符號(奇宇稱px-波配對往左往右反號)， 因此對應(yīng)為 0 和 π相位. 另一方面， 豎直方向的納米線中， 超導(dǎo)配對參數(shù)必須有ipy成分， 即必須和橫向納米線中配對參數(shù)有相位差. 否則， 如果豎直方向配對參數(shù)完全為實函數(shù)， 比如為py-波超導(dǎo)， 則這段納米線和橫向的左端， 或者右端部分必將形成 π -約瑟夫森結(jié)， 從而在編織過程中在結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)額外的MZM， 導(dǎo)致破壞編織. 因此， 最簡單且滿足條件的構(gòu)型是在豎直方向納米線中(朝上方向， 即圖5(b)豎直箭頭方向)形成ipy配對. 這樣一來， 從結(jié)點(diǎn)往上和往下豎直方向的配對相位分別為 π /2 和 3 π/2 . 由此， 繞結(jié)點(diǎn)逆時針一圈等效改變 2π 相位. 于是可以假想從結(jié)點(diǎn)出引出一割線. MZM在編織中則會跨過割線，獲得 π 相位， 從而得到二維中渦旋編織一樣的結(jié)果.其中圖5 描述的單次編織后， MZM的變換滿足γ1→γ2，γ2→-γ1， 對應(yīng)非阿貝爾統(tǒng)計.

圖 5 T-型結(jié)進(jìn)行編織操作以及鍵盤門的操作方式[101]. T-型結(jié)由兩條水平鏈和一條豎直鏈組成， 深藍(lán)色部分為拓?fù)湎啵?淺藍(lán)色部分為平凡相， 超導(dǎo)體上向上和向右的箭頭分別代表 φ =π/2 和 φ =0， 用向左和向下的箭頭代表 φ=π和 φ =3π/2 . T-型結(jié)外的箭頭代表MZM運(yùn)動的方向. 黑色和灰色方塊分別代表局域門的關(guān)閉和打開狀態(tài)， 對應(yīng)平凡相和拓?fù)湎? (a)—(d) 給出 γ1 先運(yùn)動到豎直鏈上， 然后γ2從水平鏈右端運(yùn)動到左端， 最后 γ1 運(yùn)動到右端的過程，過程結(jié)束后箭頭反向. (e) 中局域門的存在可以保證在不關(guān)閉能隙的前提下逐漸移動MZMFig. 5. A T-junction allows for braiding process and the keyboard gates[101]. The T-junction consists of two horizontal segments and one vertical segment. Dark blue segments are in topological phase， and light blue lines trivial phase.φ=0 or π /2 is represented with rightward or upward pointing arrows， while φ =π or 3 π/2 represents the leftward or downward pointing arrows. MZMs are transported according to the arrows around the T-junction. Black and gray blocks denote different states of tunable gates in accordance with trivial and topological phases. (a)—(d) sketch the process which γ1is transported to vertical line firstly，then γ2travels from the right end to the left end and at lasTγ1is transported to the right end. After this process，the arrow points to the opposite direction. Local gates in(e) ensure that the MZMs can be manipulated gradually without closing the gap.

另一種等價描述方式即將T-型結(jié)看作三段Kitaev鏈并如下選擇參數(shù). 如圖5所示， 用向上和向右的箭頭分別代表 φ =π/2 和 φ =0 的部分， 用向左和向下的箭頭代表 φ =π 和 φ =2π/2 的部分. 在編織過程中， 為了保證結(jié)點(diǎn)處只有一個零模， 拓?fù)浞瞧椒矃^(qū)域箭頭的指向必須保持一致， 并且在結(jié)點(diǎn)處， 箭頭指向必須一進(jìn)一出. 這樣在編織前后， 橫向整條鏈的箭頭必將反向. 此時對橫向鏈所有的費(fèi)米子算符做規(guī)范變換

可將編織后的哈密頓量變回到編織前的形式， 由于f?=(γ1-iγ2)/2， 該規(guī)范變換等價于 γ1→γ2，γ2→-γ1， 同 樣 得 到 非 阿 貝 爾 統(tǒng) 計. 很 容 易 將 兩 個MZM的情形拓展到四個以及更多MZM的情況.基于T-型結(jié)原則上可以進(jìn)一步構(gòu)造納米線網(wǎng)絡(luò)，實現(xiàn)MZM的編織和拓?fù)淞孔佑嬎?

實現(xiàn)MZM在一維拓?fù)涑瑢?dǎo)體上的運(yùn)動可采用如圖5(e)所示的鍵盤門(keyboard gate)的方式，即局域地調(diào)節(jié)納米線的化學(xué)勢使得拓?fù)湎嗪推接瓜嘀g的疇壁逐漸移動. 但是該方案在實驗上難以操作而且不能保證體系絕熱演化[118，119]， 后續(xù)基于T-型結(jié)以及改進(jìn)的編織方案更多考慮利用調(diào)節(jié)MZM之間的相互作用， 如隧穿效應(yīng)或庫侖相互作用， 實現(xiàn)MZM位置的交換[36，37，120-124].

4.2 基于測量的編織

通過T-型結(jié)或類似裝置實現(xiàn)MZM編織的最大困難在于保證移動MZM過程中的絕熱條件. 尤其在T型結(jié)點(diǎn)處， 實際構(gòu)型復(fù)雜， 容易出現(xiàn)非MZM的低能模式. 在調(diào)節(jié)MZM通過結(jié)點(diǎn)時，MZM和其他復(fù)雜模式的耦合容易破壞絕熱條件的成立， 從而影響MZM的編織操作. 避免這類困難的一種解決方案是基于測量實現(xiàn)MZM的編織.這類方案的主要好處是不需要真實通過結(jié)點(diǎn)移動MZM， 而是通過對MZM做一定順序的測量，導(dǎo)致對MZM的teleportation從而實現(xiàn)編織. 但另一方面， 這種方法需要使用輔助MZM(ancilla Majorana). 這會帶來對測量的一系列額外要求.基于測量的拓?fù)淞孔佑嬎阋话憷碚搮⒁娢墨I(xiàn)[125].具體方案實現(xiàn)介紹如下.

首先考慮兩個MZM情形， 即對 γ1和 γ2進(jìn)行編織. 為此， 需要引入兩個輔助MZM， 計為 χ1和χ2. 注意到引入兩個輔助MZM會將需要操作的量子態(tài)空間增大一倍， 因此編織過程必須保證在固定的子空間進(jìn)行. 編織過程分為如下步驟. 第一步，測 量 兩 個 輔 助MZM χ1和 χ2， 并 設(shè) 想 測 量 值 為iχ1χ2=+1 . 則下面的測量中， 為確保編織過程系統(tǒng)在固定的子希爾伯特空間進(jìn)行， 每次測量均選擇相同的測量值. 第二步， 測量 γ1和 χ1， 選擇測量值iγ1χ1=+1 . 第 三 步， 測 量 i γ2和 χ1， 同 樣 選 擇iγ2χ1=+1 測量值. 第四步， 再次測量 χ1和 χ2并選擇測量值 i χ1χ2=+1 . 完成這些步驟， 即實現(xiàn)了MZM γ1和 γ2的一次編織操作. 這些操作過程沒有移動MZM， 但測量操作會產(chǎn)生量子態(tài)隱形傳輸.在第二步結(jié)束(完成測量 γ1和 χ1)后， 把初始 γ1和γ2的拓?fù)淞孔颖忍剞D(zhuǎn)移到 γ2和 χ2. 第三步操作則導(dǎo)致進(jìn)一步轉(zhuǎn)移到 χ2和 γ1. 第四步轉(zhuǎn)移回 γ1和 γ2的拓?fù)淞孔颖忍兀?完成編織. 如果把這個過程和圖4中的T-型結(jié)對比， 其第二步相當(dāng)于把左邊的γ1移動到垂直納米線上， 第三步把右邊的 γ2移動到左端， 第四步把 γ1從垂直納米線移到右端.

上述兩個MZM編織的方案很容易應(yīng)用到四個MZM γ1，2，3，4的編織中. 這時同樣需要兩個輔助MZM χ1，2. 通過和上面相同的操作過程， 對 γ2，3和χ1，2進(jìn) 行 四 步 測 量， 從 而 完 成 對 γ2，3的 編 織.MZM的測量通過調(diào)節(jié)MZM之間耦合強(qiáng)度實現(xiàn)[126].基于測量編織方案進(jìn)一步構(gòu)造量子線路在近期也有相應(yīng)研究[39].

可以看到， 基于測量的編織方案具有不必移動MZM的優(yōu)勢， 但同時必須引入輔助MZM. 這導(dǎo)致拓?fù)淞孔討B(tài)希爾伯特空間增大. 因此要保證準(zhǔn)確編織， 必須對測量值做選擇， 確保在固定的子空間進(jìn)行. 這帶來兩類潛在挑戰(zhàn). 首先， 量子態(tài)可出現(xiàn)向期望的子空間以外的態(tài)演化， 造成信息損失(information leakage); 另外， 測量中總可能出現(xiàn)不是待選擇值的其他結(jié)果， 比如在第二步中測量得到iγ1χ1=-1 . 這時需要重復(fù)第一步使系統(tǒng)回到初態(tài)，對應(yīng) i χ1χ2=+1 ， 然后再重做第二步測量， 檢測是否得到期望結(jié)果 i γ1χ1=+1 . 如仍為非待選擇值，則再次重復(fù)前兩步直到得到期望結(jié)果， 然后做進(jìn)一步測量. 顯然這樣完成一次編織， 實際可能需要進(jìn)行 大量的測量， 從而帶來更多的復(fù)雜性.

4.3 基于自旋操作實現(xiàn)編織

以上介紹的兩類MZM編織操作分別要求移動MZM位置和操控不同MZM間的耦合來實現(xiàn).前者要求使MZM跨過T型結(jié)點(diǎn)， 后者要求引入額外MZM、擴(kuò)大簡并空間而導(dǎo)致操作的復(fù)雜性.因此這些在實驗工藝上均存在大的難度， 使得MZM編織的實驗實現(xiàn)仍是巨大挑戰(zhàn). 而拓?fù)淞孔佑嬎憷碚撝赋觯?對于有內(nèi)稟空間的任意子， 描述它們演化的世界線應(yīng)被擴(kuò)展為“世界帶”. 在世界帶的語言中， 交換兩個任意子的位置一次在拓?fù)渖系葍r于兩個任意子的世界帶各自扭轉(zhuǎn)半圈[127]. 根據(jù)這個思想， 最近提出， 通過轉(zhuǎn)動MZM自旋自由度來扭轉(zhuǎn)MZM世界帶可以實現(xiàn)MZM的等效編織， 從而實現(xiàn)既不移動MZM位置也不引入額外輔助MZM以及它們的耦合的編織方案[128]. 該方案應(yīng)用到實驗上常見的超導(dǎo)/二維拓?fù)浣^緣體/鐵磁絕緣體(superconductor/2D topological insulator/ferromagnetic insulator， SC/2 DTI/FI)的異質(zhì)結(jié)系統(tǒng)中， 提出了一個可以操控MZM自旋進(jìn)而實現(xiàn)MZM編織的實驗裝置.

如圖6(b)所示， SC區(qū)形成一維拓?fù)涑瑢?dǎo)，F(xiàn)I區(qū)為平庸絕緣體， 兩區(qū)的交界出現(xiàn)孤立的MZM， 此時MZM的自旋方向可由平庸區(qū)的鐵磁體的磁化方向操控. 在這個實驗裝置中， 編織兩個由鐵磁區(qū)連接的MZM一次(單次編織操作)需要絕熱地轉(zhuǎn)動相應(yīng)鐵磁體的鐵磁方向半圈， 即轉(zhuǎn)過 π角， 編織兩個MZM兩次(一個完整的編織操作)需要絕熱地轉(zhuǎn)動鐵磁體的鐵磁方向一整圈， 即轉(zhuǎn)過 2π 角. 編織結(jié)果不受系統(tǒng)中的局域雜質(zhì)和磁化不規(guī)則轉(zhuǎn)動路徑等因素的影響， 具有拓?fù)浞€(wěn)定性. 這個穩(wěn)定性的物理原因在于編織操作引起的奇偶性變化和轉(zhuǎn)動磁場引起的拓?fù)潆姾杀弥g的聯(lián)系. 這個方案的優(yōu)點(diǎn)一是不需要輔助MZM， 這使得編織操作只涉及最少的MZM; 二是可以在保持基態(tài)簡并度(無需測量操作)同時不移動MZM位置就等效地實現(xiàn)MZM編織操作. 但是這個裝置不能實現(xiàn)超導(dǎo)兩端的MZM的編織， 在做到編織任意兩個MZM上存在限制.

圖 6 通過轉(zhuǎn)動鐵磁體的磁化方向?qū)崿F(xiàn)鐵磁體兩端的MZM[128] (a)交換世界帶兩次在拓?fù)渖系葍r于世界帶各自扭轉(zhuǎn) 2π . 箭頭表示MZM的自旋; 世界帶的紅藍(lán)邊界標(biāo)記MZM的內(nèi)部自由度的時間演化. (b) SC/QSH/FI異質(zhì)結(jié)裝置中的MZM. 黃色(紅色)箭頭表示MZM的局域自旋方向(鐵 磁 磁 化 方 向). 下 方 的 紅 色 箭 頭 轉(zhuǎn) π 角，γ1和 γ2 編 織一次; 轉(zhuǎn) 2 π 角，γ1和 γ2 編織兩次. 逆方向轉(zhuǎn)動代 表逆交換.Fig. 6. Braiding operation via winding FI magnetization[128].(a) The monodromy operator can be realized by either braiding two MZMs or twisting each worldribbons by 2 π .The arrows indicate the MZM spin. The blue and red edges of the ribbon denote the evolution of internal degree of freedom. (b) MZMs in the SC/QSH/FI hybrid system. The yellow (red) arrows represent the directions of local spin polarizations for MZMs (FI magnetization). Winding the red arrow at the bottom by π，γ1and γ2are braided once; by 2π they are braided twice. A reverse rotation leads to an inverse braiding operation.

5 MZM量子比特的讀取

零壓電導(dǎo)峰(ZBCP)是MZM的一個間接證據(jù)， 但是只是單個MZM的信息， 并不能讀出量子比特. 量子比特是兩個MZM組合成的Dirac復(fù)費(fèi)米子的占據(jù)狀態(tài)， 要讀出量子比特， 必須把兩個MZM耦合到一起， 考慮兩個耦合的MZM作為一個整體的性質(zhì). 前比較廣泛接受的讀出MZM量子比特的方法主要有三種: 分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)， 庫侖阻塞(Coulomb blockade)方法， 及干涉方法.

5.1 分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)

MZM的分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)最早是Kitaev[7]在討論Kitaev超導(dǎo)鏈模型的時候提出來的， 這是存在MZM的奇宇稱拓?fù)涑瑢?dǎo)系統(tǒng)的一個重要特性. 當(dāng)兩個MZM通過約瑟夫森結(jié)耦合在一起時，通過測量穿過約瑟夫森結(jié)的零偏壓的電流響應(yīng)， 也就是直流(DC)約瑟夫森電流， 我們可以推出這兩個MZM組成的費(fèi)米子的占據(jù)狀態(tài)， 也就是讀出MZM量子比特.

圖7(a)所示為利用約瑟夫森效應(yīng)的量子比特讀出裝置的簡示圖. 約瑟夫森結(jié)兩端的超導(dǎo)體由絕緣區(qū)微弱地耦合起來， 當(dāng)結(jié)兩端各自存在一個MZM時， 流過結(jié)區(qū)的無阻超導(dǎo)電流包含兩部分I=I2e+Ie. 其中第一項是庫珀對隧穿貢獻(xiàn)的傳統(tǒng)約瑟夫森電流 I2e， 第二項是兩個MZM耦合在一起貢獻(xiàn)的單電子隧穿電流 Ie. 正是通過測量 Ie[101]，可以給出MZM耦合的量子比特的信息. 下面討論Ie的形成機(jī)制和特性.

假設(shè)形成約瑟夫森結(jié)的兩端拓?fù)涑瑢?dǎo)相位分別為 φL和 φR. 結(jié)區(qū)存在的兩個零能的MZM會通過量子隧穿耦合在一起， 形成能量非零的費(fèi)米子態(tài). 此時約瑟夫森結(jié)的低能有效哈密頓量為

其中，φ =φL-φR是結(jié)兩端超導(dǎo)相位差，λ 是兩個MZM耦合的強(qiáng)度，γ1，2是馬約拉納算符， f是 γ1和γ2耦合成的費(fèi)米子 f =(γ1-iγ2)/2 . 保持系統(tǒng)的粒子數(shù)奇偶守恒時， f的占據(jù)數(shù)不變， 流過結(jié)區(qū)的電 流

其中 n0為系統(tǒng)初態(tài)的費(fèi)米子f的占據(jù)數(shù). 由電流的表達(dá)式可以看出， 和傳統(tǒng)的庫珀對隧穿形成的超導(dǎo)電流 I2e不同的是，I2e是關(guān)于關(guān)于結(jié)兩端超導(dǎo)相位差 φ 以 2π 為周期變化的， 而 Ie是關(guān)于結(jié)兩端超導(dǎo)相位差 φ 以 4π 為周期變化的. 因此這個現(xiàn)象被稱為分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng). I2e是由庫珀對隧穿形成的， 是一個二階過程， 載流子電荷為 2e ; Ie是由于MZM透過結(jié)區(qū)耦合引起的單電子隧穿形成的電流， 是一個一階過程， 載流子電荷為e. 進(jìn)一步，Ie中的 (-1)n0因子說明， 費(fèi)米子的占據(jù)狀態(tài)改變時，Ie的方向也會改變. 因此通過測量 Ie， 可以推斷出費(fèi)米子占據(jù)狀態(tài)， 即讀出MZM量子比特[20].

圖 7 約瑟夫森結(jié)的量子比特讀出裝置[129] (a)為MZM約瑟夫森結(jié)的示意圖. 結(jié)兩端各自存在一個MZM.藍(lán)色區(qū)域為一維拓?fù)涑瑢?dǎo)區(qū)， 綠色區(qū)域為絕緣體區(qū). 拓?fù)鋮^(qū)的長度足夠長， 使得兩個MZM通過拓?fù)鋮^(qū)的耦合可以忽略. γ1和 γ2 通過足夠短的絕緣區(qū)耦合起來， 形成一個能量非零的費(fèi)米子. 通過改變通過線圈的磁場通量 Φ 可以改變結(jié)兩端的超導(dǎo)相位差 φ . (b) 直流分?jǐn)?shù)約瑟夫森電流隨 φ的變化關(guān)系. 其中紅色虛線代表空占據(jù)態(tài) | 0〉 ， 藍(lán)色實線代表占據(jù)態(tài) | 1〉 . 和傳統(tǒng)的以 2 π 周期的約瑟夫森電流不同的是， 分?jǐn)?shù)約瑟夫森電流關(guān)于 φ 的變化周期是 4 π . 量子比特|0〉 和 | 1〉 相 對 應(yīng)的電 流方向 相 反， 因 此通過 測 量直流 約瑟夫森電流可以讀出MZM量子比特Fig. 7. Basic set-up for qubit readout using a Josephson junction(JJ)[129]. (a) The schematic of a JJ with 2 MZMs residing at the junction. The blue region denotes 1d TSC and the green denoted trivial insulator. The TSC region should be long enough so that the coupling of the MZMs through TSC is negligible. γ1and γ2couple weakly at the junction， forming a non-zero energy fermion. The phase difference φ can be varied by changing the magnetic flux Φ .(b) The d.c. fractional Josephson current flowing across the junction versus φ . Instead of conventional 2 π -periodic JJ current induced by Cooper pair tunneling， the fractional JJ current induced by MZMs exhibits 4 π periodicity. The red dashed line denotes | 0〉 and the blue solid line denotes | 1〉 .The direction of the current is inverse for the qubiT| 0〉 and|1〉 ， which enables the readout of the qubit by measuring the direct Josephson current.

雖然理論上測量出 Ie就可以讀出MZM量子比特， 但是實驗上要測到 Ie還有很多難點(diǎn)要克服.一是怎么把 Ie從 I2e和其他由于工藝不完善引入的直流信號中分離出來. 比如， 當(dāng)TSC 區(qū)不夠長的時候，γ1和 γ2通過TSC區(qū)的耦合不能被忽略， 這時兩個MZM形成的 Ie會既包含 4π 周期成分， 也包含 2π 周期成分，4π 周期的電流信號會被壓制[129];當(dāng)結(jié)區(qū)的絕緣區(qū)有超導(dǎo)存在的時候， 絕緣區(qū)的庫珀對分裂成兩個電子， 分別進(jìn)去結(jié)兩邊的超導(dǎo)區(qū)， 引入更復(fù)雜的電流成分[130]. 二是調(diào)制 φ 的時間長度要適合. 若 φ 變化太慢， 系統(tǒng)將保持在基態(tài)上， 約瑟夫森結(jié)內(nèi)部的局域費(fèi)米子宇稱將不守恒， 粒子數(shù)奇偶發(fā)生變化. 這樣電流的 4π 周期會還原為 2π 周期;若 φ 變化太快， 會在系統(tǒng)中激發(fā)很多準(zhǔn)粒子， 影響測量. 目前還沒有實驗?zāi)芴崛〕鲋绷鞣謹(jǐn)?shù)約瑟夫森電流的符號以讀出量子比特， 但是交流約瑟夫森效應(yīng)已經(jīng)有報道[94，95，131]. 直流分?jǐn)?shù)約瑟夫森效應(yīng)的測量需要在已有裝置的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改良工藝. 最近提出基于 4π 約瑟夫森效應(yīng)的編織方案[132].

5.2 庫侖阻塞

在考慮拓?fù)涑瑢?dǎo)由于馬約拉納帶來的基態(tài)簡并時， 已經(jīng)假設(shè)超導(dǎo)處于接地狀態(tài)， 或者與一個宏觀系統(tǒng)處于強(qiáng)耦合狀態(tài). 這樣超導(dǎo)的電容無窮大，改變超導(dǎo)的費(fèi)米子宇稱， 即改變系統(tǒng)電子數(shù)并不需要能量. 當(dāng)考慮有限尺寸的非接地超導(dǎo)， 即使存在MZM形成的 |0〉 和 |1〉 不同費(fèi)米宇稱態(tài)， 改變超導(dǎo)的費(fèi)米子數(shù)(電子數(shù))會存在電容充電能(可由電平控制). 這使得奇偶費(fèi)米子宇稱態(tài)不再簡并， 從而可以從通過參數(shù)操控的能譜判定奇偶費(fèi)米子宇稱態(tài).事實上， 此時超導(dǎo)不同的費(fèi)米子數(shù)態(tài)可以變得不再簡并， 具體由外加電平控制[39，96，133]. 一個研究得比較多的裝置是通過電平開關(guān)把MZM和量子點(diǎn)耦合起來[37，39，96，124，133，134]， 自旋量子比特的測量也適用這個方法[135-137]. 裝置如圖8 所示， MZM通過量子隧穿效應(yīng)和量子點(diǎn)弱耦合起來， 調(diào)節(jié)電平改變勢壘高度可以改變MZM波函數(shù)的展寬， 從而調(diào)節(jié)MZM和量子點(diǎn)的有效耦合強(qiáng)度t， 控制電平開關(guān)的狀態(tài). 改變電平開關(guān)狀態(tài)， 系統(tǒng)的基態(tài)能量將發(fā)生變化， 并受到MZM量子比特奇偶性的調(diào)控.如圖8(a)所示的兩MZM系統(tǒng)中，ti=1，2由關(guān)閉狀態(tài) (ti=0) 到 打開狀態(tài) (ti／=0) 會引起哈密頓量的基態(tài)能量的變化， 根據(jù)二階微擾理論， 系統(tǒng)基態(tài)能 量為

其中 E0(j=0，1)分別對應(yīng)為 T=0 時整體奇宇稱和偶宇稱基態(tài)的能量， 與量子點(diǎn)和超導(dǎo)充電能有關(guān); EC為超導(dǎo)充電能; Ng為受電平控制的超導(dǎo)感應(yīng)電荷.由方程(31)可見， 當(dāng) (t*1t2-t1t*2)／=0 時， 系統(tǒng)在調(diào)節(jié)量子點(diǎn)電平開關(guān)打開t的前后的基態(tài)能量變化ΔEg.s.受 量子比特的奇偶性 i γ1γ2調(diào)控. 如前所述，這個能量的變化可以通過測量系統(tǒng)的能譜、量子點(diǎn)電荷或者微分電容等方式測出， 從而讀取出量子比特. 這個裝置的優(yōu)點(diǎn)一是MZM與量子點(diǎn)的耦合強(qiáng)度可以通過量子點(diǎn)的宏觀電平參數(shù)來調(diào)節(jié); 二是可拓展性好， 可通過拓展U型網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造大規(guī)模的量子線路[39，124].

圖 8 MZM和量子點(diǎn)耦合的裝置簡圖[39](a) ， (b)分別是2個和4個MZM系統(tǒng)的裝置; (c) 在調(diào)節(jié)量子點(diǎn)與MZM之間躍遷矩陣元的局域電平開關(guān)Fig. 8. Sketch of MZMs coupled to quantum dots[39]， with 2-MZM and 4-MZM system shown in (a) and (b)， and in (c) the local gates controlling the coupling between MZMs and quantum dots are shown.

5.3 馬約拉納干涉儀

Fu[138]提出利用MZM可以實現(xiàn)電子的隱態(tài)傳輸， 且傳輸相移與拓?fù)淞孔颖忍氐挠罘Q相關(guān). 因此， 通過干涉裝置探測傳輸后電子的相位變化可以得到MZM的宇稱[38，133，139].

如圖9 所示考慮拓?fù)涑瑢?dǎo)體與普通金屬的連接， 線路中穿過可調(diào)節(jié)的磁通 Ψ ， 線路中的電流將隨磁通變化而改變. 調(diào)節(jié)超導(dǎo)體的電容能使之小于超導(dǎo)能隙但是大于電子的隧穿效應(yīng)， 從而抑制電子直接從金屬躍遷到超導(dǎo)體中. 借助于空間上分隔很遠(yuǎn)的MZM， 可以存在一端電子進(jìn)入超導(dǎo)體， 另一端電子離開超導(dǎo)體進(jìn)入金屬的過程， 且躍遷過程中保持長距離的相位相干. 躍遷的哈密頓量可以寫成如 下一般形式

其中a， b表示兩個MZM所處的位置，Tab表示躍遷振幅， 對于費(fèi)米子宇稱 Pab=±1 的量子比特而言， 電子的傳輸相移分別為 - iTab和 i Tab. 當(dāng)電流分別經(jīng)過拓?fù)淞孔颖忍睾途哂凶銐蜷L相位相干長度的普通金屬后發(fā)生干涉時， 由于不同宇稱的量子比特會給電子的傳輸相移帶來 π 的相位差， 因此電導(dǎo)率表示為

圖 9 馬約拉納干涉儀裝置[38] (a)電流從上方經(jīng)過兩個MZM也即一個拓?fù)淞孔颖忍兀?從下方經(jīng)過相位相干長度足夠長的金屬， 電路中間穿過可調(diào)節(jié)的磁通. 兩條路徑的相位差由電子的傳輸相移以及穿過線路的磁通決定.(b)通過測量干涉后的電導(dǎo)可以得到拓?fù)淞孔颖忍氐挠罘Q信息. 實線和虛線分別對應(yīng)宇稱為1和—1的量子比特的電導(dǎo)信號Fig. 9. Majorana inferometry[38]. (a) One path goes through two MZMs i.e. a topological qubit while the other path goes through a normal metal with a sufficiently long phase-coherence length. Ψ is the applied magnetic flux enclosed by the two paths. The phase difference of two paths is determined by the phase transition shift and the magnetic flux，which can be measured by the conductance. (b) Majorana interferometer provides a projective measurement of the fermion parity. Solid line and dotted line represent the conductance signals corresponding to qubits with parity 1 and—1 respectively.

從電導(dǎo)的測量數(shù)據(jù)中可以讀取費(fèi)米子宇稱的信息，進(jìn)而探測編織的結(jié)果. 這個方案中費(fèi)米子宇稱的讀取不需要將兩個MZM相互融合， MZM之間始終保持較遠(yuǎn)的距離， 波函數(shù)的交疊很少， 因此會較少受到熱漲落的干擾[140].

6 對稱性保護(hù)的非阿貝爾統(tǒng)計

對拓?fù)涑瑢?dǎo)體加上額外的對稱性要求如時間反演對稱[84，141-149]或空間點(diǎn)群對稱性[150-154]等，可以豐富其體態(tài)的拓?fù)浞诸? 這對應(yīng)著邊界可以存在多個MZM， 且這些零模受到對稱性的保護(hù)而不會互相耦合打開能隙. 對這樣的體系進(jìn)行編織操作將意味著對多個MZM進(jìn)行交換. 一般而言這可能出現(xiàn)平庸的結(jié)果. 但是在對稱性的保護(hù)下， 如果編織過程可以分解成多對獨(dú)立的部分， 每對MZM的編織將滿足對稱保護(hù)的非阿貝爾統(tǒng)計[155，156]. 其中單次編織滿足

其中 γiL代表編織前處于左邊的N個MZM，γiR為之前處于右邊的N個MZM. 此式描述的核心含義是， 在編織過程中， 一邊的任意一個MZM只能看到另一邊的其中一個MZM， 而看不到其他MZM.顯然這種情況對于二維手性拓?fù)涑瑢?dǎo)中的渦旋是無法成立的. 比如考慮左右分布且空間分離的多對渦旋， 對左右進(jìn)行編織操作， 顯然處于一邊的MZM將受到另一邊的所有MZM的影響.

MZM的對稱保護(hù)非阿貝爾統(tǒng)計最早提出于時間反演對稱的拓?fù)涑瑢?dǎo)中[155]. 如圖10(a)所示， 考慮一維時間反演對稱的拓?fù)涑瑢?dǎo)體， 超導(dǎo)體的每一端都存在兩個MZM， 它們在時間反演算符T 作用下組成馬約拉納克拉默斯對 (Majorana Kramers pair， MKP)對稱保護(hù)統(tǒng)計將使得一次編織后MZM滿足. 然而， 對于時間反演對稱保護(hù)的拓?fù)涑瑢?dǎo)， 其MKP的非阿貝爾統(tǒng)計是否同樣只需要哈密頓量滿足時間反演對稱， 這是值得探討的問題. 事實上， 在編織過程中即使哈密頓量每個時刻滿足時間反演對稱， 邊界的MZM與體態(tài)模的耦合仍可能誘導(dǎo)出MKP內(nèi)部的有效耦合， 造成一端MKP的局域旋轉(zhuǎn)操作，這對上述非阿貝爾統(tǒng)計帶來破壞[157，158].

完善MKP對稱保護(hù)非阿貝爾統(tǒng)計理論涉及一個深刻的問題， 即時間反演對稱的動力學(xué)破缺[156，159]. 馬約拉納編織實際可看作一個時間從t=-T/2 到 T=T/2 的含時動力學(xué)演化過程， 其中T是單次編織時間. 相應(yīng)的編織矩陣是一個幺正算符 Bij=U(T)，等于編織過程中哈密頓量 H (t) 的編時(time-ordered)積分. 由于時間反演對稱是反幺正算符， 即使哈密頓量 H (t) 每個時刻滿足時間反演對稱， 其時間積分得到的幺正演化算符可能和時間反演算符不對易， 從而動力學(xué)破缺時間反演對稱. 這是出現(xiàn)MKP局域操作的根本原因， 這一性質(zhì)首先在文獻(xiàn)[156]中被揭示. 具體而言， 這樣即使對于每一時刻的哈密頓量滿足時間反演對稱[ H(t)，T]=0 ， 可發(fā)現(xiàn)U(T)=e-iHET

圖 10 時間反演對稱性保護(hù)的編織過程及非阿貝爾統(tǒng)計的結(jié)果[156] (a) 時間反演不變的拓?fù)涑瑢?dǎo)體兩wlxb 端各有一對MZM， 以T-型結(jié)的方案完成編織. (b)， (c) 不同的無條 序件強(qiáng) 下度 均 W 有0 下經(jīng)過完整編織后MKP的演化， 結(jié)滿果 足，非在 阿不 貝同爾統(tǒng)計. 經(jīng)過一個周期后 給出絕熱演化的條件Fig. 10. Time-reversal symmetry protected braiding process and the results of non-Abelian statistics[156]. The TSC in (a)hosts a pair of MZMs at each end， and the braiding is fulfilled by the T-junction scheme. (b)， (c) The evoluation of MKPs after the full braiding in the presence of different disorder strengh W0 . The non-Abelian statistics is confirmed by . The adiabatic conditi on is satisfied in that.

如果將編織演化算符寫成， 則對于編 織過程對應(yīng)的等效哈密頓量 HE， 由(35)式有

這便是時間反演對稱在編織過程中發(fā)生動力學(xué)破缺. 因此， 在時間反演對稱拓?fù)涑瑢?dǎo)體中， 對稱保護(hù)非阿貝爾統(tǒng)計需要: 1)拓?fù)涑瑢?dǎo)哈密頓量在每個時刻滿足時間反演對稱; 2)整個編織產(chǎn)生的動力學(xué)演化滿足類似的時間反演對稱. 為了使MKP滿足非阿貝爾統(tǒng)計， 需要在編織的動力學(xué)過程中重建時間反演對稱性. 為此， 文獻(xiàn)[156]定義了一個交換對稱性(swapping symmetry)， 使得

即分解為兩獨(dú)立的編織[156]. 進(jìn)一步研究證明， 該交換對稱性S在一維的納米線中總是成立. 即使存在靜態(tài)無序， 由于左右兩端的MZM等效走過互逆的路徑， 系統(tǒng)的無序?qū)啥薓ZM造成的局域旋轉(zhuǎn)是相反的， 此時交換對稱性的定義總可以成立. 同時由于對稱性保護(hù)， 噪聲帶來的影響為二階項， 且能被噪聲的隨機(jī)分布所抑制(如圖10(b)(c)所示)[156].MKP的編織帶來系統(tǒng)量子態(tài)的變化， 而由時間反演對稱拓?fù)涑瑢?dǎo)中馬約拉納組成的不同量子比特同樣可以通過約瑟夫森電流讀取[155，160]. 對稱性保護(hù)的非阿貝爾統(tǒng)計預(yù)期能很好地在實際體系中實現(xiàn)并為拓?fù)淞孔佑嬎闾峁└S富的操作[40].

7 總結(jié)與展望

本文對拓?fù)涑瑢?dǎo)中MZM的非阿貝爾統(tǒng)計， 以及在拓?fù)淞孔佑嬎阒械膽?yīng)用做了介紹. 在對承載MZM的拓?fù)涑瑢?dǎo)做簡單回顧后， 對MZM的非阿貝爾統(tǒng)計特性， 構(gòu)造拓?fù)淞孔颖忍睾土孔娱T進(jìn)行介紹. 然后， 重點(diǎn)討論MZM的幾種主要編織方案，以及由MZM構(gòu)成的拓?fù)淞孔颖忍販y量方案， 并對這些方案做了比較. 最后對新發(fā)展的馬約拉納克拉默斯對滿足的對稱保護(hù)非阿貝爾統(tǒng)計進(jìn)行了介紹，這可能對MZM的研究帶來新的方向.

從MZM被提出可以被用來做量子計算到今天， 拓?fù)淞孔釉谶@約二十年間取得了大量包括理論和實驗上的重要進(jìn)展， 已經(jīng)有大量的實驗證據(jù)可以支持MZM的存在， 但是這些實驗證據(jù)都是對局域的單個MZM的性質(zhì)直接測量操作. 要論證MZM的存在， 最直接也是最確鑿無疑的證據(jù)就是驗證MZM的非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)， 也就是實驗驗證: 編織兩個MZM前后系統(tǒng)的基態(tài)發(fā)生了變化.這包括兩方面的難題: 一是讀取兩個MZM融合后的量子態(tài); 二是實現(xiàn)MZM的非阿貝爾編織操作、從而實現(xiàn)對量子態(tài)的操控. 目前還沒有任何實驗可以證明兩個MZM組成的復(fù)費(fèi)米子態(tài)的非局域性，并直接讀出兩個MZM的量子態(tài). 因此， 當(dāng)前研究的最大熱點(diǎn)還是為兩個MZM融合后的量子態(tài)讀取尋找實驗可操作的平臺， 進(jìn)而實現(xiàn)MZM的編織操作并讀取出編織操作前后系統(tǒng)量子態(tài)的變化. 一旦實現(xiàn)了MZM的編織操作、并驗證了相應(yīng)的非阿貝爾統(tǒng)計， 進(jìn)一步應(yīng)用于拓?fù)淞孔佑嬎銊t將成為可能.