鐵基超導渦旋演生馬約拉納零能模*

孔令元 丁洪3)?

1) (中國科學院物理研究所， 北京凝聚態(tài)物理國家研究中心， 北京 100190)2) (中國科學院大學物理科學學院， 北京 100049)3) (中國科學院大學， 中國科學院拓撲量子計算卓越中心， 北京 100049)(2020 年5 月12日收到; 2020 年5 月30日收到修改稿)

作為馬約拉納零能模(MZM)的一種全新載體， 具有拓撲能帶結構的鐵基超導塊材——拓撲鐵基超導體——近年來引起了學術界的廣泛關注. 由于同時具備單一材料、高溫超導、強電子關聯、拓撲能帶等特質，拓撲鐵基超導體成功規(guī)避了本征拓撲超導體和近鄰異質結體系在實現MZM上的困難， 為馬約拉納物理開辟了自賦性拓撲超導的新方向. 時至今日， 人們已經在多種拓撲鐵基超導體的磁通渦旋中測量到了純凈的MZM. 實驗發(fā)現， 鐵基超導體系中演生的渦旋MZM信號明確、物理清晰， 具有很好的應用前景. 拓撲鐵基超導體有望成長為研究馬約拉納物理和制備拓撲量子比特最重要的材料體系之一. 本文以Fe(Te，Se)為主要對象詳細介紹了鐵基超導馬約拉納載體的思想起源和研究進展. 在闡明Fe(Te，Se)拓撲能帶結構和零能渦旋束縛態(tài)基本實驗事實的基礎上， 本文將邏輯清晰地系統總結鐵基超導渦旋演生MZM的主要實驗觀測和基本物理行為; 借助波函數、準粒子中毒等實驗， 解析Fe(Te，Se)單晶中的渦旋MZM演生機制; 結合現有馬約拉納理論， 深入探討鐵基超導體中的馬約拉納對稱性和準粒子拓撲本質的實驗測量. 最后， 本文采用“從量子物理到量子工程”的視角， 綜合分析渦旋MZM在真實材料和實際實驗中的魯棒性， 為未來潛在的工程應用提供有益指導. 本文以物理原理為線， 注重理論與實驗結合， 旨在搭建經典馬約拉納理論與新興拓撲鐵基超導體系之間的橋梁， 幫助讀者理解鐵基超導渦旋中演生的MZM.

1 引 言

凝聚態(tài)物理系統中的馬約拉納零能模(MZM)是束縛在超導體缺陷上的零能拓撲準粒子[1-5]， 它具有三個基本性質: 其一， 具有馬約拉納(Majorana)對稱性. 這要求空穴和粒子成分等價混合， MZM的產生/湮滅算符在共軛變化下保持不變， 準粒子呈現電中性. 與標準模型中“反粒子是其自身”的Majorana費米子十分類似， 只有孤立的MZM才能穩(wěn)定存在， 兩個MZM相遇會融合成一個普通的費米子; 其二， 具有拓撲非平庸性， MZM是等效拓撲超導體的邊界態(tài)， 它的出現伴隨著非平庸的全局拓撲不變量; 其三， 具有非阿貝爾任意子性質(non-Abelian anyon). MZM是費米子的“一半”，它的量子維度為. MZM在交換操作下遵守非阿貝爾任意子統計規(guī)律， 編織MZM可以構筑量子比特， 實現容錯拓撲量子計算[6-9]， 鑒于此， 最近十年來MZM基本物理及潛在應用的研究是凝聚態(tài)物理和量子物理領域最前沿和最活躍的方向之一.

超導電性具有本征的粒子-空穴冗余， 超導準粒子是空穴和電子的量子疊加態(tài)， 這一性質為MZM的出現提供了便利. 人們可以通過妥善設計超導體， 使得MZM以拓撲準粒子激發(fā)的形式出現在超導缺陷上. 由于受到Majorana對稱性和超導體粒子-空穴對稱性的雙重限制， 超導體中的MZM一定是零能準粒子. 超導磁通渦旋是第二類超導體在磁場下自發(fā)形成的量子化拓撲缺陷[10-12]. 渦旋中心的超導序參量為零， 隨著遠離渦旋中心超導序參量恢復到正常值. 同時超導相位隨著以渦旋中心定義的極角變化而變化， 超導相位變化與極角變化的比值可以定義超導渦旋的渦旋數(vorticity). 超導磁通渦旋可以看作是超導準粒子的量子阱. 在這種量子阱中， 超導準粒子以渦旋束縛態(tài)的形式存在， 其行為可以通過求解渦旋Bogoliubov-de Genne (BdG)方程獲得:

在超導磁通渦旋中創(chuàng)造MZM需要滿足兩個必要條件: 其一， 產生零能模， 這需要在BdG方程中額外引入大小為π的奇數倍的幾何相位， 使得渦旋束縛態(tài)的能級滿足 En≈ nΔ2/EF; 其二， 穩(wěn)定單個零能模， 這需要通過某種方式破除自旋簡并. 在20年前的世紀之交， 人們意識到手性p波超導體(px+ ipy)的超導準粒子攜帶大小為π的本征幾何相位， 這可以抵消零點能導致的反周期性渦旋邊界條件， 使渦旋束縛態(tài)存在零能解[16-20]. 拓撲理論分析進一步證明， 弱耦合手性p波超導體是本征拓撲超導體， 它的準粒子譜具有非平庸的拓撲不變量[16].理論證明， 無自旋手性p波超導體的常規(guī)量子化磁通渦旋(φ = h/(2e))中存在穩(wěn)定的單個MZM. 而有自旋手性p波超導體的常規(guī)磁通渦旋中存在兩個MZM， 它們融合成一個普通費米子. 理論研究進一步發(fā)現， 有自旋手性p波超導體中的自旋自由度可以通過半整數磁通渦旋(φ = h/(4e))的方法破除. 在半整數磁通渦旋中， 渦旋只與一個自旋分量耦合， 渦旋中心存在穩(wěn)定的單個MZM[17，18]. 手性p波超導體的思想可以追溯到5/2分數量子霍爾效應[21]. 5/2分數量子霍爾效應的Paffian態(tài)(也被稱為Moore-Read態(tài))將強磁場中的自旋極化電子映射為零場下發(fā)生無自旋手性p波配對的復合費米子， Majorana模式出現在其邊界、渦旋等拓撲缺陷上[22]. 盡管本征拓撲超導體中的MZM理論十分清晰， 但是手性p波超導體和半整數磁通渦旋在實驗上都很難實現[23]， 這極大地限制了MZM的研究.

這一僵局直到2008年Fu-Kane模型[24]問世才得以打破. Fu-Kane模型研究了二維無簡并超導狄拉克(Dirac)表面態(tài)的準粒子行為， 開創(chuàng)性地證明s波超導配對的Dirac表面態(tài)具有和無自旋手性p波超導體等價的低能超導準粒子譜， MZM可以存在于s波超導體/拓撲絕緣體異質結界面的超導磁通渦旋中. Fu-Kane哈密頓量為

這恰恰描寫了各向同性能帶發(fā)生無自旋手性p波配對. 因此其超導準粒子譜與無自旋手性p波超導體等價， 穩(wěn)定的單個MZM存在于Fu-Kane模型的常規(guī)超導磁通渦旋中.

由于成功規(guī)避了p波超導電性的困難， Fu-Kane模型將Majorana物理從理論假想帶入了實驗現實， 開啟了MZM研究的新時代. 在這一思想的啟迪下， 近十年來理論物理學家們在凝聚態(tài)物理體系中設計了多種方案可以實現Majorana準粒子. 通過進一步實驗測量， 人們也發(fā)現了諸多MZM存在的跡象. 這些凝聚態(tài)體系按照物理機理大致可以分為以下幾類: 1)打開Zeeman能隙的Rashba納米線[28-30]， 包括半導體納米線[31-34]、Au納米線[35-37];2)具有強交換相互作用的螺旋自旋鏈， 包括磁性原子鏈[38-41]、磁性碳納米管[42]; 3) Yu-Shiba晶格上的手性拓撲超導[43-48]; 4)超導近鄰反常量子霍爾效應[49-54]; 5) Fu-Kane 磁性邊界態(tài)[24]， 包括一維系統末端的MZM[55]以及二維系統邊界上的手性Majorana模[56，57]; 6) Fu-Kane 約瑟夫森結中的螺旋Majarana模[24，58]; 7) Fu-Kane 磁通渦旋中的MZM[24，59-62]. 然而這些體系都使用常規(guī)s波超導體作為襯底， 通過異質結合其他具有拓撲能帶結構的材料來實現MZM. 受限于s波超導體臨界溫度低(Tc)、超導能隙小的特點， 這些體系中出現的MZM往往具有極小的拓撲能隙， 需要在極低實驗溫度(Texp＜ 100 mK)下進行測量. 這不僅增加了實驗成本， 也使得MZM更易被平庸束縛態(tài)干擾， 妨礙了人們從實驗上深入研究MZM的行為. 另外， 異質結結構帶來了難以控制的無序和制造復雜性[63]. 這些問題讓平庸機制帶來的類Majorana信號在實驗中難以被排除， 使得MZM的確切證實變得撲朔迷離[34，54].Majorana領域的新飛躍有待MZM材料載體的范式革新.

本文系統回顧了先前MZM載體的困難， 對它們進行逐條分析找出了對癥方案(圖1(a))， 這為探索更優(yōu)的MZM載體材料提供了重要啟示. 首先，稀有的p波超導電性難以實現. Fu-Kane模型用拓撲能帶的自旋貝里(Berry)相位代替本征拓撲超導體的超導相位纏繞(phase winding)， 規(guī)避了本征p波超導體的困難. 因此， 新的MZM材料載體應同時具有拓撲能帶結構和自身超導電性， 這往往需要多能帶結構， 便于分別實現拓撲和超導性質. 第二， 極低溫實驗條件的困難. MZM是超導準粒子， 它的存活溫度與超導臨界溫度正相關. 利用更高臨界溫度的超導體替換常規(guī)s波超導體作為超導襯底可以有效提高MZM的存活溫度. 考慮到渦旋束縛態(tài)的存在條件， 新的MZM材料載體應該是全能隙(full gap)非常規(guī)超導體， 比如s±波超導[64-67]， nodeless-d波超導等[68-71]. 第三， 拓撲能隙過小導致MZM易被污染. 拓撲能隙是MZM與第一激發(fā)態(tài)之間的能級間隔. 在渦旋中拓撲能隙正比于Δ2/EF. 可見費米能越小， MZM的拓撲能隙就越大. 一般而言， 小的能帶帶寬(band width)有利于EF的減小， 這表明強電子-電子相互作用帶來的能帶重整化有利于實現渦旋MZM. 第四， 異質結引入的困難. 去除異質結最直接的方法是利用單一材料聚合上述所有性質. 綜上可知， 潛在更優(yōu)的MZM材料載體應該是具有拓撲非平庸能帶結構的多能帶強關聯高溫超導材料.

結合長期研究經驗， 我們意識到鐵基超導體是有力候選者之一. 首先， 鐵基超導體[72，73]的低能電子態(tài)主要由Fe的t2g軌道(分別為dxz， dyz， dxy軌道)和硫族元素的p軌道構成. 鐵基超導體在費米能級附近分別有三條空穴型能帶出現在布里淵區(qū)中心， 兩條電子型能帶出現在布里淵區(qū)邊角(圖1(b)).這些能帶穿過費米能級， 產生多費米面結構， 實驗發(fā)現鐵基超導體的費米面在Tc以下通常打開全能隙[74]. 盡管目前對鐵基超導機理尚未達成共識， 但是已有大量理論和實驗結果支持自旋漲落導致的s ±配對機制(圖1(c))[74-80]. 其次， 理論計算和實驗測量都表明鐵基超導體具有較強的電子-電子關聯[81]，這使得鐵基超導體能帶具有可觀的有效質量重整化. 例如Fe(Te， Se)的質量重整化因子與銅氧化物超導體中的數值接近(約為7)， 是鐵基超導家族中關聯性最強的材料(圖1(d)). 因此， Fe(Te， Se)體能帶具有非常小的費米能 (約10 meV) (圖1(e))[82]，這一現象也被角分辨光電子能譜(ARPES)實驗觀測到. 最后， 一些早期理論表明， 鐵基超導體具有拓撲非平庸的能帶結構[83，84]. 理論預言在單層FeSe/STO[85]、單層Fe(Te， Se)[86]、Fe(Te， Se)單晶[87]、具有As鏈夾層的CaFeAs2[88]等體系中存在拓撲非平庸的能帶反轉， 在適當的參數空間內存在Dirac表面態(tài). 另外也有理論預言鐵基超導體中的有序態(tài)可以改變電子結構[89-97]從而創(chuàng)造拓撲能帶， 例如人們在BaFe2As2的SDW態(tài)[89-92]以及FeSe單晶的電子向列態(tài)[94-97]等電子有序體系中發(fā)現了拓撲能帶的跡象. 最重要的是， 一些早期實驗表明Fe(Te， Se)單晶能帶極有可能是拓撲非平庸的[87，98，99]. 2014年， 通過使用常規(guī)ARPES和表面原位電子摻雜方法， 我們發(fā)現FeTe0.55Se0.45單晶的原始費米能級以上存在電子型能帶[98]， 隨后我們又通過變光子能量和偏振的ARPES技術， 觀測到了體態(tài)能帶反轉的證據[87]. 同時， 一項早期的掃描隧道顯微鏡/譜(STM/S)實驗發(fā)現FeTe0.55Se0.45單晶的間隙Fe原子上存在魯棒的零能束縛態(tài)[99]，這些證據都暗示FeTe0.55Se0.45單晶具有拓撲非平庸的能帶結構. 這些線索將我們的注意力吸引到FeTe0.55Se0.45單晶上， 啟發(fā)我們通過后續(xù)實驗在鐵基超導體表面清晰地觀測到了超導拓撲表面態(tài)[100，101]和渦旋MZM[102-106].

圖 1 鐵基超導體是更優(yōu)的MZM載體材料 (a)在鐵基超導體中尋找MZM的原始思路; (b)鐵基超導的能帶結構， 其中各能帶的軌道成分分別為: α (dxz); β (dyz); γ (dxy); η (dxy); δ (dxz); ω (pz); (c)鐵基超導的費米面以及超導配對對稱性[74，76]; (d)鐵基超導體的電子-電子關聯[81]; (e)ARPES測量的Fe(Te， Se)單晶G點的能帶結構[82]Fig. 1. Fe-based superconductors (FeSCs) as a better Majorana platform: (a) The original idea for searching Majorana zero mode(MZM) in FeSCs; (b) the typical band structure of FeSCs， the orbital characters of each band are as follows: α (dxz); β (dyz); γ (dxy);η (dxy); δ (dxz); ω (pz); (c) the typical Fermi surface and superconducting order parameters of FeSCs[74，76]; (d) the mass renormalization among different compounds， indicating strong electron-electron interactions in FeSCs[81]; (e) band structure near the G point of Fe(Te， Se) single crystals measured by ARPES[82].

本文旨在系統總結并詳細介紹Fe(Te， Se)體系中演生渦旋MZM的思想起源和研究進展， 嘗試搭建經典Majorana理論與新興鐵基超導載體之間的橋梁. 本文的結構安排如下， 第2節(jié)介紹拓撲能帶理論以及表面態(tài)的實驗觀測[87，100，101]. 第3節(jié)討論實驗觀測到的渦旋零偏壓電導峰(ZBCP)究竟“是什么”. 將介紹檢驗實驗， 從而確認ZBCP為渦旋MZM[102]. 第4節(jié)討論渦旋MZM“為什么”在真實Fe(Te， Se)材料中演生. 將介紹渦旋MZM的波函數和準粒子中毒行為的仔細研究， 鑒別真實材料中的各種因素在演生渦旋MZM的作用[102]. 第5節(jié)討論渦旋MZM的Majorana本質[105]. 將結合共振量子電導理論介紹渦旋MZM的粒子-空穴等價性的實驗測量. 第6節(jié)討論渦旋MZM的拓撲本質[104]. 結合全局渦旋束縛態(tài)的能量本征值及波函數分布特征， 詳細介紹伴隨渦旋MZM出現的渦旋束縛態(tài)半整數能級嬗移. 第7節(jié)轉而關注“工程細節(jié)”. 實際測量發(fā)現Fe(Te， Se)的部分渦旋中沒有MZM， 我們將綜合分析可能的微觀機制[104]， 這對鐵基材料的未來應用具有一定指導意義. 第8節(jié)是總結和展望. 將簡要綜述新興鐵基超導載體的研究進展， 指出鐵基超導渦旋走向拓撲量子計算亟須解決的問題.

2 Fe(Te， Se)單晶的拓撲能帶

鐵基超導體能帶具有豐富的拓撲相[83，84，87，101].由于陰離子的pz軌道具有奇宇稱， 原則上可以通過調節(jié)pz軌道能量和垂直色散程度， 使它在G-Z方向上與具有偶宇稱的dxzdyzdxy鐵離子能帶發(fā)生交叉， 獲得拓撲非平庸的能帶反轉. 根據交叉能帶的角動量相同或不同， 可以分別定義拓撲絕緣體態(tài)和拓撲Dirac半金屬態(tài). 原理上， 鐵基超導體中出現拓撲能帶的核心要素是強層間耦合和強自旋軌道耦合(SOC). 這一機制并不是鐵基超導體的專利， 本文注意到在1T相的過渡金屬二硫化物類材料(比如 PtTe2， PdTe2， NiTe2等)中存在相似的拓撲能帶形成機制[107-109]. 能帶反轉機理的復現性增加了鐵基超導體拓撲能帶理論的可信度. 原則上， 在理想的調控能力下所有鐵基超導體都可以同時具有拓撲絕緣體態(tài)和拓撲Dirac半金屬態(tài). 第一性原理計算和ARPES實驗觀測發(fā)現鐵基超導體家族中的某些組分天然滿足能帶反轉要求. 本文下面以Fe(Te， Se)單晶為例， 介紹拓撲能帶的形成機理以及相關實驗進展.

2.1 拓撲能帶形成機理

FeSe單晶的第一性原理計算如圖2(a)所示[87].在不含SOC的情況下， 沿G-Z方向費米能級附近有三條能帶， 它們的不可約表示分別記為: G2-(pz/dxy反鍵軌道)，G4+(dxy軌道)，G5+(dxz/dyz軌道). 在FeSe單晶中， 奇宇稱的 G2-能帶始終位于偶宇稱能帶上方， 沒有拓撲能帶反轉發(fā)生. 理論上可以通過改變晶格參數的方法調控 G2-能帶， 如圖2(c)所示， 在Fe(Te， Se)單晶中， Fe原子dxy軌道平躺在Fe平面上(青色平面)， 電子云在c方向上延伸很小; 而Se原子pz軌道一頭與Fe平面上的dxy軌道耦合， 另一頭跨過范德瓦爾斯(vdW)間隙與相鄰Se-Fe-Se層的pz軌道耦合. 通過改變陰離子與Fe平面的距離可以有效調控層內pd耦合和層間pp耦合的相對強度， 這兩者的競爭將決定 G2-能帶的行為. 對FeSe進行Te摻雜可以增加陰離子與Fe平面的距離， 這使得層內pd耦合變弱，pz/dxy反鍵軌道 G2-隨即降低能量以適應這一變化.同時， Te摻雜使得層間pp耦合增強， 這導致 G2-能帶獲得更強的垂直色散. 在這兩方面因素的共同作用下， 奇宇稱的 G2-能帶沿著G-Z方向穿越偶宇稱的 G4+和 G5+能帶， 在Z點發(fā)生拓撲能帶反轉(圖2(d)). 在SOC作用下，G2-能帶演化為 G6-， 主要由pz軌道組成; G4+能帶演化為 G7+， 主要由dxy軌 道 組 成; G5+能 帶 演 化 為 G6+和 G7+， 分 別 由dxz和dyz兩條軌道組成.

DFT計算結果顯示[87]， FeTe0.5Se0.5單晶中dxy能帶( G7+)始終位于dyz能帶( G7+)上方， 它們在G點都穿越費米能級， 因此奇宇稱的pz能帶沿著G-Z方向與偶宇稱的鐵離子能帶有三個交點. 但是超高分辨率ARPES實驗表明， FeTe0.55Se0.45單晶的G點只有一條體能帶(dyz)穿越費米能級(圖2(e))[101]， 這顯然會影響G-Z能帶反轉的具體細節(jié). 考慮到鐵基超導體的能帶具有軌道依賴的質量重整化特征[81]， dxy能帶具有更大的重整化因子，這使得dxy能帶展寬變小， 從而不跨越費米能級.dxy能帶在G點附近與dyz能帶相交， 由于它們屬于相同的不可約表示， dxy與dyz能帶的交叉點打開雜化能隙， 這一現象也被ARPES清晰地觀測到(圖2(e))[101]. 為了與實驗保持一致， 理論學家利用k·p模型計算了FeTe0.55Se0.45單晶含SOC的準確能帶結構(圖2(f))[101]， 奇宇稱的pz能帶沿著G-Z方向與偶宇稱能帶有兩個交點. 首先， pz能帶和dxz能帶具有相同的角動量， 同屬相同不可約表示， 它們之間可以雜化從而在能帶交叉點打開SOC能隙， 因此在費米能級附近可以定義非平庸的Z2拓撲不變量(強拓撲絕緣體態(tài)). Te原子摻雜增強了材料的SOC， 有利于穩(wěn)定強拓撲絕緣體相.而pz能帶和dyz能帶角動量不同， 能帶交叉點受晶體主軸旋轉對稱性保護， SOC不能使之打開能隙.受對稱性保護的變宇稱能帶反轉是非平庸拓撲Dirac半金屬的典型特征， 因此在費米能級以上可以 定義拓撲Dirac半金屬態(tài).

2.2 拓撲絕緣體態(tài)的實驗發(fā)現

使用超高分辨ARPES對FeTe0.55Se0.45單晶進行能帶色散測量、光偏振極化測量、自旋分辨測量以及極低溫測量， 實驗證實了位于費米能級附近的拓撲絕緣體態(tài)[100]. 實驗清晰地觀測到了線性色散的Dirac表面態(tài); 利用ARPES的矩陣元分析[76，110]，鑒定出了Dirac表面態(tài)的軌道信息; 通過自旋分辨實驗直接觀測到了Dirac表面態(tài)的自旋軌道鎖定性質[25-27]; 最振奮人心的是， 在Dirac表面態(tài)費米波矢(kF)處測量的變溫能量分布曲線表明Dirac表面態(tài)在超導轉變溫度(Tc≈ 14.5 K)以下打開各向同性超導能隙. 這表明FeTe0.55Se0.45單晶天然滿足Fu-Kane模型的要求[24]， 從而可以規(guī)避構造異質結帶來的困難(圖1(a)). 實驗還發(fā)現Dirac表面態(tài)具有非常小的EF， 暗示FeTe0.55Se0.45單晶演生的渦旋MZM具有很大的拓撲能隙.

圖 2 Fe(Te， Se)的拓撲能帶結構與能帶反轉機制 (a) FeSe單晶的第一性原理計算(不含SOC)， 其中紅圈的尺寸表示pz軌道的成分[87]; (b) Fe(Te， Se)的晶體結構[87]; (c)拓撲能帶的形成機制[87]; (d) FeTe0.5Se0.5單晶的第一性原理計算(不含SOC)[87]; (e)超高分辨率激光ARPES測得的FeTe0.55Se0.45布里淵區(qū)中心的體態(tài)能帶結構[101]; (f) Fe(Te， Se)能帶的拓撲相(含SOC)， 其中TDS代表拓撲Dirac半金屬， TI代表拓撲絕緣體[101]Fig. 2. The mechanism of topological band structure and band inversion of Fe(Te， Se): (a) First-principle calculation of band structure of FeSe (without SOC)， the size of red circles represents the components of pz orbital[87]; (b) crystal structure of Fe(Te， Se)[87];(c) band inversion mechanism and orbital overlapping in Fe(Te， Se)[87]; (d) first-principle calculation of band structure of FeTe0.5Se0.5 (without SOC)[87]; (e) experimental band structure around G in FeTe0.55Se0.45 measured by ultra-high resolution laser ARPES[101]; (f) realistic topological band structure in FeTe0.55Se0.45 (with SOC). TDS stands for topological Dirac semimetal， TI stands for topological insulator[101].

ARPES能夠同時分辨電子的動量和能量信息， 直接獲得能帶結構， 因此被廣泛應用在拓撲材料的表征中[111]. 眾所周知[112，113]， ARPES的譜強度為

其 中 f (ω) 是費米-狄拉克函數，

是材料的譜函數， 表示材料中電子被光子激發(fā)的概率;

圖 3 FeTe0.55Se0.45單晶中線性色散的Dirac表面態(tài)的實驗觀測[100] (a) ARPES光子偏振與軌道的選擇性; (b) p偏振下觀測到的Dirac表面態(tài); (c) s偏振觀測到的體態(tài)dxz能帶; (d)G點能帶的軌道特性分析; (e)， (f)兩種偏振下軌道選擇性分析， 其中底部的軌道標記代表當前條件下具有ARPES選擇活性的軌道， 能帶示意圖中的虛線部分表示被矩陣元效應禁閉掉的能帶Fig. 3. Experimental observation of the linear dispersion of Dirac surface states in FeTe0.55Se0.45[100]: (a) The matrix element effect which defines the selection rule of ARPES intensity， depending on relationship between photon polarization and electron orbitals;(b) the Dirac surface states observed under p-polarization; (c) the dxz bulk bands observed under s-polarization; (d) orbital characters around G in FeTe0.55Se0.45; (e)， (f) orbital character determined by the matrix element analysis under p- and s-polarization， respectively. The orbital characters marked at the bottom represent the active orbitals under certain polarization and momentum.The dashed parts in the band structure represent the intensity suppressed by the selection rule.

是光電效應矩陣元， 決定了ARPES實驗的軌道選擇性定則. 只有當 Mfk，i不為零時， 才有可觀測的ARPES信號. 由于ARPES的出射光電子一般為平面波， 其波函數 ψfk相對于ARPES信號采集平面(即ARPES能量分析器的slit平面， 如圖3(a)中的粉色平面所示)總是偶函數， 為了使ARPES信號強度不為零， 光子偏振 A ·p 和材料中電子軌道波函數 ψik相對于ARPES信號采集平面的對稱性必須同奇同偶. 當光電子垂直發(fā)射時， 即測量G點時，ψfk相對于信號采集平面的垂直平面(如圖3(a)中的藍色平面)也為偶函數， 這時 A ·p 和 ψik相對于垂直平面的對稱性也會影響選擇定則. 圖3(a)的表格總結了不同實驗條件下的軌道選擇性定則[100].Fe(Te， Se)單晶中的拓撲絕緣體態(tài)主要由pz能帶和dxz能帶的拓撲能帶反轉產生， 在自旋軌道耦合的作用下， 拓撲表面態(tài)的軌道特性主要由這兩種軌道組成. 在G點附近， 預期的能帶軌道組成如圖3(d)所示. 在p偏振實驗幾何下， 光子極化方向同時包含Ay和Az， 這有利于pz軌道成分的觀測， 但會壓制G點dxz軌道的信號(圖3(e)). p偏振下的實驗結果如圖3(b)所示， 可以清晰地觀測到線性色散的Dirac錐能帶結構， 而dxz能帶頂比較模糊， 只能通過二次微分的方法加以分辨， 這一實驗觀測與矩陣元理論分析的預期結果一致. 而s偏振實驗幾何只含有Ax極化光子， 這使得G點附近的pz軌道的信號被強烈壓制， 拓撲表面態(tài)幾乎不可見， 與此同時， 由于s偏振對dxz軌道具有很好的選擇性，在這一實驗條件下可以很好地觀測體態(tài)的空穴型dxz能帶. s偏振下的實驗觀測與理論預期一致(圖3(c)， 圖2(e)). 超高分辨ARPES實驗清晰地觀測到了拓撲表面態(tài)的Dirac錐結構， 通過光子偏振測量發(fā)現SOC能隙下方的體態(tài)空穴型能帶主要由dxz軌道構成， Dirac表面態(tài)的上半支主要由pz軌道構成， 而下半支混有pz和dxz兩種軌道成分， 進而可以推測SOC能隙上方的體態(tài)電子型能帶主要由pz軌道構成(圖3(d)).

Dirac表面態(tài)( HTSIurface=σxky-σykx-μ) 具有本征的自旋軌道鎖定性質， Dirac電子繞費米面一圈產生大小為π的自旋Berry相位(圖4(a)). 這一行為也被當作鑒別拓撲絕緣體態(tài)的決定性證據之一. 如圖4(a)所示， 實驗選取Dirac表面態(tài)的一對費米點分別測量自旋極化能量分布曲線Cut 1和Cut 2 (圖4(b)， 圖4(c))， 在費米能級附近它們的自旋信號均發(fā)生了反轉， 這表明相同動量位置上， 上下半支Dirac表面態(tài)自旋極化不同， 另外在相同的能量上Cut 1與Cut 2的自旋也相反， 這些結果表明超高分辨ARPES觀測到的線性能帶具有自旋軌道鎖定性質， 這是Dirac表面態(tài)的重要特征.

圖 4 自旋軌道鎖定的Dirac表面態(tài)發(fā)生各向同性超導配對 (a) FeTe0.55Se0.45中Dirac表面態(tài)的自旋軌道鎖定性質[100]; (b)自旋分辨的ARPES實驗結果: 測量的動量位置為(a)圖標注的Cut 1[100]; (c)自旋分辨的ARPES實驗結果， 測量的動量位置為(a)圖標注的Cut 2[100]; (d) Dirac表面態(tài)kF處的能譜變溫實驗， 數據表明Dirac表面態(tài)在低溫下打開超導能隙， 且該能隙關閉的溫度大致與體態(tài)超導臨界溫度相同[100]; (e) Dirac表面態(tài)的超導能隙是各向同性的[100]; (f)總結FeTe0.5Se0.5單晶的拓撲絕緣體態(tài)能帶的主要觀測， 其中有拓撲能帶反轉、線性Dirac色散、自旋軌道鎖定、大超導能隙、小費米能[102]; (g) FeTe0.55Se0.45單晶中的 Dirac表面態(tài)感受到來自體態(tài)的s ±波超導近鄰效應， 滿足Fu-Kane模型的要求[100]Fig. 4. Spin-momentum locking and isotropic superconducting gap on the Dirac surface state: (a) The spin-momentum locking feature in FeTe0.55Se0.45 single crystal[100]; (b)， (c) spin-resolved ARPES data measured along Cut 1 and Cut 2 in panel (a)，respectively[100]; (d) temperature dependent energy distribution curves measured at kF of the Dirac surface state indicating a superconducting gap of the Dirac surface state opens below 14.5 K， which is the bulk Tc[100]; (e) isotropic superconducting gap on the Dirac surface state[100]; (f) summary of the main observations of the Dirac surface state on FeTe0.55Se0.45 single crystal， i.e. topological band inversion， linear dispersion， spin-momentum locking， large superconducting gap， small Fermi energy[102]; (g) the Dirac surface state of FeTe0.55Se0.45 single crystal acquires an effective spinless pairing due to the proximity effective from s ±-wave bulk superconductivity， which satisfies all of the requirements of Fu-Kane model[100].

為了研究Dirac表面態(tài)與體態(tài)超導電性的耦合， 實驗進一步測量了Dirac表面態(tài)kF處的超導能隙. 早期實驗表明， FeTe0.55Se0.45單晶的超導配對機制為s ± 波[77，114]， 其超導序參量在動量空間的分布如圖1(c)所示. 由于Dirac表面態(tài)主要集中在布里淵區(qū)中心(kF≈ 0.02 ?—1)， 表面Dirac電子感受到的體態(tài)超導電性可以近似看作常規(guī)s波超導. 理論預期FeTe0.55Se0.45單晶的體態(tài)超導通過k空間的超導近鄰效應賦予Dirac表面態(tài)s波超導配對. 早期極低溫ARPES實驗觀測發(fā)現Fe(Te，Se)單晶的G點附近存在兩個超導能隙(Δ1=1.7 meV， Δ2= 2.5 meV)， 在M點附近存在一個超導能隙(Δ3= 4.2 meV)[115]. 實驗分析發(fā)現， 考慮第三近鄰反鐵磁交換關聯(J3)的強耦合自旋交換模型[66]給出的能隙方程，Δ=|J2cos(kx)cos(ky)-J3[cos(2kx)+cos(2ky)]/2| ， 可以很好地描述并擬合實驗觀測到的Δ2和Δ3， 擬合得到的 J2/ J3值與中子散射測量的結果接近[116]. 然而Δ1同時具有最小能隙值和最小的kF， 這大大偏離了J1-J2-J3模型的預期[115]. 這些早期結果暗示Δ2和Δ3遵循s ± 超導配對， 而Δ1可能具有不同的來源. 得益于ARPES動量能量分辨率的提升， FeTe0.55Se0.45單晶的超導能隙如今獲得了更加清晰的實驗觀測[100]. 如圖4(d)所示， 新的實驗數據顯示Dirac表面態(tài)在低溫下打開1.8 meV的超導能隙(ΔSurface= 1.8 meV). 變溫實驗顯示， 表面態(tài)超導能隙的關閉溫度約為14.5 K. 進一步實驗發(fā)現， Dirac表面態(tài)的超導能隙呈現各向同性分布(圖4(e)). 具有最小kF的Dirac表面態(tài)上打開的超導能隙小于所有的體態(tài)超導能隙， 這一現象顯然與s ± 超導配對相左， 但符合k-近鄰效應導致Dirac電子配對的圖像. 新觀測到的ΔDirac與早期實驗得到的Δ1行為高度符合，這也合理解釋了Δ1不能被J1-J2-J3模型標度的問題. 綜合其他文獻的結果[77，82，99-102，115-119]， 本文總結了FeTe0.55Se0.45單晶超導能隙的情況如下:G點 附 近，ΔSurface=1.8meV，ΔdByuzlk=2.5meV ;M點附近，ΔMBulk=4meV . 另外值得一提的是， 表面態(tài)的超導能隙更容易被表面敏感的實驗手段(如ARPES， STM)觀測到[119].

圖4(f)總結了ARPES觀測到的FeTe0.55Se0.45單晶中拓撲絕緣體態(tài)的主要參數， 除去基本特征外， 有兩個細節(jié)值得注意: 其一， 拓撲絕緣體態(tài)的SOC能隙約為20 meV， 遠遠小于經典強拓撲絕緣體的SOC能隙(在Bi2Se3中約為300 meV)[25]; 其二， 拓撲表面態(tài)的Dirac點恰好出現在費米能級附近， 免除了精細調節(jié)化學勢(chemical potentail)的麻煩. FeTe0.55Se0.45單晶Dirac表面態(tài)的費米能僅為約4.4 meV， 這使得Fe(Te， Se)的拓撲表面態(tài)具有很大的Δ/EF比值(約0.5)， 與之相比， 在Bi2Se3中這一比值極小， 約為10-3—10-2. Fe(Te，Se)中Dirac表面態(tài)的這一特征為實現大拓撲能隙MZM帶來了初次曙光.

Fe(Te， Se)單晶表面自旋軌道鎖定的Dirac電子受到體態(tài)自旋簡并電子的s ± 超導電性的超導近鄰效應產生s波超導配對， 這等價于二維的無自旋手性p波拓撲超導體(圖4(g)). Fe(Te， Se)單一材料自然實現了Fu-Kane模型的所有要求，在常規(guī)超導渦旋里將會有理論預期的單個MZM(圖6(a)). 正如Lee[120]評價， Fe(Te， Se)單晶是大自 然的禮物!

2.3 Dirac半金屬態(tài)的實驗證據

如圖2(f)所示， Fe(Te， Se)中的Dirac半金屬態(tài)由pz軌道和dyz軌道構成， Dirac點位于費米能級以上， 無法利用ARPES直接測量體態(tài)Dirac錐能帶結構. 然而對于主軸旋轉對稱性保護的Dirac半金屬[121]， 表面費米弧和體態(tài)Dirac能帶在(001)表面重疊在一起， 自旋簡并的體態(tài)Dirac能帶上也可以觀測到自旋極化信號(圖5(c))[122-124]，因此ARPES實驗可以通過反常的體能帶自旋極化信號證明Dirac半金屬態(tài)的存在. 前面提到， 由于dxy能帶具有很大有效質量， 它與dyz能帶在G點附近交叉并打開雜化能隙(圖5(a))， dyz能帶的上半支向上延伸參與形成Dirac半金屬態(tài). 如圖5(b)所示， 自旋分辨ARPES實驗在dyz能帶的上半支觀測到了自旋極化信號， 且在G點兩側自旋極化方向相反. 通過分別測量kx和ky方向dyz能帶的自旋極化， 實驗發(fā)現該費米面上的自旋織構呈螺旋分布(圖5(d)， 圖5(e)). 這一行為是由于Dirac半金屬體能帶和表面費米弧投影到(001)面相互重疊導致的. 另外， 實驗發(fā)現dyz能帶的下半支不存在自旋極化現象(圖5(a)和圖5(b))，如圖5(d)和圖5(e)所示， 在—20 meV以下不存在自旋極化信號， 這在一定程度上可以排除dyz能帶上半支中觀察到的自旋極化現象來源于其他效應的可能. 這些證據支持Fe(Te， Se)本征費米能級以上存在Dirac半金屬態(tài).

圖 5 FeTe0.55Se0.45單晶中Dirac半金屬態(tài)的實驗觀測[101] (a)， (b)G點附近能帶自旋積分和自旋分辨信號; (c)主軸對稱性保護的Dirac半金屬(001)面的能帶結構， 自旋極化的表面態(tài)與體態(tài)混合; (d)， (e)體態(tài)Dirac能帶(dyz)四個代表性kF上的自旋極化ARPES信號， 實驗發(fā)現體態(tài)Dirac能帶具有螺旋自旋特征; (f) FeTe0.55Se0.45單晶中的拓撲非平庸能帶結構， 費米能級附近為拓撲絕緣體態(tài)， 費米能級以上有Dirac半金屬態(tài); (g)Dirac半金屬態(tài)的輸運證據. 在高磁場下， 磁阻隨磁場呈線性變化， 表明材料達到量子極限， 這是拓撲能帶的證據. 磁阻測量在16 K下進行. 圖中PMF和SMF分別代表在脈沖磁場和恒穩(wěn)磁場實驗條件下測量的結果Fig. 5. Evidence of Dirac semimetal phase in FeTe0.55Se0.45 single crystal[101]: (a)， (b) The spin-integrated and spin-resolved ARPES spectrum around G respectively; (c) the projected band structure on the (001) surface of a C4 symmetry protected Dirac semimetal.The spin polarized surface states are mixing with the bulk bands; (d)， (e) spin polarization of the dyz bulk band measured on four representative kF around the Fermi surface (as indicates in the insert). It is clear that the dyz bulk band has the helical spin texture;(f) summary of the topological band structure along the in-plane momentum. There are a strong topological insulator phase around the Fermi level and a topological Dirac semimetal phase above it; (g) the transport evidence of Dirac semimetal phase in FeTe0.55Se0.45 single crystal. The linear transverse magnetoresistance indicates the incorporation of bulk Dirac electrons. The transport experiments were carried at 16 K. The PMF and SMF represent pulse and static magnetic field respectively.

由于dxy能帶沉到費米能級以下， 費米能級附近的輸運行為主要由Dirac能帶決定， 這有利于觀測Dirac體能帶帶來的奇異磁阻輸運行為. 如圖5(g)所示， 實驗發(fā)現FeTe0.55Se0.45單晶的霍爾磁阻出現反常. 在6 T以下， 磁阻隨磁場呈半經典的二次型關系變化， 而在6—40 T的區(qū)間里出現了奇異的線性磁阻行為. 奇異的線性磁阻行為有多種解釋，比如在存在平均效應的多晶材料[125]、強無序系統[126]中都觀測到了線性磁阻， 然而這些情況顯然不適用FeTe0.55Se0.45單晶. 朗道能級量子極限下的磁阻輸運也呈線性[125，127]. 朗道能級的簡并度隨著磁場強度增加而上升(單位面積內的簡并數密度g=eB/h)， 當所有電子只占據最低朗道能級時，稱為朗道能級的量子極限. 實現量子極限不僅需要很強的磁場(以至于最低朗道能級可以容納所有電子)， 而且最低朗道能級與第一激發(fā)態(tài)之間的能量間距ΔELL需要大于EF和溫度漲落kBT[128]. 對于常規(guī)的二次型能帶， 朗道能級滿足諧振子分布， 即， 其中 m*為有效質量， μ為二次型能帶的化學勢. 為了實現量子極限， 需要， 利用Fe(Te， Se)的實驗參數本文估計出常規(guī)拋物線能帶的量子極限臨界磁場約為 60 T (估算參數為 T = 16 K，m*=5me)[81，100，101].顯然， 常規(guī)拋物線能帶不足以在有限的實驗條件下實現量子極限. 然而對于具有線性色散的Dirac能帶， 朗道能級滿足其中 ED為Dirac點的能量，νF為Dirac表面態(tài)的費米速度.， 本文通過簡單估算得出Dirac能帶情況下量子極限臨界磁場約為2.8 T (估算參數為T = 16 K， kF= 0.1 ?—1)， 這與實驗事實相匹配. 值得一提的是， 在早前的FeTe0.6Se0.4單晶磁阻測量中[128]， 線性磁阻行為在磁場高于2 T后出現， 這與我們的估計值更為接近. 因此圖5(g)所示的磁阻行為可以用Dirac半金屬態(tài)很好地解釋.

Fe(Te， Se)單晶的拓撲能帶隨后被其他實驗組驗證[129，130]. 最后， 本文將Fe(Te， Se)單晶能帶的拓撲相總結在圖5(f)中. Fe(Te， Se)單晶豐富的拓撲能帶為MZM的出現提供了新的舞臺. 由于鐵基超導正常態(tài)電子遷移率較高， 其化學勢一般很難通過電場柵壓等常規(guī)方式進行調控[131]， 通常情況下實驗上只能研究Fe(Te， Se)單晶處于本征費米能級附近時的性質. 本文下面將主要介紹拓撲絕緣體態(tài)(位于費米能級附近)演生的渦旋MZM.

3 Fe(Te， Se)單晶中渦旋MZM的實現

結合前面的介紹可知， MZM會以束縛態(tài)的形式出現在FeTe0.55Se0.45單晶的超導磁通渦旋中[24，100]， 在態(tài)密度譜上表現為超導能隙內的零能峰(圖6(a)). 由于FeTe0.55Se0.45單晶的體態(tài)能帶和Dirac表面態(tài)都具有很大的Δ2/EF， 因此我們預期在磁通渦旋中MZM與最低能CdGM束縛態(tài)之間會有很大的拓撲能隙， 這有利于實驗實現純的單個MZM.

STM具有亞?的空間分辨率[132，133]， 在真空單粒子隧穿條件下， 針尖與樣品之間的隧穿電流為

其中V是隧道結偏壓; T是溫度; x， y是樣品的面內位置; S是針尖與樣品的間距; τ 是隧穿矩陣元，當針尖波函數為各向同性的s波時， 隧穿矩陣元可以寫成

φt和 φs分別是針尖和樣品的功函數; ρt是針尖態(tài)密度; ρs是空間分辨的樣品局域態(tài)密度; f(E， T)是費米-狄拉克函數. τ 在小偏壓范圍內可以近似認為與偏壓V無關， 當針尖位置固定且針尖態(tài)密度為常數的條件下， 樣品的局域態(tài)密度可以通過STM的微分電導譜進行直接測量， 這時容易證明，. 因此STM非常適合用來檢驗磁通渦旋中是否存在MZM， MZM會以ZBCP的形式出現在dI/dV譜上.

實驗上使用極低溫強磁場STM系統測量了超高真空原位解理的FeTe0.55Se0.45單晶[102]， 如圖6(b)所示， 在FeTe0.55Se0.45表面上可以觀測到非常好的原子晶格像. 由于Se-Fe-Se“三明治”基塊之間的間隙由vdW力連接， 相互作用很弱，FeTe0.55Se0.45單晶將從vdW間隙解理， STM觀測到的表面為Se/Te原子面. 具有大原子半徑的Te原子高度較大， 在STM圖上表現為亮點， 而原子半徑相對較小的Se原子高度小， 在STM圖上表現為暗點. 這表明實驗具有很好的空間分辨能力， 有利于測量渦旋MZM束縛態(tài)并分辨其波函數特征. 如圖6(c)所示， 在0.5 T垂直磁場作用下，在STM零偏壓電導繪圖數據上可以觀測到磁通渦旋晶格， 這是第二類超導體的重要特征[10].STM微分電導譜直接測量的是局域態(tài)密度， 因此STM觀測到的磁通渦旋尺寸被超導相干長度(ζ)定義. 這與掃描磁力顯微鏡、掃描霍爾顯微鏡等磁學測量手段不同， 它們測量到的渦旋尺寸被超導磁穿透深度()所定義. 在圖6(c)紅框所標記的磁通渦旋中心測量的dI/dV譜上出現了非常尖銳的ZBCP， 且該ZBCP孤立在超導能隙中間， 看起來很像是單個零能束縛態(tài); 而在遠離渦旋中心的位置， dI/dV譜又恢復到正常的超導能隙譜形. 在超導體拓撲缺陷上觀測到零能束縛態(tài)是MZM存在的重要標志[24]， STM實驗的空間分辨能力使得該零能峰相較于在納米線等體系中依賴輸運手段觀測到的ZBCP具有更優(yōu)的空間測量精度和更好的Majorana可信度[33，134].

3.1 渦旋零能束縛態(tài)的真實性檢驗

考慮到Fu-Kane模型的要求， 為了驗證觀測到的ZBCP為MZM， 實驗上需要確定觀測信號是真實的單個渦旋零能束縛態(tài)， 我們做了如下檢驗.

第一， 實驗上確保觀測到的能隙內束縛態(tài)是真正的渦旋束縛態(tài)， 而不是由于雜質、不均或無序等因素導致的超導準粒子束縛態(tài). 在進行磁通渦旋測量之前， 實驗上首先對材料進行零場表征， 通過測量形貌圖、零場dI/dV譜和零場零偏壓電導繪圖，選擇超導能隙譜學特征好、零偏壓電導幾乎為零的干凈區(qū)域施加磁場進行進一步實驗. 如圖6(e)所示， 左側為2 T下觀測到的磁通渦旋， 在渦旋中心存在ZBCP(圖6(d))， 右側為在相同空間位置測量的零場零偏壓電導繪圖， 數據顯示該區(qū)域零場零偏壓態(tài)密度幾乎為零， 不存在其他缺陷導致的超導準粒子束縛態(tài)， 因此在圖6(d)中觀測到的態(tài)密度全部由磁通渦旋導致. 為了進一步驗證這一推論， 在含有ZBCP的渦旋中心位置進行了改變隧道結電阻的dI/dV譜測量(圖6(f))， 其中隧道結電導由GN≡It/Vs定義， 由于STM針尖的自反饋調節(jié)， 越大的隧道結電導對應越小的針尖-樣品間距和越大的隧穿耦合強度. 實驗發(fā)現， 在隧道結電導改變三個數量級(以Majorana量子電導2e2/h為單位)的幅度下， 零能峰始終穩(wěn)定. 這一行為符合渦旋束縛態(tài)的預期， 然而對于雜質、不均或無序等缺陷導致的超導準粒子束縛態(tài)， 束縛態(tài)能量在多數情況下會隨著隧穿耦合強度改變而改變. 例如， 雜質產生的束縛態(tài)可以等效看作是超導/半導體混合納米線末端量子點中的安德烈夫(Andreev)束縛態(tài)，改變隧穿耦合強度等價于改變量子點的化學勢， 這會導致束縛態(tài)能量改變[135].

圖 6 FeTe0.5Se0.5單晶超導磁通渦旋中MZM的發(fā)現 (a)理論預期MZM出現在 FeTe0.5Se0.5單晶的超導磁通渦旋中[100];(b) STM測量的FeTe0.5Se0.5單晶表面形貌圖[102]; (c)零偏壓電導繪圖， 可以觀察到渦旋晶格[102]; (d)部分渦旋中心存在尖銳的ZBCP[102]， 在(c)中紅框選中的渦旋中心測量的dI/dV譜如紅色曲線所示， 在該渦旋邊緣測量的dI/dV譜如黑色曲線所示;(e)， (f)渦旋零能束縛態(tài)的真實性檢驗之一: 測量到的束縛態(tài)是純凈的渦旋束縛態(tài); (e)加場測量前， 先在零磁場下利用dI/dV譜和零偏壓電導繪圖的方法檢驗所選區(qū)域， 選擇無雜質的區(qū)域進行渦旋測量， 左圖為2 T下零偏壓電導繪圖測到磁通渦旋， 右圖為0 T下在與左圖同樣空間位置測量的零偏壓電導繪圖[102]; (f)ZBCP在不同隧道結電阻條件下穩(wěn)定存在[102]; (g)渦旋零能束縛態(tài)的真實性檢驗之二: ZBCP的半峰全寬接近系統分辨率， 是真實的單峰[102]; (h)， (i)渦旋零能束縛態(tài)的真實性檢驗之三: 測量到的束縛態(tài)是真正的零能態(tài)， 其中(h)為STM直接測量到的I(V)曲線和lock-in輸出的dI/dV(V)曲線未經校準過的原始數據[102]; (i)為(h)中紅框區(qū)域的放大顯示[102]Fig. 6. The discovery of vortex Majorana zero mode in FeTe0.55Se0.45 single crystal: (a) The theoretical prediction of vortex MZMs in FeTe0.55Se0.45 single crystal[100]; (b) STM topography of FeTe0.55Se0.45 single crystal[102]; (c) zero-bias conductance map which shows vortex lattice[102]; (d) a sharp zero-bias conductance peak measured at the center of a vortex. In order to make sure the observation is indeed a zero energy vortex bound state， three careful checks are listed as follows. First of all， to make sure that the signal measured is indeed from vortex bound state[102]: (e) ZBC map after and before applying a magnetic field. It shows the local environment of the vortex is clean and free of impurities[102]; (f) ZBCP is stable under different tunneling barriers. Secondly， to make sure that the observed ZBCP is truly a single peak[102]; (g) FWHM of ZBCP measured under different tunneling barriers; (h)， (i) the observed ZBCP is truly a zero mode[102]. (h) is the simultaneous measured I(V) curve and dI/dV curve on the center of a vortex core[102]， (i) is the enlarged display of red box area in Fig. (h).

第二， 實驗上確保觀測到的能隙內束縛態(tài)是真正的單個量子態(tài)， 而不是多個近零能峰的混合. 通過對圖6(f)中的數據進行擬合， 實驗上提取了零能峰的半峰全寬(FWHM)在不同隧道結條件下的行為. 實驗發(fā)現測量到的FWHM小于0.29 meV， 且隨著隧道結的改變基本不變(圖6(g)). 通過校準系統分辨率， 實驗確定相同條件下系統的總能量展寬約為0.28 meV[102]， 這不僅表明測量到的ZBCP的展寬主要由系統分辨率決定， 而且表明ZBCP的峰寬幾乎達到了系統的綜合分辨率極限， 強烈支持觀測到的ZBCP是真正的單個量子態(tài). 在圖6(f)實驗涵蓋的隧道結范圍內隧穿耦合強度依然很弱， 利用標度理論(詳細介紹見第5節(jié))對不同隧道結條件下的電導值進行擬合[102]， 可以估計由隧穿耦合強度( Gt)決定的Majorana本征展寬約為， 它的值遠小于溫度展寬(3.5kBT )和儀器分辨率. 因此圖6(g)中顯示的FWHM行為描述了弱耦合隧穿條件下單個量子態(tài)的峰寬變化. 另外值得一提的是， 在強耦合條件下FWHM將隨隧穿耦合強度變大而增大， 其具體行為與隧穿耦合強度與溫度以及耗散強度的匹配關系有關(詳見5.1節(jié)).

第三， 實驗上確保觀測到的能隙內束縛態(tài)是真正的零能模. 眾所周知， STM技術存在示讀零點漂移的問題， 即儀器讀到的電流電壓零點并非物理真實值. 為了確保測量到的ZBCP是真正的零能模，需要對STM的零點漂移進行仔細校準. 在小偏壓下電流和電壓滿足線性關系， 因此在不同隧道結條件下測量的I(V )曲線的交點就是真實的電流和電壓零點. 利用這一方法， 在存在ZBCP的渦旋中心測量了不同隧道結條件下的I(V )曲線， 并將其與lock-in同步輸出的dI/dV曲線進行對比(圖6(h))，將圖6(h)中紅框部分的譜放大畫在圖6(i)中. 顯然， dI/dV曲線的峰位與I(V )曲線的交點精確符合 ， 誤差僅為dI/dV曲線的采點間隔(14 μeV).

3.2 甄辨零偏壓電導峰的平庸解釋

通過上述仔細檢驗可以確定， STM實驗在具有超導拓撲表面態(tài)的材料上觀察到了單個孤立的零能渦旋束縛態(tài)， 這就是Fu-Kane模型中的渦旋MZM. 然而， 零偏壓電導峰時常存在于超導混合結構的凝聚態(tài)物理實驗中， 這使得鑒定ZBCP為MZM變得十分困難. 雖然拓撲能帶的觀測和上述三個條件的確定已經強烈指向ZBCP為MZM， 為了嚴謹起見， 本文在這里羅列并討論其他可能導致ZBCP的機理. 這些機理曾經在其他體系中對鑒定ZBCP為MZM造成困難.

1)相干Andreev反射導致ZBCP[136-138]. 其中最主要的機制是無反射Andreev隧穿， 這一機制的核心是在Andreev重反射過程中空穴和粒子準粒子的相位共軛. 在比較無序的超導界面上，Andreev反射產生的空穴可以沿著電子入射路徑返回并與之相干， 從而導致電導增強. 這一效應會被磁場產生的額外相位破壞.

2)非相干Andreev反射的累積效應也可以產生ZBCP[139，140]. 處在弱耦合條件下的實驗不利于非相干Andreev反射的發(fā)生.

3)近藤效應[141-144]. 傳導電子在經過磁性雜質時發(fā)生自旋反轉共振， 從而產生零能態(tài)密度. 近藤效應的發(fā)生需要有正常態(tài)的傳導電子以及自旋雙重態(tài)的磁性雜質， 且近藤共振ZBCP在磁場下劈裂[144].

4)約瑟夫森電流[145-148]. 超導庫伯對隧穿過程在dI/dV曲線上表現為尖銳的ZBCP并伴有負電導出現， 這一現象可以被熱漲落下的約瑟夫森模型很好地解釋[147，148]. 使用非超導金屬針尖的STM實驗不能產生約瑟夫森電流.

5)無序導致的零能模[149-153]. 其中最主要的機制是Class-D弱反局域化. 當系統的尺寸L大于電子平均自由程l但小于電子相位相干長度lφ時，電子輸運行為滿足量子彌散輸運. 在常規(guī)材料中，量子彌散輸運導致弱局域化， 這也被看作是安德森局域化的前驅體[154]. 在拓撲材料中， 額外的π幾何相位使得材料發(fā)生弱反局域化， 產生零偏壓電導峰[155]. 通常情況下， 磁場會破壞彌散輸運的電子相干， 從而抑制常規(guī)弱(反)局域化輸運的發(fā)生. 但是在時間反演對稱性破缺的Class-D超導體中，Andreev反射過程中的電子和空穴路徑也可以滿足量子彌散輸運的相干條件， 從而產生弱反局域化零能電導峰[150，151]. 原則上， Fe(Te， Se)單晶中可能存在該機制， 但是得益于STM的空間分辨能力，實驗上可以通過零場檢驗選擇更加有序的區(qū)域進行測量， 規(guī)避這一機制的風險.

6)電荷勢場起伏導致的零能Andreev束縛態(tài)[156-159]. 這一現象普遍存在于納米線體系的末端量子點中[34，160]. 原則上Fe(Te， Se)單晶中可以存在這一機制， 但借助零場檢驗的方法選擇更加有序的區(qū)域進行測量， 可以有效規(guī)避該機制帶來的風險. 如果ZBCP是電荷勢場起伏導致的， 那么在選定空間位置的零場測量下就應該出現.

7)單個磁性雜質的強耦合Yu-Shiba-Rusinov束縛態(tài)[161，162]. 實驗上可以選擇不存在磁性雜質的位置進行渦旋測量， 規(guī)避這一風險(3.1節(jié)).

8)非常規(guī)超導體的零能表面Andreev束縛態(tài)[163-174]. 當Andreev隧穿方向上存在水平超導能隙節(jié)線時， 粒子和空穴之間的π相位相干產生零能Andreev束縛態(tài)， 比如 〈110〉 隧穿測量下的d波高溫超導體等. Fe(Te， Se)單晶垂直隧穿測量中不存在超導相位的變化.

9)當渦旋束縛態(tài)的能級間距很小時， 多個近零能束縛態(tài)擠在零偏壓附近， 有限能量分辨率的條件下造成ZBCP的假象[13-15，175]. 這一現象常見于常規(guī)s波超導體(如NbSe2)的磁通渦旋中. 我們觀測到的ZBCP的峰寬接近系統能量分辨極限， 不像是多個峰的卷積. 后面第6節(jié)會介紹Fe(Te，Se)單晶中觀測到的分立渦旋束縛態(tài)能級， 可以安全排除這一可能.

綜上所述， 利用極低溫強磁場STM系統，STM實驗在FeTe0.55Se0.45單晶中發(fā)現了渦旋MZM. STM技術具有優(yōu)秀的能量和空間分辨率以及溫度、磁場、隧穿條件等多維度的可調性， 這使得仔細研究渦旋MZM的性質和行為成為可能， 不僅有利于加深我們對MZM的理解， 也方便進一步證明FeTe0.55Se0.45單晶磁通渦旋中觀測到的Z BCP是MZM.

4 演生渦旋MZM: Fe(Te， Se)單晶中的催生和破壞因素

由第1節(jié)的介紹可知， Fu-Kane模型是二維模型， 研究了只存在Dirac表面態(tài)的情況下， 二維平面上的零維磁通渦旋中MZM的演生[24]. Fu-Kane模型的簡化處理敏銳地抓住了物理問題的核心， 避免引入次要因素干擾Majorana核心物理的闡述.然而在實際實驗中使用的單晶樣品(例如Fe(Te，Se))是三維材料(自賦性拓撲超導體)， 在施加垂直磁場時， 不僅在材料的二維表面上存在零維磁通渦旋(即STM觀察到的， 圖6(c))， 在材料體內也存在貫穿材料的一維磁通渦線[12]. 嚴格說來， 表面觀察到的零維磁通渦旋并不孤立，而是一維磁通渦線的末端. 再者， FeTe0.55Se0.45單晶不是完美的拓撲絕緣體， Dirac表面態(tài)構成的費米面不是材料惟一的費米面[100]， Dirac表面態(tài)與體態(tài)能帶在費米能級附近共存(圖2(e))， 這是超導自近鄰效應的內在要求， 無可避免. 最后， 由于真實材料存在無序、不均、缺陷等不完美因素， 準粒子束縛態(tài)會發(fā)生耗散.因此， 在多種因素共存的真實材料體系中， 從實驗上研究各因素與演生MZM之間的關系， 可以幫助我們更清晰地認識Fe(Te， Se)單晶中渦旋MZM的演生機理， 厘清哪些因素對MZM的形成有直接貢獻， 而哪些因素會破壞MZM.

本節(jié)將介紹渦旋MZM波函數的空間分布特征[102]以及MZM在不同空間位置和不同溫度下的準粒子中毒效應[102]. 在真實的FeTe0.55Se0.45單晶中， MZM由Dirac表面態(tài)的超導準粒子產生， 而材料或實驗不完美等因素帶來的準粒子中毒效應會抑制MZM (基礎準粒子中毒效應)， 體態(tài)能帶提供了額外的費米子浴， 在高溫下增強MZM準粒子中毒(額外準粒子中毒效應). 本節(jié)最后將對比二維Fu-Kane模型[24]和三維渦線模型[176-178]， 結合實驗結果可以發(fā)現， 只考慮Dirac表面態(tài)的二維Fu-Kane模型可以很好地描述渦旋MZM的極低溫行為， 而真實材料的三維特征在高溫和空間強不均情況下影響渦旋MZM的存活和演生 .

4.1 渦旋MZM的波函數

MZM波函數具有一定的“空間體積”， 其分布范圍由Majorana相干長度決定. 這意味著渦旋MZM的ZBCP不只出現在渦旋中心， 而是在繞渦旋中心一定的空間范圍內都可以觀測到. STM測量的ZBCP峰強由相應空間位置上的MZM波函數的模平方決定. 在Fu-Kane模型中[24，179]， 均勻超導體的渦旋MZM波函數模方為

其中

r是離開渦旋中心的距離，Ji(x) 是貝塞爾函數. 將Δ(r) 做階躍函數近似[102]， 可求得MZM波函數強度的表達式為

圖 7 渦旋MZM的波函數[102] (a)磁通渦旋的零偏壓電導繪圖; (b)沿著(a)圖中黑色點線所示位置測量的dI/dV(r， V)強度分布圖; (c)與(b)圖對應的dI/dV譜; (d)從(c)圖中選取的dI/dV譜的重疊表示; (e)ZBCP的強度(上圖)以及FWHM(下圖)在空間上的分布; (f)ARPES和STS數據對比， 實驗測得Dirac表面態(tài)Δ0 = 1.8 meV， EF = 4.4 meV， ξ = νF/Δ0 = 123 ?; (g)實驗測量和模型計算的MZM強度空間分布， 參數為(f)圖的參數.Fig. 7. The wavefunction of vortex Majorana zero mode[102]: (a) A zero bias conductance map of a topological vortex; (b) a dI/dV(r， V)line-cut intensity plot along the black dashed line indicated in (a); (c) a waterfall-like plot of (b) with 65 spectra; (d) an overlapping display of eight dI/dV spectra selected from (c); (e) spatial dependence of the height (top) and FWHM (bottom) of the ZBCP;(f) comparison between ARPES and STS results， Δ0 = 1.8 meV， EF = 4.4 meV， ξ = νF/Δ0 = 123 ?; (g) comparison between the measured ZBCP peak intensity with a theoretical calculation of MZM spatial profile with the parameters extracted from (f).

可以證明 Δ (r) 截斷閾值的選取不影響結果， 其中C是歸一化常數， Δ0是Dirac表面態(tài)的原始超導能隙，EF是Dirac表面態(tài)的費米能，ξ 是Majorana相干長度.

利用STM測量跨越磁通渦旋的dI/dV譜(圖7(a))， 實驗發(fā)現超導能隙內出現的ZBCP在不同的空間位置上一直保持在零能， 這完全符合MZM的理論預期(圖7(b)). 這是目前人們在凝聚態(tài)物理系統中獲得的最清晰的MZM空間波函數觀測結果. 通過仔細分析不同空間位置的dI/dV譜發(fā)現， 隨著STM測量位置遠離渦旋中心， MZM強度逐漸減小(圖7(d)). 理論上， MZM零能強度正比于MZM波函數的平方， 如圖7(e)所示， 實驗提取了MZM零能強度在空間上的分布. 為了確定Dirac表面態(tài)的真實參數， STM實驗測量了磁通渦旋中心寬能量范圍的dI/dV譜， 并將其與ARPES測量的Dirac表面態(tài)進行對比(圖7(f)).STS譜在6.1和—14.9 meV處的特征分別與ARPES測得的導帶底和價帶頂的能量位置符合得很好. STS譜在—4.4 meV處呈現線性凹陷行為， 這是Dirac點的態(tài)密度特征[180]， 同時ARPES實驗在—4.4 meV附近也觀測到了拓撲表面態(tài)的Dirac點. 結合ARPES和STM的實驗觀測并作簡單推算， 可以得到Dirac表面態(tài)的實驗參數如下: Δ0=1.8 meV， EF= 4.4 meV， ξ = νF/Δ0= 123 ?. 將這些參數代入Fu-Kane模型導出的MZM波函數(11)式中， 經過必要的歸一化處理， 研究發(fā)現使用Dirac表面態(tài)的真實實驗參數， Fu-Kane模型可以完美重現STM實驗觀測到的MZM峰強空間分布特征(圖7(g)).

圖7的實驗結果表明， FeTe0.55Se0.45單晶的Dirac表面態(tài)催生了渦旋MZM. 雖然在真實體系中磁通以一維渦線的形式穿過整個三維體材料(磁通渦線具有kz一維色散). 但是， 在渦旋MZM出現的前提下， 二維的Fu-Kane近似模型對于分析渦旋MZM的極低溫行為依然有效， 這時可以把FeTe0.55Se0.45單晶樣品中演生的渦旋MZM看作是二維超導拓撲表面態(tài)的渦旋點缺陷上的MZM.本文將在4.3節(jié)和第7節(jié)中介紹真實三維材料中的具有一維能譜色散的渦線， 渦線的參與會影響表面渦旋中MZM的演生.

4.2 渦旋MZM的準粒子中毒

在絕對零度， 完美s波超導體中的所有導電電子都組成庫伯對， 超導準粒子濃度為零[181]， 隨著溫度升高， s波超導體能隙中出現熱激發(fā)準粒子的占據. 在有限溫度下， 其熱平衡濃度為

其 中 ρN(0) 為 正 常 態(tài) 費 米 能 級 處 的 態(tài) 密 度. neqqp對應的準粒子壽命可以按照下式估計:

然而實驗發(fā)現， 材料中的超導準粒子濃度往往遠遠超過(12)式所預期的熱平衡值， 這造成了超導準粒子壽命縮短[182，183]. 這種來源尚不完全明確的非平衡超導準粒子占據對實驗預期有嚴重干擾， 因此被稱為準粒子中毒[182-190]. 超導體準粒子中毒效應的強弱可以由超導能隙的“軟硬”來表征， 越“硬”的超導能隙在態(tài)密度譜上具有越陡峭的能隙邊和更小的能隙內態(tài)密度， 這代表未配對的超導準粒子越少.

準粒子中毒效應本質上為相干量子態(tài)提供了一個可以耦合的費米子池， 超導能隙內的量子束縛態(tài)與費米子池的耦合是一個量子耗散的過程， 這使得量子束縛態(tài)壽命降低， 在態(tài)密度譜上表現為峰寬變大， 峰強減小[184-187]. 對于MZM構成的系統，量子比特由相同費米子宇稱的量子態(tài)構成，Majorana量子比特只對保持費米子宇稱的擾動免疫， 而準粒子中毒效應會改變MZM系統的費米子宇稱， 破壞Majorana量子比特， 造成信息丟失， 因此， 所有的量子比特操作都必須在準粒子中毒定義的MZM壽命之內完成[184-190]. 同時， 從MZM實驗觀測的角度看， 準粒子中毒效應會降低MZM強度、增大能量展寬， 導致MZM實驗信號消失. 準粒子中毒效應是MZM的主要破壞因素， 也是發(fā)展拓撲量子計算的主要障礙之一. 在FeTe0.55Se0.45單晶中研究渦旋MZM的準粒子中毒效應， 可以為鐵基超導體中MZM的演生機理以及潛在應用提供寶貴信息.

首先， 低溫(0.55 K)實驗研究了渦旋MZM在不同空間位置上的基礎準粒子中毒效應. 如圖8(a)所示， 實驗選取三個磁通渦旋， 分別測量了渦旋中心(紅色曲線)和渦旋邊緣(黑色曲線)的dI/dV譜. dI/dV譜在渦旋中心都存在尖銳的ZBCP， 在渦旋邊緣譜形恢復超導能隙特征. 渦旋附近準粒子中毒效應的強弱可以用渦旋邊緣譜的能隙內態(tài)密度來表征， 定義渦旋邊緣譜—1—1 meV范圍內的微分電導積分值為渦旋位置的準粒子背景，作為準粒子中毒效應的定量衡量. 通過同時分析渦旋中心ZBCP的FWHM和渦旋邊緣的準粒子背景， 實驗發(fā)現超導準粒子中毒效應越強的空間位置上出現的MZM具有越大的能量展寬， 即具有更短的準粒子壽命(圖8(a)右下圖). 準粒子中毒效應導致實驗觀測到某些渦旋MZM具有遠大于系統能量分辨率的ZBCP展寬. 在準粒子中毒效應很弱的空間位置出現的渦旋MZM的能量展寬接近系統能量分辨率極限. 渦旋MZM的準粒子中毒強度存在明顯的空間不均性， 這應該與FeTe0.55Se0.45單晶樣品的本征不均性有關(詳見6.3節(jié)、第7節(jié)).

圖 8 渦旋MZM的準粒子中毒效應[102] (a)三個不同磁通渦旋中測量的渦旋中心譜和邊緣譜， Background定義為渦旋邊緣譜—1—1 meV的積分值， 顯然， 超導能隙越“軟”， 渦旋中心的ZBCP峰寬越大; (b) 0.55 K (左側)和4.2 K (右側)下測量的渦旋束縛態(tài); (c)渦旋MZM的變溫實驗， 其中灰色曲線為最低溫曲線的數值溫度卷積; (d)渦旋MZM振幅隨溫度的變化， 振幅定義為ZBCP的峰谷差; (e)降低準粒子中毒有望提高MZM的存活溫度， 左圖: 使用C/T擬合MZM振幅隨溫度的變化關系， C與渦旋MZM的存活溫度正相關; 右圖: 對9個渦旋MZM變溫實驗的總結， 0.55 K下振幅越大的MZM可以在更高的溫度下存活; (f)渦旋MZM隨溫度變化行為的合理機制， 紅色曲線為渦旋MZM， 藍色曲線為體能帶催生的體態(tài)渦旋束縛態(tài)的示意圖Fig. 8. Quasiparticle poisoning of vortex Majorana zero modes[102]: (a) Three vortex Majorana zero modes measured on different locations， the FWHM of ZBCP at the center of the vortex core is larger when the SC gap around the vortex core is softer; (b) a zero bias conductance map of vortex and line-cut intensity plot of Majorana zero modes measured under 0.55 K (left) and 4.2 K (right)，respectively; (c) temperature evolution of ZBCPs in a vortex core. The gray curves are numerically broadened 0.55 K data at each temperature; (d) amplitude of the ZBCPs of three vortex MZMs under different temperatures. The amplitude is defined as the peak-valley difference of the ZBCP; (e) left panel: C/T fitting of amplitude of Majorana ZBCPs under different temperatures. Right panel: summary on several temperature evolution measurements; (f) schematic explanation of the temperature effect on Majorana ZBCPs. The red line is the vortex MZM and the blue line is the bound state of body votex.

接下來， 實驗關注選定的渦旋MZM， 研究了升高溫度引入的額外準粒子中毒效應. 為了最大程度減小渦旋蠕變帶來的影響[191，192]， 實驗上采取緩慢升溫的方式， 使得磁通渦旋不隨變溫而移動， 確保變溫實驗研究的是同一個渦旋MZM. 圖8(b)左右兩側分別是在0.55和4.20 K下測量的渦旋零偏壓電導繪圖以及跨越渦旋中心的dI/dV(r， V)強度分布圖. 出人意料的是渦旋MZM特征在4.2 K下便完全消失了， 在2.2節(jié)中， ARPES實驗表明Dirac表面態(tài)的超導能隙在14.5 K左右關閉， 而這里STM實驗觀測到的渦旋MZM消失溫度遠低于Dirac表面態(tài)能隙關閉溫度， 這一行為不能用Fu-Kane近似模型進行解釋. 結合我們在4.1節(jié)中利用Fu-Kane模型導出的渦旋MZM波函數((11)式)可以看到， 渦旋MZM的強度只通過超導能隙接受溫度的調制. 由于常規(guī)超導體的能隙在Tc/2 (約8 K)以下基本保持不變[181]， 因此理論預期在8 K以下， FeTe0.55Se0.45單晶中渦旋MZM的溫度演化應該遵循費米-狄拉克函數卷積規(guī)律. 然而圖8(b)的數據顯示MZM在4.2 K時就過早消失， 這表明材料中存在其他抑制機制加速了MZM的升溫破壞. 為了深入研究MZM溫度演化行為的微觀機制， 圖8(c)繪制了渦旋中心ZBCP的變溫曲線. MZM的峰寬由隧穿耦合強度、溫度展寬、儀器分辨率以及基礎準粒子中毒效應共同決定. 改變實驗溫度并保持其他實驗條件不變時， 隧穿耦合強度和儀器分辨率保持穩(wěn)定， 如果準粒子中毒效應也保持恒定， 那么在 Tc/2 以下MZM的dI/dV譜可以由最低溫dI/dV譜卷積費米-狄拉克函數得到(圖8(c)中灰色曲線). 然而數值卷積顯示， 在升高溫度的情況下MZM的峰強被過度壓制， 峰強隨溫度的衰減超越了費米-狄拉克函數的影響程度. 這一現象在9個不同的渦旋MZM上得到了很好的重復. 實驗提取了不同溫度下的ZBCP振幅， 并將其中三個渦旋MZM的情況繪制在圖8(d)中. 其中ZBCP振幅定義為ZBCP的峰-谷強度差， 非零的ZBCP振幅是觀測MZM的必要條件. 顯然， 大多數渦旋MZM的ZBCP振幅在3 K左右消失， 這遠遠低于Dirac表面態(tài)超導能隙的關閉溫度. 仔細考察體能帶的參數可以發(fā)現， MZM的消失溫度與體能帶相關的一維渦線束縛態(tài)能隙(δ)接近[99]， δ = (Δ2/EF)Bulk≈(kBT)|T=3K. 這一結果表明， 渦旋MZM隨著溫度升高表現出的過度壓制行為與體態(tài)能帶密切相關， 這是FeTe0.55Se0.45單晶的三維性導致的.在實際實驗中， 磁通渦線沿著晶格c軸方向貫穿整個材料， 一維渦線體內的束縛態(tài)由體態(tài)能帶演生(渦線末端的渦旋束縛態(tài)與表面態(tài)有關).FeTe0.55Se0.45單晶的能帶參數測量表明Dirac表面態(tài)比體態(tài)能帶具有更大的Δ2/EF， 溫度效應將主要激發(fā)體態(tài)超導準粒子. 在極低溫度下(kBT?δ)，一維渦線對于超導準粒子絕緣， 渦線末端由表面Dirac電子產生的渦旋MZM可以近似看作是孤立二維拓撲超導系統點缺陷上的MZM， 這時可以忽略材料的三維特征. 但是嚴格地講， 樣品表面的渦旋MZM是一維渦線的末端束縛態(tài)， 在樣品垂直方向上被一維渦線體內的準粒子能隙(δ)保護. 可以證明， MZM波函數沿著c方向的特征局域長度反比于δ (圖8(f)左圖)[176]. 隨著溫度升高， 一維渦線體內的熱平衡超導準粒子遵循指數增加規(guī)律(活化行為). 這些由熱激發(fā)產生的體內超導準粒子與束縛在材料表面的渦旋MZM混合， 扮演了額外費米子池的角色， 提供了準粒子中毒的額外來源， 這使得準粒子中毒效應隨著溫度上升而加重， 造成渦旋MZM的過度壓制行為(圖8(f)右圖). 當kBT ≈δ時， 從體內產生的熱激發(fā)準粒子會與表面的渦旋MZM強烈混合， 渦旋MZM的波函數被拉入體內，甚至與渦線另外一端的MZM相遇湮滅.

最后， 圖8(e)總結了9次渦旋MZM變溫實驗，將測量得到的ZBCP振幅用 C/T 進行擬合(理論依據詳見第5節(jié))， 提取出的C參量與MZM的最高存活溫度正相關. 研究發(fā)現， 0.55 K下具有較大ZBCP振幅的渦旋MZM有較大的C參量，這暗示升溫導致的額外準粒子中毒效應可能在空間上分布均勻， 而空間分布不均的基礎準粒子中毒效應(圖8(a))改變了準粒子中毒效應的起始點，從而影響了MZM的最高存活溫度. 減小基礎準粒子 中毒效應有助于實現高溫MZM.

4.3 二維Fu-Kane模型與三維渦線模型中的MZM

從前面的介紹已經知道， 在FeTe0.55Se0.45單晶中， Dirac表面態(tài)是演生渦旋MZM的直接貢獻者， 而準粒子中毒效應會破壞MZM. 體能帶在高溫下提供額外準粒子中毒效應， 是MZM的“毀滅者”. 在極低溫下， 對于已知存在MZM的渦旋， 真實材料的三維特征可以被忽略， MZM的低溫行為可以被二維Fu-Kane模型很好地描述. 然而， 真實材料的三維特征， 特別是Dirac表面態(tài)與體態(tài)能帶在費米能級附近共存的事實， 確實會對FeTe0.55Se0.45單晶表面上的渦旋MZM演生機制產生影響， 因此， 研究更為細節(jié)的三維理論模型不僅可以拓展Fu-Kane模型， 而且可以為真實材料中演生的渦旋MZM提供更多信息.

實際上， 在Fu-Kane模型提出不久人們就意識到多數拓撲絕緣體的本征化學勢并不位于體態(tài)的絕緣體能隙內， 拓撲絕緣體的體態(tài)不再是絕緣態(tài)， 而是金屬態(tài)[25]. 這自然帶來一個問題——當體態(tài)導電的拓撲絕緣體引入超導配對時， 表面磁通渦旋中是否仍然存在MZM[176，193]? 很快， 理論物理學家以電子摻雜的Bi2Se3為載體建立了三維模型[176-178]， 研究了體態(tài)不絕緣時沿c方向貫穿體材料的一維磁通渦線的拓撲相變行為. 三維渦線模型將體態(tài)能帶放入渦旋BdG方程中， 通過求解BdG方程可以得到體態(tài)能帶導致的、具有一維色散的渦線束縛態(tài)[176]. 如圖9所示， 當化學勢位于體態(tài)能帶的絕緣體能隙中時(μ ＜ |mG|)， 一維渦線對準粒子完全絕緣， 不存在渦線束縛態(tài). 當化學勢升高并觸及體態(tài)能帶時(μ = |mG|)， 具有一維色散的渦線束縛態(tài)出現， 它們的不同能級之間具有極小的能量間隔(δ ≈ (Δ2/EF)Bulk). 這時渦線內部在極低溫下仍然絕緣. 隨著化學勢繼續(xù)升高， 渦線束縛態(tài)能級間隔持續(xù)變小， 可以證明， 當體態(tài)能帶Berry相位達到π時， 體態(tài)渦線束縛態(tài)移動到零能，在kz一維方向上呈無能隙線性色散分布(μ = μc)，這時磁通渦旋發(fā)生拓撲相變. 如果繼續(xù)增加化學勢， 渦線束縛態(tài)將重新打開能隙， 磁通渦線進入不同的拓撲相.

通過計算體能帶的Berry相位或者直接計算高對稱點的渦線束縛態(tài)， 三維渦線模型可以有效確定渦線拓撲相變發(fā)生的位置[176]， 然而三維渦線模型本身并不能確定相變前后哪一側是拓撲非平庸的， 這一鑒定的實現需要利用體態(tài)能帶重新計算相變前后的拓撲不變量. 換句話說， Dirac表面態(tài)的存在與否決定了相變前后的哪個相是拓撲非平庸的， 這恰恰是二維Fu-Kane模型告訴我們的信息.為了將這一點闡述得更加明確， 本文下面利用這兩種模型分別討論渦旋MZM在超導的三維拓撲絕緣體和超導的普通絕緣體中的行為. 1)正常態(tài)是拓撲絕緣體的情況. Fu-Kane模型中的渦旋MZM可以在任意化學勢下存在. 改變Dirac表面態(tài)的化學勢會減小束縛態(tài)的拓撲能隙但不能使渦旋MZM消失. 而在三維渦線模型中， 化學勢位于Dirac點時渦旋中存在MZM. 隨著化學勢的升高，體態(tài)能帶參與進來， 渦線體內出現能隙微小的束縛態(tài)， 這使得材料表面上的渦旋MZM波函數向體內延伸， 直至化學勢跨越拓撲相變點， 渦旋MZM消失. 在三維渦線模型中， 渦旋MZM只能在Dirac點附近的有限化學勢范圍內存在. 2)正常態(tài)是普通絕緣體的情況. 這時Fu-Kane模型是真空模型，任何化學勢下都不存在渦旋MZM. 在三維渦線模型中， 零化學勢附近不存在MZM， 但是升高化學勢會發(fā)生渦線束縛態(tài)的拓撲相變. 隨著化學勢的改變， 體態(tài)能帶的Berry相位跨越π， 渦旋MZM出現在樣品表面[176].

圖 9 三維渦線模型中的渦線拓撲相變. 第一行: 拓撲材料費米面隨化學勢的變化. 第二行: kz = 0處的低能渦線束縛態(tài)隨化學勢的變化， 其中紅色曲線代表最低能的渦線束縛態(tài). μ ＜ |mG|時， 費米能級位于體態(tài)能隙內， μ = |mG|時費米能級位于導帶底／價帶頂. μ = μc時， kz = 0處的渦線束縛態(tài)發(fā)生拓撲能帶反轉， 渦線拓撲相變發(fā)生. 第三行: 不同化學勢下渦線束縛態(tài)的kz 色散. 第四行: 當材料為拓撲絕緣體時， 表面MZM隨化學勢的演化. 第五行: 當材料為普通絕緣體時， 表面MZM隨化學勢的演化. 本圖改編自文獻[176]， 部分內容為原創(chuàng)Fig. 9. Topological vortex phase transition in the three-dimensional vortex line model. The first line: Evolution of the band structure of a topological material by tuning the chemical potentials. The second line: Evolution of the low energy vortex bound state at kz = 0 under different chemical potentials. The third line: The kz dispersion of low energy vortex bound states. The fourth and fifth line: evolution of vortex Majorana zero modes under different chemical potentials in topological insulator and normal insulators， respectively. This figure is adapeted from Ref. [176]， some features are added by us.

可見， Fu-Kane模型是研究渦旋MZM的核心模型， 三維渦線模型是對Fu-Kane模型的拓展. 真實材料的三維特征不僅引入了額外準粒子中毒效應， 而且在改變化學勢的條件下引入了渦線拓撲相變， 相變前后渦旋MZM產生或消失. 三維渦線模型中處于拓撲相的磁通渦線可以看作是一維的Class-D拓撲超導體[194-197]. 三維渦線模型對理解束縛態(tài)拓撲相變具有深刻意義， 現已被推廣到更具體的情況， 比如Fe(Te， Se)單晶中的渦線拓撲相變[198]， 拓撲體能帶與平庸體能帶耦合時的渦線相變(拓撲非平庸相區(qū)變形但仍需包括表面態(tài)的Dirac點)[199]， 塞曼(Zeeman)耦合驅動的渦線拓撲相變[200]， 正常態(tài)是弱拓撲絕緣體[201]以及Dirac半金屬[202，203]時的渦線拓撲相變等等.

本節(jié)介紹了真實三維材料中渦旋MZM的演生機制， 詳細解答了為什么Fe(Te， Se)單晶樣品中存在渦旋MZM. 可以看到， Dirac表面態(tài)是演生渦旋MZM的主要貢獻者， 在MZM出現的前提下， Fu-Kane模型可以很好地描述渦旋MZM的極低溫行為， 這時材料的三維特性可以被忽略. 準粒子中毒效應會破壞渦旋MZM， 高溫下體態(tài)能帶會引入額外準粒子中毒效應， 加速渦旋MZM的消失. 體態(tài)能帶的存在還會影響渦旋MZM的演生，當化學勢存在很強的空間漲落時， 部分空間位置可以跨越相變點， 此處的磁通渦旋中不能演生MZM.在理解了FeTe0.55Se0.45單晶演生渦旋MZM的機理之后， 本文下面將聚焦渦旋MZM的基本性質.

5 測量渦旋MZM的Majorana本質:粒子-空穴等價性

產生湮滅算符的自共軛性質( γ?=γ )是MZM的本質性質， 也是MZM獲得“Majorana”命名的原因. MZM可以用復費米子算符( c?， c)寫成 Bogoliubov準粒子的形式， 即

MZM的本質性質(Majorana對稱性)使得MZM的電子部分和空穴部分波函數等價(u*= v)，電子-空穴等價性是MZM的Majorana本質的直接體現[1-8]. 本節(jié)將結合Law-Lee-Ng理論[204]介紹 Majorana準粒子電子-空穴等價性導致的共振Andreev反射， 這使得Majorana準粒子獲得本征共振量子電導(2e2/h)， 在理想實驗狀況下MZM的電導值對隧穿耦合強度的變化免疫. 文獻[105]通過變耦合強度STM譜的方法， 在FeTe0.55Se0.45單晶的渦旋MZM上觀測到對隧道結變化免疫的電導平臺， 實驗發(fā)現電導平臺行為是MZM所獨有的， 在有限能量CdGM態(tài)、零場零偏壓以及超導能隙外的連續(xù)態(tài)上都不存在電導平臺行為， 最重要的是， STM實驗在其中一個渦旋MZM上測量到了2e2/h量子化的Majorana電導平臺， 這一結果強烈暗示實驗成功觀測到了MZM導致的共振Andreev反射(MIRAR)， 這是渦旋MZM的Majorana本質的直接體現.

5.1 Majorana量子電導理論: 共振Andreev反射

MIRAR可以看作是經典共振隧穿[205-207]的超導版本. 在半導體異質結中， 通過能帶工程的方法可以構造雙勢壘隧穿結構. 如圖10(a)所示， 利用AlGaAs導帶底雙勢壘構造的量子阱中存在量子化的準束縛態(tài)， 當電子從左向右跨越量子阱隧穿時， 如果左右兩側的勢壘相同， 則電子隧穿透射系數為

其中 τqs為準束縛態(tài)的準粒子壽命，En為準束縛態(tài)的能量. 可見當入射電子能量恰好與準束縛態(tài)能級對齊時， 電子發(fā)生無損耗完美透射. 這一現象與光學Fabry-Perot腔的共振透射具有類似的機理， 電子波在量子阱的兩個勢壘之間發(fā)生多重反射并相互干涉， 當電子能量與 En對齊時， 電子波發(fā)生相長干涉使得反射電子波被抵消， 透射系數為1， 且透射系數不受勢壘大小的影響. 經典共振隧穿的波函數如圖10(b)所示. 經典共振隧穿還可以通過兩個相同針尖的跨越隧穿來實現(圖10(c))， 當兩針尖與準束縛態(tài)之間的電子躍遷幾率幅相等時(t1= t2)，共振隧穿發(fā)生. 值得注意的是， 隧穿耦合強度( Gt)與躍遷幾率幅(t )之間的關系為 Gt= 2πρ0|t|2， 其中ρ0是與耦合相關的態(tài)密度. 對于相同針尖的跨越隧穿， t相等時 Gt也相等.

圖 10 共振Andreev反射與MZM本征量子電導 (a)半導體異質結中的經典共振隧穿[207]， 隧穿電子能量與雙勢壘準束縛態(tài)能量一致時透射系數為1; (b)經典共振隧穿的電子波函數[105]; (c)經典共振隧穿的替代實驗構型: 兩針尖跨越隧穿[204]， 實現經典共振隧穿的必要條件是兩針尖與準束縛態(tài)之間的躍遷幾率幅相等(t1 = t2); (d) MZM導致的MIRAR[204]. 與經典共振隧穿不同，MIRAR是電子和空穴希爾伯特空間的跨越共振隧穿， 因為入射電子和反射空穴在同一個物理針尖上完成， 因此空穴和電子的躍遷幾率幅相等(th = te)， MZM對稱性保證入射和反射的隧穿耦合強度相等 ( Γte=Γth; Gt = 2πρ0|t|2， 其中 ρ0是有關的態(tài)密度)，實現共振條件; (e) MZM參與的Andreev反射的空間波函數， 其中藍色代表電子部分， 紅色代表空穴部分[105]; (f) CdGM束縛態(tài)參與的Andreev反射的空間波函數[105]; (g) Law-Lee-Ng理論揭示Majorana模式的本征共振電導[204]; (h)理論計算的Majorana量子電導為2e2/h， 其中藍色曲線對應(g)中超導體中存在偶數個渦旋的情況， 紅色曲線是存在奇數個渦旋的情況[204]; (i)Majorana量子電導的有限溫標度行為以及準粒子中毒效應對量子電導的影響Fig. 10. Resonance Andreev reflection induced Majorana quantum conductance: (a) Conventional electron resonance tunneling in a semiconductor heterostructure[207]; (b) the wavefucntion of conventional resonance tunneling[105]; (c) two tips cross-tunneling can be regarded as a replacement of semiconductor heterostructure for realizing semiconductor heterostructure under the condition of equal hopping amplitude around the two tips (t1 = t2)[204]; (d) the Majorana induced resonance Andreev reflection (MIRAR) can be regarded as a superconducting version of the conventional resonance tunneling in the particle-hole Hilbert space. Here a single electrode plays both roles of electron and hole electrode[204]. Due to the particle-hole equivalence property， Majorana modes couple to the incident electron and reflected hole with equal tunneling coupling strength， which satisfies the resonant condition ( Γte=Γth ; Gt =2πρ0|t|2， ρ0 being the related density of states); (e)， (f) the wavefucntion of Andreev reflection mediated by MZM and a conventional Andreev bound states， respectively[105]; (g) the material setup used in Law-Lee-Ng model[204]; (h) the theoretical calculated resonance quantum conductance of Majorana modes[204]; (i) theoretical calculated Majorana conductance under finite temperature and poisoning rate.

如果將經典共振隧穿出射部分的電子換成空穴， 出射部分的電子勢壘也換成空穴勢壘， 那么這一過程就變?yōu)楣舱馎ndreev反射(圖10(d))[204].單個針尖既可以充當入射電子極又可以充當反射空穴極， 這自然保證了Andreev反射過程中te= th.為了滿足電子-空穴隧穿共振條件( Gte=Gth)， 還需要使Andreev過程的電子和空穴部分波函數相等(ρe= ρh). MZM的Majorana對稱性自然滿足了共振Andreev反射的這一需求(圖10(e)). 在絕對零溫和無耗散的情況下， 單針尖與MZM隧穿耦合， 電子通過MZM發(fā)生的Andreev反射是共振過程， Majorana電導與隧穿耦合強度無關. 而普通Andreev束縛態(tài)(比如磁通渦旋中有限能量的CdGM束縛態(tài))的波函數電子和空穴部分不相等，導致電子和空穴極的隧穿耦合強度不等( Gte／=Gth)，不滿足共振Andreev反射的條件(圖10(f)).

Law-Lee-Ng理論利用Fu-Kane模型中的Majorana磁性邊界態(tài)[56，57]詳細計算了MIRAR的量子電導. 如圖10(g)所示， 在拓撲絕緣體表面上覆蓋超導體島， 島外的區(qū)域則被垂直自發(fā)磁化的磁性絕緣體覆蓋， 因此在超導島下方， Dirac表面態(tài)打開等效無自旋手性p波超導能隙， 而在島外， Dirac表面態(tài)打開磁性Zeeman能隙(EZ=gμBM)， 其中g是朗德因子， μB是玻爾磁矩， M是有效磁化強度. 當時， 一維手性Majorana磁性邊界態(tài)出現在超導島的邊界上. 利用簡單的固體物理知識可知， 一維手性Majorana磁性邊界態(tài)的量子化Majorana能級為

對應的Majorana量子化動量為

其中m是任意整數， L是超導島的周長，vm是Majorana磁性邊界態(tài)的費米速度，n 是超導島內量子化磁通渦旋的個數. (16)式和(17)式中的第一項來源于周期性邊界條件， 第二項是Dirac表面態(tài)自旋Berry相位的貢獻， 第三項來源于超導磁通渦旋. Law-Lee-Ng理論將單個金屬電極與Majorana磁性邊界態(tài)在a點進行隧穿耦合(圖10(g))， 耦合幾率幅為t. 系統的總哈密頓量為 HLLN=HL+HM+HT， 式中金屬電極部分哈密頓量寫為

其中 vf是電子的費米速度，ψσ(x) 是費米子場算符.M ajorana部分哈密頓量寫為

耦合部分哈密頓量寫為

其中 η (a) 是在耦合點的Majorana場算符， f和g 是模為1的復數. 對費米子場做如下變換:

系統哈密頓量可以簡化為 HL′LN=HL′+HM+HT′，其 中

可見， 變換后的費米子場只有一種自旋( ψ1)參與MZM的Andreev反射， 而另外一種自旋( ψ2)與MZM完全脫耦[204，208-211]. 參與Andreev過程的入射電子和反射空穴自旋相同， 分別將其記為.

電子-空穴散射過程可以寫成S-矩陣的形式，

利用 HL′LN計算得到的Majorana系統的S-矩陣為

其中 Gt=2t2?vm/L ， 是隧穿耦合強度. 對應的微分電 導為

于是Law-Lee-Ng理論導出了Majorana共振量子電導， 其大小為 2 e2/h (圖10(h)). 需要指出的是，MIRAR和Majorana共振量子電導根植于粒子-空穴等價性， 是Majorana準粒子擁有的普遍性質，這一結果的導出不依賴于模型中Majorana準粒子的形式(邊緣模[204]或零能模[212-214])、理論方法(S矩陣[204，214]或格林函數[212])、以及耦合程度(隧穿[204，212]或量子彈道[213])的選擇， 因此可以被當作Majorana本質性質的直接體現， 領域內一些物理學家甚至將其看作鑒定Majorana準粒子的決定性證據.

Law-Lee-Ng理論考慮了系統在絕對零溫和無耗散情況下的Majorana電導， 這時渦旋MZM的零偏壓電導在任意的隧穿耦合強度下都為共振量子值(2e2/h)， 在變隧穿耦合強度條件下測量渦旋MZM電導， 呈現量子化電導平臺行為. 然而現實總是不完美的， 通常實驗測量到的MZM零偏壓電導往往遠小于2e2/h[33]， 因此研究非完美情況下(有限溫度、存在耗散)的Majorana電導行為顯得十分必要[212-218]. 本節(jié)下面將討論渦旋MZM在有限溫度和存在耗散(考慮準粒子中毒效應)的情況下的零偏壓(共振能量)電導行為. 首先考察無耗散有限溫系統的Majorana電導. 利用Law-Lee-Ng理論的結果可以導出有限溫度下MZM零偏壓電導為

利用數值計算可以發(fā)現MZM零偏壓電導滿足kBT/Gt的 通 用 標 度 行 為(圖10(i))[215-217]， 即， 其中 f (x) 為標度函數. 這表明在無耗散系統中只有當隧穿耦合強度遠大于溫度展寬時， Majorana共振量子電導才可以被觀測到.

下面討論存在準粒子中毒時的Majorana電導行為. 本文在4.2節(jié)中已經詳細介紹了準粒子中毒效應減小MZM電導信號的現象. 在零溫下， 考慮準粒子中毒的MZM電導變?yōu)?/p>

其中Gp= 2πρp|tp|2是費米子池與MZM的耦合強度[186]. 可見在準粒子中毒效應的作用下， MZM的零偏壓電導變?yōu)榱孔与妼У?Gt/(Gt+Gp) . 與無耗散系統中使用的方法相同， 有耗散系統MZM電導在有限溫下的行為可以通過零溫MZM電導卷積費米-狄拉克函數的導數( d fFD/dE )獲得. 通過數值計算不難發(fā)現， MZM零偏壓電導在耗散系統中不再遵循 kBT/Gt標度行為. 本文在圖10(i)的插圖中計算了0.4 K、不同耗散條件下的零偏壓電導隨隧穿耦合強度的變化， 不難發(fā)現耗散導致GS減小，但在 Gt?Gp時GS仍趨于量子電導. 綜上所述，MZM的峰寬主要由溫度展寬(3.5 kBT )、耗散以及Majorana本征隧穿耦合展寬(2(Gp+ Gt))決定. 只有當 Gt遠大于 kBT和 Gp時才能觀測到MZM量子化電導平臺.

5.2 渦旋MZM零能電導平臺的實驗觀測

FeTe0.55Se0.45單晶具有很大的拓撲能隙(Δ2/EF)， 當下STM的能量分辨率足以將渦旋MZM與其他平庸束縛態(tài)進行清晰分辨， 在實驗上獲得孤立的渦旋MZM， 這有利于MZM電導行為的觀測. STM技術具有亞?的空間分辨率， 使用STM探針探測到的MZM電導信號更加局域， 具有更強的可信性. 在STM針尖反饋工作時， 針尖高度會隨著隧穿電流(It)以及掃描偏壓(Vs)的變化上下移動， 這個過程調節(jié)了隧道結大小(GN≡It/Vs)， 改變了針尖與樣品的隧穿耦合強度( Gt，GN與 Gt正相關). 實驗上可以通過這一技術連續(xù)增加隧穿耦合強度， 在 Gt遠大于 kBT和 Gp時有希望觀測到MZM的共振量子電導!

將STM探針定位于FeTe0.55Se0.45單晶渦旋MZM的正上方， 通過改變STM針尖高度的方法，實驗上可以原位連續(xù)地測量MZM零偏壓電導隨隧穿耦合強度的變化(圖11(a))[105]. 如圖11(b)所示， STM實驗在渦旋中心測量的dI/dV譜隨隧道結的變化顯示， MZM的零偏壓電導在隧穿耦合足夠強(GN≈ 0.3G0， G0= 2e2/h)時趨于飽和， 隨著隧穿耦合進一步增加， MZM的零偏壓電導出現平臺行為. 與此同時， 超導能隙以外的電子連續(xù)態(tài)電導隨著隧穿耦合的增加持續(xù)上升， 這一結果暗示針尖與渦旋MZM具有非平庸的隧穿耦合規(guī)律. 為了排除零偏壓電導平臺的可能平庸來源， 實驗還測量了有限能量CdGM束縛態(tài)(圖11(h))、零場超導能隙外連續(xù)態(tài)(圖11(i))、零場零偏壓(圖11(j))電導隨隧穿耦合強度的變化曲線， 研究表明這些實驗條件下都不存在電導平臺行為， 其中零場下的電導測量排除了量子彈道輸運的可能性[219-224]. 本文5.1節(jié)介紹了CdGM束縛態(tài)波函數不滿足電子-空穴等價性(圖10(f))， 故而它與電子和空穴極的隧穿耦合強度不相等， 共振Andreev反射不能發(fā)生.一系列實驗表明電導平臺行為是渦旋MZM所特有的.

文獻[105]對60個渦旋MZM進行了變隧道耦合強度的電導測量， 其中29個渦旋MZM在壓低針尖的過程中變得不穩(wěn)定， 渦旋蠕變逃逸導致實驗失敗. 而其余的31個渦旋MZM隨著隧穿耦合超過某一閾值， MZM零偏壓電導呈現平臺行為.圖11(g)總結了這31個渦旋MZM的電導平臺值(Gp)， 實驗發(fā)現大多數的渦旋MZM的零偏壓電導平臺為非量子化的任意值(0.2G0—1.0G0)， Gp分布的中心值約為0.6G0. 圖11(c)和圖11(d)中表示了一個典型的具有非量子化電導平臺的渦旋MZM. 但是在總共的31次測量中， 實驗發(fā)現了1個渦旋MZM其零偏壓電導隨著隧穿耦合強度增加持續(xù)上升， 在GN約為0.7G0時零偏壓電導進入穩(wěn)定的量子化平臺(圖11(e)和圖11(f))， 這一行為與MIRAR的理論預期一致， 反映了MZM的Majorana本質性質.

非量子化的零偏壓電導平臺是FeTe0.55Se0.45單晶渦旋MZM的常見行為. 進一步實驗發(fā)現[105]，對于具有非量子化電導平臺特征的渦旋MZM， 人為增加STM能量展寬(增大lock-in激發(fā)電壓)會降低渦旋MZM的平臺電導值. 再者， 通過比較不同位置上的渦旋MZM行為， 實驗發(fā)現增強基礎準粒子中毒效應也會抑制其平臺電導值. 本文在這里需要指出， 渦旋MZM的非量子化電導平臺行為不能被5.1節(jié)中介紹的Majorana量子電導理論所解釋， 雖然實驗發(fā)現電導平臺行為是MZM所特有的， 強烈地暗示MIRAR在這里發(fā)揮了重要作用，但是嚴格來講， 并沒有直接的實驗證據表明非量子化的電導平臺一定來自于非平庸的Majorana物理機理. 為了完全理解FeTe0.55Se0.45單晶渦旋MZM上觀察到的非量子化電導平臺特征， 還需要后續(xù)開展更多的理論和實驗研究.

渦旋MZM零偏壓電導平臺(特別是量子化的電導平臺(圖11(e)和圖11(f)))的發(fā)現， 首次從實驗上提供了空間分辨的MIRAR證據， 這不僅是對MZM的Majorana本質(粒子-空穴等價性)的直接測量， 也為證明FeTe0.55Se0.45單晶渦旋中的ZBCP是MZM提供了進一步的支持證據.

6 測量渦旋MZM的拓撲本質: 全局束縛態(tài)半整數能級嬗移

MZM是拓撲非平庸的超導準粒子， MZM的出現總是伴隨著非平庸的拓撲不變量[194-197]. 比如在本征拓撲超導體中(弱耦合的二維手性p波超導體[16]和一維p波超導Kitaev鏈[225])超導電性的非平庸拓撲性質可以通過由動量空間到準粒子旋量空間的映射體現， MZM是拓撲超導體邊緣上激發(fā)的非平庸準粒子; 再比如在自賦性拓撲超導材料中， 渦旋MZM既可以看作是三維渦線模型中的一維拓撲超導體(渦線)對應的邊界態(tài)， 也可以看作是二維Fu-Kane模型中拓撲非平庸的渦旋點缺陷上的束縛態(tài)(4.3節(jié)). 然而嚴格地講， 存在MZM和存在拓撲超導電性兩個命題之間互為非必要非充分條件[226]. MZM的出現既不要求超導電性一定是拓撲非平庸的， 也不要求正常態(tài)的能帶一定是拓撲非平庸的， 但是MZM的出現一定伴隨著明確的非平庸拓撲不變量. 對于有N個費米面的體系， 定義渦旋MZM拓撲不變量， 其中 wi是第i個費米面上的HBdG纏繞數， 需要同時考慮超導能隙和正常態(tài)能帶的纏繞; mi是第i個費米面的超導所對應的渦旋數. 一般說來， 當 Z2=1 時存在渦旋MZM. 值得一提的是，Z2是演生拓撲不變量， 不依賴于超導體的體態(tài)拓撲結構， 拓撲平庸材料體系中也可以演生渦旋MZM[226，227，229]， 比如多分量超導體(例如自旋三重態(tài)超導、配對密度波超導、向列超導等)的分數磁通渦旋中可以存在渦旋MZM[227，230].

在Fu-Kane模型中， 渦旋MZM的出現可以通 過 Z2很 自 然 地 看 到( Z2=1×1 )， 這 里 渦 旋MZM的拓撲非平庸性主要得益于Dirac表面態(tài)自旋Berry相位的貢獻( w =1 )[24]. 因此， 想要從實驗上檢驗FeTe0.55Se0.45單晶渦旋MZM的拓撲本質， 需要測量Dirac表面態(tài)對渦旋束縛態(tài)產生的影響. 本文發(fā)現， 在超導渦旋準粒子激發(fā)的過程中，與常規(guī)s波超導體相比， Dirac表面態(tài)的參與賦予了渦旋束縛態(tài)額外的半整數角動量， 使得全局渦旋束縛態(tài)能級序列發(fā)生半整數能級嬗移， 這不僅產生了零能的MZM， 而且伴隨著渦旋束縛態(tài)態(tài)密度空間圖樣序列的變化， 這些特征是對渦旋MZM拓撲本質的直接反映. 本節(jié)將詳細討論超導Dirac表面態(tài)演生渦旋束縛態(tài)的物理性質， 并介紹F eTe0.55Se0.45單晶全局渦旋束縛態(tài)的實驗觀測.

6.1 超導Dirac電子演生拓撲渦旋束縛態(tài)

首先， 本文介紹普通s波超導的磁通渦旋束縛態(tài)與束縛態(tài)量子極限的概念. 從第1節(jié)的介紹中知道普通s波超導的渦旋束縛態(tài)可以通過求解BdG方程獲得[13，15]. 當參與演生渦旋束縛態(tài)的相關能帶為拋物線能帶時， 渦旋束縛態(tài)可以寫成Eν≈ νΔ2/EF， 其中ν = n + 1/2 是渦旋束縛態(tài)的總角動量， 其取值為半整數(ν = ± 1/2， ± 3/2， ± 5/2，···). 當渦旋束縛態(tài)能級間距不太大時， 渦旋束縛態(tài)遵守半整數能級序列(圖12(a))， 不存在零能束縛態(tài)， 這是常規(guī)s波超導體的普遍行為. 然而， 早期STM實驗發(fā)現在常規(guī)s波超導體(如NbSe2)的渦旋中心存在巨大的ZBCP， ZBCP隨著遠離渦旋中心劈裂成兩個對稱的峰并呈現出空間色散分布(圖12(b))[14，175，231]， 這一現象與BdG方程給出的半整數能級序列、空間分立解不符[13]. 另外， 當超導存在能隙節(jié)點時(比如d波超導體)， 超導磁通渦旋中將不再存在定義明確的“渦旋束縛態(tài)”， 超導準粒子與能隙外的連續(xù)態(tài)混合， 渦旋內超導準粒子的能量呈現空間連續(xù)色散分布[232-235]. 早期渦旋束縛態(tài)的STM觀測反而與有能隙節(jié)點超導體的理論預期更吻合， 但這顯然不符合實驗事實， s波超導體不存在能隙節(jié)點.

圖 12 Dirac表面態(tài)導致渦旋束縛態(tài)半整數能級嬗移 (a)普通s波超導體的渦旋束縛態(tài)呈半整數能級序列分布， 其相關能帶為常規(guī)的拋物線體能帶[104]; (b)普通s波超導體的磁通渦旋未達到量子極限時(Texp ＜ TQL = TcΔ/EF)， 各級渦旋束縛態(tài)卷積在一起， 在空間上呈色散分布， 渦旋中心出現的巨大ZBCP， 為多個非零能束縛態(tài)的卷積[231]; (c) Fu-Kane模型的渦旋束縛態(tài)呈整數能級序列分布， 其相關能帶為Dirac表面態(tài)， Dirac表面態(tài)引入了磁通渦旋束縛態(tài)的半整數能級嬗移[104]; (d)當Dirac表面態(tài)的化學勢恰好位于Dirac點時稱為零摻雜極限， 此時MZM是超導能隙內惟一允許的渦旋束縛態(tài)[104]; (e)磁通渦旋的相關能帶為圖(c)左圖時， 渦旋束縛態(tài)的態(tài)密度徑向空間分布， 紫色為準粒子自旋向下的組分， 綠色為準粒子自旋向上的組分[210]， 插圖: Fu-Kane模型(紅色)和普通s波超導體(綠色)磁通渦旋束縛態(tài)最低三能級的二維自旋積分態(tài)密度. Fu-Kane模型的磁通渦旋束縛態(tài)的最低兩級波函數呈實心球分布， 而普通s波超導體中只有最低能級為實心球分布， 這一態(tài)密度空間圖樣的差別是渦旋束縛態(tài)半整數能級嬗移的強證據[104]; (f)理論計算的趨近零摻雜極限時的渦旋束縛態(tài)， 超導能隙中允許的束縛態(tài)只有MZM， 數值模擬中磁場方向選擇為垂直樣品表面向下(圖(a)所示為實驗中實際使用的磁場方向)Fig. 12. Surface Dirac electron induced half-integer level shift of vortex bound states: (a) Half-odd-integer quantized level sequences of vortex bound states in a conventional s-wave superconductor. There are only parabolic bulk bands involved[104]; (b) the quantum limit is difficult to reach in conventional s-wave superconductors， so that a large ZBCP observed in the center of vortex core is generally due to multiple overlapping of densely packed non-zero peaks[231]; (c) integer quantized level sequences of the vortex bound state in Fu-Kane model. The intrinsic spin Berry phase carried by Dirac surface states induces the half-integer level shift[104]; (d) the zero-doping limit is defined as the chemical potential is approaching the energy of the Dirac point. In this case， a vortex MZM is the only allowed subgap bound state[104]; (e) the theoretical calculated angular momentum resolved wavefunction of BdG eigenstate， the blue and green curves are spin down and up components， respectively[210]. Insert: The calculated spin-integrated 2 D local density of states of three lowest levels of vortex bound states in the case of (c) and (a)， respectively[104]; (f) theoretical calculated eigenvalue of BdG Hamiltonian near the zero chemical potential limit.

為了理解這一矛盾， 人們通過理論研究發(fā)現實驗觀測到的常規(guī)s波超導體渦旋束縛態(tài)的反常行為是由于實驗溫度未能達到渦旋束縛態(tài)的量子極限導致的[15]. 當溫度展寬效應的影響小于渦旋束縛態(tài)的能級差時渦旋束縛態(tài)達到量子極限[236]， 這時才可以在實驗中觀測到量子化分立的束縛態(tài). 當實驗溫度高于量子極限溫度(TQL)時， 各渦旋束縛態(tài)能級重疊在一起表現為反常的連續(xù)色散行為. 量子極限溫度可以按照如下方法估算: TQL= TcΔ/EF.常規(guī)s波超導體通常具有很大的費米能(EF≈2—10 eV)以及極小的超導能隙(Δ ≈ 1 meV)， 這導致渦旋束縛態(tài)能級差非常小， 量子極限溫度極低， 實驗上很難到達量子極限. 在這種情況下， 不同角動量的渦旋束縛態(tài)重疊在一起， 無法對束縛態(tài)能級序列行為進行仔細研究， 因此， 實現渦旋束縛態(tài)的量子極限是測量Dirac表面態(tài)對渦旋束縛態(tài)能級序列的影響的先決條件， 這需要材料具有高溫超導和小費米能特征， 從第1節(jié)的討論可知， 很多鐵基超導體滿足這些要求(圖1(a))[237-242].

在介紹Dirac表面態(tài)演生渦旋束縛態(tài)的基本特征之前， 本節(jié)先介紹超導磁通渦旋的一般表達.超導磁通渦旋是第二類超導體在磁場下激發(fā)的拓撲缺陷， 超導能隙的幅值沿著徑向趨近超導磁通渦旋中心時幅值逐漸減小并在渦旋中心變成零; 超導相位環(huán)繞渦旋中心變化， 在超導渦旋的邊界(London穿透深度)上存在超導電流. 超導渦旋通?？梢詫懗?/p>

其中 Δ0是超導在正常區(qū)域的能隙幅值;h(r) 是以渦旋中心為原點的能隙幅值徑向分布函數， 一般寫成 h (r)=tanh(r/ξ) 或 者; m 是渦旋數， 取值為任意整數， 代表每繞渦旋一圈超導相位變化的圈數. φ (x，y) 是超導相位的空間分布， 對于最簡單的情況， 單個磁通渦旋寫為φ(x，y)=arctan(y/x) ; 渦旋-反渦旋對可以表示為φ(x，y)=arctan[2ay/(x2+ y2-a2)] ， 其中渦旋和反渦旋分別位于(a， 0)和(—a， 0)[243]. 渦旋和反渦旋按照渦旋纏繞數Zv的正負分別定義， Zv=， 其中c是繞渦旋中心的閉合環(huán)路[244].

超導Dirac表面態(tài)演生的渦旋束縛態(tài)可以通過求解實空間單個磁通渦旋的BdG方程獲得[24，207，208]，

由于磁通渦旋具有旋轉對稱性， 渦旋束縛態(tài)的總角動量的垂直分量( Kz)是好的量子數， 即 [Kz，HBdG]=0 ， 因此渦旋束縛態(tài)的能量本征值可以用Kz的本征值(ν)來表示. 當Δ/EF不太大時， 渦旋束 縛態(tài)的能級序列可以近似寫作:

其中 m 是渦旋數; s gn(μ) 是Dirac表面態(tài)化學勢的符號; ν 是總的垂直角動量. 可以證明， 在Dirac電子參與時，

其中 lz是渦旋束縛態(tài)的軌道角動量， 取值為整數;Sz是自旋角動量， 對于自旋向上(向下)的成分取值為+1 (—1)[18，210，211]. 可見， 與常規(guī)s波超導體不同， 超導Dirac表面態(tài)演生的渦旋束縛態(tài)角動量 ν取值為任意整數(ν = 0， ± 1， ± 2， ± 3， ···)， 渦旋束縛態(tài)能級序列呈整數量子化分布， 其中ν = 0的束縛態(tài)就是渦旋MZM (圖12(c)). 渦旋束縛態(tài)的這一特征是Dirac表面態(tài)額外引入的 Sz導致的[104]，對于常規(guī)s波超導體，

渦旋束縛態(tài)能級序列呈半整數量子化分布.Dirac表面態(tài)導致的渦旋束縛態(tài)能級序列的半整數嬗移是渦旋MZM拓撲本質的直接體現.

渦旋束縛態(tài)半整數能級嬗移也同時伴隨著態(tài)密度空間圖樣序列的變化. 從4.1節(jié)的介紹可知，Fu-Kane模型導出的渦旋MZM的波函數正比于貝塞爾函數 Ji(x) . 本文在這里更清楚地指出，MZM波函數中貝塞爾函數的階數由渦旋束縛態(tài)的軌道角動量決定， 即 i =lz. 由貝塞爾函數的性質可知，lz=0 分量的態(tài)密度最大值出現在磁通渦旋中心， 隨著 lz增大態(tài)密度出現最大值的位置逐漸遠離渦旋中心， 從態(tài)密度最大處向渦旋中心移動， 態(tài)密度逐漸減小. 結合渦旋束縛態(tài)能級序列的角動量分析， 不難得到束縛態(tài)各能級的角動量( ν，lz，Sz)以及各分量波函數的分布特征. 圖12(e)理論計算了 m =-1 和μ ＞ 0時， 渦旋束縛態(tài)的態(tài)密度分布，其中紫色為自旋向下的成分， 綠色為自旋向上的成分[210]. 將同一能級所有成分的態(tài)密度求和即可得到各能級的總態(tài)密度特征， 這一信號可以利用STM恒能電導繪圖直接觀測. 可以發(fā)現， 在Dirac表面態(tài)參與的渦旋束縛態(tài)態(tài)密度空間圖樣序列中， 最低能的兩個能級(ν = 0， +1 或—1)都為“實心分布” (圖12(e)插圖上排)， 與之相反， 在常規(guī)s波超導體的渦旋束縛態(tài)態(tài)密度空間圖樣序列中， 只有最低能級(ν = +1/2 或 —1/2)為“實心分布” (圖12(e)插圖下排)， 這是Dirac表面態(tài)誘導渦旋束縛態(tài)發(fā)生半整數能級嬗移的重要特征[104].此外， 使用(32)式—(34)式的波函數和能級角動量分析， 本文得到了Dirac表面態(tài)演生的渦旋束縛態(tài)的相關結論， 在這里不加推導羅列如下: 1)反轉磁場方向改變渦旋數的符號， 同時改變 ν 與 Eν的正負關系， 但不改變第二實心分布能級的能量[106];2)改變化學勢的符號會改變第二實心分布能級能量的符號， 也就是說，μ＞0 時第二實心分布能級出現在正能量，μ＜0 時第二實心分布能級出現在負能量; 3)渦旋中心的零能波函數的自旋總與磁場方向平行， 而渦旋中心第二實心分布能級波函數的自旋總與磁場方向反平行， 這一特征就是渦旋MZM的自旋分辨性質[62，208-211].

最后， 本節(jié)介紹超導Dirac表面態(tài)演生渦旋束縛態(tài)的零化學勢極限行為. 我們在前面介紹的渦旋束縛態(tài)能級序列方程是只在小能級間隔條件下成立的近似方程. 而當Δ/EF很大時， 最低能非零渦旋束縛態(tài)能量將十分接近于超導能隙邊， 由于量子限域效應的影響， 高階渦旋束縛態(tài)只能位于超導能隙邊和最低能非零渦旋束縛態(tài)能量之間， 這自然會打破渦旋束縛態(tài)能級序列的整數量子化分布. 實際上BdG方程的能量本征值在某些特定情況下具有嚴格解， 例如當選擇時， 可以證明單量子化磁通渦旋 (|m|=1) 的束縛態(tài)能級存在嚴 格的解析表達式:

其中 Ki是McDonald函數[245]. 當化學勢趨近于Dirac點時， 即 EF→0 ， MZM是超導能隙中惟一允許的渦旋束縛態(tài)(圖12(d))[246，247]. 如圖12(f)所示， 本文數值計算了 m = —1，μ→0+時的渦旋束縛態(tài)能級譜， 可見超導能隙中只有孤立的渦旋MZM， 其他非零能渦旋束縛態(tài)都被排斥到了超導能隙邊緣， 這時渦旋MZM具有最大的拓撲能隙.

這里值得一提的是， 在 μ 嚴格為零時Fu-Kane模型演生出額外的贗手性對稱性， 渦旋的拓撲分類相應發(fā)生變化(從Class-D變?yōu)镃lass-BDI， 拓撲不變量由Z2變?yōu)閆)[196]， 這使得渦旋MZM之間的兩體雜化(Majorana hybridization)[248-250]被禁止， 導致通過編織MZM構建拓撲量子比特的方案失效. 但是贗手性對稱性保護的簡并渦旋MZM晶格具有絕對平坦的Majorana能帶， 在這種平帶體系中MZM四體相互作用(Majorana interaction)占據主導[251，252]， 這會演生出更多新奇的物理現象[253]， 如SYK模型、Majorana分數量子霍爾效應等. MZM相互作用超出了本文的討論范圍， 此處不再展開， 感興趣的讀者可以參考相關文獻[253].

6.2 測量渦旋束縛態(tài)整數量子化能級序列

FeTe0.55Se0.45單晶具有很高的渦旋量子臨界溫度， 人們在早期實驗中成功觀測到了量子化渦旋束縛態(tài)[239]， 這為測量Dirac表面態(tài)演生的整數量子化能級序列， 檢驗渦旋MZM的拓撲本質提供了基礎. 本文在第4節(jié)和第5節(jié)中只關心位于零能的渦旋MZM的性質， 因此實驗中忽視了伴隨MZM出現的其他渦旋束縛態(tài)的行為[102，105]. 隨著對渦旋MZM拓撲本質的理解加深， 包含MZM的全局渦旋束縛態(tài)能級序列的特征被進一步深入研究， 本文下面將系統介紹相關實驗進展.

在前面工作的基礎上， 實驗上利用極低溫超高分辨率STM系統， 對FeTe0.55Se0.45單晶表面的磁通渦旋進行了更加深入的研究. 在把注意力轉移到渦旋束縛態(tài)全局行為后(而不是僅關注零能模)， 實驗研究很快發(fā)現在大多數含有渦旋MZM的磁通渦旋中渦旋MZM并非惟一的束縛態(tài). 在極低溫下， 不只是渦旋MZM， 其他有限能量束縛態(tài)也呈現量子化的空間分立分布， 這標志著FeTe0.55Se0.45單晶的渦旋束縛態(tài)達到了量子極限(圖13(a)). 圖13(b)將渦旋(#1)束縛態(tài)的能量/空間位置提取出來， 量子化束縛態(tài)的分立特征變得更加明顯. 通過擬合可以發(fā)現各渦旋束縛態(tài)能級之間近似為等間距分布. 圖13(c)將各級束縛態(tài)能量(EL)按照能級間隔(ΔE1)進行歸一化， 可以發(fā)現渦旋束縛態(tài)遵循整數量子化的能級序列. 與此同時， 使用Fu-Kane模型可以以角動量為自變量數值計算渦旋#1渦旋束縛態(tài)的能量本征值. 理論計算的結果很好地重復了實驗觀測. 實驗一共測量了35個具有整數量子化行為的磁通渦旋， 將這些磁通渦旋的歸一化束縛態(tài)能量進行直方圖統計分析(圖13(i))， 可以看到明顯的整數量子化特征.

圖 13 實驗觀測Dirac表面態(tài)導致的整數量子化渦旋束縛態(tài)[104] (a)拓撲渦旋#1的dI/dV(r， V)強度分布圖， 整數量子化的渦旋束縛態(tài)能量呈分立分布， 且不隨空間位置改變; (b)采用簡單高斯擬合提取(a)中實驗數據的束縛態(tài)峰位; (c)數值計算的#1磁通渦旋的束縛態(tài)能量與實驗觀測值的比較. 右側坐標軸為使用束縛態(tài)能級間距歸一化的束縛態(tài)能量， 能級序列具有明顯的整數量子化特征; (d)拓撲渦旋#11的dI/dV(r， V)強度分布圖， 這個渦旋靠近零摻雜極限; (e)圖(d)的dI/dV譜， 在超導能隙附近具有量子化的高能渦旋渦旋束縛態(tài); (f)與(c)相同， 是#11的情況; (g)整數量子化(紅藍圓圈)和近零摻雜極限下(黑星)的MZM強度空間分布; (h) Fu-Kane模型計算的不同化學勢下的MZM波函數， 化學勢越小MZM波函數空間分布越長; (i) 35個具有整數量子化行為的拓撲渦旋的直方圖統計， 渦旋束縛態(tài)能量被能級間距歸一化. 插圖: 這35個渦旋所有渦旋束縛態(tài)歸一化能量的分布圖， 渦旋束縛態(tài)能量呈整數能級序列; (j)實驗測量的整數量子化的拓撲渦旋最低能的三個渦旋束縛態(tài)的態(tài)密度空間分布， 與圖12(e)中Dirac表面態(tài)演生渦旋束縛態(tài)的理論計算一致. 實驗中磁場垂直樣品表面向下Fig. 13. Observation of integer quantized vortex bound states[104]: (a) A dI/dV(r， V) line-cut intensity plot measured on a topological vortex #1. Integer quantized vortex bound states are clearly observed; (b) peak positions extracted from (a); (c) the comparison between experimental observed and theoretical calculated level energy in topological vortex #1; (d) same as (a)， but measured on vortex #11， which is close to the zero chemical potential limit; (e) overlapping display of dI/dV spectra selected from (d); (f) same as (c)， but shows the case of vortex #11; (g) the comparison of observed MZM line profile in topological vortices under integer quantization (open circles) and near the zero chemical potential limit (dark stars); (h) the calculated MZM wavefuction under different chemical potential by Fu-Kane model; (i) a histogram of averaged level energies normalized by the first level spacing， i.e. the ratio EL/ΔE. The statistical analysis is performed among all the 35 topological vortices which show integer quantized CdGMs levels; (j) experimentally observed spatial pattern of the lowest three levels of vortex bound state in a topological vortex.

本文在6.1節(jié)中已經介紹， 渦旋束縛態(tài)的整數量子化能級序列得益于Dirac表面態(tài)額外提供的半整數自旋角動量. 在產生整數量子化能級序列的同時， 也使態(tài)密度空間分布序列出現雙“實心”能級， 考慮到FeTe0.55Se0.45單晶的Dirac表面態(tài)具有正化學勢， 第二實心能級應該出現在正偏壓一側[207]. 為了確保圖13(a)—圖13(c)中測量到的整數化能級序列的確來自于Dirac表面態(tài)的貢獻(而不是其他因素造成的巧合)， 實驗測量了整數量子化磁通渦旋的第0， +1和+2級渦旋束縛態(tài)能量位置的恒能電導繪圖(圖13(j))， 這是對選定能量局域態(tài)密度的直接測量. 實驗結果與理論預期一致(圖12(e)). 值得指出的是， ν = +2級圓環(huán)圖樣的清晰觀測得益于FeTe0.55Se0.45單晶Dirac表面態(tài)具有很小的kF(約 0.02 ?—1) (圖3). 仔細研究圖12(e)中的理論計算可以發(fā)現， 渦旋束縛態(tài)的高軌道角動量波函數出現最大值的空間位置正比于Dirac表面態(tài)費米波矢的倒數(正比于1/kF)，Dirac表面態(tài)的kF越小， 束縛態(tài)態(tài)密度的空間震蕩周期越大， 越便于使用STM恒能電導繪圖的方法進行觀測. 而FeTe0.55Se0.45單晶的體態(tài)kF大約為0.1 ?—1， 渦旋束縛態(tài)態(tài)密度的空間震蕩周期過小，很容易被材料本身的電子不均性掩蓋， 不利于空間圖樣的觀測. 這些結果表明， 對FeTe0.55Se0.45單晶渦旋束縛態(tài)的系統性實驗研究成功觀測到了超導Dirac表面態(tài)演生的整數量子化渦旋束縛態(tài).

在FeTe0.55Se0.45單晶上的部分磁通渦旋中，超導能隙以內只有醒目的MZM， 而其他渦旋束縛態(tài)明顯打破了整數量子化能級序列， 實驗發(fā)現在超導能隙沿上有難以辨認的態(tài)密度峰， 這其實來源于高能渦旋束縛態(tài). 這種行為是近零化學勢極限的表現. 在摻雜拓撲絕緣體等體系中， 實驗確切地發(fā)現化學勢存在空間不均勻性[254-257]， FeTe0.55Se0.45單晶具有陰離子位摻雜， 我們可以相信這里同樣存在化學勢的空間起伏， 這使得材料表面的某些位置十分接近零摻雜極限， 造成了渦旋MZM在STS譜上的孤立行為. 圖13(d)—圖13(f)是對圖7中測量到的渦旋束縛態(tài)數據的再分析， 本文在第4節(jié)中只關注零能模的行為而忽視超導能隙內的其他特征，然而在這里通過仔細分析可以發(fā)現在超導能隙邊沿上存在3個量子化分立的渦旋束縛態(tài)， 他們的歸一化能級分布如圖13(f)所示， 顯然， 這種情況下的渦旋束縛態(tài)不符合整數量子化特征. 使用圖13(c)中的理論模型并減小模擬所用的化學勢的值， 數值計算的結果很好地重復了實驗觀測， 這支持近零化學勢極限的解釋. 為了使結論更可信， 實驗還分析了整數量子化和MZM孤立行為的磁通渦旋中MZM強度的空間分布曲線(圖13(g))， 實驗發(fā)現與整數量子化行為的渦旋MZM相比， 圖13(d)的渦旋MZM具有更寬的空間分布. 結合第4節(jié)介紹的渦旋MZM波函數表達式， 理論計算了不同EF條件下的|u|2， 理論結果表明減小EF可以增加渦旋MZM波函數的空間分布(圖13(h))[24，210]， 這進一步支持圖13(d)中的渦旋處于近零化學勢極限的結論.

伴隨渦旋MZM出現的整數量子化和近零化學勢極限行為的渦旋束縛態(tài)都是Dirac表面態(tài)導致的整數角動量量子數的體現.

6.3 樣品不均性帶來的意外收獲: 共存平庸渦旋中的半整數能級序列

伴隨渦旋MZM出現的整數量子化能級序列的成功觀測證明了Dirac表面態(tài)額外引入的半整數自旋角動量導致渦旋發(fā)生半整數能級嬗移， 演生出零級束縛態(tài)—渦旋MZM. 盡管材料中應該存在兩種不同的渦旋束縛態(tài)能級序列(整數量子化的拓撲渦旋和半整數量子化平庸渦旋)， 然而通常情況下單一材料具有統一的拓撲性質， 這一限制使得同一塊樣品中的渦旋束縛態(tài)只能呈現一種能級分布， 妨礙了兩種束縛態(tài)的直接比較， 以及半整數能級嬗移的直接觀測. 由于陰離子位摻雜的緣故，FeTe0.55Se0.45單晶具有本質不均性[258-261]， 這一現實因素一定程度上降低了表面渦旋中出現MZM的概率， 一直以來被視為演生渦旋MZM的不利因素(第4節(jié))， 但是FeTe0.55Se0.45單晶的本征不均性在這里反而成為了一道曙光， 不均性使得樣品性質更加豐富， 兩種渦旋可以在同一塊樣品的同一片區(qū)域出現. 這使得在相同的實驗參數下直接對比拓撲渦旋和平庸渦旋成為了可能， 也為直接鑒定表現渦旋MZM拓撲本質的半整數能級嬗移提供了稀有機會.

FeTe0.55Se0.45類似合金， 具有多維度的本征不均性， 實驗研究發(fā)現它的表面存在化學組分、化學勢、無序和散射勢以及超導能隙的空間不均勻. 本文在前面已經介紹了超導能隙和化學勢的空間漲落導致部分拓撲渦旋表現出近零化學勢極限特征(6.2節(jié))， 較大的化學勢漲落還有可能引發(fā)渦線拓撲相變(4.3節(jié))， 而基礎準粒子中毒效應的空間不均性可能來源于無序和散射強度的不均勻(4.2節(jié)). 在上述現象中， 材料的不均性直接影響了低能超導準粒子的行為， 因此本文暫且將導致這些現象的不均性命名為“弱不均”. 與此相反，FeTe0.55Se0.45單晶中的“強不均”效應可以直接殺死強拓撲絕緣體態(tài)， 使得樣品(001)外表面的某些區(qū)域上不存在Dirac表面態(tài)， 在這里， 材料內部出現新的拓撲/非拓撲邊界， 原本出現在材料外表面的Dirac表面態(tài)進入材料內部(圖16(a))分布在新邊界上， 而在這一區(qū)域的外表面上出現的平庸渦旋遵循半整數量子化特征. 在低溫和低磁場條件下，實驗觀測到FeTe0.55Se0.45單晶表面的拓撲渦旋和平庸渦旋總是成群出現， 這支持Dirac表面態(tài)在表面某些區(qū)域消失(圖15)的推論. 本文下面介紹兩種可能的“強不均”機制， 它們破壞了表面附近部分體材料的強拓撲絕緣體態(tài).

圖 14 材料不均性幫助平庸渦旋共存 (a)平庸渦旋#8的dI/dV(r， V)強度分布圖， 半整數量子化的渦旋束縛態(tài)能量呈分立分布， 且不隨空間位置改變[104]; (b)數值計算的#8磁通渦旋的束縛態(tài)能量與實驗觀測值的比較， 右側坐標軸為使用束縛態(tài)能級間距歸一化的束縛態(tài)能量， 能級序列具有明顯的半整數量子化特征[104]; (c) 26個具有半整數量子化行為的平庸渦旋的直方圖統計，渦旋束縛態(tài)能量被能級間距歸一化， 插圖: 26個渦旋所有渦旋束縛態(tài)歸一化能量的分布圖， 渦旋束縛態(tài)能量呈半整數能級序列[104];(d)無序可以將強拓撲絕緣體變?yōu)槠胀ń^緣體， 從左到右非磁性散射勢逐漸增強[262]; (e)摻雜可以將強拓撲絕緣體變?yōu)槿跬負浣^緣體， 從左到右Te含量依此變大， 三個狀態(tài)分別為普通絕緣體、強拓撲絕緣體、弱拓撲絕緣體. 綠色能帶為奇宇稱的pz軌道， 紅色能帶為偶宇稱的dyz和dxz[201]Fig. 14. The inhomogeneity of material helps coexisting ordinary and topological vortices: (a) A dI/dV(r， V) line-cut intensity plot measured on ordinary vortex #8. Half-odd-integer quantized vortex bound states are clearly observed[104]; (b) the comparison between experimental observed and theoretical calculated level energy in ordinary vortex #8[104]; (c) a histogram of averaged level energies normalized by the first level spacing， i.e. the ratio EL/ΔE. The statistical analysis is performed among all the 26 ordinary vortices which show half-odd-integer quantized CdGM levels[104]; (d) surface disorder transforms the strong topological insulator to a normal insulator. The scattering potentials are gradually larger from left to right[262]; (e) concentration of the dopants could drive a strong topological insulator to be a normal insulator or weak topological insulator in Fe(Te， Se). The bands in green (red) represent pz (dxz/dyz) orbital with odd (even) parity[201].

1)強無序帶來的非磁性散射會將強拓撲絕緣體態(tài)變?yōu)槠胀ń^緣體態(tài). 通常來說， 強拓撲絕緣體態(tài)受時間反演對稱性保護， 非磁性雜質不能破壞Dirac拓撲表面態(tài)[25]. 但是這種拓撲保護只在弱雜質散射條件下成立， 當雜質或無序引入的非磁性散射勢與體能帶的拓撲能隙相近時， 強拓撲絕緣體態(tài)被破壞， 理論計算也證實了Dirac表面態(tài)在強散射勢條件下消失(圖14(d)). 在2.2節(jié)中， 本文通過超高分辨ARPES測量推算出FeTe0.55Se0.45單晶的體態(tài)能帶的SOC能隙約為20 meV (圖4(f))， 這遠遠小于經典拓撲絕緣體Bi2Se3的拓撲能隙(約300 meV). 因此， 雖然受拓撲性質保護的Dirac表面態(tài)應該是魯棒且普遍的， 但是FeTe0.55Se0.45單晶能帶的小拓撲能隙使得拓撲性質本身并不魯棒，在材料“強不均”作用下， 某些區(qū)域變成普通絕緣體， 導致了平庸渦旋的出現[262-264].

2)陰離子化學成分的強起伏會將強拓撲絕緣體態(tài)變?yōu)槠胀ń^緣體或弱拓撲絕緣體態(tài)[265，266](圖14(e)). 本文2.1節(jié)中介紹了Fe(Te， Se)單晶的拓撲能帶理論， 在富Se的樣品中不存在拓撲能帶， 隨著Te原子的摻雜， Z點發(fā)生能帶反轉， 材料進入強拓撲絕緣體態(tài). 然而我們注意到， 如果繼續(xù)進行Te原子摻雜， 奇宇稱的pz能帶在G點也會發(fā)生反轉， 這時材料進入弱拓撲絕緣體態(tài)， 自旋軌道鎖定的拓撲表面態(tài)只存在于側表面[265，266]. 因此，無論是過度富Se還是過度富Te都會使(001)表面上的Dirac表面態(tài)消失， 從而導致半整數量子化的平庸渦旋在某些區(qū)域出現[201，267，268].

在上述理論的啟發(fā)下， 極低溫超高分辨STM實驗在FeTe0.55Se0.45單晶表面測量到了共存的平庸渦旋(圖14(a)—圖14(c)). 在對測量到的26個平庸渦旋使用6.2節(jié)中相同的分析方法之后，實驗發(fā)現它們的渦旋束縛態(tài)呈很好的半整數量子化能級序列， 同樣， 數值模擬可以重現實驗觀測.得益于FeTe0.55Se0.45單晶的“強不均”效應， 這些不含有零能模的半整數量子化平庸渦旋出現在(001)表面沒有Dirac電子的區(qū)域上， 并在同一塊樣品中與含有渦旋MZM的整數量子化拓撲渦旋共存. 這樣在相同實驗條件下實現了具有不同拓撲性質的Dirac表面態(tài)和常規(guī)能帶所演生的兩種渦旋束縛態(tài)的直接對比， 鑒定出了超導Dirac電子誘發(fā)的半整數能級嬗移(圖12(a)和圖12(c))， 這是渦旋MZM拓撲本質的直接體現.

這項工作開創(chuàng)性地將渦旋MZM的拓撲本質與渦旋束縛態(tài)的全局行為建立聯系， 不僅研究了渦旋MZM的拓撲性質， 而且進一步證明了鐵基超導體超導渦旋中觀測到的魯棒ZBCP是MZM.

圖 15 兩種渦旋的空間分布[104] (a)， (c)， (e)在極低溫(40 mK)和弱磁場(2 T)條件下測量的零偏壓電導繪圖. 隨機挑選的三個區(qū)域相隔很遠. 對這三個區(qū)域出現的磁通渦旋進行無差別dI/dV(r， V)測量， 用來鑒別各渦旋的束縛態(tài)行為. 其中黃色圓圈標記的渦旋代表存在渦旋MZM的拓撲渦旋， 藍色圓圈標記的為不存在渦旋MZM的平庸渦旋， 實(虛)線圓圈代表(不)符合整數/半整數量子化行為， 綠色點線將同類渦旋圍在一起， 可見同類渦旋總是成群出現， 這表明不均性導致樣品表面某些區(qū)域Dirac表面態(tài)消失， 而在其他區(qū)域Dirac表面態(tài)保持完好; (b)， (d)， (f)三個區(qū)域中不同類型渦旋的統計數據， 數據測量條件為40 mK， 2.0 TFig. 15. Spatial distribution of the two classes of vortices[104]: (a)， (c)， (e) Zero-bias conductance maps of three well-separated regions. The yellow solid circles mark the vortices with ZBCPs and integer quantized CdGM levels， yellow dashed circles mark the vortices with ZBCPs but its CdGM level sequences can not be fitted to integer quantization， blue solid circles mark the vortices without ZBCPs and half-integer quantized CdGM levels， and blue dashed circles mark the vortices without ZBCPs or half-integer quantized CBS levels. The green dashed lines encircle the same class of vortices. Topological vortices and ordinary vortices usually group together， which indicates topological region and trivial region coexist on the sample surface due to spatial inhomogeneity; (b)，(d)， (f) summary of the ratio of different types of vortices in the three regions， respectively. The data in the three regions are measured under 40 mK and 2.0 T.

7 從量子物理到量子工程: 超導渦旋中MZM存在與否的機理討論

本文在上節(jié)詳細介紹了FeTe0.55Se0.45單晶樣品表面兩種渦旋的共存， 這同時也間接指出在實驗觀測中不是所有磁通渦旋都存在渦旋 MZM這一問題， 真實樣品的三維特性(第4節(jié))以及本征不均性導致了復雜的渦旋形態(tài)和分布特征. 從研究渦旋MZM物理性質的角度考慮， 真實樣品的不完美是大自然的饋贈， 這使得在同一塊樣品中直接比較束縛態(tài)的兩種拓撲成為可能. 但這就像是一枚硬幣的正反面， 從發(fā)展拓撲量子計算的角度考慮， 真實樣品的不完美卻是一場噩夢. 本文前面的6節(jié)結合簡潔的理論模型詳細介紹了鐵基超導體渦旋MZM的基本性質和實驗觀測， 這些只考慮完美情況的簡單模型卻往往最深刻地抓住了奇異現象的物理本質(第4節(jié))——這是物理學研究的思路. 然而真實材料不是簡單的物理模型， 材料或環(huán)境的不完美引入了其他影響因素， 這干擾了目標物理現象的實現， 但卻是發(fā)展工程應用(例如拓撲量子計算)必須解決的問題——這是量子工程的任務. 因此， 為了在鐵基超導體上實現拓撲量子計算這一終極目標， 實驗研究渦旋MZM在材料表面的宏觀分布特征， 并理論探討影響渦旋MZM出現或不出現的物理機理具有深遠的意義.

在討論機理之前， 本節(jié)先介紹實驗觀測到的FeTe0.55Se0.45單晶表面渦旋MZM的宏觀分布特征[104]. 早期實驗在較高溫度(約450 mK)下進行，這一條件下只有不到20%的磁通渦旋中存在渦旋MZM， 很難進行有效統計[102]. 得益于對額外準粒子中毒效應(4.2節(jié))的深入研究， 本研究團隊意識到更低溫的實驗條件有利于獲得渦旋MZM的真實分布情況. 如圖15所示， 在低溫(40 mK)和低場(2 T)實驗條件下隨機選擇了三個相距很遠的區(qū)域， 無差別地測量了出現的76個磁通渦旋的束縛態(tài)空間分布信息. 通過利用圖13和圖14相同的數據分析方法， 實驗鑒別出了每一個磁通渦旋的種類， 其中黃色圓圈標記的是有渦旋MZM的拓撲渦旋， 藍色圓圈標記的是不存在渦旋MZM的平庸渦旋， 圓圈為實(虛)線的代表渦旋束縛態(tài)(不)遵循整數或半整數量子化能級序列. 這三個區(qū)域中渦旋種類的統計情況列在圖15(b)， 圖15(d)和圖15(f)中. 從這些數據中可以得到三個結論:1)渦旋MZM的出現率在空間中具有很大的波動. 數據顯示， 各區(qū)域渦旋MZM的出現概率為37%—75%不等. 由于這三個區(qū)域都是隨機挑選的， 這表明FeTe0.55Se0.45單晶大尺度不均性對渦旋MZM的出現概率具有重要影響， 這暗示單晶質量的重要性; 2)實驗發(fā)現76%的磁通渦旋束縛態(tài)遵循整數或半整數量子化能級序列; 3)同種渦旋往往成群出現， 圖15中用綠色點線將同種渦旋圈在一起， 這一現象支持材料表面某些區(qū)域Dirac表面態(tài)消失而在其他區(qū)域Dirac表面態(tài)仍然保持完好的設想.

本文在前面零散地涉及了材料的三維特性和不完美性對渦旋中是否存在MZM的影響， 同時也指出理想情況下渦旋MZM的行為可以由Fu-Kane模型很好地描述. 為了回答真實材料和實際實驗中并非每個渦旋中都存在MZM的問題， 本節(jié)下面將系統整理總結影響渦旋MZM是否出現的可能微觀機制[104].

首先， 材料的“強不均”機制使得樣品(001)表面的某些區(qū)域上Dirac表面態(tài)消失， 材料表面拓撲區(qū)域(有Dirac表面態(tài))和常規(guī)區(qū)域(無Dirac表面態(tài))共存， 在這兩個區(qū)域上分別出現有渦旋MZM的拓撲渦旋和無渦旋MZM的平庸渦旋.

其次， 在確定的空間位置上以下因素會影響渦旋MZM的存否.

1）渦線拓撲相變會改變MZM的拓撲不變量[176]. 本文在 4.3節(jié)中仔細討論了渦線拓撲相變的影響， 對于拓撲區(qū)域上的渦旋來講， 發(fā)生渦線拓撲相變會導致渦旋MZM消失， 對于常規(guī)區(qū)域上的渦旋來講相變導致MZM產生.

2）準粒子中毒效應會抑制渦旋MZM. 此項有三個方面: 第一， 當體態(tài)能帶參與渦旋束縛態(tài)激發(fā)時， 一維渦線體內的微小能隙(δ)保護了末端的渦旋MZM， MZM沿垂直方向的波函數局域長度正比與1/δ， 當改變渦線的量子參數， 趨近于量子相變點時， MZM波函數將深入材料體內從而變得實驗不可見. 繼續(xù)改變量子參數直到達到相變點時，一維渦線的能隙關閉， 上下表面的兩個MZM雜化消失; 第二， 高溫下存在額外準粒子中毒效應(4.2節(jié)). 這導致了渦旋MZM在高溫下消失; 第三， 基礎準粒子中毒效應的空間不均性改變了MZM的有效溫度， 這導致在同一實驗溫度條件下測量到的渦旋MZM具有不同的強度.

圖 16 Fe(Te， Se)渦旋中有無MZM的微觀機制[104] (a)材料不均性導致的兩種表面共存， 其中棕色表面無Dirac表面態(tài)， 對應的體態(tài)為普通絕緣體或弱拓撲態(tài); (b)在有Dirac表面態(tài)的表面區(qū)域上渦旋MZM的經驗相圖; (c)在沒有Dirac表面態(tài)的表面區(qū)域上渦旋MZM的經驗相圖， 其中相圖中藍色越深的區(qū)域代表渦旋MZM越強， 更易被STM實驗觀測; 顏色越淡代表渦旋MZM強度越弱， 不易被觀測; 橫軸代表驅動渦線量子相變的量子參數， 比如化學勢、Zeeman能等; 縱軸是MZM的有效溫度， 包括溫度展寬、儀器展寬、基礎準粒子中毒展寬等; 紅色點線表示估計的目前實驗可以覆蓋的相區(qū)Fig. 16. Mechanism of the presence or absence of MZMs in Fe(Te， Se)[104]: (a) Fe(Te， Se) single crystals are intrinsically inhomogeneous.Disappearance of Dirac surface states is possible in some regions of the (001) surface (brown color). In the conventional regions， the corresponding bulk states can be normal insulators or weak topological insulators. Consequently， the Dirac surface state moves deeper into the bulk and go around the conventional region， as indicated by the gray boundary inside the crystal. In other topological regions (gray color)， where Dirac surface states remain intact， the corresponding bulk states are still in the strong topological insulating phase; (b) a schematic phase diagram of vortex MZMs appearing in topological regions (topological vortices). The gradient blue areas in (b) and (c) indicate the phase sector that MZMs can be detected by STM/S experiments. In the dark blue sector，the Majorana wave function is more localized on the sample surface， while in brighter positions， the Majorana wave function strongly hybridizes with bulk quasiparticles and moves deeper beneath the surface， leading to weak ZBCP signal measured by STM/S. The vertical axis demonstrates MZMs evolution as a function of effective temperature which can be represented by extrinsic broadening of the observed ZBCPs. The horizontal axis demonstrates the MZMs evolution as a function of quantum parameters，e.g.， chemical potential (μ) measured from the Dirac point. The black dots with an arrow indicate the quantum critical points in which a vortex phase transition happens. Across the critical point， the vortex line turns to be topological trivial and MZMs disappear in the topological region. The red dashed line indicates the achievable region in experiments; (c) a schematic phase diagram of vortex MZMs appearing in conventional regions (ordinary vortices). There are no MZMs in our measurements in those vortices. The observable MZMs can only exist above the critical points when the vortex phase transition turns the trivial vortex line into a 1D topological superconductor in the conventional region.

如圖16所示， 本文將上述因素總結成弱磁場下的渦旋MZM的經驗相圖， 其中紅色點線是估計的目前實驗可以涵蓋的相區(qū).

最后我們特別指出， 渦旋間距隨著磁場升高而減小， 在強磁場下渦旋MZM面內雜化將成為控制渦旋MZM有無的主要因素. 多個STM實驗觀測到渦旋MZM的出現概率隨磁場增加而減少[269，270]，隨后不久， 這一現象被無序晶格渦旋MZM波函數雜化理論所解釋[271].

8 總結與展望

從起源到發(fā)展， 從理論到實驗， 從能帶到準粒子， 從物理大局到工程細節(jié)， 本文循著一以貫之的邏輯線， 系統全面地介紹了Fe(Te， Se)單晶中演生渦旋MZM的研究進展， 旨在搭建經典Majorana理論和新興鐵基超導實驗之間的橋梁，幫助讀者對鐵基超導材料中演生的渦旋MZM產生深刻理解和合理評價.

圖 17 編織渦旋MZM， 探索拓撲量子計算. 左上: 拓撲鐵基超導體中體超導k-近鄰效應誘導的表面等效無自旋手性p波配對[84];左下: Fe(Te， Se)單晶中純凈的渦旋MZM[103]; 中間: 利用STM針尖操縱鐵基超導表面的渦旋MZM[102]; 右圖: 渦旋MZM編織操作與拓撲量子比特[3] (本圖部分為原創(chuàng))Fig. 17. Braiding vortex MZMs and topological quantum computing. Left-top panel: Surface effective spinless p-wave pairing induce by k-proximity effect from bulk bands in Fe(Te， Se)[84]. Left-bottom panel: The pristine vortex MZM observed in Fe(Te，Se)[103]. Middle panel: It is possible to use a STM tip to manipulate vortex MZMs on the surface of Fe(Te， Se)[102]. Right panel: Topological qubit built by braiding four vortex MZMs[3].

自從Fe(Te， Se)單晶作為新興的Majorana準粒子載體被大家所認識， 鐵基超導家族的拓撲性質迅速激起了學界的廣泛關注. 在過去的幾年里，大量新奇的理論和實驗相繼出現， 本文在這里嘗試將其總結如下: 1)渦旋MZM的獨立驗證[269-272]，Fe(Te， Se)單晶中的渦旋MZM已經被多個研究團隊獨立驗證; 2)鐵基體系渦線拓撲相變理論的發(fā)展[200-203]; 3)發(fā)現鐵基超導體拓撲性質的普遍性. 人們不僅發(fā)現鐵基超導體拓撲非平庸的能帶結構具有普遍性[101]， 還在鐵基超導家族的多個其他材料中先后證實了渦旋MZM的存在， 比如(Li， Fe)OHFeSe[273，274]， CaKFe4As4[106]等; 4)探索潛在的更高溫材料. 實驗證明單層鐵基超導Fe(Te， Se)薄膜具有非平庸的拓撲能帶[267，268]， 單層Fe(Te， Se)薄膜同時還具有很高的超導轉變溫度， 這暗示單層鐵基超導材料有可能成為液氦溫度以上的高溫Majorana載體[71]; 5)缺陷態(tài)理論和實驗蓬勃發(fā)展.人們在鐵基超導體磁性點雜質[99，275-278]、臺階邊[279]、疇界[272]及原子線缺位[280-282]上觀察到了Majorana模式的跡象， 這有待進一步驗證; 6)表面態(tài)潛在的競爭超導序[283-285]; 7)潛在的表面和體態(tài)本征拓撲超導[286，287]; 8) 以Fe(Te， Se)為超導襯底的異質結表面的奇異行為[288-292]; 9)嘗試優(yōu)化樣品質量[293];10)對表面態(tài)超導考慮完整的體態(tài)超導配對(s±)時， 在樣品邊界上獲得保持時間反演對稱性的Majorana模[294，295]; 11)巧妙設計結構， 實現單個的高階MZM[296-299]; 12)探索可行的編織方案[300-302];13)鐵基Majorana載體的發(fā)展也在一定程度上啟發(fā)并促進了物理學家們在其他自賦性拓撲超導材料中研究Majorana準粒子[303-305]. 這一領域的蓬勃發(fā)展不僅為Majorana物理打開了新天地， 也為高溫超導研究注入了一劑強心劑.

拓撲鐵基超導體是當下最為可信的Majorana載體之一. 在現有工作的基礎上繼續(xù)深入研究渦旋MZM的性質， 嘗試實現渦旋MZM的雜化、編織、融合以及費米宇稱讀取， 是拓撲鐵基超導體系未來工作的重要方向. 這些目標的實現需要理論、材料和技術等多個方面的共同努力. 理論方面， 需要考慮渦旋MZM的真實情景， 設計出切實可行的編織方案[306]; 材料方面， 需要進一步提升樣品質量，把材料的體和表面都做得更均一， 同時更要兼顧準粒子的拓撲能隙(能帶工程視角)， 實現液氦溫區(qū)的渦旋MZM; 技術方面， 需要探索可控的渦旋操縱手段， 實現操縱效率與準粒子壽命的匹配. 在此前提下， 我們將有機會構造拓撲量子比特， 讓凝聚態(tài)物理和量子計算在拓撲鐵基超導體上交融(圖17).

本文介紹的系統性工作標志著拓撲鐵基超導體系邁出了探索拓撲量子計算的“萬里長征第一步”. 行遠者必自邇， 經之營之， 未來可期.