單元視角下的“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”課時(shí)設(shè)計(jì)

任念兵

摘要：在單元整體視角下設(shè)計(jì)每個(gè)課時(shí)的教學(xué)，都應(yīng)以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，瞻前顧后、縱橫聯(lián)系，將該課時(shí)的新知識(shí)嵌入已有的知識(shí)體系，同時(shí)為后續(xù)的相關(guān)知識(shí)埋下伏筆，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！皵?shù)列”單元的教學(xué)要重點(diǎn)突出邏輯推理（重點(diǎn)是類(lèi)比推理）和數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而“瞻前顧后”地設(shè)計(jì)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)，可以集中體現(xiàn)出“數(shù)列”單元是培育這兩大核心素養(yǎng)的重要載體。

關(guān)鍵詞：中觀(guān)教學(xué)設(shè)計(jì) 單元視角 瞻前顧后 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和

在中觀(guān)教學(xué)設(shè)計(jì)的各個(gè)操作環(huán)節(jié)中，用整體思維理解單元教學(xué)內(nèi)容是關(guān)系到教學(xué)設(shè)計(jì)優(yōu)劣的關(guān)鍵。在分析單元教學(xué)內(nèi)容時(shí)，教師需要鉆研教材，針對(duì)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，明晰該知識(shí)是什么，該知識(shí)是用什么數(shù)學(xué)思想與方法得到的，該知識(shí)的上位知識(shí)、下位知識(shí)和并列知識(shí)分別是什么。在單元整體視角下設(shè)計(jì)每個(gè)課時(shí)的教學(xué)，都應(yīng)以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，瞻前顧后、縱橫聯(lián)系，將該課時(shí)的新知識(shí)嵌入已有的知識(shí)體系，同時(shí)為后續(xù)的相關(guān)知識(shí)埋下伏筆，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。特別地，要整體把握教學(xué)內(nèi)容，注重核心素養(yǎng)發(fā)展的連續(xù)性，并突出課時(shí)在單元中的地位和價(jià)值，關(guān)注核心素養(yǎng)發(fā)展的階段性。本文以滬教版高中數(shù)學(xué)教材“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”內(nèi)容為例，闡述單元視角下“瞻前顧后”的課時(shí)設(shè)計(jì)。

一、“數(shù)列”單元的整體分析

“數(shù)列”單元的研究思路與函數(shù)單元類(lèi)似，即“數(shù)列的定義-表示（通項(xiàng)公式、遞推公式）-性質(zhì)-特殊的數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）-聯(lián)系與應(yīng)用”。對(duì)于數(shù)列這種離散函數(shù)，滬教版教材還研究了數(shù)列求和與數(shù)列極限。

“運(yùn)算”是數(shù)列單元的一條邏輯主線(xiàn)，是研究數(shù)列的基本手段。通過(guò)減（除）法運(yùn)算發(fā)現(xiàn)差（比）相等，于是有“等差（比）數(shù)列”。它們的通項(xiàng)公式、基本性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式等規(guī)律性、不變性，都是在運(yùn)算中出現(xiàn)的。而數(shù)列極限研究的重點(diǎn)是，利用三個(gè)常用數(shù)列極限和極限的運(yùn)算法則，計(jì)算各種數(shù)列的極限。

在思想方法層面，等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中含有5個(gè)量a1、d（q）、n、an、Sn，由其中的3個(gè)量可以求其余的2個(gè)量，自然地滲透了方程的思想方法。將通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式看成關(guān)于n的函數(shù)，可應(yīng)用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)和研究函數(shù)的方法解決有關(guān)數(shù)列單調(diào)性和最值的問(wèn)題，滲透了函數(shù)的思想方法。在運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，要注意按公比q=1和q≠1分類(lèi)討論;在已知Sn求an時(shí)，應(yīng)先分n=1和n≥2兩種情況計(jì)算，再驗(yàn)證能否統(tǒng)一。這些都是分類(lèi)討論思想的體現(xiàn)。將各種數(shù)列轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）進(jìn)行研究時(shí)，自然地加強(qiáng)了化歸思想方法的運(yùn)用。

二、“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”課時(shí)的“瞻前顧后”分析

（一）“瞻前”1：為什么要研究數(shù)列求和？

數(shù)列概念的理解并不困難，為什么要研究數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)和數(shù)列的部分和（前n項(xiàng)和），才是數(shù)列中的真正問(wèn)題。數(shù)列與級(jí)數(shù)是兩個(gè)共生的概念，從數(shù)學(xué)的角度看，級(jí)數(shù)才是數(shù)學(xué)家關(guān)注的重點(diǎn)，也是對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生重要影響的概念。由于級(jí)數(shù)的收斂性取決于通項(xiàng)的性質(zhì)，所以研究數(shù)列通項(xiàng)的性質(zhì)是自然的;而研究級(jí)數(shù)的收斂性，往往就是判斷數(shù)列前n項(xiàng)和的極限是否存在。

（二）“顧后”1：如何理解教材中無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和？

無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，已經(jīng)不同于初等數(shù)學(xué)中有限項(xiàng)的和，而是前n項(xiàng)和的極限值。用高等數(shù)學(xué)的觀(guān)點(diǎn)看，冪級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，而無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和作為一種特殊的冪級(jí)數(shù)，其研究方法和結(jié)論對(duì)冪級(jí)數(shù)的研究有重要的參考價(jià)值。

（三）“瞻前”2：為什么不能類(lèi)比等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法來(lái)研究等比數(shù)列求和？

從形式上看，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法（倒序相加法）不能簡(jiǎn)單地類(lèi)比到等比數(shù)列中來(lái)。但是從目標(biāo)來(lái)說(shuō)，等差數(shù)列、等比數(shù)列求和都是通過(guò)消去相同的項(xiàng)，使得和式中的項(xiàng)數(shù)減少：等差數(shù)列求和的倒序相加法Sn+Sn，實(shí)際上是通過(guò)“配對(duì)”將不同數(shù)的和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的和，從而減少項(xiàng)數(shù);等比數(shù)列求和的錯(cuò)位相減法（教材選擇的方法。等比數(shù)列求和還有迭代遞推、利用合分比定理、裂項(xiàng)相消等方法，它們都合乎消項(xiàng)的邏輯，但是不太利于類(lèi)比等差數(shù)列求和的思路）Sn-qSn，則是通過(guò)“錯(cuò)位”消去兩式中的公共項(xiàng)，從而減少項(xiàng)數(shù)。因此，兩類(lèi)數(shù)列求和看似形式不同，但本質(zhì)上都是通過(guò)運(yùn)算技巧達(dá)到消項(xiàng)的目標(biāo)。

（四）“顧后”2：如何理解等比數(shù)列求和的思想方法對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的價(jià)值？

從思想內(nèi)涵看，數(shù)列求和的本質(zhì)就是消項(xiàng)。數(shù)列是離散的函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)的定積分，根據(jù)牛頓—萊布尼茨公式，可以求出原函數(shù)后作差。故從運(yùn)算技巧上看，數(shù)列求和的根本方法是裂項(xiàng)相消（差分求和）。等差（比）數(shù)列的求和都可以利用適當(dāng)?shù)牧秧?xiàng)技巧來(lái)實(shí)現(xiàn)相消。多年來(lái)的高考數(shù)學(xué)壓軸題中較難的數(shù)列不等式a1+a2+…+an

綜上，“數(shù)列”單元的教學(xué)要重點(diǎn)突出邏輯推理（重點(diǎn)是類(lèi)比推理）和數(shù)學(xué)運(yùn)算兩大核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，而“瞻前顧后”地設(shè)計(jì)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”的教學(xué)，可以集中體現(xiàn)出“數(shù)列”單元是培育這兩大核心素養(yǎng)的重要載體。

三、“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”課時(shí)的具體設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)要素分析

“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”是“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”“等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式”內(nèi)容的延續(xù)，也是“無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和”等內(nèi)容的必要準(zhǔn)備。公式推導(dǎo)過(guò)程中所滲透的類(lèi)比、化歸、分類(lèi)討論、方程等思想方法，在之前的學(xué)習(xí)中都有一些鋪墊，也都將有助于數(shù)列的后續(xù)研究。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和運(yùn)用。

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)列求和已有了一定的認(rèn)識(shí)。在等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)體會(huì)到等比數(shù)列與等差數(shù)列的相似性，會(huì)自然地進(jìn)行知識(shí)的遷移，類(lèi)比等差數(shù)列來(lái)思考等比數(shù)列的問(wèn)題。然而，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法和推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式所采用的“倒序相加法”有很大的區(qū)別，學(xué)生難以通過(guò)運(yùn)算形式上的類(lèi)比獲得。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法。

基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情的分析，擬訂本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;學(xué)會(huì)推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式;理解錯(cuò)位相減法的內(nèi)涵，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸的思想;在類(lèi)比等差數(shù)列研究等比數(shù)列求和的過(guò)程中，提升邏輯推理素養(yǎng)和推理論證能力。

（二）教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題。

問(wèn)題1：國(guó)際象棋起源于印度，棋盤(pán)上共有8行8列，64個(gè)格子。相傳古印度國(guó)王為獎(jiǎng)賞國(guó)際象棋的發(fā)明者，問(wèn)他有什么要求。發(fā)明者說(shuō)：“請(qǐng)?jiān)谄灞P(pán)的第1個(gè)格子里放上1顆麥粒，第2個(gè)格子里放上2顆麥粒，第3個(gè)格子里放上4顆麥粒，以此類(lèi)推，每一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)都是前一個(gè)格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到放完64個(gè)格子為止。”這位發(fā)明者要了多少顆麥粒？

（預(yù)設(shè)學(xué)生回答：求以1為首項(xiàng)、2為公比的

等比數(shù)列的前64項(xiàng)的和。）師

今天我們一起來(lái)研究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。

[設(shè)計(jì)意圖：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，提出求特殊等比數(shù)列前64項(xiàng)和的問(wèn)題。]

課后作業(yè)：校本作業(yè)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（1）”（內(nèi)容分兩部分，分別是基本的公式運(yùn)用和轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列后的公式運(yùn)用。具體題目省略）。

[設(shè)計(jì)意圖：思考題引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，課后作業(yè)幫助學(xué)生全面鞏固本節(jié)課的基本知識(shí)和技能。]

（三）教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

類(lèi)比函數(shù)研究數(shù)列，類(lèi)比等差數(shù)列研究等比數(shù)列，類(lèi)比實(shí)數(shù)的運(yùn)算研究數(shù)列極限的運(yùn)算等，蘊(yùn)含著豐富的類(lèi)比推理的思維方式。求數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和都涉及算法的選擇問(wèn)題，而代數(shù)運(yùn)算的方法和思路取決于運(yùn)算對(duì)象的性質(zhì)，如不同的數(shù)列結(jié)構(gòu)決定了不同的求和方法，這些都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。

等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程，是本節(jié)課教學(xué)的重中之重。根據(jù)課堂生成，引導(dǎo)學(xué)生合乎邏輯地思考問(wèn)題、推導(dǎo)公式是本節(jié)課設(shè)計(jì)的基調(diào)。學(xué)生簡(jiǎn)單地形式類(lèi)比等差數(shù)列求和的倒序相加法，會(huì)得到錯(cuò)誤的思路。教師引導(dǎo)學(xué)生分析：等差數(shù)列求和的實(shí)質(zhì)是消去中間項(xiàng)，手段是兩式相加的運(yùn)算，條件是等差數(shù)列的性質(zhì);類(lèi)比考慮等比數(shù)列中應(yīng)采取何種運(yùn)算，利用什么性質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)消去中間項(xiàng)的目標(biāo)。因此，在這一環(huán)節(jié)，特別要妥善處理預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系。有些學(xué)生會(huì)因?yàn)轭A(yù)習(xí)過(guò)有關(guān)內(nèi)容，所以直接用錯(cuò)位相減法來(lái)處理，教師可以追問(wèn)“你是怎么想到的？”，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比等差數(shù)列求和來(lái)思考等比數(shù)列求和，根據(jù)已有的知識(shí)和方法來(lái)思考新的問(wèn)題。