初中幾何習(xí)題的可視化講評(píng)策略初探

◎ 陳 冕

一、初中幾何學(xué)習(xí)的基本特點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)由數(shù)與運(yùn)算、方程與代數(shù)、圖形與幾何、函數(shù)與分析、概率與統(tǒng)計(jì)五大部分組成，其中平面幾何內(nèi)容約占整個(gè)初中數(shù)學(xué)的40%。幾何注重邏輯思維，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、形象與抽象思維能力均十分重要?！渡虾Ｊ兄行W(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》對(duì)學(xué)生的邏輯推理等能力提出如下要求：能從數(shù)學(xué)的角度有條理地思考問題；能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地闡述自己的思想和觀點(diǎn)；掌握文字語言、圖形語言、符號(hào)語言之間的相互轉(zhuǎn)換，能正確而簡(jiǎn)明地表述推理過程，合理地、符合邏輯地解釋演繹推理的正確性。［1］基于一定的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，筆者認(rèn)為，學(xué)生在平面幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中主要的困難有：無法清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，在運(yùn)用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論和質(zhì)疑方面有欠缺，具體表現(xiàn)在解決幾何證明及幾何背景下的綜合性問題時(shí)會(huì)遭遇較多障礙。

二、初中幾何習(xí)題講評(píng)課存在的典型問題

一般而言，相較于新授課，習(xí)題講評(píng)課中教師只關(guān)注這份練習(xí)是否能講完，自己的講解是否到位。而學(xué)生以聽為主，呈單向接收的特征，結(jié)果在課堂上似乎一時(shí)聽得明白，但是課后解決具體問題時(shí)依然困難重重。特別對(duì)于平面幾何習(xí)題的課堂講評(píng)，很多教師希望在課堂上與學(xué)生能更多地開展互動(dòng)。然而，在具體實(shí)踐過程中，教師往往對(duì)問題的設(shè)計(jì)缺乏深入思考，并沒有真正激發(fā)學(xué)生的高層次思維。

還有一些幾何習(xí)題的課堂講評(píng)，教師雖然比較注重對(duì)幾何習(xí)題方法的分析與指導(dǎo)，但在分析過程中，更多只是口頭表述，板書內(nèi)容也只是證明的推理步驟，這對(duì)于一些幾何學(xué)習(xí)存在困難的學(xué)生來說還是不夠的。而且，有些課堂上，教師雖然展示了完整的證明步驟，但對(duì)于如何形成推理路徑、如何形成不同思路等無法兼顧，這也降低了幾何習(xí)題講評(píng)課的效率。

三、開展幾何習(xí)題可視化講評(píng)策略研究的要點(diǎn)

習(xí)題講評(píng)從廣義上講是指對(duì)章節(jié)、專題教學(xué)后設(shè)置的問題進(jìn)行講解和點(diǎn)評(píng)的教學(xué)形態(tài)；從狹義上講是指練習(xí)完成后對(duì)習(xí)題進(jìn)行“講”與“評(píng)”的教學(xué)形態(tài)。具體來說就是通過統(tǒng)計(jì)分析錯(cuò)誤率較高的習(xí)題并進(jìn)行分類，了解學(xué)生知識(shí)的掌握情況，反饋教學(xué)效果，進(jìn)而采取有效措施幫助學(xué)生梳理、歸納知識(shí)，教會(huì)學(xué)生分析與解決問題的方法，達(dá)到解一題會(huì)一類的目的。習(xí)題講評(píng)課具有診斷、演示、深化和激勵(lì)四種功能，是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的、不可或缺的一種課型。本文中的幾何習(xí)題講評(píng)課是指初中平面幾何新授課完成后，教師布置配套幾何練習(xí)中相應(yīng)的習(xí)題，批閱后進(jìn)行的習(xí)題講評(píng)。

在初中幾何習(xí)題講評(píng)課中引入可視化工具，有利于教師和學(xué)生將習(xí)題的思維過程可視化地展現(xiàn)出來，有助于呈現(xiàn)思維過程中的“卡點(diǎn)”（即思維障礙點(diǎn)），暴露出思維過程中的障礙問題。還有助于并聯(lián)地呈現(xiàn)學(xué)生不同的思考方法，從而幫助學(xué)生理解問題、解決問題，提高習(xí)題講評(píng)課的效益，進(jìn)一步提升學(xué)生的思維品質(zhì)。

著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞指出，“幾何是數(shù)學(xué)中這樣的一部分，其中視覺思維占主導(dǎo)地位……幾何直覺是增進(jìn)數(shù)學(xué)理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高素養(yǎng)”。［2］相關(guān)研究也表明，思維導(dǎo)圖等可視化工具助力下的數(shù)學(xué)，可以減少學(xué)生認(rèn)知負(fù)擔(dān)，幫助他們更好地從直覺思維向邏輯思維過渡，通過推理論證的訓(xùn)練更好地發(fā)展嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砟芰斑壿嬎季S能力。

幾何習(xí)題講評(píng)課的重要功能是讓學(xué)生準(zhǔn)確把握解題突破口、理清步驟及方法，更深層次地理解幾何基本知識(shí)及關(guān)聯(lián)性，從而實(shí)現(xiàn)自身能夠運(yùn)用解題方法技巧獨(dú)立解決問題。在講評(píng)中要充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。

（一）突出重點(diǎn)

在評(píng)講一份幾何練習(xí)時(shí)，有些習(xí)題只要點(diǎn)到為止，有些習(xí)題則需要深入剖析，甚至要舉一反三，及時(shí)地進(jìn)行變式與延伸。對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤率較高的習(xí)題，對(duì)涉及重、難點(diǎn)知識(shí)及能力要求較高的習(xí)題，教師要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，突出分析方法，達(dá)到“講一道會(huì)一類”的效果。

（二）把握學(xué)情

學(xué)情是指學(xué)生在學(xué)習(xí)某一內(nèi)容時(shí)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)時(shí)的個(gè)性差異。而習(xí)題講評(píng)課中的學(xué)情更具體地表現(xiàn)為學(xué)生在解答完習(xí)題后所呈現(xiàn)出的答題情況以及暴露出的真實(shí)的、典型的問題。只有在講評(píng)前充分了解了學(xué)情，才能有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和有效地開展教學(xué)活動(dòng)。因此，教師在開展講評(píng)之前要梳理學(xué)生習(xí)題的錯(cuò)誤，對(duì)錯(cuò)因進(jìn)行歸類。此外，還要對(duì)不同問題發(fā)生的占比進(jìn)行數(shù)據(jù)匯總。以幾何證明題為例，完全沒有思路的學(xué)生有多少，有部分思路的學(xué)生卡在了哪一步，全對(duì)的學(xué)生在方法上是否有異同等。

（三）引導(dǎo)反思

習(xí)題講評(píng)后，教師要引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)回顧習(xí)題的分析過程，反思這道題的思考路徑，反思思維卡點(diǎn)。對(duì)于有多種證明思路的幾何題，總結(jié)不同解法的特點(diǎn)，對(duì)比操作程序的差異，反思更優(yōu)化的方法。教師引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，不要滿足于一道題目的解決，對(duì)于典型的分析方法和結(jié)論可以有意識(shí)地記憶，提高變通能力和遷移能力。

四、初中幾何習(xí)題的可視化講評(píng)策略

（一）溯源基本圖形，呈現(xiàn)思考路徑

基于可視化工具的幾何習(xí)題講評(píng)，可以有效實(shí)現(xiàn)文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的轉(zhuǎn)化，在讀題時(shí)把題目中的條件標(biāo)在圖形中，并用符號(hào)語言并列地列舉出來，對(duì)于待證的結(jié)論也列舉出來。例如，由條件可以得出哪些結(jié)論，或待證的結(jié)論需要什么條件，思維導(dǎo)圖等可以淋漓盡致地呈現(xiàn)“由因?qū)Ч?、?zhí)果索因”的可視化思維過程。對(duì)于圖形較復(fù)雜的題目，很多學(xué)生無法辨別其中的基本圖形，可以把基本圖形剝離出來，結(jié)合思維導(dǎo)圖梳理出思考路徑。

例1如圖1 所 示，△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，E是AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G在BE上，聯(lián)結(jié)DG并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，∠BGD=∠BAD=∠C。

（1）求證：BD·BC=BG·BE；

圖1

（2）如果∠BAC=90°，求證：AG⊥BE。

此題的第一問很簡(jiǎn)單，只需由條件中的∠BGD=∠C及公共角∠GBD=∠CBE來證明△BGD∽△BCE，然后得出再轉(zhuǎn)化為等積式BD·BC=BG·BE即可。

在證第二問時(shí)，把角相等的條件在圖形中標(biāo)注好后，可以很容易發(fā)現(xiàn)幾對(duì)相似的三角形，把已得的結(jié)論和待證的結(jié)論結(jié)合起來，問題就化歸到如圖2 所示的三個(gè)基本圖形中去解決。

上述幾個(gè)圖形都是學(xué)生很熟悉的基本圖形。其中圖2（a）和圖2（b）是母子三角形，圖2（c）是8 字形中的翻折對(duì)應(yīng)相似。題目中的圖形看起來較復(fù)雜，本質(zhì)是這三個(gè)基本圖形有機(jī)地結(jié)合在一起而已。于是，溯源基本圖形后，運(yùn)用思維導(dǎo)圖梳理出思考路徑，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，學(xué)生更容易理解與掌握。

圖2

（二）加強(qiáng)細(xì)節(jié)評(píng)析，精準(zhǔn)定位問題

在幾何習(xí)題講評(píng)中，教師要針對(duì)錯(cuò)誤率較高的題目進(jìn)行重點(diǎn)講評(píng)，于是在講評(píng)前肯定要對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤類型和錯(cuò)誤原因進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在繪制思維流程圖后，教師把學(xué)生在幾何證明過程中出現(xiàn)的不同證明思路和相關(guān)證明的得分點(diǎn)先進(jìn)行分類編碼，再批閱評(píng)分，最后將所得分?jǐn)?shù)進(jìn)行歸類整理，從而了解具體學(xué)情。在筆者上過的一節(jié)幾何練習(xí)講評(píng)課“一類圖形旋轉(zhuǎn)的問題研究”中，有這樣一道練習(xí)題：

例2如圖3所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與AB邊上的點(diǎn)D重合，點(diǎn)A落在點(diǎn)E，求點(diǎn)A、E之間的距離。

圖3

對(duì)于這道題目，繪制了如下的思維流程圖（見圖4）和評(píng)分代碼（見表1）。

圖4

表1 評(píng)分代碼

在這道題中，先計(jì)算有關(guān)△ABC元素并標(biāo)在圖形中。在圖中清晰地呈現(xiàn)這道題的思維路徑，強(qiáng)調(diào)由旋轉(zhuǎn)得到等腰三角形，進(jìn)而產(chǎn)生相似三角形這一重要思路，凸顯出兩種三角形在這一類旋轉(zhuǎn)問題中的關(guān)鍵作用。結(jié)合統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的精細(xì)分析，該圖呈現(xiàn)的可視化思維路徑，能幫助教師在全班講評(píng)時(shí)指導(dǎo)失分的學(xué)生反思思維障礙點(diǎn)究竟在哪里，如何去尋求突破。同時(shí)幫助教師對(duì)“同分不同錯(cuò)，同分不同意”的情況能更加細(xì)致地分類，精準(zhǔn)地定位出學(xué)生在幾何題中的問題。為課堂中有效的師生對(duì)話、生生互動(dòng)提供支持，大大地提高了幾何習(xí)題講評(píng)效率。

（三）梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，提煉解決路徑

在幾何習(xí)題講評(píng)課中，很多綜合性的問題是學(xué)生比較薄弱的。如幾何背景下的綜合問題研究、函數(shù)背景下的幾何問題研究等。這類問題比較靈活，綜合性較強(qiáng)，學(xué)生不容易解決。因此，教師在講評(píng)時(shí)更需要幫助學(xué)生理清研究?jī)?nèi)容，提煉這類問題的解決路徑，思維流程圖和結(jié)構(gòu)圖在其中起到了關(guān)鍵的作用。以“二次函數(shù)中的三角形問題”的研究講評(píng)課為例，這節(jié)課以問題鏈的形式展開，循序漸進(jìn)，問題如下。

問題一：上述拋物線中，以點(diǎn)A、B、C、D中的任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造的三角形中,你能求出哪些三角形的面積？

問題二：上述拋物線中，以點(diǎn)A、B、C、D中的任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造的三角形中有直角三角形嗎?有等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由。

問題三：上述拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

問題四：點(diǎn)P在上述拋物線上移動(dòng)，△PAC能否成為以AC為一條直角邊的直角三角形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

問題五：你還能提出與三角形有關(guān)的問題并嘗試解決嗎？

問題六：函數(shù)背景的綜合題除了三角形問題研究外，還可以研究四邊形的存在問題，請(qǐng)?zhí)岢鲆粋€(gè)問題并嘗試解決。

課堂中，教師針對(duì)問題一、二、三、四進(jìn)行講評(píng)交流，將問題五和六作為課后延伸拓展。其中，重點(diǎn)交流的是問題二、三、四，具體題目的解決過程這里不再贅述。在講評(píng)中，教師著重邊評(píng)講邊總結(jié)，用思維流程圖來梳理研究?jī)?nèi)容的框架，如圖5 所示。這樣有利于學(xué)生更全面地把握結(jié)構(gòu)，并在后續(xù)的學(xué)習(xí)中可以把研究的方法思路進(jìn)行遷移。

圖5

另外，在問題鏈中，不論題設(shè)怎樣變，所求的問題歸根結(jié)底都是在求點(diǎn)的坐標(biāo)。不管是研究等腰三角形還是直角三角形，問題的本質(zhì)都化歸為求點(diǎn)的坐標(biāo)問題。因此，我們可以用圖總結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)這類題的思考方法，提煉這一類問題的思考路徑，如圖6 所示。

綜上所述，在幾何專題復(fù)習(xí)的講評(píng)中，在引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)中，可視化工具的運(yùn)用起到了畫龍點(diǎn)睛的作用。它的價(jià)值不僅是對(duì)一道題思路上的可視化呈現(xiàn)，更重要的是對(duì)一類問題的思考路徑進(jìn)行梳理，提煉基本方法，切實(shí)地提高學(xué)生解決問題的能力。

圖6

五、反思與展望

總體來說，在開展初中幾何習(xí)題可視化講評(píng)策略研究中，思維流程圖或知識(shí)結(jié)構(gòu)圖為學(xué)生理解解題思路提供了可視化的工具，直觀地呈現(xiàn)出解題思路和方法，利于學(xué)生吸收與理解。更重要的是學(xué)生運(yùn)用可視化工具的過程就是思考、聯(lián)想、提煉、總結(jié)的過程。以習(xí)題課為載體，這些流程圖或結(jié)構(gòu)圖不僅能有效地答疑解惑、提高習(xí)題講評(píng)的效益，還有助于學(xué)生邏輯思維和發(fā)散思維的培養(yǎng)。習(xí)題講評(píng)課是數(shù)學(xué)常見課型，如何將可視化工具與習(xí)題講評(píng)更好地結(jié)合，還需要教師在今后的教學(xué)中不斷研究和改進(jìn)。