具有平行平均曲率向量的偽臍子流形

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(1. 江西科技學(xué)院，330098，南昌；2.南昌師范學(xué)院附屬中學(xué)，330029，南昌)

0 引言

對(duì)于Nn+p中具有平行平均曲率向量的偽臍子流形，有如下定理。

定理A[1]:設(shè)Mn是Nn+p中具有平行平均曲率向量的緊致偽臍子流形，若Mn的Ricci曲率Rii滿足

則Mn是Nn+p的全臍子流形。

本文根據(jù)定理A中的情形研究了局部對(duì)稱空間具有平行平均曲率向量的偽臍子流形，得到這類子流形關(guān)于第2基本形式模長(zhǎng)平方σ和RicciQ的一個(gè)拼擠定理。

1 預(yù)備知識(shí)

又設(shè)Nn+p是局部對(duì)稱空間，即KABCD,E=0，其中KABCD,E是Nn+p的曲率張量KABCD的共變導(dǎo)數(shù)，且約定指標(biāo)的取值范圍為

1≤A,B,C,…≤n+p;1≤i,j,k,…≤n;n+1≤α,β,γ,…≤n+p。

設(shè)Mn是等距浸入在Nn+p中的n維緊致子流形，在Nn+p上選取局部正交標(biāo)架場(chǎng){eA}，使得它限制在Mn上，{ei}切于Mn。設(shè){ωA}是eA的對(duì)偶標(biāo)架場(chǎng)，{ωAB}是Nn+p的聯(lián)絡(luò)形式，則限制在Mn上，有

(1)

(2)

以下總假設(shè)Mn具有平行平均曲率向量，則

(3)

又Nn+p是局部對(duì)稱的，則

(4)

式中：Kαijkl為Kαijk的協(xié)變導(dǎo)數(shù)。以下總選取en+p與ξ的方向相同，則

(5)

由式(1)、式(3)、式(4)、式(5)，經(jīng)計(jì)算

(6)

(7)

于是，由式(1)、式(6)，對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，有

(8)

為了后面的證明，引進(jìn)2個(gè)引理：

2 定理的證明

定理：設(shè)Mn是局部對(duì)稱的δ-Pinching黎曼流形Nn+p中的具有平行平均曲率向量的緊致偽臍子流形(p≥2)，若

則Mn是Nn+p的全臍子流形。

證明：在式(8)中取a=-1,則有

(9)

由引理1和引理2可得：

(10)

所以在定理的條件式有：

(11)

因Mn緊致以及Hopf極大值引理得τ為常數(shù)，再由式(10)、式(11)得τ=0，即

(12)

或

(13)

當(dāng)式(13)成立時(shí)，上面各式均取等號(hào)，由式(10)取等號(hào)得δ=1，從而式(9)為：

(14)

此時(shí)由定理A和文獻(xiàn)[2-3]，易見(jiàn)τ=0，再由式(6)知，Mn是Nn+p的全臍子流形。