分階式四點(diǎn)接觸齒輪的滾刀齒面設(shè)計(jì)

高艷娥, 張 靖, 汪久根

(1. 浙江大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，杭州，310058；2. 西南大學(xué) 工程技術(shù)學(xué)院，重慶；400715；3.浙江雙環(huán)傳動(dòng)機(jī)械股份有限公司，浙江 臺(tái)州，317600)

齒輪是極其重要的核心基礎(chǔ)件，影響齒輪傳動(dòng)性能的主要因素有嚙合齒面、潤(rùn)滑狀態(tài)、表面粗糙度、材料及熱處理方式等，其中嚙合齒面作為運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力變換的直接作用面，對(duì)齒輪的性能具有非常重要的影響，因此如何獲得具有良好幾何特性和接觸特性的嚙合齒面是提高齒輪性能的關(guān)鍵問(wèn)題[1-3]. 國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)嚙合齒面進(jìn)行了深入研究，主要方法有齒面修形和構(gòu)建新的嚙合齒面[4-7].

齒面修形主要有三維拓?fù)湫扌?、齒形修形和齒向修形，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者在該領(lǐng)域進(jìn)行了大量的研究，如方宗德等對(duì)人字齒輪的主動(dòng)輪進(jìn)行三維修形[8]，設(shè)計(jì)了對(duì)角修形斜齒輪齒面[9]，建立了面齒輪修形簡(jiǎn)化模型[10-11]，研究了鼓形修形對(duì)載荷分布的影響[12]；彭先龍等[13]提出了齒面主動(dòng)修形方法來(lái)預(yù)控斜齒面齒輪的嚙合性能并消除邊界接觸；張西金等[14]提出了圓弧齒廓刀具修形及齒向鼓形修形的方案；Pedrero等[3]研究了修形對(duì)嚙合剛度、載荷分布和傳動(dòng)誤差的影響. 目前，關(guān)于齒輪嚙合理論的研究仍然以共軛曲面原理為基礎(chǔ)，對(duì)常用齒輪傳動(dòng)齒形的優(yōu)化、修正、構(gòu)型仍然是研究的重點(diǎn)，這些研究對(duì)提高齒輪傳動(dòng)的性能起到了積極作用，但是仍然未從根本上解決問(wèn)題.

在構(gòu)建新的嚙合齒面方面，陳揚(yáng)枝等[15-16]建立了空間曲線沿接觸點(diǎn)主法線方向的嚙合方程及嚙合曲線方程，獲得了具有直徑的鉤桿曲齒傳動(dòng)；陳兵奎等[17]提出了曲線共軛嚙合理論，將給定運(yùn)動(dòng)兩構(gòu)件上的光滑曲線始終保持相切接觸定義為曲線嚙合，給出了由共軛曲線形成嚙合齒面的一般方法，并將該理論應(yīng)用于平行軸和相交軸齒輪傳動(dòng)[18-21]. 由于共軛曲線的接觸具有靈活性和多樣性，既可以在節(jié)圓內(nèi)嚙合，又可以在節(jié)圓上嚙合，還可以在節(jié)圓外嚙合；齒輪在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中可以有多對(duì)共軛曲線同時(shí)參與嚙合，共軛曲線對(duì)數(shù)目增加，同時(shí)接觸的點(diǎn)的數(shù)目相應(yīng)增加，接觸區(qū)域擴(kuò)大，可以減少跑合時(shí)間，增加齒輪的承載能力；多對(duì)曲線同時(shí)參與嚙合時(shí)，共軛曲線對(duì)的分布對(duì)齒輪的傳動(dòng)性能有顯著影響. 前期的研究中，設(shè)計(jì)的共軛曲線凸齒齒輪在節(jié)圓外嚙合，凹齒齒輪在節(jié)圓內(nèi)嚙合，在加工時(shí)需要設(shè)計(jì)兩把刀具，如果齒輪能在節(jié)圓內(nèi)和節(jié)圓外同時(shí)實(shí)現(xiàn)多對(duì)共軛曲線接觸，且在加工時(shí)僅需一把刀具即可加工出相互嚙合的一對(duì)齒輪，不僅可以顯著降低制造成本，而且能大幅度提高齒輪傳動(dòng)的性能.

本文在共軛曲線嚙合理論的基礎(chǔ)上，提出分階式多點(diǎn)接觸齒輪，并以分階式四點(diǎn)接觸齒輪為例，開展齒輪的基本齒形設(shè)計(jì)，進(jìn)而推導(dǎo)滾刀的齒面方程，求解齒面方程并建立滾刀的精確實(shí)體模型，根據(jù)實(shí)體模型，獲得滾刀實(shí)體，完成分階式四點(diǎn)接觸齒輪副的滾切試制.

1 分階式多點(diǎn)接觸齒輪

所謂分階式多點(diǎn)接觸齒輪，是指齒輪的嚙合齒面分為上嚙合齒面和下嚙合齒面，呈階梯分布，由過(guò)渡齒面連接. 齒輪副運(yùn)動(dòng)時(shí)，小齒輪的上嚙合面與大齒輪的下嚙合面嚙合，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的接觸點(diǎn)，小齒輪的下嚙合面與大齒輪的上嚙合面嚙合，有兩個(gè)或兩個(gè)以上的接觸點(diǎn)，上下嚙合齒面同時(shí)在四個(gè)接觸點(diǎn)接觸. 齒輪在嚙合時(shí)，多對(duì)共軛曲線同時(shí)參與嚙合，工作齒面在多個(gè)接觸點(diǎn)同時(shí)接觸. 以分階式四點(diǎn)接觸齒輪為例，如圖 1所示，齒輪嚙合齒面上有4條共軛曲線，在嚙合時(shí)，上嚙合面有兩個(gè)接觸點(diǎn)，下嚙合面有兩個(gè)接觸點(diǎn).

分階式四點(diǎn)接觸齒輪副在運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖 2所示，小齒輪上嚙合齒面與大齒輪下嚙合齒面嚙合，小齒輪下嚙合面和大齒輪上嚙合面嚙合，均為凹凸接觸，加載之后，接觸位置由于彈性變形從接觸點(diǎn)擴(kuò)展為接觸面，承載能力提高，具有接觸強(qiáng)度高、重合度高的特點(diǎn). 齒輪嚙合時(shí)，接觸點(diǎn)僅在齒寬方向移動(dòng)，無(wú)齒高方向移動(dòng)，相對(duì)于漸開線齒輪，傳動(dòng)比較平穩(wěn)，滑動(dòng)率很低，摩擦損失少，傳動(dòng)效率高.

圖1 分階式多點(diǎn)接觸共軛曲線齒輪Fig.1 Multi-point contact gear with ladder shape of teeth

圖2 單齒嚙合Fig.2 Single tooth meshing

2 分階式四點(diǎn)接觸齒輪的基本齒形

嚙合齒面是由刀具基本齒形通過(guò)展成運(yùn)動(dòng)得到的，因此基本齒形對(duì)嚙合齒面的傳動(dòng)性能具有重要影響. 取刀具的法面齒廓為基本齒形，同側(cè)齒面的基本齒形有兩段工作齒廓，分別有兩個(gè)接觸點(diǎn)，在嚙合時(shí)共有4個(gè)接觸點(diǎn)，如圖 3所示，圖中α1、α2為接觸點(diǎn)處的壓力角.

圖3 基本齒形嚙合Fig.3 Basic tooth profile meshing

刀具的法面齒廓如圖 4所示. 切削刃I是半徑為ρ的圓弧，將切削出上嚙合齒面;切削刃II是半徑為rf的圓弧，將切削出過(guò)渡齒面; 切削刃Ⅲ為拋物線，將切削出下嚙合齒面; 切削刃IV是半徑為rj的圓弧，將切削出齒根過(guò)渡曲面.ha和hf分別為齒頂高和齒根高;h為全齒高.Sa為凸齒齒廓部分齒厚; Sf為凹齒齒廓部分齒厚.δ1為工藝角. 建立坐標(biāo)系Sn(On;xn,yn,zn)與齒條固連，xnOnyn平面與齒條法面重合，坐標(biāo)軸xn與齒廓的對(duì)稱軸線重合，yn與齒條節(jié)線重合.

圖4 刀具法面齒廓Fig.4 Normal tooth profile of rack cutter

根據(jù)齒條的幾何形狀，可得各切削刃在坐標(biāo)系Sn中的方程為

(1)

式中：α為自變量參數(shù)，ρ為圓弧的半徑，(0,la) 為圓弧圓心在坐標(biāo)系xnOnyn中的坐標(biāo)值.

(2)

式中：αj為自變量參數(shù)，rj為圓弧的半徑，(ej,lj)為圓弧圓心在坐標(biāo)系xnOnyn中的坐標(biāo)值.

τmin≤τ≤τmax.

(3)

式中：τ為自變量參數(shù);σ為設(shè)計(jì)參數(shù),σ=0.5(α1+α2),α1和α2為法面壓力角；p為拋物線參數(shù),p=ρcos (σ/2);L1=0.5ρtanσsinσ+ρcosσ.

(4)

式中:αf為自變量參數(shù)；rf為圓弧半徑，(ef,lf)為圓弧圓心在坐標(biāo)系xnOnyn的坐標(biāo)值.

3 滾刀的齒面方程

3.1 坐標(biāo)系與坐標(biāo)變換

如圖 5，分別建立固定坐標(biāo)系S0(O0-x0,y0,z0)和活動(dòng)坐標(biāo)系S1(O1-x1,y1,z1) 與滾刀固連. 坐標(biāo)軸z0和z1重合，為滾刀的旋轉(zhuǎn)軸線. 活動(dòng)坐標(biāo)系Sp(Op-xp,yp,zp) 與齒條固連. 坐標(biāo)軸zp與zn的夾角為β.u為坐標(biāo)原點(diǎn)Op和On在zn軸上的距離.

圖5 展成過(guò)程 Fig.5 Gear generating

在整個(gè)展成過(guò)程中，齒條刀具的節(jié)面和滾刀的節(jié)圓柱始終保持相切接觸. 滾刀繞回轉(zhuǎn)軸線z1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為ω1，同時(shí)齒條刀具將向左平移，速度為vp. 當(dāng)齒輪繞軸線旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度φ1，齒條刀具將向左平移r1φ1.

根據(jù)坐標(biāo)變換理論，坐標(biāo)系Sn與Sp之間的坐標(biāo)變換矩陣為

坐標(biāo)系Sp與S0之間的坐標(biāo)變換矩陣為

(6)

式中:r1為齒輪的節(jié)圓半徑；Mpn為坐標(biāo)系Sn到Sp的變換矩陣，M0p為坐標(biāo)系Sp到S的變換矩陣.

3.2 嚙合方程

設(shè)點(diǎn)M為嚙合點(diǎn)，根據(jù)式(1)～(5)可以獲得點(diǎn)M在坐標(biāo)系Sp中的表達(dá)式為

(7)

式中:當(dāng)i=I時(shí)，t=α； 當(dāng)i=Ⅱ時(shí)，t=αj；當(dāng)i=Ⅲ時(shí)，t=τ；當(dāng)i=IV時(shí)，t=αf.

嚙合點(diǎn)M的法線可以在坐標(biāo)系Sp表示為

(8)

嚙合點(diǎn)M的相對(duì)速度在坐標(biāo)系Sp中表示為

(9)

式中：vp為嚙合點(diǎn)隨刀具齒條的移動(dòng)速度，vp=-r1ω1jp;v為嚙合點(diǎn)隨齒輪的運(yùn)動(dòng)速度，v=-ω1×r1;ω1=-ω1kp;r1=(r1+xp(u,t))ip+(-r1φ1+yp(u,t))jp+zp(u,t)kp.

根據(jù)齒輪嚙合原理，任意嚙合點(diǎn)處的公法線與相對(duì)速度方向垂直，其嚙合方程可以在坐標(biāo)系Sp中表示為

(10)

將方程(8) 和(9) 代入方程(10)，可得

(11)

式(11)確定了齒條的移動(dòng)距離參數(shù)u和滾刀的轉(zhuǎn)角φ1以及切削刃參數(shù)t的關(guān)系.

3.3 齒面方程

根據(jù)齒輪嚙合原理，滾刀齒面可以用方程表示為

(12)

將式(6),(7)和(11) 代入式(12), 滾刀齒面方程可以在坐標(biāo)系S1中表示為

r(t,φ1)=

(i=I,II,Ⅲ,IV) .

(13)

式中：當(dāng)i=I時(shí)，t=α； 當(dāng)i=Ⅱ時(shí)，t=αj；當(dāng)i=Ⅲ時(shí)，t=τ；當(dāng)i=IV時(shí)，t=αf.

式(13) 中齒面只有兩個(gè)變量，切削刃參數(shù)和滾刀的旋轉(zhuǎn)角度，當(dāng)給出兩個(gè)變量的變化范圍，即可獲得所需齒面.

將切削刃式(1)～(4)代入式(13) ，即可得到各切削刃展成得到的滾刀齒面方程

(14)

(15)

r(Ⅲ)(τ,φ1)=

(16)

(17)

在式(14)～(17)中，當(dāng)取上面的符號(hào)時(shí)，方程為左側(cè)齒面方程，當(dāng)取下面的符號(hào)時(shí)，方程為右側(cè)齒面方程.

4 滾刀精確實(shí)體建模與試制

4.1 滾刀精確實(shí)體建模

通過(guò)給定的參數(shù)，逐一求解式(14)～(17)，即可獲得滾刀的各個(gè)齒面. 通過(guò)編程運(yùn)算，求解出輪齒齒面上點(diǎn)的坐標(biāo)，繪制圖形，并將坐標(biāo)點(diǎn)導(dǎo)入三維建模軟件，建立滾刀的實(shí)體模型，如圖 6所示.

圖6 滾刀實(shí)體模型Fig.6 Model of hob

滾刀的主要參數(shù)為：法面模數(shù)為6 mm，內(nèi)孔直徑為45 mm，外徑為110 mm，前角為0°，長(zhǎng)度為140 mm，容屑槽為12個(gè)，螺旋升角為3°16′25″，頭數(shù)為1，旋向?yàn)橛倚?

根據(jù)滾刀模型，加工出的滾刀實(shí)體如圖 7所示.

4.2 滾切試制

用圖 7中的滾刀進(jìn)行滾削加工，如圖 8所示，獲得的分階式四點(diǎn)接觸齒輪副，如圖 9所示. 齒輪副的主要參數(shù)如下：法面模數(shù)mn=6 mm，中心距a=130 mm，小齒輪齒數(shù)z1=6，大齒輪齒數(shù)z2=30，傳動(dòng)比i=5，螺旋角β=33°49′19′′，齒寬B=80 mm.

圖7 滾刀實(shí)體Fig.7 Image of hob

圖8 滾齒加工Fig.8 Hobbing

圖9 分階式四點(diǎn)接觸齒輪副Fig.9 Four-point contact gears with ladder shape of teeth

4.3 接觸印痕檢驗(yàn)

將圖9中的齒輪裝配到齒輪箱中，如圖10所示.

圖10 齒輪裝配Fig.10 Gear assembly

齒輪副裝配完成之后，將大小齒輪的輪齒表面清洗干凈，把小齒輪的輪齒表面均勻地涂上紅丹粉，旋轉(zhuǎn)小齒輪軸，檢查輪齒的接觸情況，如圖11和圖 12所示. 對(duì)于8級(jí)精度的齒輪傳動(dòng)，在齒高方向上接觸線的位置偏差不超過(guò)0.25mn，在整個(gè)齒長(zhǎng)方向上不少于工作齒長(zhǎng)的85%. 從齒面的接觸區(qū)域可以看出，裝配后的齒輪副在齒長(zhǎng)方向上的接觸不少于工作齒長(zhǎng)的90%；在齒高方向上，能保證在理論的接觸線位置接觸，由于加工誤差和裝配誤差的存在，在齒高方向上有一定的位置偏差，約0.5 mm.

圖11 小齒輪接觸印痕Fig.11 Contact pattern of pinion

圖12 大齒輪接觸印痕Fig.12 Contact pattern of gear

5 結(jié) 論

1)提出了分階式多點(diǎn)接觸齒輪傳動(dòng)，輪齒的嚙合齒面分為上嚙合面和下嚙合齒面，在多個(gè)點(diǎn)同時(shí)接觸，并且為凹凸接觸，具有承載能力大、重合度高等特點(diǎn)；

2)設(shè)計(jì)了分階式四點(diǎn)接觸齒輪的基本齒形，上、下嚙合面的基本齒廓分別為圓弧和拋物線曲線，基本齒廓嚙合時(shí)有4個(gè)接觸點(diǎn)，采用圓弧曲線作為過(guò)渡曲線；

3) 建立了滾刀的數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)了滾刀的齒面方程，構(gòu)建了滾刀的精確實(shí)體模型，加工獲得了滾刀實(shí)體；

4) 開展了滾切試制，獲得了分階式四點(diǎn)接觸的齒輪副，進(jìn)行了接觸印痕驗(yàn)證，滿足設(shè)計(jì)要求，為后續(xù)的齒輪磨削加工及承載能力試驗(yàn)等進(jìn)一步研究提供了基礎(chǔ)；

5) 分階式四點(diǎn)接觸齒輪繼承了多對(duì)曲線接觸的特性，其齒面形成方法適用于其他分階式多點(diǎn)接觸齒輪，具有廣闊的工程應(yīng)用前景.