數(shù)字濾波器相位的理解

陳國泰 張賽男 付 爽

(福建師范大學(xué)福清分校 a.無損檢測技術(shù)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室；b.電子與信息工程學(xué)院；c.海洋研究院，福建 福清 350300)

在《數(shù)字信號處理》課程教學(xué)中，濾波器這一部分的內(nèi)容很大程度上集中在幅頻響應(yīng)上，相頻響應(yīng)這一內(nèi)容講解得比較少。本文的目的是重新理解相位對濾波效果上的影響。

濾波器是一種最常見的信號處理形式，用來消除某些頻率并且改進(jìn)其他一些頻率的幅值、相位或信號頻譜某些部分的群延遲[1]。濾波器可分為模擬濾波器[2]和數(shù)字濾波器[3]316。模擬濾波器與后端的模數(shù)轉(zhuǎn)換(ADC)采樣率無關(guān)，可以濾除寬頻帶信號，適用于做抗混疊濾波器。模擬濾波器有有源和無源之分。

無源模擬濾波器主要由電阻、電感和電容構(gòu)成，有源濾波器主要由運(yùn)放、電阻和電容構(gòu)成。無源濾波器結(jié)構(gòu)相對簡單，成本較低，有源濾波器雖然成本高，但濾波效果好，穩(wěn)定度和精度較高。模擬濾波器的缺點(diǎn)是濾波器由元器件搭建，一旦搭建完成，很難修改濾波參數(shù)，并且阻帶最小衰減很難達(dá)到-60dB[4]。

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，信號數(shù)字化在各領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波器也是常用的數(shù)字信號處理方式。數(shù)字濾波器的參數(shù)容易修改，阻帶最小衰減很容易達(dá)到-60dB，精度和可靠性都很高。在線性系統(tǒng)中，數(shù)字濾波器在實(shí)際應(yīng)用中由數(shù)字乘法器、加法器和延時(shí)單元構(gòu)成。數(shù)字濾波器的缺點(diǎn)是受限于奈奎斯特采樣定理，與前端的ADC采樣率有關(guān)，所處理的信號頻率寬帶必須小于采樣率的一半，否則會出現(xiàn)頻率混疊。因此，在一些應(yīng)用中，必須在ADC前端加上抗混疊的模擬濾波器以避免數(shù)字信號失真并導(dǎo)致系統(tǒng)的可靠性降低[4]。

在《數(shù)字信號處理》課程[5]中，盡管有提到相位問題，但相位在濾波中的作用并沒有深入講解。本文考慮在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，關(guān)于數(shù)字濾波器相位的問題。

1 相位對波形的影響

在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，滿足Dirichlet條件的任何一個(gè)實(shí)信號可以用三角級數(shù)來表示[6]?；谀慰固夭蓸佣ɡ恚@里假設(shè)考慮的實(shí)信號是平滑的，即實(shí)信號可以用有限個(gè)三角函數(shù)來表示。為了說明方便，用帶初始相位的余弦函數(shù)(如來表示實(shí)信號。圖1(a)是由在采樣率為100下的函數(shù)曲線，即由頻率為3和7的余弦波疊加而成。當(dāng)頻率為3的余弦波發(fā)生延遲，延遲的相位為 時(shí)，這時(shí)疊加的波形如圖1(b)所示。雖然兩個(gè)具有相同的頻率成分，而且頻率成分的幅度也相同，但波形發(fā)生了變化，這對依靠波形表征的信號，如語音、圖像等而言，波形變化所表達(dá)的信息也發(fā)生了變化。當(dāng)將用于表達(dá)圖1波形的數(shù)據(jù)用于表達(dá)圖像顏色時(shí)所表現(xiàn)的效果如圖2所示，可以看到明顯的不同，圖中上方的短線為圖2(a)和圖2(b)之間較大區(qū)別的位置。因此，在圖形處理中，相位會影響圖形的表達(dá)效果。

圖1 由繪出的波形

圖2 由數(shù)值作為顏色數(shù)據(jù)所繪出的圖形

2 FIR數(shù)字濾波器及其相位

在線性時(shí)不變的離散系統(tǒng)中，有限沖擊響應(yīng)是在單位脈沖輸入下系統(tǒng)輸出的是有限長度的序列。當(dāng)有限沖擊響應(yīng)序列是對稱的時(shí)候，對應(yīng)的數(shù)字濾波器具有線性相位特性[3]467。

假設(shè)有限沖擊響應(yīng)實(shí)序列為h(n)(n=0,…,N-1)，則該序列的傅里葉變換為

當(dāng)序列h(n)為偶對稱時(shí)，即h(n)= h(N-1-n)，有

故得

當(dāng)序列h(n)為偶對稱時(shí)，即h(n)=-h(N-1-n)，同理可得

根據(jù)序列奇偶對稱性以及奇偶長度的不同，共有四種情況，每種情況通過分析在為0，π和2π處的函數(shù)值和對稱性，可以得到式(3)和式(6)在什么時(shí)候適合設(shè)計(jì)哪種FIR數(shù)字濾波器，如表1所示。

表1 不同對稱性和長度下所適合設(shè)計(jì)的FIR數(shù)字濾波器

根據(jù)上面的分析，沖擊響應(yīng)為對稱序列的數(shù)字濾波器的相位是線性的，除了第一類和第二類線性相位的差別外，同一類之間有什么差別呢？這里結(jié)合例子來展示其差別。

從表1可知，四種情況都可以用于設(shè)計(jì)帶通濾波器。考慮一個(gè)信號為濾波器采用矩形窗函數(shù)，濾波器的階數(shù)分別為12和13，采樣頻率為100Hz，截止頻率分別為6Hz和14Hz，在Matlab[7]環(huán)境下利用filter函數(shù)實(shí)現(xiàn)濾波，濾波后去除結(jié)果中的前6個(gè)數(shù)據(jù)，這時(shí)由于濾波器作為因果濾波器事先做了時(shí)間上的平移。各種不同情況下的帶通濾波器的濾波效果，如圖3所示。

圖3 各種不同情況下帶通濾波器濾波的效果

從濾波的效果看，第一類線性相位下的兩種濾波器的濾波輸出波形很相似，如圖3(b)所示，同樣，第二類線性相位的兩種濾波器產(chǎn)生的濾波結(jié)果也很相似，如圖3(c)所示。圖3(d)是用第三種帶通濾波器對原始信號濾波的結(jié)果以及用第一種濾波器對相移90°后的原始信號(即濾波的結(jié)果，圖中結(jié)果表明了第三種濾波器對原始信號濾波相當(dāng)于對于相移90°后的原始信號采用第一種濾波器進(jìn)行濾波。圖3(d)中在t=0s附近兩條曲線不吻合的原因是在filter函數(shù)中初值為0，需要經(jīng)歷12離散點(diǎn)(即濾波器長度減去1)后，濾波結(jié)果即非常吻合。實(shí)際上，四個(gè)濾波器在頻率幅度上是存在差別的，如圖4所示，偶對稱的偶數(shù)階濾波器在低通部分性能略差，通帶內(nèi)也略有差別?？傮w上，在通帶內(nèi)，四種濾波器的性能比較接近，在高頻方面有一些差別。當(dāng)信號的頻率成分豐富時(shí)，濾波后的波形會存在一些差異。

圖4 四種FIR帶通濾波器的幅頻響應(yīng)

圖3 (b)中第二種濾波器表現(xiàn)了其濾波結(jié)果的相位產(chǎn)生超前，這是因?yàn)閷?shí)際濾波后的信號需要平移(12-1)/2=5.5點(diǎn)，但圖中實(shí)際向左平移了6個(gè)點(diǎn)，因此，相位超前了1/(2Fs)。圖3(c)中的第四種濾波器也是同樣的情況。這意味著當(dāng)濾波器的階數(shù)為偶數(shù)時(shí)，濾波結(jié)果總會產(chǎn)生這樣的相位超前或延遲。

圖3(a)顯示了原始信號經(jīng)過第一種帶通濾波器濾波，波峰和波谷的數(shù)量有減少，高頻的信息得到一定的去除，另外，也可以看出波峰值和波谷值的絕對值之間的差值也有所變小，這表明了低頻成分也得到了一定的去除。

從濾波器的結(jié)構(gòu)來看，第二種濾波器序列是偶數(shù)階的偶對稱，濾波時(shí)相當(dāng)于是對對稱位置的數(shù)據(jù)求和(或求平均)后再乘以權(quán)值，這種求和實(shí)際上是平滑操作，即濾除高頻信息的操作。第四種濾波器序列是偶數(shù)階的奇對稱，濾波時(shí)類似于對對稱位置的數(shù)據(jù)求微分后乘以權(quán)值，直流成分在這種濾波器下是會被濾除的，微分在圖像處理中用于邊緣檢測[8]，因此，可以保留高頻信息。第三種濾波器序列是奇數(shù)階的奇對稱序列，序列的中間位置元素為0，同樣具有濾除直流和低頻信息的效果。雖然第三種濾波器具有第四種濾波器的那種類似微分運(yùn)算的操作，但由于濾波器序列的中間位置元素為0，造成這種類似微分操作是在更寬的范圍內(nèi)進(jìn)行，而且中間的元素沒有參與運(yùn)算，因此，操作所得的信息是中低頻信息，高頻的信息被濾除。這就是第三種情況不能用于設(shè)計(jì)低通和高通的原因。在第一種濾波器設(shè)計(jì)中，濾波器序列是奇數(shù)階的偶對稱，中心位置的值占很大比重。濾波操作可以看成相關(guān)運(yùn)算，在以正弦波(或余弦波)構(gòu)成的信號下，顯然，低通濾波器的序列應(yīng)該表現(xiàn)出相對比較平滑，高通的濾波器序列應(yīng)該波動比較劇烈，帶通和帶阻濾波器也可以類推。第一種濾波器可以實(shí)現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻等四種濾波器。

3 IIR數(shù)字濾波器及其相位

汪芙平等[9]證明，IIR數(shù)字濾波器不具備實(shí)現(xiàn)線性相位特性，但在實(shí)際應(yīng)用中，相位非線性變化不大的IIR數(shù)字濾波器可以近似為具有線性相位的，或者借助一個(gè)全通網(wǎng)絡(luò)來進(jìn)行相位矯正[3]320。

N階IIR數(shù)字濾波器通常用z-變換函數(shù)表示為

其中，b(n)用于控制零點(diǎn)在z平面內(nèi)的位置或偏離單位圓的程度，a(n)用于控制極點(diǎn)在z平面內(nèi)的位置。穩(wěn)定的系統(tǒng)要求極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)?？拷鼏挝粓A的極點(diǎn)容易因量化誤差或其他誤差導(dǎo)致極點(diǎn)偏離到單位圓上或單位圓外，導(dǎo)致系統(tǒng)失效[3]618。

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)可以利用模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法通過脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法等進(jìn)行[3]386-390。脈沖響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器在時(shí)域上模仿模擬濾波器，其缺點(diǎn)是容易造成混疊失真。雙線性變換法是從頻率出發(fā)，使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似的一種變換法。這種方法適用具備封閉式的公式進(jìn)行計(jì)算。

Matlab中的FDAtool對話框界面可以快速設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等濾波器，包括FIR濾波器和IIR濾波器。這里將設(shè)計(jì)兩個(gè)IIR濾波器，以顯示IIR具有非線性相位。

設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器仍然是帶通濾波器，采樣頻率為100Hz，截止頻率分別為6Hz和14Hz，IIR濾波器的階數(shù)為4，在FDAtool中Design Method選項(xiàng)中，IIR分別選擇Butterworth和Chebyshev Type I，這兩個(gè)濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如圖5所示。對比圖4，IIR濾波器在階數(shù)較低的情況下，幅頻響應(yīng)的性能比FIR濾波器好，IIR濾波器的相位延遲不滿足線性變化，如圖5(b)所示。

圖5 中的幅頻特性和相頻特性結(jié)果是根據(jù)式(7)得到的，其中FDAtool中導(dǎo)出設(shè)計(jì)好的數(shù)據(jù)SOS和G，通過函數(shù)sos2tf得到a(n)和b(n)，再計(jì)算由此求出幅頻特性和相頻特性，相頻特性先通過angle函數(shù)再用unwrap函數(shù)得到平滑曲線。

考慮一個(gè)頻率為10Hz的余弦波 分別輸入到這兩個(gè)濾波器中，濾波后的結(jié)果如圖5所示。從相頻特性中得到10Hz在Butterworth中為-0.248 332 106 920 221，在Chebyshev Type I濾波器中的相位為-0.176 160 430 570 338，將相位延遲代入余弦波中，即cos(2π×10×t-0.248 332 106 920 221)，從圖6可以看到濾波后的信號和加入相位延遲的信號是吻合的。由于Chebyshev Type I濾波器在通帶內(nèi)有波紋，因此，圖6(b)的波形幅度有所減少。

圖6 表明，通過相頻特性可以得到每個(gè)頻率經(jīng)過濾波后產(chǎn)生相位延遲或相位超期的相位值，有助于更好地理解濾波后波形變化。

4 相位延遲和群延時(shí)

在前面的例子中，圖6考慮的是單個(gè)頻率的信號作為濾波時(shí)的輸入信號，相位延遲就是指濾波后信號與輸入信號的相位偏移[10]。將濾波器的傅里葉變換記為那么相位延遲一般考慮的是時(shí)間延遲[11]。

比較容易理解的例子就是一個(gè)正弦波的峰值進(jìn)入濾波器(或系統(tǒng))到濾波器與濾波器輸出該峰值所對應(yīng)峰值之間的時(shí)間差。相位延遲只關(guān)心單個(gè)頻率的情況。

當(dāng)輸入信號包含多個(gè)頻率時(shí)，這時(shí)考慮的是群延遲[12]，群延遲的表達(dá)式如式(9)所示。

群延遲考慮的是式(9)是否為一常數(shù)，以表示包絡(luò)是否完整包含相關(guān)信息。當(dāng)群延遲為一常數(shù)時(shí)，濾波器(或系統(tǒng))具備線性相位特性，如具有線性相位的有限沖擊響應(yīng)濾波器。在第一類線性相位中，每個(gè)頻率的相位延遲時(shí)間是相同的，只是波形全體提前到達(dá)或是延遲達(dá)到，整體的包絡(luò)波形保持不變。在第二類線性相位的情況下，所有頻率波形都同時(shí)達(dá)到，但是達(dá)到時(shí)都已經(jīng)發(fā)生相同的相位偏移，因此，包絡(luò)的形狀可能會發(fā)生變化，由于相位偏移是已知的，包絡(luò)的信息不會出現(xiàn)失真。當(dāng)群延遲不是一個(gè)常數(shù)時(shí)，若 不包含常數(shù)項(xiàng)，那么每個(gè)頻率的波形到達(dá)的時(shí)間不一致，假設(shè)只有一個(gè)頻率波形延遲達(dá)到，其他頻率仍然在原有的包絡(luò)中，而這個(gè)延遲的頻率所對應(yīng)的波形將有一部分在當(dāng)前包絡(luò)中，另一部分將跨越到下一個(gè)包絡(luò)中，這種情況造成符號干擾。在通信系統(tǒng)中，群延遲不是常數(shù)時(shí)會引起符號間干擾和傳輸波形失真[14]。當(dāng) 包含常數(shù)項(xiàng)時(shí)，如同前面所說，每個(gè)頻率的波形到達(dá)時(shí)都已經(jīng)發(fā)生了相同的相位偏差。

數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)是要使濾波器盡量具備線性相位特性，或者保證通帶內(nèi)的頻率具備線性相位特性，這樣濾波后信號能夠較好地保留相應(yīng)的信息，使表達(dá)效果沒有明顯的失真。圖5(b)中由Butterworth設(shè)計(jì)而來的IIR數(shù)字濾波器在通帶內(nèi)群延遲近似為常數(shù)。

群延遲的計(jì)算可以通過計(jì)算相鄰頻率之間的相位微分得到。

5 結(jié)論

由于對稱序列的有限沖擊響應(yīng)濾波器具有線性相位特性，而無限沖擊響應(yīng)濾波器不具備線性相位特性，因此，教材沒有深入講解相位問題。本文通過例子來顯示相位對信號在信息表達(dá)上的影響，分析了有限沖擊響應(yīng)帶通濾波器在四種設(shè)計(jì)方案下的相位差異，再通過單頻波經(jīng)過無限沖擊響應(yīng)帶通濾波器來分析信號濾波前后的相頻特性變化，最后談到相位延遲和群延遲。這些內(nèi)容有助于在學(xué)習(xí)數(shù)字信號處理課程時(shí)對相位有更深刻的理解。