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    基于乘子交替方向法改進的圖像恢復方法

    2020-06-22 13:15:56唐崇偉黨亞崢曹思琪
    軟件導刊 2020年5期

    唐崇偉 黨亞崢 曹思琪

    摘 要:為了改善圖像模糊給生活帶來的不便,基于乘子交替方向法(ADMM)對圖像恢復問題進行研究。圖像作為一種重要的信息載體,在生活各個方面都顯得尤為重要,但圖像退化導致的模糊問題始終是困擾其正常發(fā)揮作用的重要因素。ADMM在處理線性逆問題方面有著良好效果,然而在很多實際應用中,無法保證算法能夠高效且高質(zhì)量地恢復圖像。為此,提出一種改進ADMM算法,在[x]子問題和[z]子問題中引入新的松弛參數(shù),使得每次迭代步長大于1,從而提高算法收斂性。最后,圖像恢復數(shù)值實驗結(jié)果表明,該算法迭代次數(shù)減少了40%,顯著提高了運算效率。采用改進ADMM算法不僅能夠準確、高效地恢復圖像,同時也能提高計算機運算效率。

    關(guān)鍵詞:乘子交替方向法;最小二乘問題;松弛算子;圖像恢復

    DOI:10. 11907/rjdk. 192610 開放科學(資源服務(wù))標識碼(OSID):

    中圖分類號:TP317.4 文獻標識碼:A 文章編號:1672-7800(2020)005-0217-04

    0 引言

    在圖像產(chǎn)生、傳輸與處理過程中,由于受到信號干擾,或成像設(shè)備及其它因素的綜合影響,無法避免的一個問題便是圖像失真,最為直觀的表現(xiàn)就是圖像變得模糊。圖像作為重要的信息載體,在人們的生活、工作、科研等方面發(fā)揮著重要作用,而受損的圖像可能會給個人、社會造成巨大損失。為了滿足生活及科研的需要,對受損圖像進行恢復成為了很多學者研究的主題[1-3]。

    其中,[A,B∈Rm×n],且[mn],[b,d∈Rm],[λ∈R]。在圖像模糊問題的模型中,[A]是模糊算子,[B]是正則化算子,當[d=0]時,問題(2)則成為Tikhonov正則化問題,[b]為觀測到的圖像,[x]是被還原的圖像。此外,問題(2)也是Huang等[4]研究分裂算法中的一個子問題,采用TV正則化完成了圖像恢復,此時[B]為單位矩陣,[d]是[x]的近似值。

    對于此類問題,Chan等[3]針對問題(2)設(shè)計了利用A和B屬性的加速算法。用于求解問題(2)的算法本質(zhì)上是內(nèi)點法背景下的牛頓型方法,例如有學者提出將其用于解決非負最小二乘問題[10-11]。內(nèi)點法同樣非常適用于圖像重建問題中的不適定問題[12-13]。Bellavia等[14]通過將Karush-Kuhn-Tucker條件轉(zhuǎn)化為非線性方程組,提出一種牛頓型方法求解非負最小二乘問題,在圖像去模糊問題上,簡化牛頓法優(yōu)于投影法及某些內(nèi)點牛頓法。

    本文采用ADMM法[16-17]處理問題(2),該類問題大量出現(xiàn)在圖像處理、機器學習等系數(shù)優(yōu)化領(lǐng)域[19],而ADMM法近年來被公認為求解具有可分離結(jié)構(gòu)凸問題的有效方法,因而受到了廣泛重視。如Cai等[20]將ADMM算法延伸為“鄰近點型”交替方向法;He等[21-22]引入兩次校正乘子,生成“對稱性”交替方向法,隨后又提出擴展步長的算法,并針對算法的不精確性進行研究[24];接著Gu等[23]又對其作了進一步研究。針對3個和3個以上問題的研究[25],直接應用ADMM算法是不能保證其收斂的,因此He等[26-27]提出一些理論上可保證收斂的求解多個可分離算子的分裂算法,即帶高斯回代的交替方向法與部分平行的正則化方法。

    注意到目標函數(shù)是由共同變量[x]組合在一起的兩個最小二乘項之和,通過輔助變量將兩個最小二乘項分離,并直接應用ADMM法。ADMM將問題(2)分解為兩個更簡單的子問題,每個子問題都是最小二乘問題,目標函數(shù)中只有一個二次項。但如果問題(2)中的矩陣A或B都不是單位矩陣,ADMM子問題則無法得到封閉解,也通常很難取得最優(yōu)解。因此,引入線性化思想可使求解ADMM子問題的封閉解變得更加容易。本文還在線性化ADMM法基礎(chǔ)上引入一組松弛算子[18],將新的松弛參數(shù)引入到[x]子問題和[z]子問題中,在取值恰當?shù)那闆r下,使得每次迭代步長大于1。圖像恢復數(shù)值實驗結(jié)果表明,在同樣條件下,改進后算法較原算法的圖像恢復質(zhì)量有所提高,且縮短了運算時間,大幅減少了迭代次數(shù)。

    1 算法

    為了應用ADMM算法,首先將問題(2)變量拆分為:

    2 數(shù)值實驗

    本節(jié)將A-ADMM算法應用于圖像模糊問題,所有代碼均由Matlab 2016a 編寫,處理器為 Intel Core i5 3.0GHz ,內(nèi)存16Gb,并在Windows 10上運行。

    實驗中設(shè)置[λ=2×10-5],[τ=1.05ρ(ATA)],[γ=0.1],[t=1.9],[ω=0.7]進行驗證。表1為A-ADMM算法與LADMM算法處理結(jié)果對比。從表1可以清晰看出,A-ADMM算法在迭代次數(shù)上具有明顯優(yōu)勢,相較于LADMM算法減少了40%的迭代次數(shù),同時運算時間與信噪比也得到了保障。

    通過對兩種算法的比較,可以看出A-ADMM算法具有明顯優(yōu)勢,在迭代初始階段即明顯表現(xiàn)出更好的收斂效果,最終結(jié)果也證實了改進后算法具有更好的性能。本文算法在不犧牲運算速度與圖像質(zhì)量的同時,減少了迭代次數(shù),取得了符合預期的效果。

    3 結(jié)語

    本文從線性ADMM算法中獲得啟發(fā),提出一種加速ADMM算法。通過對改進ADMM算法的研究發(fā)現(xiàn),在[x]子問題和[z]子問題中引入松弛算子,使得算法每一步子問題的迭代步長都能大于1,可使算法能夠更高效地收斂,在確保其具有更高效率的同時,提高了圖像恢復質(zhì)量。本文數(shù)值實驗驗證了松弛算子能提高算法性能的猜想,A-ADMM算法相對于LADMM具有明顯優(yōu)勢,可減少40%的迭代步驟,從而節(jié)省了大量計算資源。在接下來的工作中,針對如何在提升迭代次數(shù)的同時,提高圖像恢復質(zhì)量,并大幅減少運行時間,還需作進一步研究。

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    (責任編輯:黃 健)

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