“源”來如此
——一類絕對(duì)值函數(shù)的“中值”探究

◇ 山東 弭連玉

自從2015年浙江卷理科第15題出現(xiàn)含絕對(duì)值的二次函數(shù)后,與含絕對(duì)值二次函數(shù)相關(guān)的各類問題如雨后春筍般接連冒出來,其中不乏一些經(jīng)典題型和處理策略使人記憶猶新,特別是對(duì)絕對(duì)值不等式性質(zhì)的巧妙應(yīng)用更使人拍案叫絕.本文就對(duì)一類含絕對(duì)值二次函數(shù)的“中值”取法的原理,闡述一些個(gè)人觀點(diǎn),請(qǐng)同行給予指導(dǎo)．

1 問題提出

本題是2017年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試(A卷)的簡(jiǎn)答題,主要考查二次函數(shù)與絕對(duì)值的相關(guān)性質(zhì).此類問題曾是2015年浙江高考將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容進(jìn)行刪減后考查的一大熱點(diǎn)與亮點(diǎn),在各類高考模擬卷中更是時(shí)有出現(xiàn),可謂背景深厚,而究其根源,發(fā)現(xiàn)其最早來自于各大數(shù)學(xué)聯(lián)賽．

證明令f(x)=x2-kx-m,x∈[a,b],則f(x)∈[-1,1],于是

-1≤f(a)=a2-ka-m≤1,

①

-1≤f(b)=b2-kb-m≤1,

②

③

由①+②-2×③得

2 “再問”標(biāo)準(zhǔn)答案

(代數(shù)來源1)

證明-1≤f(a)=a2-ka-m≤1,

①

-1≤f(b)=b2-kb-m≤1．

②

③

由③×(1+λ)得

④

由②×λ+①得

-(1+λ)≤a2+λb2-k(a+λb)-
m(1+λ)≤1+λ．

⑤

由④-⑤可得

當(dāng)然一汪泉水的“源頭”可以有好幾處,如果我們想一探到底,這里還得引入新的知識(shí)點(diǎn)——極差．

(代數(shù)來源2)

引例2二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),x∈[m,n],記極差M=fmax(x)-fmin(x),試探求極差M與何值相關(guān).

當(dāng)-2n≤b≤-(m+n)時(shí),

當(dāng)-(m+n)≤b≤-2m時(shí),

從而可得以下結(jié)論．

由此結(jié)論,我們?cè)倏丛},令

f(x)=x2-kx-m,|x2-kx+m|≤1,

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休.”二次函數(shù)作為一類有圖象特征的函數(shù),更應(yīng)該從幾何特征上加以分析,故而我們先分析絕對(duì)值的幾何意義——表示距離,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)幾何上的“源”．

(幾何來源)

|x2-kx-m|的幾何意義可表示為函數(shù)g(x)=x2與直線h(x)=kx+m的豎直距離．

由題意|x2-kx-m|≤1，則

|g(x)-h(x)|≤1,

由于g(x)=x2的圖象確定,h(x)=kx+m的圖象不確定,如圖1，但易知

|g(x)-h(x)|max=max{|g(a)-h(a)|,
|g(b)-h(b)|,|g(x0)-h(x0)|},

x0為直線h(x)=kx+m平移后與g(x)=x2相切時(shí)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

圖1

|b2-(kb+m)|≤1,

②

③

由①+②-2×③得

很多時(shí)候,我們都迷失于標(biāo)準(zhǔn)答案的解析中,看似自然的表象下面往往隱藏著“本源”的東西,而這種“本源”的挖掘不正是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中“邏輯思維”能力的體現(xiàn)嗎?作為一名教師,我們更應(yīng)該關(guān)注問題的本質(zhì),少點(diǎn)“技巧”與“套路”,而是教會(huì)學(xué)生多尋找、多思考問題的“源”在何方!