例談數(shù)列中的周期性問題

◇ 山東 于立軍

數(shù)列是一種特殊的函數(shù),因此，可以利用函數(shù)的性質(zhì)求解部分?jǐn)?shù)列問題.當(dāng)然,在數(shù)列中也必然存在著類似函數(shù)的周期性等問題，但有些問題,表面上看似與周期無關(guān),實(shí)際上隱含著周期性,直接分析求解很難下手,一旦揭示了周期,問題便能迎刃而解.

1 利用周期性求解數(shù)列中的通項(xiàng)問題

根據(jù)數(shù)列的概念,利用歸納與猜想方法來求解數(shù)列的通項(xiàng)公式是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),學(xué)生剛接觸數(shù)列知識(shí),面臨的困難是找不出數(shù)列的規(guī)律,難以發(fā)現(xiàn)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系其實(shí)就是自變量n與函數(shù)an的關(guān)系.

(1)1,0,-1,0,1,0,-1,0,…;

(2)a,b,a,b,a,b,….

(2)本題的通項(xiàng)公式有多種形式：

2 利用周期性求解數(shù)列中某些項(xiàng)的值

在數(shù)列中求解某些項(xiàng)的值,也就是相當(dāng)于求一些對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.說起來很簡(jiǎn)單,但如果遇到通項(xiàng)公式?jīng)]有給出或是只給出相應(yīng)的遞推公式時(shí),解答起來也就不那么容易了.此時(shí)可以通過分析遞推公式中的規(guī)律,找出其周期,巧妙解決問題.

a2 020=a336×6+4=a4=-a1=-2 019.

3 利用周期性求解數(shù)列中某些項(xiàng)的和

數(shù)列中求和問題是難以把握且容易出現(xiàn)的問題，但通過數(shù)列的周期性,找出數(shù)列的規(guī)律,抓住實(shí)質(zhì),就可以把求和問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)列問題,從而得以解決.

又an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4,則

an+1an+2an+3(an-an+4)=an-an+4,

即

(an+1an+2an+3-1)(an-an+4)=0,

而對(duì)任何自然數(shù)n都有anan+1an+2≠1,所以an-an+4=0,即an+4=an,故數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列,那么

數(shù)學(xué)思想、方法是數(shù)學(xué)的靈魂,是開啟數(shù)學(xué)知識(shí)寶庫的金鑰匙,是層出不窮的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉.利用函數(shù)的思想、方法解決數(shù)列問題,能使學(xué)生開闊眼界,拓寬思路,體會(huì)數(shù)學(xué)思想、方法的重要性.