巖石分?jǐn)?shù)階蠕變損傷本構(gòu)模型研究

蘇 彥，張向東，周林林

(1. 天津華鐵工程咨詢有限公司，天津 300202；2. 遼寧工程技術(shù)大學(xué) 土木工程學(xué)院，遼寧 阜新 123000)

隨著我國西部地區(qū)基建設(shè)施的不斷完善，巖石的蠕變力學(xué)性能得到了學(xué)者廣泛關(guān)注。在原巖應(yīng)力狀態(tài)下，巖體隨著時間發(fā)展其變形不斷累積，蠕變分衰減、穩(wěn)定和加速蠕變階段，衰減蠕變階段是蠕變過程的開端，穩(wěn)定蠕變階段是長期保持的過程，當(dāng)巖體應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到屈服條件時，穩(wěn)定蠕變階段結(jié)束，進(jìn)入加速蠕變階段，巖體破壞。邊坡工程、水利水電工程、采礦工程等工程實踐中的災(zāi)害發(fā)生常與巖體蠕變有關(guān)。

巖石蠕變模型是描述應(yīng)力、應(yīng)變及時間之間關(guān)系的狀態(tài)方程，研究巖石蠕變模型對于巖石蠕變發(fā)展過程的認(rèn)識與控制具有重要作用。關(guān)于巖石蠕變模型的研究，目前已有大量成果，蔣春祥等[1]以深部巖石為研究對象，在傳統(tǒng)西原模型的基礎(chǔ)上，將黏塑性擴(kuò)展為n個，建立一種新的廣義模型；張樹光等[2]通過引入過應(yīng)力差和時間乘積的概念，構(gòu)建考慮時效性和應(yīng)力狀態(tài)的損傷模型；周倩瑤等[3]引用了裂隙壓密體元件，對巖石蠕變過程中的瞬時塑性變形進(jìn)行描述，將該元件與Poyting-Thomson模型進(jìn)行串聯(lián)得到可較好描述巖石蠕變裂隙壓密的本構(gòu)模型；周宏偉、王春萍等[4-5]以鹽巖為研究對象，構(gòu)建了一種新的流變元件分?jǐn)?shù)階Abel粘壺，將其代替經(jīng)典西原模型中Newton黏壺，從而得到新的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型。

為了描述巖石在不同應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變變形全過程，本文基于損傷力學(xué)理論對Young模量進(jìn)行改進(jìn)，基于分?jǐn)?shù)階微積分反映黏彈性應(yīng)變和黏塑性應(yīng)變，并引入SN元件對描述黏彈性應(yīng)變的軟體元件進(jìn)行改進(jìn)，最終得到一個非線性的巖石分?jǐn)?shù)階蠕變損傷本構(gòu)模型。相比傳統(tǒng)參數(shù)定常的線性蠕變本構(gòu)模型，本文模型為具備非線性特征的參數(shù)非定常蠕變模型，能從某種意義上表征巖石蠕變的損傷發(fā)展過程。

1 巖石蠕變損傷分析

1.1 損傷變量定義

根據(jù)損傷力學(xué)理論，損傷變量的定義主要有兩種方法：(1)幾何損傷中通過結(jié)構(gòu)有效承載面積定義；(2)能量損傷中依據(jù)Young模量變化定義。由于幾何損傷難以測定，故本文采用第二種方法定義損傷變量。

大量試驗發(fā)現(xiàn)，蠕變過程中巖石的Young模量和黏滯系數(shù)通常隨時間的增長而減小[6]，文獻(xiàn)[4]進(jìn)行軟巖單軸壓縮蠕變試驗，得到蠕變過程中不同時刻的Young模量，如表1和圖1所示。

依據(jù)圖1通過能量損傷的方法進(jìn)行損傷變量定義，首先作如下定義：(1)當(dāng)t=0時，損傷變量D=0；(2)當(dāng)t→∞時，損傷變量D=1；(3)隨著時間的逐漸增長，損傷變量D逐漸趨于1。

由此建立如下?lián)p傷演化方程：

D(t)=1-e-bt

(1)

圖1 Young模量衰減曲線Fig.1 Decay curve of Young modulus

式中：b為與材料損傷程度相關(guān)的參數(shù)。

1.2 考慮損傷的彈性體

假設(shè)巖石材料為各向同性損傷，則Young模量的損傷過程可表示為

E(t)=E0[1-D(t)]

(2)

式中：E0為初始Young模量。

當(dāng)應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時，此時損傷急劇累積，巖石進(jìn)入加速蠕變階段。無損狀態(tài)的巖石，用Hooke體描述其彈性應(yīng)變

(3)

式中：εe為彈性應(yīng)變，σ為初始應(yīng)力。

當(dāng)應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時，通過Lemitre應(yīng)變等效原理可得

(4)

式(4)即為考慮損傷的彈性體的狀態(tài)方程。取E0=4.85 GPa，b=0.05，可得表1和圖1試驗值的擬合曲線，如圖2所示。

2 分?jǐn)?shù)階黏滯體和黏塑性體

2.1 Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分

分?jǐn)?shù)階微積分在非線性動力系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛，在解決非線性非局部問題中具有獨到的優(yōu)勢[7]。

表1 蠕變損傷本構(gòu)模型參數(shù)

圖2 Young模量擬合曲線Fig.2 Fitting curve of Young modulus

本文引入Riemann-Liouville型微積分，函數(shù)f(t)在可積區(qū)間[0，t]的α階Riemann-Liouville積分定義為

(5)

式中：t為時間，f(t)為在可積區(qū)間[0，t]的某一函數(shù)，Γ(α)為伽馬函數(shù)，a為大于0的分?jǐn)?shù)階數(shù)，S為用于拉普拉斯變換的某一自變量。

相應(yīng)地，函數(shù)f(t)的α階微分定義為

(6)

式(5)—(6)中，α>0，n=[α]，Γ(α)為Gamma函數(shù)，其定義為

(7)

(8)

2.2 基于分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件

巖石是一種非均質(zhì)非線性的地質(zhì)材料，被認(rèn)為介于理想固體和理想流體之間，引入描述該狀態(tài)的軟體元件[5]，如圖3。

圖3 軟體元件Fig.3 Software component

該軟體元件的狀態(tài)方程為

(9)

式中：σ為應(yīng)力，εve為應(yīng)變，t為時間，ηα為該軟體元件中的黏滯系數(shù)。

在同一級荷載作用下，通過Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微積分算子理論，對式(9)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階積分得

(10)

式(10)即為基于分?jǐn)?shù)階微積分的軟體元件。

2.3 基于分?jǐn)?shù)階微積分的變參數(shù)黏滯體

由于式(10)中黏滯系數(shù)是一個定值，ηα在某一層面上可反映巖石衰減、穩(wěn)定蠕變階段的蠕變應(yīng)變累積，而實際巖石蠕變長期發(fā)展過程是一個非線性變化過程，用一個定值定義黏滯系數(shù)存在不合理的地方，文獻(xiàn)[8]提出一種與時間和應(yīng)力有關(guān)的SN元件，該元件的狀態(tài)方程為

(11)

式中：η0，λ，c為與蠕變特性相關(guān)的黏滯參數(shù)。

將式(11)代入式(10)即可得改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階變參數(shù)黏滯體，其狀態(tài)方程為

(12)

2.4 分?jǐn)?shù)階黏塑性體

當(dāng)應(yīng)力超過屈服應(yīng)力σp時，巖石材料進(jìn)入加速蠕變階段，此時產(chǎn)生黏塑性應(yīng)變。利用黏塑性體來描述黏塑性應(yīng)變εvp。該黏塑性體的總應(yīng)力可表示為

σ=σu+σv

(13)

式中：σv代表黏滯體中的應(yīng)力，σu定義為

(14)

當(dāng)σ≥σp時，黏塑性體中的總應(yīng)力為：

(15)

式中：ηα2為黏塑性體中的黏滯系數(shù)。

利用Riemann-Liouville型分?jǐn)?shù)階微積分，對式(15)進(jìn)行積分可得

(16)

式(16)即為本文用于描述黏塑性應(yīng)變的分?jǐn)?shù)階黏塑性體。

3 本構(gòu)模型的建立及模型驗證分析

3.1 本構(gòu)模型的建立

將考慮時效損傷的彈性體、分?jǐn)?shù)階變參數(shù)黏滯體和黏塑性體串聯(lián)，建立一個基于分?jǐn)?shù)階微積分的巖石蠕變損傷本構(gòu)模型(圖4)。

圖4 蠕變損傷模型Fig.4 Creep damage model

根據(jù)圖4中模型結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合式(3)、(4)、(12)和(16)可得本文蠕變本構(gòu)方程

(17)

式(17)即為本文新建的分?jǐn)?shù)階蠕變損傷模型。

3.2 三軸壓縮蠕變試驗

本文采用RLW-2000三軸流變試驗系統(tǒng)(圖5)，該系統(tǒng)由軸向加載系統(tǒng)、圍壓加載系統(tǒng)、孔壓加載系統(tǒng)、伺服系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、數(shù)據(jù)采集和自動繪圖系統(tǒng)等部分組成。軸向加載系統(tǒng)和圍壓加載系統(tǒng)的控制部分采用全數(shù)字伺服控制器(EDC)，設(shè)備最大加載圍壓70 MPa，最大軸向荷載2 000 kN。開展三軸壓縮蠕變試驗，試驗對象為紅層泥巖，侏羅系中統(tǒng)沙溪廟組地層，紫紅色層狀結(jié)構(gòu)，取自四川某紅層邊坡滑帶附近，該邊坡具有顯著的蠕滑現(xiàn)象。將試樣加工成Φ50 mm×100 mm的圓柱樣，根據(jù)滑帶深度，將圍壓設(shè)置為2 MPa，常規(guī)三軸壓縮試驗測得三軸抗壓強(qiáng)度為20.14 MPa，本文假定三軸抗壓強(qiáng)度的80%為長期強(qiáng)度，故偏應(yīng)力水平分別設(shè)為4、8、12和16 MPa。

圖5 巖石三軸流變試驗系統(tǒng)Fig.5 Triaxial rheological test system of rock

3.3 蠕變試驗結(jié)果

由于三軸流變試驗系統(tǒng)中的蠕變試驗數(shù)據(jù)是逐級增量加載的形式，為了便于開展研究和模型驗證，基于Boltzmann線性疊加原理[3]處理原始數(shù)據(jù)可得分別加載形式的曲線，如圖6所示。

由圖6可看出，前3級偏應(yīng)力水平下，蠕變曲線較為相似，首先在加載瞬間變現(xiàn)出瞬時彈性應(yīng)變，接著進(jìn)入衰減蠕變階段，該階段歷時較短，然后進(jìn)入穩(wěn)定蠕變階段，應(yīng)變量值的累積速度逐漸放緩。當(dāng)達(dá)到破壞應(yīng)力水平時，巖石表現(xiàn)出加速蠕變階段，隨即巖石屈服破壞。

3.4 模型驗證

利用本文所建模型，通過數(shù)學(xué)分析軟件1stOpt，基于BFGS算法和通用全局優(yōu)化法對本文試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識，結(jié)果如圖7所示，模型參數(shù)如表1所列。

圖7 擬合對比圖Fig.7 Fitting contrast chart

由圖7可看出，本文所建模型擬合效果較好，平均R2為0.989 9，能較為準(zhǔn)確地反映紅層泥巖的三軸蠕變力學(xué)特性。為了驗證本文模型的適用性，引用文獻(xiàn)[9]中的鹽巖和文獻(xiàn)[10]中的紅砂巖的蠕變試驗數(shù)據(jù)，由于不同巖石材料的蠕變特性的差異主要體現(xiàn)在破壞偏應(yīng)力水平的完整蠕變?nèi)A段，故只引用鹽巖和紅砂巖最后一級加載的蠕變試驗數(shù)據(jù)。圖8為鹽巖和紅砂巖的擬合對比圖，表2為相應(yīng)的模型參數(shù)。

圖8 擬合對比圖Fig.8 Fitting contrast chart

綜合圖7、圖8可看出，本文所建模型對巖石蠕變曲線的辨識能力較好，能描述不同曲線形態(tài)的加速蠕變階段，克服常規(guī)元件模型難以表征加速蠕變階段的困難，總體而言本文模型能較為準(zhǔn)確地反映巖石的蠕變特性。

4 結(jié)論

1)本文基于損傷力學(xué)理論對Young模量進(jìn)行改進(jìn)，基于分?jǐn)?shù)階微積分反映黏彈性應(yīng)變和黏塑性應(yīng)變，并引入SN元件對描述黏彈性應(yīng)變的軟體元件進(jìn)行改進(jìn)，最終得到一個非線性的巖石分?jǐn)?shù)階蠕變損傷本構(gòu)模型。

2)開展紅層泥巖三軸壓縮蠕變試驗，并引用鹽巖和紅砂巖典型蠕變試驗數(shù)據(jù)，利用BFGS算法和通用全局優(yōu)化法識別蠕變試驗曲線，求解模型參數(shù)，驗證了模型的合理性和正確性。

3)本文所建模型對于不同形態(tài)的巖石蠕變曲線有較好的識別能力，克服傳統(tǒng)蠕變本構(gòu)模型難以較好辨識加速蠕變階段的困難，所建模型可為工程實踐中巖體長期穩(wěn)定性研究提供一定參考。