“同心協(xié)力”團(tuán)隊(duì)協(xié)作策略探究

紀(jì)逸軒

【摘 要】本論文主要研究“同心協(xié)力”的團(tuán)隊(duì)協(xié)作策略。基于對(duì)于人的理想化假設(shè)，不考慮到人的具體變化，將人只作為力的載體，在假設(shè)成立的基礎(chǔ)上逐個(gè)分析問題。對(duì)于問題1部分，基于基本的物理定律：1.運(yùn)動(dòng)學(xué)定律;2.動(dòng)量守恒定律，尋找最優(yōu)的碰撞條件。最終得到要求高度下，各位成員的施力關(guān)于時(shí)間的變化關(guān)系對(duì)于問題2部分，先借助均質(zhì)圓柱類剛體對(duì)任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算方法，再通過對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分解，分別獲得鼓面相對(duì)xoz，yoz平面的傾角變化，結(jié)合數(shù)學(xué)上求二面角的方法，構(gòu)造單位向量，獲得鼓面傾角的變化值，建立了理想狀態(tài)下的精確協(xié)作模型與貼近實(shí)際的動(dòng)力學(xué)綜合調(diào)節(jié)模型。問題3引入了現(xiàn)實(shí)情形，各名隊(duì)員在拉鼓繩時(shí)難免會(huì)產(chǎn)生牽拉的時(shí)機(jī)、力度不同的情況，產(chǎn)生相對(duì)誤差，導(dǎo)致球的運(yùn)動(dòng)軌跡發(fā)生改變，使球跳出鼓面或未能達(dá)到指定高度，項(xiàng)目停止。問題3在問題1模型的基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)際情況改進(jìn)了問題1的顛球模型，保證在球不飛出鼓面的前提下顛球高度始終大于40cm。問題4在限定條件下，綜合利用模型1和模型2，通過模型1獲分析繩對(duì)鼓提供位移的合力和作用時(shí)間，在調(diào)整球的偏轉(zhuǎn)角度時(shí)，利用問題2的已有結(jié)論，反解出xoz與yoz平面的轉(zhuǎn)動(dòng)分量，由此獲得xoz和yoz平面上的合力矩，從而確定團(tuán)隊(duì)的協(xié)作策略。

【關(guān)鍵詞】“同心協(xié)力”策略;精準(zhǔn)協(xié)作模型;動(dòng)力學(xué)綜合調(diào)節(jié)模型

一、引言

“同心協(xié)力”項(xiàng)目初始狀態(tài)是有一面牛皮雙面鼓，鼓身中間固定多根繩子，繩子在鼓身上的固定點(diǎn)沿圓周呈均勻分布，每根繩子長度相同。團(tuán)隊(duì)成員每人牽拉一根繩子，使鼓面保持水平。項(xiàng)目開始時(shí)，球從鼓面中心上方豎直落下，隊(duì)員同心協(xié)力將球顛起，使其有節(jié)奏地在鼓面上跳動(dòng)。顛球過程中，隊(duì)員只能抓握繩子的末端，不能接觸鼓或繩子的其他位置。此條件表明，在本問題中人只提供力去影響系統(tǒng)，不產(chǎn)生其他的附加效應(yīng)。

項(xiàng)目基本限制1.排球的質(zhì)量為270 g;2.鼓面直徑為40 cm;3.鼓身高度為22 cm;4.鼓的質(zhì)量為3.6 kg;5.隊(duì)員人數(shù)不少于8人;6.隊(duì)員之間的最小距離不得小于60 cm。球初始落點(diǎn)距鼓面中心上方40 cm，球被顛起的高度應(yīng)離開鼓面40 cm以上，如果低于40cm，則項(xiàng)目停止。項(xiàng)目的目標(biāo)是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。

基于以上背景本文需要解決的問題為以下幾點(diǎn)：

1.設(shè)定在每個(gè)人都可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度的理想狀態(tài)下，根據(jù)理想條件設(shè)計(jì)合適的方案以討論團(tuán)隊(duì)的最佳協(xié)作策略。

2.中改變第一問中的條件，并給出了所研究的系統(tǒng)的隊(duì)員人數(shù)、繩長、與鼓面初始位置的具體值，使之變成更加符合實(shí)際且復(fù)雜的非理想情況。由題意，在非理想狀況下，隊(duì)員發(fā)力力度、方向與時(shí)機(jī)均無法精準(zhǔn)掌握，使得鼓面不同時(shí)刻產(chǎn)生不同傾角，導(dǎo)致球的顛起方向偏離豎直方向，能夠達(dá)到的最大豎直方向的高度降低。

3.對(duì)第一問中的策略和第二問中的模型進(jìn)行回顧，通過現(xiàn)實(shí)背景，顯出了原有的模型的漏洞，引導(dǎo)模型的改進(jìn)方向。

4.引入第二問的實(shí)際情況，即當(dāng)鼓面發(fā)生傾斜時(shí)，球跳動(dòng)方向不再豎直。同時(shí)，引入第一問中的所有隊(duì)員都能精準(zhǔn)控制發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的條件。因此，調(diào)整拉繩策略，即是給出在可精確控制條件下所有隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)及力度的同時(shí)，能夠在現(xiàn)實(shí)情形中檢驗(yàn)這種調(diào)整策略所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并分析調(diào)整后的拉繩策略的實(shí)用性。

二、模型假設(shè)

1.假設(shè)牛皮雙面鼓為一個(gè)質(zhì)地均勻的剛性圓柱體，鼓的平動(dòng)只沿豎直方向。

2.假設(shè)團(tuán)隊(duì)成員之間距離相等，到鼓中心的距離也相等，且在拉動(dòng)繩子的過程中各成員位置保持不變。

3.假設(shè)在拉動(dòng)過程中每根繩子與水平面的夾角相同，忽略由于鼓面傾斜造成繩子與水平面的夾角的變化。

三、模型的建立與求解

3.1問題一

3.1.1建立模型

根據(jù)已知條件，“同心協(xié)力”協(xié)作項(xiàng)目的目標(biāo)是使得連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。最終顛球次數(shù)取決于球飛行的角度和高度，如果球偏離豎直方向的角度過大，則會(huì)導(dǎo)致球飛出鼓面正上方的范圍，如果球被顛起的高度低于40cm則項(xiàng)目終止。

在理想狀態(tài)下，每個(gè)人都可以精確控制用力方向、時(shí)機(jī)和力度，故團(tuán)隊(duì)成員可同時(shí)以相同大小的力拉繩，這樣既可以使團(tuán)隊(duì)成員平均分?jǐn)偙荣悤r(shí)消耗的體力，又可以使拉力在水平方向上的分力相互抵消，使鼓面保持水平狀態(tài)，從而使球保持豎直方向的運(yùn)動(dòng)，保證球不飛離鼓面正上方的范圍。

球從初始位置下落的過程中，所有隊(duì)員應(yīng)當(dāng)控制鼓先向下運(yùn)動(dòng)再向上做加速運(yùn)動(dòng)且剛好在球下落40cm時(shí)球與鼓發(fā)生碰撞。在碰撞瞬間，保持所有繩的拉力在豎直方向上的合力F等于鼓的重力，此瞬間系統(tǒng)合外力為0，動(dòng)量守恒，當(dāng)碰撞后球的速度與碰撞前的速度等大反向時(shí)，球在碰撞后上升的最大高度剛好為40cm。碰撞后，球開始上升，在球上升階段，保持所有繩的拉力的合力F等于鼓的重力，使鼓保持靜止?fàn)顟B(tài)，直到球達(dá)到最高點(diǎn)，此時(shí)球和鼓又都回到初始狀態(tài)，如此循環(huán)往復(fù)，可使項(xiàng)目一直進(jìn)行下去。

3.1.2模型求解過程

設(shè)每名隊(duì)員拉繩的拉力 是一個(gè)周期為2t的周期函數(shù)，則在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)滿足

其中F為所有繩拉力在豎直方向上的合力， 為繩與豎直方向的夾角。

F的分段函數(shù)時(shí)間的關(guān)系， 為繩拉力為0的時(shí)間， 為繩拉力為的時(shí)間。

球下落40cm的時(shí)間，球下落40cm時(shí)的速度，令碰撞瞬間所有繩拉力的合力F等于鼓的重力，碰撞瞬間系統(tǒng)合外力為0，由動(dòng)量守恒定理[1]，由于碰撞后球的速度與碰撞前的速度等大反向，即于要使繩的合力所 做的功最小，就要使系統(tǒng)在循環(huán)過程中鼓所浪費(fèi)的能量盡可能少，即碰撞后鼓的速度，鼓的速度與時(shí)間的關(guān)系，鼓的位移與時(shí)間的關(guān)系，由受力分析可知

聯(lián)立上述各式可得以下方程組：

3.2問題二

3.2.1建立模型

在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員在拉鼓繩時(shí)難免會(huì)出現(xiàn)拉繩的時(shí)機(jī)不同步、力度不相同的情況，于是鼓面可能出現(xiàn)傾斜。本題模型只關(guān)心鼓面的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，不考慮鼓的平動(dòng)情況。在研究鼓的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，把鼓視為一個(gè)質(zhì)地均勻的圓柱體剛體，所以鼓面的角度變化可以轉(zhuǎn)化為圓柱體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。

3.2.2模型求解過程

以鼓的中心為原點(diǎn)，以鼓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。鼓繞中心的轉(zhuǎn)動(dòng)可以分解為鼓面以x軸為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)與以y軸為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的和轉(zhuǎn)動(dòng)。

由力矩通過力距的矢量分解可得以x軸為軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩以y軸為軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩，兩者的表達(dá)式分別為：

代入數(shù)據(jù)計(jì)算鼓以x軸或y軸為軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=0.05052

代入式可求出鼓面以x軸為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角與以y軸為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角為了得到鼓面與xoy平面的夾角，考慮通過求二面角的方法解決問題，而前式得到的僅有兩個(gè)方向的偏角，為了獲得夾角，分別取xoz平面和yoz平面關(guān)于沿先前得到的兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向的單位向量，通過兩個(gè)向量叉乘，得到旋轉(zhuǎn)后鼓面的法向量，取沿z軸的一個(gè)單位向量，通過數(shù)學(xué)上求二面角的方法得到兩平面的偏角，即為鼓面0.1s時(shí)的傾斜角。通過matlab編程，計(jì)算得到鼓面的傾斜角度。[3]計(jì)算結(jié)果如下表：

3.3問題三

3.3.1建立模型

在現(xiàn)實(shí)情形中，根據(jù)問題2的結(jié)果，問題1中的策略是需要經(jīng)行調(diào)整的。

在現(xiàn)實(shí)情形中，隊(duì)員發(fā)力力度與發(fā)力時(shí)機(jī)均無法精準(zhǔn)掌握，使得鼓面無法一直保持水平，會(huì)在不同時(shí)刻產(chǎn)生不同傾角，導(dǎo)致球的顛起方向偏離豎直方向，實(shí)際運(yùn)動(dòng)路徑將為一條拋物線，球被顛起的高度很可能會(huì)低于40cm，導(dǎo)致項(xiàng)目停止。本模型對(duì)問題1中模型進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步考慮實(shí)際問題中由于鼓面傾斜導(dǎo)致球顛起高度發(fā)生的改變。

3.3.2模型求解過程

由于實(shí)際顛球時(shí)球的軌跡可以近似為一條拋物線，所以當(dāng)球的水平位移超過鼓的直徑40cm時(shí)，球?qū)⒙湓诠拿嫱?。?dāng)球的水平位移大于或等于鼓的直徑40cm時(shí)，速度在豎直方向的分量 ，球飛行到最高點(diǎn)的時(shí)間速度沿水平方向的分量合速度所以最小顛球高度 將 代入問題1方程組中解得合力，作用時(shí)間 故改進(jìn)后每名隊(duì)員拉繩的拉力的函數(shù)為

其中l(wèi)為繩的長度，n為團(tuán)隊(duì)人數(shù)。

3.4問題四

3.4.1建立模型

任何剛體的一般運(yùn)動(dòng)都可以分解成質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。本題應(yīng)當(dāng)結(jié)合問題1與問題2中的模型，綜合考慮運(yùn)動(dòng)過程中鼓的位移與鼓面的方向。

3.4.2模型求解過程

鼓的位移：將h=0.6m代入問題1中的方程組，解方程組得到繩對(duì)鼓提供位移的合力大，作用時(shí)間 每名隊(duì)員距離鼓旋轉(zhuǎn)軸的最短距離 繩與豎直方向的夾角 則每名隊(duì)員對(duì)繩的拉力，拉力沿繩方向。

鼓面轉(zhuǎn)動(dòng)：

以鼓的中心為原點(diǎn)，以鼓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。對(duì)10名隊(duì)員按逆時(shí)針方向進(jìn)行編號(hào)，隊(duì)員編號(hào)依次為0-9，設(shè)編號(hào)為0的隊(duì)員站在x軸上。由于球的反彈高度為60cm，相對(duì)于豎直方向產(chǎn)生1度的傾斜角度，設(shè)傾斜方向在水平面的投影指向編號(hào)為0和1的隊(duì)員之間，與這兩位隊(duì)員的夾角之比為1：2。球的速度在豎直方向的分量球飛行到最高點(diǎn)的時(shí)間，球的速度沿水平方向的分量合速度與豎直方向的夾角，

滿足解得球的合速度與豎直方向的夾角

要將球調(diào)整為豎直狀態(tài)彈跳，則鼓面水平方向夾角應(yīng)為0.25度，則鼓面的法向量可表示為

由交線的方向向量得到鼓面沿x軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度鼓面沿y軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度球下落的時(shí)間為又有，其中， 為繩對(duì)球提供轉(zhuǎn)動(dòng)的力在x軸，y軸上的分量

解方程得，

根據(jù)實(shí)際情況可由編號(hào)為1的隊(duì)員施加額外的拉力，拉力沿繩方向。

由編號(hào)為0的隊(duì)員施加額外的拉力 拉力沿繩方向。

綜合鼓的位移和鼓面轉(zhuǎn)動(dòng)，列表給出隊(duì)員們的不同發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的策略：

由于編號(hào)為0和1的隊(duì)員相比其他隊(duì)員多用大約0.4N的力，且0.4N在總拉力中的占比約為十分之一，導(dǎo)致這兩名隊(duì)員對(duì)拉升的過程中多用的0.4N力感覺較明顯。因此，這兩名隊(duì)員能夠有意識(shí)地控制增加的力度，所以以上策略在實(shí)際情形中較容易實(shí)現(xiàn)。

四、模型檢驗(yàn)與結(jié)果分析

本文中建立的模型所求出的結(jié)果符合客觀事實(shí)，通過對(duì)比查閱同心鼓游戲項(xiàng)目相關(guān)的技巧，發(fā)現(xiàn)根據(jù)模型提出的策略與同心鼓游戲的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)相吻合，由此可見，本文中提出的模型是正確的。

問題一針對(duì)理想狀態(tài)下的團(tuán)隊(duì)顛球策略，建立了每名隊(duì)員發(fā)力隨時(shí)間變化的周期函數(shù)，使得團(tuán)隊(duì)成員在盡可能省力的情況下，盡可能地保證項(xiàng)目不停止。問題2針對(duì)實(shí)際情況中鼓面的轉(zhuǎn)動(dòng)情況，建立了每名隊(duì)員對(duì)繩的拉力與鼓面傾斜角之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系，通過matlab程序計(jì)算，可以快速得到鼓面的傾斜角度。根據(jù)問題2中的求得的數(shù)據(jù)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，提前拉繩與同時(shí)拉繩相比，拉力大小不同，且對(duì)鼓面傾斜角的影響更大。問題3對(duì)問題1中的模型在現(xiàn)實(shí)背景下進(jìn)行優(yōu)化，得到更貼近現(xiàn)實(shí)情況的實(shí)用模型。問題4綜合運(yùn)用了問題1和問題2中的模型來解決角度修正的問題。

根據(jù)本文中各個(gè)問題的結(jié)果，最終得到以下幾條“同心協(xié)力”游戲的技巧：

1.無論如何，一定要保證團(tuán)隊(duì)成員注意力高度集中，統(tǒng)一行動(dòng)，盡可能保證 同時(shí)拉繩，可以讓力氣大小差不多的隊(duì)員面對(duì)面，這樣可以使鼓面盡可能保持水平。

2.顛球高度不宜過高，可以控制實(shí)際顛球高度約為最低高度的110%，以減小由于鼓面傾斜導(dǎo)致的球偏離鼓心的距離。

3.在發(fā)現(xiàn)球偏離鼓心位置時(shí)，處在球偏離方向的隊(duì)員應(yīng)該主動(dòng)加大對(duì)繩的拉力，消除鼓面的傾斜角，盡可能保持球在豎直方向上運(yùn)動(dòng)。

參考文獻(xiàn)：

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[3]司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模算法及應(yīng)用（第二版）.北京：國防工業(yè)出社，2018年9月.

（作者單位：華北電力大學(xué)（保定）能源動(dòng)力與機(jī)械工程學(xué)院）