線性規(guī)劃布局模型在葡萄種植中的應(yīng)用

李強 雷曉軍 虎良榮 阮蘭倉

摘 要 現(xiàn)代農(nóng)業(yè)規(guī)?；N植中，在條件不變的情況下，統(tǒng)籌安排、合理布局是使總的經(jīng)濟效果達到最佳的科學方式，是提高農(nóng)業(yè)產(chǎn)量的有效方法之一?；诖?，結(jié)合貴州省銅仁市現(xiàn)階段農(nóng)業(yè)現(xiàn)狀及銅仁市川硐鎮(zhèn)烏泥村葡萄種植情況，運用線性規(guī)劃就如何布局使其葡萄產(chǎn)量最佳進行分析，并給出葡萄種植的一般布局模型、解法及應(yīng)用推廣示例。

關(guān)鍵詞 線性規(guī)劃;布局模型;農(nóng)業(yè);葡萄種植;合理布局

中圖分類號：F22 文獻標志碼：B DOI：10.19415/j.cnki.1673-890x.2020.09.090

在社會生產(chǎn)活動中，運用數(shù)學分析方法是提高經(jīng)濟效果的科學方式。進入21世紀，隨著應(yīng)用數(shù)學的高速發(fā)展，數(shù)學分析方法的運用在農(nóng)業(yè)種植中的作用越來越明顯。特別是在規(guī)?；N植越來越普遍的現(xiàn)代農(nóng)業(yè)種植中更具有不可或缺的作用。曾有過一系列關(guān)于線性規(guī)劃在經(jīng)濟中應(yīng)用的理論成果[1]。

在研究規(guī)模化種植業(yè)的活動中，因地制宜、合理布局、確定各種品種及不同作物在土壤上的種植面積，完成種植計劃的同時，使總產(chǎn)量達到最大是現(xiàn)代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的基本要求，也是規(guī)?；N植業(yè)所面臨的巨大挑戰(zhàn)?；诖?，結(jié)合銅仁市烏泥村葡萄種植的實際情況，就規(guī)?；咸逊N植布局進行分析。

1 銅仁市農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)展概況

基于黨和政府制定的一系列惠農(nóng)政策，我國農(nóng)業(yè)呈現(xiàn)出全面、穩(wěn)定、協(xié)調(diào)發(fā)展的良好態(tài)勢。但與發(fā)達國家和現(xiàn)代農(nóng)業(yè)發(fā)展的要求相比，我國農(nóng)業(yè)生產(chǎn)發(fā)展的水平依然較低，生產(chǎn)組織化程度及規(guī)?；潭炔粔?。調(diào)整農(nóng)業(yè)生產(chǎn)結(jié)構(gòu)，使產(chǎn)業(yè)布局不斷優(yōu)化，全面提高農(nóng)村農(nóng)業(yè)規(guī)?；⒏叨痊F(xiàn)代化是我國農(nóng)業(yè)發(fā)展的必然趨勢[2]。

隨著新農(nóng)村建設(shè)的推進，銅仁市新農(nóng)村試點建設(shè)取得了一系列成就。但就總體而言，依然面臨以下3個方面的問題：1）外來商收購農(nóng)特產(chǎn)品時，只有特色沒有數(shù)量和質(zhì)量;2）本地農(nóng)戶不敢大量種植，擔心銷路;3）種植碎片化，規(guī)模化不夠。加強科技下鄉(xiāng)，支持銅仁市“三農(nóng)”事業(yè)發(fā)展，是改變這種現(xiàn)狀行之有效的手段之一，也是實現(xiàn)銅仁市農(nóng)業(yè)現(xiàn)代化發(fā)展的基本要求[3]。

2 預備知識

線性規(guī)劃一般形式[4-5]為maxZ=C1x1+C2x2+…+Cnxn，使得

其中xj（j=1，…，n）為決策變量，為目標函數(shù)。

線性規(guī)劃模型的常見解法有單純形法、圖解法、兩階段法以及對偶單純形法[6-7]。

線性規(guī)劃問題解的基本性質(zhì)：1）所有可行解構(gòu)成的集合稱為可行域;2）如果集合k中任意兩點s、t之間連線上的點都是集合k中的點，即對于任意的s、t∈k，都有θS+（1-θ）t∈K（0≤θ≤1），則稱k為凸集;3）設(shè)k是凸集，x∈K，若x不能用不同的兩點x1∈k和x2∈k線性表示成x=θx1+（1-θ）x2（0≤θ≤1），則稱x是k的一個頂點（或極點）;4）線性規(guī)劃問題的基本可行解對應(yīng)于可行域的頂點。

為了敘述討論的方便，作出如下規(guī)定：1）任何一編號區(qū)域內(nèi)的土壤成分相同;2）同一種作物的不同品種均視為不同品種的作物;3）播種面積不得大于土地面積，且作物的種植面積非負。

對模型作如下2點說明：1）所有討論均是在光照、管理、水分等其他條件不變的情況下，即研究相同成分的土壤對不同品種作物的生長情況;2）所涉及數(shù)據(jù)均來自農(nóng)民口中，所涉及數(shù)據(jù)可靠性較低。

3 布局模型及應(yīng)用

3.1 種植布局模型

為了改變銅仁地區(qū)葡萄種植面臨的問題，擴大種植規(guī)模，進行如下的布局討論。一般地，假設(shè)將要在B1，B2，…，Bn這n塊土地上種植m中不同品種的葡萄A1，A2，…，Am。根據(jù)多年來的經(jīng)驗，可知各葡萄在各土地上的產(chǎn)量。據(jù)此作出葡萄種植計劃如表1所示（產(chǎn)量單位：kg·hm-2）。

表1中：ai表示葡萄Ai今后的計劃種植面積（i=1，2，…，m）;bj表示土地Bj的作物種植公頃數(shù)（j=1，2，…，n）;Cij表示在土地Bj上種植葡萄Ai的產(chǎn)量（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）。

用線性規(guī)劃的方法來研究這一實際問題，根據(jù)規(guī)定，計劃播種總的面積不得大于土地的實際面積，即需滿足公式1。

假設(shè)xij（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）為土地Bj上種植葡萄Ai的公頃數(shù)，在各塊土地上種植葡萄Ai的公頃數(shù)應(yīng)小于等于Ai的計劃播種公頃數(shù)，即應(yīng)滿足公式2。

又因為種植面積不大于土地原有面積，即在土地Bj上種植各葡萄的公頃數(shù)應(yīng)小于等于Bj的面積，于是有公式3。

其中，xij應(yīng)滿足公式4。

于是，在滿足公式1～4的情況下，求一變量xij（i=1，2，…，m，j=1，2，…，n）的值，使達到最大值，這樣就可以得到一個關(guān)于線性規(guī)劃的布局模型，使得：

在這里，記模型Ⅰ的約束系數(shù)的約束矩陣為A，右端向量為b。其中，

由于，在結(jié)合實際種植時，應(yīng)盡量利用土地這一客觀事實?？梢宰C明，A的秩至多為m+n-1，因此A至多有m+n-1個線性無關(guān)的列。因此，布局模型Ⅰ的任意一個基本解都至多有m+n-1個基變量。這m+n-1個基變量對應(yīng)的值就是一種葡萄的種植方案，在眾多方案（即眾多解）中一定存在一個最優(yōu)解，在滿足種植計劃的前提下，使總的產(chǎn)量最多。而求出這個最優(yōu)解，就是對應(yīng)的合理布局。

3.2 最優(yōu)布局模型的解法

考慮實際種植情況，不妨設(shè)種植模型Ⅰ的可行區(qū)域D={x∈Rn|Ax=d，x≥0}，其中A為模型Ⅰ的約束系數(shù)的約束矩陣，b為右端向量，x為一個滿足所有約束條件的向量[8-9]。其中，x=（x11，…，x1n，x21，…，xmn）T，b=（a1，…，am，b1，…，bn）T，

有以下3條定理。

1）種植模型的可行區(qū)域D={x∈Rn|Ax=d，x≥0}是凸集。證明：?x，y∈D，有W=θx+（1-θ）y，其中θ∈[0，1]，又x≥0，y≥0，Ax=d，Ay=d，故AW=θAx+

（1-θ）Ay=d，即W∈D。

2）種植模型可行域中的頂點是有限的，而這些頂點就是對應(yīng)的種植模型的基本可行解。

3）種植模型的基本可行解是有限的，且有限的基本可行解中至多有有限個最優(yōu)解。

事實上，由組合的知識可知，在n塊不同土地上種植m種不同的葡萄，可確定不超過（nm）種不同的方法;另一方面，可以根據(jù)種植計劃把現(xiàn)有土地分成與種植計劃相同的塊數(shù)，在實際中，這種方法是有限的。

結(jié)合定理1、2，可以知道種植模型一定存在一個基本可行解是最優(yōu)解，而這個最優(yōu)解就對應(yīng)一種最佳的布局方案?？梢杂贸Ｒ姷木€性規(guī)劃解法及數(shù)學軟件Lingo來求布局模型的最優(yōu)解。

3.3 葡萄種植應(yīng)用舉例

為了說明布局模型Ⅰ的合理性及可行性，結(jié)合銅仁市川硐鎮(zhèn)烏泥村葡萄種植情況，運用模擬數(shù)學實驗的方法來進行布局淺析。1）在烏泥村選取4塊土壤成分不同的土地各100 hm2，而每一塊土地的土壤對同一種葡萄的生長影響一致，設(shè)這4塊土地分別為B1、B2、B3、B4。2）選定五月紅、夏黑、巨峰3中優(yōu)良葡萄進行種植。結(jié)合以往葡萄種植經(jīng)驗，不同葡萄在不同編號土地上的單位產(chǎn)量、土地面積及計劃種植情況見表2。

為了討論方便，并結(jié)合實際種植時的需要，假定計劃種植面積與土地實際面積相等。

令xij（i=1，2，3，j=1，2，3，4）分別為五月紅、夏黑、巨峰在B1、B2、B3、B4這4塊土地上的種植面積，并用Z來表示3種葡萄的總產(chǎn)量。由模型Ⅰ可知，在完成種植計劃的前提下，總產(chǎn)量最大，即說明布局合理。于是，有以下結(jié)果。maxZ=3x11+2.5x12+1.2x13+1.5x14+4.3x21+4.8x22+6x23+4.3x24+2x31+2.1x32+1.8x33+2.5x34

使用Lingo來求解布局模型Ⅱ，解得x11=1.7，x12=0.7，x22=1.3，x23=1，x34=2，Z=24 067。

于是，得到一組變量x=（1.7，0.7，0，0，0，1.3，1，0，0，0，0，2），

表示在編號為B1的土地上種1.7 hm2五月紅，在編號為B2的土地上種0.7 hm2五月紅，在編號B2的土地上種1.3 hm2

夏黑，在編號B4的土地上種2.0 hm2巨峰為最佳的布局方案。此時，在往年其他情況（如管理、光照、水分等）不變條件下，葡萄總的產(chǎn)量預計為315 500 kg。于是得到最優(yōu)布局如表3所示。

考慮葡萄種植的長期性，將編號為B2的土地分成B21和B22兩塊。其中，B21=0.7 hm2，B22=1.3 hm2，于是，就得到所要的最佳布局方案及預期產(chǎn)量表4。

4 布局的推廣

結(jié)合實際不難發(fā)現(xiàn)，該模型在水果、農(nóng)產(chǎn)品和蔬菜等種植中均有重要的作用，如在蔬菜大棚種植蔬菜時可根據(jù)市場需求量及土壤情況，選擇最佳的土壤來種植。同時也可為制定銅仁地區(qū)未來農(nóng)業(yè)發(fā)展方向提供參考。

5 結(jié)論

隨著科學技術(shù)的不斷發(fā)展，未來農(nóng)業(yè)一定會走向規(guī)?；l(fā)展的道路，葡萄種植也是如此，而科學合理的布局是未來農(nóng)業(yè)發(fā)展的有力武器。筆者在實際考察的基礎(chǔ)上給出了不同土壤中不同作物生長情況的一般布局模型，并進行了簡單的應(yīng)用舉例和應(yīng)用方向的推廣，促進了葡萄規(guī)?；N植中線性規(guī)劃布局模型的應(yīng)用。

參考文獻：

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（責任編輯：趙中正）

收稿日期：2020-02-15

作者簡介：李強（1977—），男，貴州松桃人，碩士，副教授，研究方向為數(shù)學教育與數(shù)學建模。

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