新一代GPS 下的平行度誤差投影迭代評(píng)定法

王世強(qiáng)，鄭 鵬

（鄭州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

位置誤差是幾何誤差的重要組成部分，它主要包括平行度、垂直度、同軸度、傾斜度等。位置誤差不同于單一要素引起的方向誤差，它由多個(gè)關(guān)聯(lián)要素（基準(zhǔn)要素、被測(cè)要素）所確定[1]。在評(píng)定位置誤差的時(shí)，首先需要確定基準(zhǔn)要素，然后以基準(zhǔn)要素為約束來對(duì)被測(cè)要素進(jìn)行評(píng)估，最后的結(jié)果就是所求的位置誤差值。

平行度屬于位置誤差，在我們的日常生活、工業(yè)應(yīng)用中具有十分重要的作用。平行度是指被測(cè)要素相對(duì)于具有確定方向的理想要素的變動(dòng)量，它主要包括有：線對(duì)線的平行度、線對(duì)面的平行度、面對(duì)線的平行度、面對(duì)面的平行度[2]。其中面對(duì)面的平行度是其中最復(fù)雜的，我們?nèi)绻莆樟嗣鎸?duì)面的平行度檢測(cè)方法就會(huì)很容易的推理出來其他三種的檢驗(yàn)方法；同時(shí)面對(duì)面平行度也是我們?cè)趯?shí)際應(yīng)用中最常見的類型。綜合兩種情況，主要介紹的面對(duì)面平行度的研究。

平行度檢測(cè)原則主要是定向最小區(qū)域原則：首先確定基準(zhǔn)面，然后以基準(zhǔn)面為標(biāo)準(zhǔn)建立兩個(gè)平行于基準(zhǔn)面的平面，此時(shí)如果兩平行平面全包括被測(cè)要素的所有點(diǎn)，那么它們之間的最小距離就是我們所求的平行度。在這里根據(jù)已知條件（過被測(cè)點(diǎn)且平行于基準(zhǔn)面）可以構(gòu)建一系列平面特征方程，然后找出能夠包括所有檢測(cè)點(diǎn)的兩個(gè)平行平面，這兩平行平面的距離就是所求的平行度誤差。為了減少計(jì)算量，在迭代的基礎(chǔ)上引入了投影法，將三維的空間平面轉(zhuǎn)化成二維的平面上的直線來解決，這一方法減少了計(jì)算量，增加了計(jì)算速度。

2 新一代GPS下平行度的評(píng)定過程

在新一代GPS下評(píng)定誤差的過程中，特引入操作、操作算子這一概念，從而能明確的定義和規(guī)范產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范這一概念。因此在新一代GPS條件下對(duì)形位誤差的檢測(cè)過程中，首先要確定它的操作算子構(gòu)建，然后以此為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模求解。操作是以計(jì)量學(xué)為單位的新一代GPS中為體現(xiàn)要素、獲取規(guī)范值和特征值，面對(duì)表面模型或?qū)嶋H工件表面而進(jìn)行的一種特別的處理方法。操作主要包括要素操作和評(píng)估。要素操作包括：分離、提取、濾波、擬合、集成、構(gòu)建。評(píng)估操作是要素操作后所獲得的值是否能夠達(dá)到幾何要素要求的過程。位置誤差是有多個(gè)要素相互影響的誤差形式，在評(píng)定其過程中首先應(yīng)該定義評(píng)定的基準(zhǔn)，然后再對(duì)被測(cè)要素進(jìn)行評(píng)定。平行度是位置誤差中的一種，其評(píng)定過程主要有兩個(gè)過程：基準(zhǔn)的建立和平行度的評(píng)定。

2.1 基準(zhǔn)的建立

2.1.1 分離

從被測(cè)零件中找出基準(zhǔn)面，然后把基準(zhǔn)面從被測(cè)零部件分離出來，以被分離出的該面為基準(zhǔn)展開研究，如圖1所示。

圖1 基準(zhǔn)面的分離操作Fig.1 Separate Operation of Reference Surface

2.1.2 提取

提取是從上一步分離出的平面中按照一定的方法提取若干個(gè)點(diǎn)Ai（xi，yi，zi）的操作過程。我們通過提取的這些點(diǎn)來表達(dá)所分離的平面，以便計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。提取操作，如圖2所示。

圖2 提取操作Fig.2 Extraction Operation

2.1.3 擬合操作

擬合是用提取的點(diǎn)通過一定的準(zhǔn)則來表達(dá)理想要素的過程。通過這個(gè)操作過程能夠達(dá)到對(duì)基準(zhǔn)要素的表達(dá)替換，如圖3所示。

圖3 擬合操作Fig.3 Association Operation

設(shè)Ai（xi，yi，zi）為本次操作過程中所提取的點(diǎn)的集合，通過最小二乘法所擬合的方程設(shè)為：Axi+Byi+Czi+D=0

2.2 平行度的評(píng)定

平行度就是以基準(zhǔn)平面為條件來約束被測(cè)要素，從被測(cè)要素中分離出來一個(gè)平面，然后通過提取、濾波、擬合、組合、構(gòu)建、評(píng)估等過程來判斷被測(cè)要素相對(duì)于基準(zhǔn)要素的平行度是不是達(dá)標(biāo)。被測(cè)要素操作算子的構(gòu)建步驟如下。

2.2.1 分離

從被測(cè)要素中分離出要研究的要素，從而確定被測(cè)要素的組成要素及其測(cè)量界限。分離操作，如圖4所示。

圖4 分離操作Fig.4 Separate Operation

2.2.2 提取

用一定的方法從第一步分離出的平面，提取是從第一步分理出的被測(cè)平面中提取到一定的點(diǎn)Bj（xj，yj，zj）。提取操作，如圖5所示。

圖5 提取操作Fig.5 Extraction Operation

2.2.3 擬合

擬合是以基準(zhǔn)面為標(biāo)準(zhǔn)來求解被提取的平面相對(duì)于該基準(zhǔn)面的平行度。擬合操作是操作算子構(gòu)建一個(gè)十分重要的環(huán)節(jié)，不同的擬合方法直接決定了平行度的準(zhǔn)確性和精確性。擬合方法大致有以下幾種：最大內(nèi)切法、最小外接法、最小二乘法、最小區(qū)域法等。平行度誤差是是位置誤差中的一種，在擬合方法上本論文采用定向最小區(qū)域法。設(shè)Bj（xj，yj，zj）為被測(cè)平面上任意一點(diǎn)，設(shè)被測(cè)平面方程為：A1x+B1y+C1z+D1=0。

上式即為點(diǎn)Bj（xj，yj，zj）到A1x+B1y+C1z+D1=0的距離，利用最小區(qū)域法構(gòu)建被測(cè)平面的優(yōu)化擬合函數(shù)如下：

E=Min（F（A1，B1，C1，D1）Max-F（A1，B1，C1，D1）Min）

擬合操作，如圖6所示。

圖6 擬合操作Fig.6 Association Operation

2.2.4 評(píng)估操作

評(píng)估就是以基準(zhǔn)為參照對(duì)被測(cè)要素進(jìn)行評(píng)估，如下如所示，通過上式給出的擬合函數(shù)來求解，最后求出的平行于基準(zhǔn)面的兩平行平面的距離就是我們所要求的數(shù)據(jù)。評(píng)估操作，如圖7所示。

圖7 評(píng)估操作Fig.7 Evaluation Operation

通過上一步知道擬合出的函數(shù)為：

E=Min（F（A1，B1，C1，D1）Max-F（A1，B1，C1，D1）Min）

根據(jù)被測(cè)平面平行于基準(zhǔn)平面以及Bj（xj，yj，zj），可求出E即為我們所求得到的平行度，然后與該零件要求的平行度作對(duì)比得出該零件是否合格的結(jié)論。

3 投影迭代法

3.1 迭代法

迭代法又稱為輾轉(zhuǎn)法點(diǎn)，是一種不斷用變量的舊值替換新值的過程[5]。迭代的本質(zhì)是一種重復(fù)性的反饋活動(dòng)，其目的是獲得新值并使新值不斷逼近最終結(jié)果。在迭代的過程中以初始值為計(jì)算量得到一個(gè)結(jié)果，如果這個(gè)結(jié)果能夠用滿足我們限定條件的要求，那么將這個(gè)結(jié)果替代初始值重新展開計(jì)算，這就是一個(gè)迭代過程。

在運(yùn)用迭代法計(jì)算過程中主要經(jīng)過一下三步驟：

（1）確定迭代變量；

（2）建立迭代方程；

（3）迭代計(jì)算，求出結(jié)果。

根據(jù)迭代法的思想，現(xiàn)在利用迭代法求解平面度誤差的大小。

3.1.1 基準(zhǔn)面的求解

已知被測(cè)基準(zhǔn)點(diǎn)為Ai（xi，yi，zi），其中i=0，1，2，…，n-1。設(shè)基準(zhǔn)平面為：z=Ax+By+C，則基準(zhǔn)點(diǎn)到空間平面的距離為：

用最小二乘法求解，即：

在數(shù)據(jù)測(cè)量的時(shí)候，我們難以避免會(huì)出現(xiàn)粗大誤差，所以在處理數(shù)據(jù)的時(shí)候可能會(huì)有粗大誤差的數(shù)據(jù)，此時(shí)我們需要將粗大誤差的數(shù)據(jù)剔除，然后用剩下的數(shù)據(jù)再次求解。

如果Fi>3，則該點(diǎn)是異常點(diǎn)，需作為粗大誤差進(jìn)行剔除，然后用剩下的數(shù)據(jù)求出A，B，C。通過以上公式可以求出基準(zhǔn)平面方程，在此基礎(chǔ)上對(duì)被測(cè)平面進(jìn)行迭代計(jì)算。

3.1.2 用迭代法求解平行度

通過3.1.1中我們求得了基準(zhǔn)平面，下面我們需要建立迭代公式來計(jì)算出被測(cè)平面相對(duì)于基準(zhǔn)面的平行度，如圖8所示。

圖8 平行度誤差示意圖Fig.8 Parallelism Error Schematic Diagram

我們需要找到平行于基準(zhǔn)平面的兩個(gè)平面，使其能夠全部包括被測(cè)平面上的點(diǎn)。平行于基準(zhǔn)平面，包括所有點(diǎn)且它們之間的距離最小，此時(shí)兩平行面之間的距離就是我們所求的平行度誤差。要想找到這兩個(gè)平面，可以通過被測(cè)點(diǎn)做一系列平面。找到距離最大兩個(gè)平行平面，它們之間的距離就是我們所要求的值。

由于通過被測(cè)點(diǎn)Ai（xi，yi，zi）的平面平行于基準(zhǔn)平面，設(shè)通過被測(cè)點(diǎn)且平行于基準(zhǔn)平面的平面方程為：z=Ax+By+D

點(diǎn)Ai（xi，yi，zi）通過該直線z=Ax+By+D，帶入可以求得D的值：

對(duì)已知的Ai（xi，yi，zi），首先選取兩個(gè)點(diǎn)，例如A1、A1可求出D1、D2。比較 D1和 D2，取大值為 Dmax，取小值為 Dmin。

令 D1=DMax，D2=DMin代入公式（2），可求得一個(gè)值 E1。

代入 Ai，求得 Di。比較 D1、D2、Di，如果 D3≥D1，則令 Di取代了D1，即Di成了最大值進(jìn)行下一個(gè)數(shù)值運(yùn)算。

如果Di≤D2，則令 Di取代了 D2，即Di成了最小值進(jìn)行下一個(gè)數(shù)值運(yùn)算。

如果 D2≤Di≤D1，則保持 DMax、DMin數(shù)值不變，進(jìn)行下一個(gè)數(shù)值運(yùn)算。

以此類推經(jīng)過計(jì)算n個(gè)數(shù)值的迭代運(yùn)算我們可以求出最終的DMax、DMin，最后即可求出平行度誤差的大小。

3.2 投影迭代法

通過上面的迭代法可以很精確的求出平行度的誤差大小但是通過這一方法，當(dāng)n值很大的時(shí)候要經(jīng)過很多的計(jì)算量，計(jì)算過程比較復(fù)雜。為了解決這個(gè)問題，現(xiàn)引入投影法，結(jié)合迭代思想組合成投影迭代法這一概念。顧名思義就是為了避免出現(xiàn)三維空間的計(jì)算復(fù)雜這一情況，我們將三維的平行度投影到一個(gè)平面上，使其轉(zhuǎn)變?yōu)樵诙S平面內(nèi)計(jì)算，這樣子可以減少計(jì)算量、便于計(jì)算，并且還可以保持精確性。平行度投影示意圖，如圖9所示。平行度投影結(jié)果圖，如圖10所示。

圖9 平行度投影示意圖Fig.9 Parallelism Projection Diagram

圖10 平行度投影結(jié)果圖Fig.10 Parallel Projection Results

基準(zhǔn)平面的求解過程和前面所求的過程一樣，在此就不一一敘述，根據(jù)以上的內(nèi)容可以知道基準(zhǔn)面的平面方程為：

z=Ax+By+C

基準(zhǔn)面到Y(jié)OZ平面的投影直線為：

點(diǎn)Ai（xi，yi，zi）到Y(jié)OZ的投影是bj：（yj，zj）；j=0，1，2，，m-1，其中n≥m。

現(xiàn)求平行于z=By+C的兩平行線，使其能夠平行于該平行直線的兩條直線并包括所有點(diǎn)的集合。

欲求這兩條直線，同樣可以過 bj：（yj，zj）；j=0，1，2，，m-1 做出一些列的平行于基準(zhǔn)面投影線的直線，找出距離最遠(yuǎn)的兩直線的即可。

這一系列直線可表述為：zj=Byj+Cj

欲求 CMax、CMin，先給 j以一個(gè)初值：C0、C1。比較 C0、C1，例如：若 C0≥C1，令 CMax=C0、CMin=C1。

對(duì)其他各個(gè)點(diǎn)求出 Cj，比較 CMax、CMin、Cj。

若 Cj≥CMax，則令 CMax=Cj；

若 Cj≤CMin，則令 CMin=Cj；

若 CMin≤Cj≤CMax，則保持 CMax、CMin的數(shù)值不變。

以此類推迭代，計(jì)算出CMax、CMin的值，最后帶入E中求出它的大小即為我們所求的平面度的大小。

4 實(shí)例驗(yàn)算

為驗(yàn)證迭代法以及迭代投影法的可行性，特用VB編程對(duì)以上算法進(jìn)行計(jì)算分析。本實(shí)驗(yàn)采用打表法對(duì)實(shí)際工件進(jìn)行測(cè)量來獲得數(shù)據(jù)，被測(cè)零件放置與以水平平面上，分別沿基準(zhǔn)要素和被測(cè)要素的X軸每間隔10mm、Y軸每隔20mm測(cè)得一個(gè)數(shù)據(jù)，并在每個(gè)方向測(cè)量3個(gè)點(diǎn)，如此測(cè)量分別得到基準(zhǔn)要素和被測(cè)要素各有9個(gè)點(diǎn)。根據(jù)要求在空間建立坐標(biāo)系，設(shè)定各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)。如下表所示為所測(cè)得的部件所得到的數(shù)據(jù)，如圖11所示。測(cè)量數(shù)據(jù)，如表1所示。用VB編程處理得到的數(shù)據(jù)，分別用迭代法和投影迭代法處理數(shù)據(jù)得到平面度誤差分別為：59.0532μm和57.0620μm，具體所求得的平面度誤差分別，如表2所示。對(duì)比迭代法和投影迭代法可知，迭代法和投影迭代法可以準(zhǔn)確的求出平面度誤差，其中投影迭代法由于它是通過投影法之后再迭代，減少了數(shù)據(jù)的計(jì)算，這樣子也減少了數(shù)據(jù)中可能出現(xiàn)的誤差，可以有效地提高精度。

圖11 測(cè)量示意圖Fig.11 Schematic Diagram of Measurement

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)Tab.1 Measured Data

表2 計(jì)算結(jié)果Tab.2 Solution Result

5 結(jié)論

給出了基于新一代GPS平面度誤差檢測(cè)過程中操作算子的構(gòu)建過程。同時(shí)在此基礎(chǔ)上給出了平面度誤差求解的一種新方法：迭代法。最后還用迭代法和投影法相結(jié)合組成投影迭代法優(yōu)化了迭代法的求解過程。最后利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分別用迭代法和投影迭代法求得的平面度大小為59.0532μm和57.0620μm，從而驗(yàn)證了它的正確性。